(共20张PPT)
15.2.3 整数指数幂
第一课时
复习已学过的正整数指数幂的运算性质：
（1）同底数的幂的乘法： (m,n是正整数)；
（2）幂的乘方： (m,n是正整数)；
（3）积的乘方： (n是正整数)；
（4）同底数的幂的除法： ( a≠0，m,n是正整数，m＞n)；
（5）商的乘方： (n是正整数)；
此外，我们还学习过0的指数幂，即当 a≠0时，a0=1
回顾旧知，回忆类活动
活动1
探究一
以上式子哪些能进行计算？如果能够计算请算出结果 :
请同学们用 和 （m≥n）列出加减乘除的式子，不进行计算.
整合旧知，探究类活动
活动2
探究一
把除法变成分式约分（a≠0） 正整数指数幂的运算性质
(a≠0, m,n是正整数, m＞n)中的m＞n这个条件去掉 结论
… … …
结论：
整合旧知，探究类活动
活动2
探究一
（a≠0）是 的倒数.
为什么a≠0？
负整数指数幂的运算性质：
当n是正整数时， （a≠0），
也就是把 的适用范围扩大了，这个运算性质适用的m、n可以是全体整数.
活动1
探究二
(1)根据负指数幂的意义填空.
a2·a－3＝a2· ＝ ＝a－1＝a2＋(－3)，即a2·a－3＝_______；
a-2·a－3＝ · ＝ ＝a－5＝a-2＋(－3)，即a-2·a－3＝_________；
a0·a－3＝1· ＝ ＝a－3＝a0＋(－3)，即a0·a－3＝_________；
a-2÷a－3＝ ÷ ＝ ·a3＝a=a-2－(－3)，即a-2÷a－3＝________；
a2＋(－3)
a-2＋(－3)
a0＋(－3)
a-2－(－3)
(2) 看看计算结果有什么规律？
am·an＝ (m，n是整数) ; am÷an＝ (m，n是整数)
am＋n
am－n
活动2
探究二
(1)根据乘方和负指数幂的意义填空.
a－2×3
(2) 看看计算结果有什么规律？
(am)n＝__________ (m，n是整数)
amn
(a-2)3＝( )3＝ ＝a－6＝a－2×3，即(a-2)3 ＝_______；
(a3)－2＝ ＝ ＝a－6＝a3×(－2)，即(a3)－2 ＝_________；
a3×(－2)
活动3
探究二
(1)根据乘方和负指数幂的意义填空.
a-3b-3
(2) 看看计算结果有什么规律？
(ab)n＝__________ (m，n是整数)
anbn
(ab)-3＝ ＝ ＝ ＝a－3b- 3，即(ab)-3 ＝_______；
a3b-3
(ab-1)3＝ ＝ ＝a3b- 3，即(ab-1) 3 ＝_______；
活动4
探究二
(1)根据乘方和负指数幂的意义填空.
(2) 看看计算结果有什么规律？
活动1
探究三
基础性例题
例1.计算：
【思路点拨】根据负指数幂的性质， 为 的倒数，
为 的倒数.
活动1
探究三
基础性例题
练习.计算：
【思路点拨】根据负指数幂的性质可得：
活动1
探究三
基础性例题
【思路点拨】根据负指数幂的性质可得：
例2.计算：
活动1
探究三
基础性例题
练习.计算：
【思路点拨】
活动2
探究三
提升性例题
例3.计算：
【思路点拨】
根据负指数幂的性质得 , ， 再计算，结果指数不能为负数.
练习.计算：(1) (2)
活动3
探究三
探究性例题
例4.计算：
练习.计算：
【思路点拨】幂的乘方底数不变，指数相乘，计算结果有负指数幂时，要写成分式形式.
活动3
探究三
探究性例题
例5.若10a=20，10b=5-1，求4a÷22b的值
【思路点拨】把 变形为 ，显然需要求a-b的值，由 , 则a-b=2.
活动3
探究三
探究性例题
练习.已知10-2a=4，10-b= ，求104a+2b的值
（1）理解负整数指数幂的性质.
（2）正确理解指数由正整数扩充到整数时，以前学习的幂的运算性质仍然成立.
（3）运用幂的性质进行整数指数幂的运算.
（1）整数指数幂的运算.
（2）利用幂的性质求代数式的值.
选择“《整数指数幂（1）》随堂检测 ”(共28张PPT)
15.2.3 整数指数幂
算一算，并分别说出每一小题所用的运算性质．
（2） = ；
同底数幂的乘法：
（m，n是正整数）
幂的乘方：
（m，n是正整数）
（3） = ；
积的乘方：
（n是正整数）
问题引入
（4） = ；
同底数幂的除法：
（a≠0，m，n是正整数且m>n ）
（5） = ；
商的乘方：
（b≠0，n是正整数）
（6） = ；
（ ）
问题引入
想一想：
am中指数m可以是负整数吗？如果可以，那么负整数指数幂am表示什么？
负整数指数幂
1
新知探究
问题：计算：a3 ÷a5= (a ≠0)
解法1
解法2 再假设正整数指数幂的运算性质am÷an=amn(a≠0,m,n是正整数，m>n)中的m>n这个条件去掉，那么a3÷a5=a3-5=a-2.
于是得到：
新知探究
负整数指数幂的意义
一般地，我们规定：当n是正整数时，
这就是说，a-n (a≠0)是an的倒数.
新知探究
引入负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数.也就说前面提到的运算性质也推广到整数指数幂.
想一想：对于am，当m=7，0，-7时，你能分别说出它们的意义吗？
新知探究
填空：
牛刀小试
典例解析
例1
A．a＞b＝c B．a＞c＞b
C．c＞a＞b D．b＞c＞a
B
方法总结：关键是理解负整数指数幂的意义，依次计算出结果．当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
计算：
(1)(x3y－2)2； (2)x2y－2·(x－2y)3；
例2
解析：先进行幂的乘方，再进行幂的乘除，最后将整数指数幂化成正整数指数幂．
解：(1)原式＝x6y－4
(2)原式＝x2y－2·x－6y3＝x－4y
提示：计算结果一般需化为正整数幂的形式.
典例解析
计算：
例2
(3)(3x2y－2)2÷(x－2y)3；
(4)(3×10－5)3÷(3×10－6)2.
(4)原式＝(27×10－15)÷(9×10－12)
＝3×10－3
解：(3)原式＝9x4y－4÷x－6y3＝9x4y－4·x6y－3
＝9x10y－7
典例解析
计算：
解：
做一做：
典例解析
解：
典例解析
(1) 根据整数指数幂的运算性质，当m,n为整数时，
am ÷an=am-n ，
又am ·a-n=am-n，因此am ÷an=am ·a-n.
即同底数幂的除法可以转化为同底数幂的乘法.
(2) 特别地， ，
所以
即商的乘方可以转化为积的乘方.
总结归纳
整数指数幂的运算性质归结为
(1)am·an=am+n ( m、n是整数) ；
(2)(am)n=amn ( m、n是整数) ；
(3)(ab)n=anbn ( n是整数).
总结归纳
例3
解析：分别根据有理数的乘方、0指数幂、负整数指数幂及绝对值的性质计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算．
典例解析
科学记数法：绝对值大于10的数记成a×10n的形式，其中1≤a<10，n是正整数.
忆一忆：
例如，864000可以写成 .
怎样把0.0000864用科学记数法表示？
8.64×105
想一想：
科学记数法
2
新知探究
探一探：
因为
所以， 0.0000864=8.64 ×0.00001=8.64 ×10-5.
类似地，我们可以利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a×10- n的形式，其中n是正整数，1≤∣a∣＜10.
新知探究
算一算：
10－2= ___________; 10－4= ___________;
10－8= ___________.
议一议：
指数与运算结果的0的个数有什么关系？
一般地，10的-n次幂，在1前面有______个0.
想一想：10－21的小数点后的位数是几位？1前面有几个零？
0.01
0.0001
0.00000001
通过上面的探索，你发现了什么？
n
新知探究
用科学记数法表示一些绝对值小于1的数的方法：
即利用10的负整数次幂，把一个绝对值小于1的数表示成a×10-n的形式，其中n是正整数，1 ≤ | a |<10.
n等于原数第一个非零数字前所有零的个数.
（特别注意：包括小数点前面这个零）
新知探究
例4 用小数表示下列各数：
(1)2×10－7；(2)3.14×10－5；
(3)7.08×10－3；(4)2.17×10－1.
解析：小数点向左移动相应的位数即可．
解：(1)2×10－7＝0.0000002；
(2)3.14×10－5＝0.0000314；
(3)7.08×10－3＝0.00708；
(4)2.17×10－1＝0.217.
典例解析
1.用科学记数法表示：
（1）0.000 03； （2）-0.000 006 4；
（3）0.000 0314；
2.用科学记数法填空：
（1）1 s是1 μs的1 000 000倍，则1 μs＝______s；
（2）1 mg＝______kg；（3）1 μm ＝______m；
（4）1 nm＝______ μm ；（5）1 cm2＝______ m2 ；
（6）1 ml ＝______m3.
典例解析
练一练：
例5 纳米是非常小的长度单位，1nm=10-9m.把1nm3的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上，1mm3的空间可以放多少个1nm3的物体（物体之间隙忽略不计）？
答：1mm3的空间可以放1018个1nm3的物体.
解：
1018是一个非常大的数，它是1亿（即108）的100亿（即1010）倍.
典例解析
1.填空：(-3)2·(-3)-2=( )；103×10-2=( );
a-2÷a3=( );a3÷a-4=( ).
2.计算：(1)0.1÷0.13
(2)(-5)2 008÷(-5)2 010
(3)100×10-1÷10-2
(4)x-2·x-3÷x2
1
10
a7
当堂练习
4.下列是用科学记数法表示的数，写出原来的数.
（1）2×10－8 （2）7.001×10－6
3.计算：
（1）（2×10－6）× （3.2×103）
（2）（2×10－6）2 ÷ （10－4）3
答案:（1）0.000 000 02 （2）0.000 007 001
= 6.4×10-3；
= 4
当堂练习
5.比较大小：
（1）3.01×10－4_______9.5×10－3
（2）3.01×10－4________3.10×10－4
<
<
6.用科学记数法把0.000 009 405表示成
9.405×10n，那么n= .
-6
当堂练习
今天我们学了什么？
今天我们悟到什么？
今天的质疑和发现？
梳理反思
今天我们学了什么？
今天我们悟到什么？
整数指数幂
整数指数幂运算
整数指数幂
1.零指数幂：当a≠0时，a0=1.
2.负整数指数幂：当n是正整数时，a-n=
整数指数幂的运算性质：
（1）am·an=am+n（m，n为整数，a≠0）
（2）（ab）m=ambm（m为整数，a≠0，b≠0）
（3）（am）n=amn（m，n为整数，a≠0）
用科学记数法表示绝对值小于1的数
绝对值小于1的数用科学记数法表示为a×10-n的形式，1≤│a│ <10，n为原数第1个不为0的数字前面所有0的个数（包括小数点前面那个0）.
课堂小结(共20张PPT)
复 习
正整数指数幂有以下运算性质：
（1）am·an=am+n (a≠0 m、n为正整数)
（2）(am)n=amn (a≠0 m、n为正整数)
复 习
正整数指数幂有以下运算性质：
（3）(ab)n=anbn (a，b≠0 m、n为正整数)
（4）am÷an=am-n (a≠0 m、n为正整数且m>n)
（5） （ b≠0 ，n是正整数）
当a≠0时，a0=1。（0指数幂的运算）
（6）
am÷an=am-n (a≠0 m、n为正整数且m>n)
a5÷a3=a2
a3÷a5=？
分 析
a3÷a5=a3-5=a-2
a3÷a5=
=
n是正整数时, a-n属于分式。并且
(a≠0)
例如:
引入负整数指数幂后，指数的取值范围就
扩大到全体整数。
am=
am (m是正整数）
1 （m=0）
（m是负整数）
（1）32=___， 30=___， 3-2=_____;
（2）(-3)2=__，(-3)0=___，(-3)-2=_____；
（3）b2=___, b0=____, b-2=____(b≠0).
练 习
9
1
9
1
1
b2
1
9
1
9
1
b2
练 习
１、计算
整数指数幂有以下运算性质：
（1）am·an=am+n (a≠0)
（2）(am)n=amn (a≠0)
（3）(ab)n=anbn (a,b≠0)
（4）am÷an=am-n (a≠0)
（5） （b≠0）
当a≠0时，a0=1。
（6）
a-3·a-9=
(a-3)2=
(ab)-3=
a-3÷a-5=
a-12
a-6
a-3b-3
=
=
=
(1) (a-1b2)3
(2) a-2b2· (a2b-2)-3
(3) x2y-3(x-1y)3
(4) (2ab2c-3)-2÷(a-2b)3
=a-3b6=
=a-8b8=
=x-1y0=
=2-2a-2
b-4c6÷
=2-2a4
b-7c6 =
=2-2a-2
b-4c6÷
a-6b3
例 题
科学记数法
光速约为3×108米/秒
太阳半径约为6.96×105千米
目前我国人口约为6.1×109
小于1的数也可以用科学记数法表示吗？
a×10-n
a 是整数位只有一位的正数，n是正整数。
0.00001= =10-5
0.0000257= =2.57×10-5
对于一个小于1的正小数，如果小数点后至第一个非0数字前有8个0，用科学计数法表示这个数时，10的指数是多少？如果有m个0呢？
思 考
0.000 000 0027=________，
0.000 000 32=________，
0.000 000……001=________，
m个0
2.7×10-9
3.2×10-7
10 -(m+1)
1.用科学计数法表示下列数：
0.000 000 001， 0.001 2，
0.000 000 345 ， -0.000 63，
0.000 000 010 8 3780 000
1纳米=10-9
1亿=108
课 堂 练 习
基础题
2.计算：
(2×10-6) ×(3.2×103)
(2) (2×10-6)2÷(10-4)3
3.（提高题）用科学记数法把0.000009405表示成9.405×10n，那么n=__.
=6.4×10-3
=4
-6
小 结
（1）n是正整数时, a-n属于分式。并且
(a≠0)
（2）科学计数法表示小于1的小数：
a×10-n
（a 是整数位只有一位的正数，n是正整数。）
练 习
１、若(2x-1)0=1，求x的取值范围。
2、下列计算正确的是（ ）
D
2x-1≠0
解：
提高题：
1.计算：xn+2·xn-2÷(x2)3n-3;
2.已知：10m=5,10n=4,求102m-3n.
=x2n÷x6n-6
xn+2·xn-2÷(x2)3n-3
=x6-4n
102m-3n
解：
解：
=
102m
÷103n
=
(10m)2
÷(10n)3
=
52
÷43
=
例３如果代数式 有意义，求x的取值范围。
3x+1≠0
解：
5.探索规律：31=3，个位数字是3；32=9，个位数字式9；33=27，个位数字是7；34=81，个位数字是1；35=243，个位数字是3；36=729，个位数字是9；……那么，37的个位数字是____，320的个位数字是__。
兴趣探索
7
1
课堂达标测试
1.计算：
(a+b)m+1·(a+b)n-1;
(2) (-a2b)2·(-a2b3)3÷(-ab4)5
(3) (x3)2÷(x2)4·x0
(4) (-1.8x4y2z3) ÷(-0.2x2y4z) ÷
例 化简下列各式，使结果不含负指数：
(1)a2b-3; (2)3x-1y-2z; (3)-5(ab2)-1(共22张PPT)
15.2.3 整数指数幂
学习目标：
1．了解负整数指数幂的意义．
2．了解整数指数幂的性质并能运用它进行计算．
3．会利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一
些小于1 的正数．
学习重点：
幂的性质（指数为全体整数），并会用于计算，以及用科学记数法表示一些小于1的正数．
目标重点
将正整数指数幂的运算性质中指数的取值范围由
“正整数”扩大到“整数”，这些性质还适用吗？
问题1 你们还记得正整数指数幂的意义吗？正整
数指数幂有哪些运算性质呢？
回顾探究
问题2 am 中指数m 可以是负整数吗？如果可以，
那么负整数指数幂am 表示什么？
（1）根据分式的约分，当 a≠0 时，如何计算 ？
（2）如果把正整数指数幂的运算性质
（a≠0，m，n 是正整数，m >n）中的条件m >n 去
掉，即假设这个性质对于像 情形也能使用，
如何计算？
数学中规定：
当n 是正整数时，
负整数指数幂的意义
这就是说， 是an 的倒数．
1
1
1
练习1 填空：
（1） = ____， = ____；
（2） = ____， = ____；
（3） = ____， = ____ （b≠0）．
做一做
（m，n 是正整数）这条性质能否推广到m，n 是任意整
数的情形？
问题3 引入负整数指数和0指数后，
问题4 类似地，你可以用负整数指数幂或0 指数
幂对于其他正整数指数幂的运算性质进行试验，看看这
些性质在整数范围内是否还适用？
归纳结论
（1） （m，n 是整数）；
（2） （m，n 是整数）；
（3） （n 是整数）；
（4） （m，n 是整数）；
（5） （n 是整数）．
例1 计算：
解：
例题探究
解：
例1 计算：
练习2 计算：
问题5 能否将整数指数幂的5条性质进行适当合并？
根据整数指数幂的运算性质，当m，n为整数时，
， ，因此，
，即同底数幂的除法 可以转化
为同底数幂的乘法 ．特别地，
所以，
即商的乘方 可以转化为积的乘方
这样，整数指数幂的运算性质可以归结为：
（1） （m，n 是整数）；
（2） （m，n 是整数）；
（3） （n 是整数）．
0.1=
0.01=
0.001= = ；
0.000 1= = ；
0.000 01= = ．
归纳：
探索：
继续探究
0.000 098 2=9.82×0.000 01=9.82×
0.003 5=3.5×0.001 =3.5×
规律：
对于一个小于1的正小数，从小数点前的第一个0算起至小数点后第一个非0数字前有几个0，用科学记数法表示这个数时，10的指数就是负几．
如何用科学记数法表示0.003 5和0.000 098 2呢？
观察这两个等式，你能发现10的指数与什么有关呢？
解：（1）0.3=3×10-1 ；
（2）-0.000 78=-7.8×10-4 ；
（3）0.000 020 09=2.009×10-5.
例2 用科学记数法表示下列各数：
（1）0.3；（2）-0.000 78；（3）0.000 020 09.
解：1 mm =10-3 m，1 nm =10-9 m.
答：1 mm3 的空间可以放1018个1 nm3 的物体.
例3 纳米（nm）是非常小的长度单位，1 nm =
10-9 m．把1 nm3 的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球
放到地球上．1 mm3 的空间可以放多少个1 nm3 的物体
（物体之间的间隙忽略不计）？
练习3 用科学记数法表示下列各数：
（1）0.000 01； （2）0.001 2；
（3）0.000 000 345； （4）0.000 000 010 8．
练习4 计算：
（1）
（2）
（1）本节课学习了哪些主要内容？
（2）整数指数幂的运算性质与正整数指数幂的运算性质有什么区别和联系？
课堂小结
教科书习题15.2第7、8、9题．
课堂作业
