(共20张PPT)
14.2 乘法公式
14.2.2 完全平方公式（2）
第10课时
一、新课引入
利用去括号法则填空：
a+(b+c)=_________；
a-(b+c)=________.
a+b+c
a-b-c
1
2
二、学习目标
学会将多项式进行添括号的变形
学会添加适当的括号,再运用乘法公式进行计算
三、研读课文
认真阅读课本第111页的内容，完成下面练习并体验知识点的形成过程.
添括号法则
与去括号相反的,我们得到
添括号法则:
知识点一
a+b+c=a+(b+c)； a-b-c=a-(b+c)
即，添括号时,如果括号前面是____号,括到括号里的各项都_____符号；如果括号前面是___号,括到括号里的_____都_____符号。
a+b+c=a+(b+c)； a-b-c=a-(b+c)
+
不变
_
各项
改变
三、练一练
1、在等号右边的括号内填上适当的项，并用去括号法则检验。
(1)a+b-c=a+( )；
(2)a-b+c=a- ( )；
(3)a-b-c=a- ( )；
(4)a+b+c=a-( ).
b-c
b-c
b+c
-b-c
三、练一练
2、 [ ＋ （ ）]
[ －（ ）]，括号里所填的各项分别是（ ）
B.
C. D.
C
三、研读课文
认真阅读课本第111页的内容，完成下面练习并体验知识点的形成过程.
乘法公式的运用
例5 运用乘法公式计算：
知识点二
解：原式＝[ ＋( )][ －( )]
＝ -（ ）
＝ -（ ）
＝______________
（1）
2y-3
2y-3
2y-3
三、练一练
（1）(2x+y+z)(2x-y-z)
解：原式＝[2x+（y+z）][2x-（y+z）]
＝
＝
＝
三、练一练
（2）(x+y+1)(x+y-1)
解：原式＝[（x+y）+1][（x+y） -1]
＝
＝
＝
三、练一练
例5 运用乘法公式计算：（2）
解：原式＝
＝ _+ __ _+ ___
＝_________________________
＝_________________________
温馨提示：
有些整式相乘需要先作
适当变形,然后再用公式.
三、练一练
1、试用另一种方法计算
例5（2）
解：原式＝
＝
＝
＝
三、练一练
2、运用乘法公式计算
（1） (a+2b-1)2
解：原式＝
＝
＝
＝
三、练一练
2、运用乘法公式计算
(2) (2x-y-3)2
解：原式＝
＝
＝
＝
四、归纳小结
1、添括号时,如果括号前面是___号,括到括号里的各项都_____符号；如果括号前面是___号,括到括号里的_____都_____符号.即
a+b+c=a+(______)；
a-b-c=a- (______)
+
-
不变
各项
改变
b+c
b+c
四、归纳小结
3、学习反思：_______________________
________________________________________________________________________
2 、乘法公式：平方差公式和完全平方公式（默写）.
____________________________________ _____________________________
五、强化训练
1、运用乘法公式计算
(1) (a-b+c)(a+b-c)
解：原式＝
＝
＝
＝
五、强化训练
1、运用乘法公式计算
(2)(3x-5)2-(2x+7)2
解：原式＝
＝
＝
五、强化训练
1、运用乘法公式计算
(3)[(x+2)(x-2)]2
解：原式＝
＝
＝
五、强化训练
2、先化简,再求值
(2x+3y)2-(2x+y)(2x-y)，其中x= ,y= -
解：原式＝
＝
＝
其中x= ,y= -
原式＝ =0.5
五、强化训练
3、已知 ，
求 的值
解：
因为(共28张PPT)
14.2.2 完全平方公式
情境引入
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图). 用不同的形式表示实验田的总面积, 并进行比较.
a
a
b
b
直接求：总面积=（a+b)(a+b)
间接求：总面积=a2+ab+ab+b2
你发现了什么？
（a+b)2=a2+2ab+b2
完全平方公式
1
新知探究
问题1 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
（1） （p+1)2=(p+1)(p+1)= .
p2+2p+1
（2） （m+2)2=(m+2)(m+2)= .
m2+4m+4
（3） （p-1)2=(p-1)(p-1)= .
p2-2p+1
（4） （m-2)2=(m-2)(m-2)= .
m2-4m+4
问题2 根据你发现的规律，你能写出下列式子的答案吗？
（a+b)2= .
a2+2ab+b2
（a-b)2= .
a2-2ab+b2
完全平方公式
（a+b)2= .
a2+2ab+b2
（a-b)2= .
a2-2ab+b2
也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式.
简记为：
“首平方，尾平方，积的2倍放中间”
知识要点
问题3 你能根据图1和图2中的面积说明完全平方公式吗
b
a
a
b
b
a
b
a
图 1
图2
新知探究
几何解释:
a
a
b
b
=
+
+
+
a2
ab
ab
b2
（a+b)2= .
a2+2ab+b2
和的完全平方公式：
新知探究
a2
ab
b(a b)
=
a2 2ab+b2 .
=
(a b)2
a b
a b
a
a
ab
b(a b)
b
b
(a b)2
几何解释:
（a-b)2= .
a2-2ab+b2
差的完全平方公式：
新知探究
(a+b)2= a2+2ab+b2.
(a-b)2= a2-2ab+b2.
问题4 观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列问题：
1.说一说积的次数和项数.
2.两个完全平方式的积有相同的项吗？与a,b有
什么关系？
3.两个完全平方式的积中不同的是哪一项？与 a,
b有什么关系？它的符号与什么有关？
新知探究
公式特征：
4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.
1.积为二次三项式；
2.积中两项为两数的平方和；
3.另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同.
新知探究
想一想：下面各式的计算是否正确？如果不正确， 应当怎样改正？
(1)(x+y)2=x2 +y2
(2)(x -y)2 =x2 -y2
(3) (-x +y)2 =x2+2xy +y2
(4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2
×
×
×
×
(x +y)2 =x2+2xy +y2
(x -y)2 =x2 -2xy +y2
(-x +y)2 =x2 -2xy +y2
(2x +y)2 =4x2+4xy +y2
新知探究
例1 运用完全平方公式计算：
解: (4m+n)2=
=16m2
(1)(4m+n)2；
(a +b)2= a2 + 2 ab + b2
(4m)2
+2 (4m) n
+n2
+8mn
+n2；
典例解析
(a - b)2 = a2 - 2 ab + b2
y2
=y2
-y
+
解： =
+
-2 y
(2)
典例解析
利用完全平方公式计算：
(1)(5－a)2； (2)(－3m－4n)2；
(3)(－3a＋b)2.
针对训练
(3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.
解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2；
(2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2；
典例解析
(1) 1022；
解： 1022
= (100+2)2
=10000+400+4
=10404.
(2) 992.
992
= (100 –1)2
=10000 -200+1
=9801.
例2 运用完全平方公式计算：
方法总结：运用完全平方公式进行简便计算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全平方公式的形式．
典例解析
利用乘法公式计算：
(1)982－101×99；
(2)20162－2016×4030＋20152.
针对训练
＝(2016－2015)2＝1.
解：(1)原式＝(100－2)2－(100＋1)(100－1)
＝1002－400＋4－1002＋1＝－395；
(2)原式＝20162－2×2016×2015＋20152
典例解析
例3 已知x－y＝6，xy＝－8. 求:
(1) x2＋y2的值； (2)(x+y)2的值.
＝36－16＝20；
解：(1)∵x－y＝6，xy＝－8，
(x－y)2＝x2＋y2－2xy，
∴x2＋y2＝(x－y)2＋2xy
(2)∵x2＋y2＝20，xy＝－8，
∴(x+y)2＝x2＋y2＋2xy
＝20－16＝4.
典例解析
方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的变式：
x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝(x+y)2－2xy,(x－y)2＝(x+y)2－4xy.
典例解析
a+(b+c) = a+b+c;
a- (b+c) = a - b – c.
a + b + c = a + ( b + c) ;
a – b – c = a – ( b + c ) .
去括号
把上面两个等式的左右两边反过来，也就添括号：
添括号法则
2
新知探究
添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号（简记为“负变正不变”）.
添括号法则
知识要点
例4 运用乘法公式计算:
(1) (x+2y-3)(x-2y+3) ; (2) (a+b+c)2.
原式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)]
解: (1)
(2)原式 = [(a+b)+c]2
= x2-(2y-3)2
= x2-(4y2-12y+9)
= x2-4y2+12y-9.
= (a+b)2+2(a+b)c+c2
=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2.
典例解析
方法总结：第1小题选用平方差公式进行计算，需要分组.分组方法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”.第2小题要把其中两项看成一个整体，再按照完全平方公式进行计算.
典例解析
计算：(1)(a－b＋c)2；
(2)(1－2x＋y)(1＋2x－y)．
针对训练
＝1－4x2＋4xy－y2.
解：(1)原式＝[(a－b)＋c]2
＝(a－b)2＋c2＋2(a－b)c
＝a2－2ab＋b2＋c2＋2ac－2bc；
(2)原式＝[1＋(－2x＋y)][1－(－2x＋y)]
＝12－(－2x＋y)2
典例解析
2.下列计算结果为2ab－a2－b2的是( )
A．(a－b)2 B．(－a－b)2
C．－(a＋b)2 D．－(a－b)2
1.运用乘法公式计算(a-2)2的结果是（ ）
A．a2-4a+4 B．a2-2a+4
C．a2-4 D．a2-4a-4
A
D
当堂练习
3.运用完全平方公式计算:
(1) (6a+5b)2=_______________；
(2) (4x-3y)2=_______________ ；
(3) (2m-1)2 =_______________；
(4)(-2m-1)2 =_______________.
36a2+60ab+25b2
16x2-24xy+9y2
4m2+4m+1
4m2-4m+1
4.由完全平方公式可知：32＋2×3×5＋52＝(3＋5)2＝64，运用这一方法计算：4.3212＋8.642×0.679＋0.6792＝________．
25
当堂练习
当堂练习
5.计算
(1)(3a＋b－2)(3a－b＋2)；
(2)(x－y－m＋n)(x－y＋m－n)．
(2)原式＝[(x－y)－(m－n)][(x－y)＋(m－n)]
解：(1)原式＝[3a＋(b－2)][3a－(b－2)]
＝(3a)2－(b－2)2
＝9a2－b2＋4b－4.
＝(x－y)2－(m－n)2
＝x2－2xy＋y2－m2＋2mn－n2.
6.若a+b=5,ab=-6, 求a2+b2,a2-ab+b2.
7.已知x+y=8,x-y=4,求xy.
解：a2+b2=（a+b)2-2ab=52-2×(-6)=37；
a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43.
解：∵x+y=8, ∴(x+y)2=64,即x2+y2+2xy=64①;
∵x-y=4, ∴(x-y)2=16,即x2+y2-2xy=16②;
由①-②得
4xy=48
∴xy=12.
当堂练习
今天我们学了什么？
今天我们悟到什么？
今天的质疑和发现？
梳理反思
今天我们学了什么？
今天我们悟到什么？
完全平方公式
完全平方公式
法则
注意
(a±b)2= a2 ±2ab+b2
1.项数、符号、字母及其指数
2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号变形成符合公式的要求才行
常用结论
3.弄清完全平方公式和平方差公式不同（从公式结构特点及结果两方面）
a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab;
4ab=(a+b)2-(a-b)2.
课堂小结(共15张PPT)
名 师 课 件
14.2.2 完全平方公式
第二课时
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
（3）两数__________________等于________________再________________两数乘积的2倍
（1）多项式与多项式相乘，就是用____________________乘_________________________，再把_________________.
加上（减去）
两数的平方和
和（差）的平方
一个多项式的每一项
另一个多项式的每一项
所得的积相加
（2）两数____乘以两数____等于两数的_________.
和
差
平方差
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
活动1
探究一：添括号法则
问题1 前面我们学习了整式的运算，其中整式的运算中去括号的法则是什么呢？
回顾旧知
请同学们完成下列运算并回忆去括号法则．
（1）4+（5+2） （2）4-（5+2）
（3）a+（b+c） （4）a-（b-c）
解：（1）4+（5+2）=4+5+2=11
（2）4-（5+2）=4-5-2=-3或4-（5+2）=4-7=-3
（3）a+（b+c）=a+b+c
（4）a-（b-c）=a-b+c
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
活动1
探究一：添括号法则
去括号法则：
去括号时，如果括号前是正号，去掉括号后，括号里的每一项都不改变符号；
如果括号前是负号，去掉括号后，括号里的各项都改变符号．也就是说，遇“加”不变，遇“减”都变．
回顾旧知
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
活动2
探究一：添括号法则
追问1：上述问题中恒等的两个多项式左右两边可以交换位置吗？
整合旧知
4+5+2=4+（5+2），a+b+c= a+（b+c）
追问2：从左到右就从无括号变成了有括号，那添括号的法则又是什么呢？
追问3：你能对发现的规律用语言表述出来吗？
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
活动1
探究二：添括号法则在乘法公式中的应用
重点、难点知识★▲
添括号法则在平方差公式中的应用
（1）（x+2y-3）（x-2y+3）
（2）（2x+y+z）（2x-y-z）
问题2 你能把上面的式子表示成（a+b）（a-b）吗？
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
活动2
探究二：添括号法则在乘法公式中的应用
重点、难点知识★▲
理解平方差公式的结构特征
上面的式子变形为
（1）[x+（2y-3）][x-（2y-3）]
（2）[2x+（y+z）][2x-（y+z）]
问题3 你能说出谁代表公式里的a和b吗？
追问 你能运用平方差公式进行计算吗？
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
活动3
探究二：添括号法则在乘法公式中的应用
重点、难点知识★▲
添括号法则在完全平方公式的应用
你能把（x-y-1） 变形成（a+b） 或者（a-b） 吗？
深刻理解完全平方公式的结构特征
你能说出谁代表公式里的a和b吗？
活动4
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
活动1
探究三：利用乘法和添括号技巧进行计算
例1 （a+b-c）（c-a+b）
【思路点拨】
平方差公式的特征：组合成两数和与两数差．
【解题过程】
（a+b-c）（c-a+b）=[b+（a-c）][b-（a-c）]
=b -（a-c）
= b -a -c +2ac
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
活动1
探究三：利用乘法和添括号技巧进行计算
针对练习 把代数式 写成（5+M）（5-M）的形式，求M．
【思路点拨】平方差公式的特征：辨析相同项和相反项，组合成两数和与两数差.
【解题过程】
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
活动2
探究三：利用乘法和添括号技巧进行计算
例2 计算：（2a+b-c）
【思路点拨】
完全平方公式特征：两数和或两数差的平方．
【解题过程】
（2a+b-c） =[（2a+b）-c] 或[（2a-c）+b] 或[2a+（b-c）] 等，
答案为4a +b +c +4ab-4ac-2bc
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
活动2
探究三：利用乘法和添括号技巧进行计算
针对练习 计算：（2x-y-3）
【思路点拨】
平方差公式的特征：辨析相同项和相反项，组合成两数和与两数差.
【解题过程】
（2x-y-3） =[（2x-y）-3] 或[（2x-3）-y] 或
[2x-（y+3）] 等，
答案为4x +y -4xy-12x+6y+9
知识梳理
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
（1）添括号法则，并能熟练地给一些代数式添括号.
添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.
（2）进一步熟悉平方差公式和完全平方公式，能灵活运用公式进行计算.
重难点突破
（1）理解添括号法则，总体原则，添括号后不改变原式大小.
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
（2）在多项式与多项式的乘法中适当添括号达到运用公式的目的．
（3）三项式的完全平方，等于各项的平方和加上两两相乘的积的2倍，即
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
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