(共16张PPT)
14.3 因式分解 （第1课时）
内容分析：
本课是在学生学习了整式乘法的基础上，研究对整
式的一种变形即因式分解，是把一个多项式转化成
几个整式相乘的形式，它与整式乘法是互逆变形的
关系．
学习目标：
1．了解因式分解的概念．
2．了解公因式的概念，能用提公因式法进行因式分解．
学习重点：
运用提公因式法分解因式．
上一节我们已经学习了整式的乘法，知道可以将几
个整式的乘积化为一个多项式的形式．反过来，在式的
变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的
形式．
请把下列多项式写成整式的乘积的形式：
了解因式分解的概念
在多项式的变形中，有时需要将一个多项式化成几
个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因
式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
你认为因式分解与整式乘法有什么关系？
因式分解与整式乘法是互逆变形关系．
了解因式分解的概念
练习1 下列变形中，属于因式分解的是：
（1）
（2）
（3）
了解因式分解的概念
你能试着将多项式 因式分解吗？
（1）这个多项式有什么特点？
（2）因式分解的依据是什么？
（3）分解后的各因式与原多项式有何关系？
探索因式分解的方法---提公因式法
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个
公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的
乘积的形式．这种分解因式的方法叫做提公因式法．
探索因式分解的方法---提公因式法
例1 把 分解因式．
解：
初步应用提公因式法
通过对例1的解答，你有什么收获？
（1）公因式是多项式各项系数的最大公约数和各项都
含有的字母及多项式的最低次幂的乘积；
（2）提公因式法就是把多项式分解成两个因式乘积的
形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因
式是由多项式除以公因式得到的；
（3）用提公因式分解因式后，应保证含有多项式的因
式中再无公因式．
初步应用提公因式法
例2 把 分解因式．
解：
初步应用提公因式法
公因式可以是单项式，也可以是多项式.
通过对例2的解答，你有什么收获？
初步应用提公因式法
练习2 把下列各式分解因式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
初步应用提公因式法
练习3 先分解因式，再求值．
，其中
初步应用提公因式法
（1）本节课学习了哪些主要内容？
（2）因式分解的目的是什么？因式分解与整式乘法
有什么区别和联系？
（3）提公因式法的一般步骤是什么？应用提公因式
法分解因式时要注意什么？
课堂小结
教科书习题14.3第1、4（1）题．
布置作业(共17张PPT)
名 师 课 件
14.3.1 提公因式法
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
上一节我们已经学习了整式的乘法，知道可以将几个整式的积化为一个多项式的形式.
4a -4ab+b
3x -6x
请计算下列各式：
（1）3x（x-2） （2）（2a-b）
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
活动1
探究一：了解因式分解的概念
问题1 根据刚才的计算，反过来，你能把下列多项式写成整式的积的形式吗？
逆向思维 初步感知因式分解
（1）3x -6x=________________
（2）4a -4ab+b =_______________
问题2 类似地，你能根据整式的乘法猜出x +x=_______ 的结果吗？
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
活动2
探究一：了解因式分解的概念
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫把这个多项式分解因式.
归纳总结因式分解的概念
问题3 你认为因式分解与整式的乘法有什么关系？
问题4 下列变形中，属于因式分解的有_________.
（1）a（a-1）=a -a；（2）a -5a+6=a（a-5）+6；
（3）x -2xy+y =（x-y）
（3）
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
活动1
探究二：探索因式分解的方法——提公因式
重点、难点知识★▲
认识公因式
问题5 你能试着将多项式pa+pb+pc分解因式吗？
p是此多项式各项公共的因式，我们将它称为公因式.
1.这个多项式有什么特点？
2.你能将它分解因式吗？
3.分解因式的依据是什么？
逆用乘法分配律
像这样将多项式的公因式提出来，写成公因式与另一个因式的积的形式，这种因式分解的方法叫提公因式法.
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
活动2
探究二：探索因式分解的方法——提公因式
重点、难点知识★▲
集思广益，找公因式
指出下列多项式的公因式：
（1）8mn +6m n ；
（2）12xyz-9x y ；
（3）2a（y-z）-3a（y-z）；
（4）12p（a -b ）-15q （b -a ）.
2mn
3xy
a（y-z）
3（a -b ）
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
活动2
探究二：探索因式分解的方法——提公因式
重点、难点知识★▲
集思广益，找公因式
总结
确定公因式的方法是：
①定系数，即确定各项系数绝对值的最大公约数 ；
②定字母，即确定多项式中各项的相同字母 ，注意公因式中也可含多项式；
③定字母的指数，即确定各项相同字母的最小指数.
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
活动1
探究三：应用提公因式法分解因式
例1 把 分解因式.
重点、难点知识★▲
基础应用
（1）如何确定公因式？
（2）提出公因式后另一个因式如何确定？
（3）提出公因式后，另一个因式是否还有公因式？
（4）若提出公因4a或4ab那么另一个因式是否还有公因式？由此可见分解因式需注意什么？
（5）如何检查因式分解是否正确
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
活动1
探究三：应用提公因式法分解因式
例1 把 分解因式.
重点、难点知识★▲
基础应用
【解题过程】
解：
【思路点拨】（1）先确定公因式为4ab ；
（2）提出公因式后另一个因式2a +3bc不再含有公因式，
（3）再将它写成公因式与另一个因式的积的形式．
提公因式法分解因式的一般步骤是：①确定公因式；②提公因式并确定另一个因式；③写成整式的积的形式.
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
活动1
探究三：应用提公因式法分解因式
练习：把下列各式分解因式：
（1）ax+ay； （2）3mx-6my； （3）8m n+2mn
重点、难点知识★▲
基础应用
【解题过程】解：（1）ax+ay=a（x+y）；
（2）3mx-6my=3m x-3m 2y=3m（x-2y）；
（3）8m n+2mn=2mn 4m+2mn 1=2mn（4m+1）.
【思路点拨】按照提公因式法的一般步骤求解，注意第（3）中，不能漏掉1，可按照整式的乘法把因式再乘回去，看结果是否与原式相等．
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
活动2
探究三：应用提公因式法分解因式
例2 把 分解因式.
重点、难点知识★▲
公因式中含有多项式的因式分解
【解题过程】
解：
【思路点拨】
b+c是这两个式子的公因式，将它看成一个整体，可直接提出.
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
活动2
探究三：应用提公因式法分解因式
练习 把下列各式分解因式：
（1）
（2）
（3）
重点、难点知识★▲
公因式中含有多项式的因式分解
【思路点拨】（1）解此类题的关键是运用整体思想，将题中共有的多项式看成一个整体直接提出；（2）注意y-z与z-y互为相反数，所以提“ ”号即可变成相同的式子；（3）中注意提出公因式后的另一个因式为2a-3（a-b），还需去括号，合并同类项.
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
活动3
探究三：应用提公因式法分解因式
例3 已知a+b=10，ab=24，求ab +a b的值.
重点、难点知识★▲
运用提公因式法分解因式求代数式的值
【解题过程】
解：ab +a b=ab b+ab a=ab（b+a）
∵ a+b=10，ab=24
∴原式=24×10=240
【思路点拨】
先将多项式ab +a b分解因式，再代值计算.
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
活动3
探究三：应用提公因式法分解因式
练习：不解方程组 求代数式
的值.
重点、难点知识★▲
运用提公因式法分解因式求代数式的值
【解题过程】
解：
当2x-y=5，5x+3y=-1时，原式=5×（-1）=-5
知识梳理
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
（1）把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解．
（2）多项式中各项都有的公共因式叫这个多项式的公因式.
（3）将多项式中的公因式提出来，写成公因式与另一个因式的积的形式，这种因式分解的方法叫提公因式法.
重难点突破
（1）判断一个式子的变形过程是否为因式分解的关键是：是否将多项式化成整式的积的形式.
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
（2）确定一个多项式的公因式的步骤是：①定系数，即确定各项系数绝对值的最大公约数；②定字母，即确定多项式中各项的相同字母；③定字母的指数，即确定各项相同字母的最小指数.注意体会整体思想，公因式中可含多项式.
（3）提公因式法分解因式的一般步骤为：①确定公因式；②提公因式并确定另一个因式；③写成整式的积的形式.
（4）提公因式法分解因式的理论依据是乘法分配律，提公因式后另一个因式不再有公因式，并且提公因式不改变原多项式的项数，可以利用整式的乘法验证因式分解是否正确．
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
选择“《提公因式法》随堂检测 ”(共27张PPT)
14.3.1 提公因式法
问题引入
如图，一块菜地被分成三部分，你能用不同的方式表示这块草坪的面积吗？
a
b
c
m
方法一：m(a+b+c)
方法二：ma+mb+mc
m(a+b+c)=ma+mb+mc
整式乘法
1.运用整式乘法法则或公式填空：
(1) m(a+b+c)= ；
(2) (x+1)(x-1)= ；
(3) (a+b)2 = .
ma+mb+mc
x2 -1
a2 +2ab+b2
2.根据等式的性质填空：
(1) ma+mb+mc=( )( )
(2) x2 -1 =( )( )
(3) a2 +2ab+b2 =( )2
m a+b+c
x+1 x-1
a+b
都是多项式化为几个整式的积的形式
比一比，这些式子有什么共同点？
因式分解
1
新知探究
定义：
把一个多项式化为几个整式的乘积的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
新知探究
x2-1 (x+1)(x-1)
因式分解
整式乘法
x2-1 = (x+1)(x-1)
等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积
想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？
是互为相反的变形，即
新知探究
例1 下列从左到右的变形中是因式分解的有( )
①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式．
典例解析
在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有 ，不是的，请说明为什么？
①
②
③
④
⑤
⑥
③
⑥
辨一辨：
am+bm+c=m(a+b)+c
24x2y=3x ·8xy
x2-1=(x+1)(x-1)
(2x+1)2=4x2+4x+1
x2+x=x2(1+ )
2x+4y+6z=2(x+2y+3z)
最后不是积的运算
因式分解的对象是多项式，
是整式乘法
每个因式必须是整式
典例解析
pa+pb+pc
多项式中各项都含有的相同因式，叫作这个多项式的公因式.
相同因式p
问题1 观察下列多项式，它们有什么共同特点？
x2＋x
相同因式x
用提公因式法分解因式
2
新知探究
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
( a+b+c )
pa+ pb +pc
p
=
新知探究
找 3x 2 – 6 xy 的公因式.
系数：最大公约数
3
字母：相同的字母
x
所以公因式是3x
指数：相同字母的最低次数
1
问题2 如何确定一个多项式的公因式？
新知探究
正确找出多项式的公因式的步骤：
3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数.
1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.
2.定字母： 字母取多项式各项中都含有的相同的字母.
新知探究
找一找:下列各多项式的公因式是什么？
3
a
a2
2(m+n)
3mn
-2xy
(1) 3x+6y
(2)ab-2ac
(3) a 2 - a 3
(4)4 (m+n) 2 +2(m+n)
(5)9 m 2n-6mn
(6)-6 x 2 y-8 xy 2
新知探究
(1) 8a3b2 + 12ab3c；
例2 把下列各式分解因式
分析：提公因式法步骤（分两步）
第一步:找出公因式；
第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积.
(2) 2a(b+c) - 3(b+c).
公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.
整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.
典例解析
解：（1） 8a3b2 + 12ab3c
=4ab2 ·2a2+4ab2 ·3bc
=4ab2(2a2+3bc)；
如果提出公因式4ab,另一个因式是否还有公式？
另一个因式将是2a2b+3b2c,
它还有公因式是b.
（2） 2a(b+c)-3(b+c)
=(b+c)(2a-3).
如何检查因式分解是否正确？
做整式乘法运算.
典例解析
因式分解：
(1)3a3c2＋12ab3c；
(2)2a(b＋c)－3(b＋c)；
(3)(a＋b)(a－b)－a－b.
针对训练
(3)原式＝(a＋b)(a－b－1)．
解：(1)原式＝3ac(a2c＋4b3)；
(2)原式＝(2a－3)(b＋c)；
典例解析
把12x2y+18xy2分解因式.
解：原式 =3xy(4x + 6y).
错误
公因式没有提尽，还可以提出公因式2
注意：公因式要提尽.
正解：原式=6xy(2x+3y).
小明的解法有误吗？
典例解析
当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1.
错误
注意：某项提出莫漏1.
解：原式 =x(3x-6y).
把3x2 - 6xy+x分解因式.
正确解：原式=3x·x-6y·x+1·x
=x(3x-6y+1)
小亮的解法有误吗？
典例解析
提出负号时括号里的项没变号
错误
把 - x2+xy-xz分解因式.
解：原式= - x(x+y-z).
注意：首项有负常提负.
正确解：原式=-(x2-xy+xz)
=-x(x-y+z)
小华的解法有误吗？
典例解析
例3 计算：
(1)39×37－13×91；
(2)29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14.
(2)原式＝20.16×(29＋72＋13－14)＝2016.
＝13×20＝260；
解：(1)原式＝3×13×37－13×91
＝13×(3×37－91)
方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便．
典例解析
例4 已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值．
∴原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28.
解：∵a＋b＝7，ab＝4，
方法总结：含a±b，ab的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用a±b和ab表示的式子，然后将a±b，ab的值整体带入即可.
典例解析
1.多项式15m3n2+5m2n-20m2n3的公因式是（ ）
A．5mn B．5m2n2 C．5m2n D ．5mn2
2.把多项式（x+2）（x-2）+（x-2）提取公因式（x-2）后，余下的部分是（ ）
A．x+1 B．2x C．x+2 D．x+3
3.下列多项式的分解因式，正确的是（ ）
A．12xyz-9x2y2=3xyz（4-3xyz）
B．3a2y-3ay+6y=3y（a2-a+2）
C．-x2+xy-xz=-x（x2+y-z）
D．a2b+5ab-b=b（a2+5a）
B
C
D
当堂练习
4.把下列各式分解因式：
(1)8 m2n+2mn=_____________；
(2)12xyz-9x2y2=_____________；
(3)p(a2 + b2 )- q(a2 + b2 )=_____________；
(4) -x3y3-x2y2-xy=_______________；
2mn(4m+1)
3xy(4z-3xy)
(a2+b2)(p-q)
-xy(x2y2+xy+1)
(5)(x-y)2+y(y-x)=_____________.
(y-x)(2y-x)
5.若9a2(x－y)2－3a(y－x)3＝M·(3a＋x－y)，则M等于_____________.
3a(x－y)2
当堂练习
6.简便计算：
(1) 1.992+1.99×0.01 ;
(2)20132+2013-20142;
(3)(-2)101+(-2)100.
(2) 原式=2013(2013+1)-20142
=2013×2014-20142=2014×(2013-2014)
=-2014．
解：(1) 原式=1.99(1.99+0.01)=3.98；
(3)原式=(-2)100 ×(-2+1) =2100 ×(-1)=-2100.
当堂练习
解：(1)2x2y+xy2=xy(2x+y)=3 ×4=12.
(2)原式=(2x+1)[(2x+1)-(2x-1)]
=(2x+1)(2x+1-2x+1)=2(2x+1).
7.(1)已知: 2x+y=4,xy=3,求代数式2x2y+xy2的值.
(2)化简求值：(2x+1)2-(2x+1)(2x-1)，其中x= .
将x= 代入上式，得
原式=4.
当堂练习
△ABC的三边长分别为a、b、c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断△ABC是等边三角形、等腰三角形还是直角三角形？并说明理由．
∴△ABC是等腰三角形．
解：整理a＋2ab＝c＋2bc得，a＋2ab－c－2bc＝0，
(a－c)＋2b(a－c)＝0，(a－c)(1＋2b)＝0，
∴a－c＝0或1＋2b＝0，
即a＝c或b＝－0.5(舍去)，
探索拓展
今天我们学了什么？
今天我们悟到什么？
今天的质疑和发现？
梳理反思
今天我们学了什么？
今天我们悟到什么？
提公因式法
因式
分解
定义
am+bm+mc=m(a+b+c)
方法
提公因式法
公式法
确定公因式的方法：三定，即定系数；定字母；定指数
分两步：
第一步找公因式；第二步提公因式
（下节课学习）
注意
1.分解因式是一种恒等变形；
2.公因式：要提尽；
3.不要漏项；
4.提负号，要注意变号
课堂小结
