(共28张PPT)
14.2.1 平方差公式
多项式与多项式是如何相乘的？
（x ＋ 3)( x＋5）
=x2
＋5x
＋3x
＋15
=x2
＋8x
＋15.
(a+b)(m+n)
=am
+an
+bm
+bn
知识回顾
面积变了吗？
a米
5米
5米
a米
(a-5)
相等吗？
平方差公式
1
新知探究
①（x ＋ 1)( x－1）；
②（m ＋ 2)( m－2）；
③（2m＋ 1)(2m－1）；
④（5y ＋ z)(5y－z）.
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
算一算：看谁算得又快又准.
新知探究
②（m＋ 2)( m－2）=m2 －22
③（2m＋ 1)( 2m－1)=4m2 － 12
④（5y ＋ z)(5y－z)= 25y2 － z2
①（x ＋1)( x－1）=x2 － 1，
想一想：这些计算结果有什么特点？
x2 － 12
m2－22
(2m)2 － 12
(5y)2 － z2
新知探究
(a+b)(a b)=
a2 b2
两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差.
公式变形:
1.（a – b ) ( a + b) = a2 – b2
2.（b + a )(–b + a ) = a2 – b2
平方差公式
知识要点
平方差公式
注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两个多项式等．
(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2
相同为a
相反为b，-b
适当交换
合理加括号
新知探究
(1+x)(1-x)
(-3+a)(-3-a)
(0.3x-1)(1+0.3x)
(1+a)(-1+a)
填一填：
a
b
a2-b2
1
x
-3
a
12-x2
(-3)2-a2
a
1
a2-12
0.3x
1
( 0.3x)2-12
(a-b)(a+b)
新知探究
练一练：口答下列各题：
(l)(-a+b)(a+b)=_________.
(2)(a-b)(b+a)= __________.
(3)(-a-b)(-a+b)= ________.
(4)(a-b)(-a-b)= _________.
a2-b2
a2-b2
b2-a2
b2-a2
新知探究
例1 计算：(1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ；
(2)（-x+2y)(-x-2y).
（2）原式＝ (-x)2 - (2y)2
＝x2 - 4y2.
解：（1）原式=(3x)2－22
=9x2－4；
典例解析
方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；
(3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式．
典例解析
利用平方差公式计算：
(1)(3x－5)(3x＋5)； (2)(－2a－b)(b－2a)；
(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)．
针对训练
解：(1)原式=(3x)2－52＝9x2－25；
(2)原式=(－2a)2－b2＝4a2－b2；
(3)原式=(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2；
典例解析
例2 计算:
(1) 102×98; (2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) .
解:（1） 102×98
（2）(y+2)(y-2)- (y-1)(y+5)
= 1002-22
=10000 – 4
=（100＋2）(100－2)
=9996；
= y2-22-(y2+4y-5)
= y2-4-y2-4y+5
= - 4y + 1.
通过合理变形，利用平方差公式，可以简化运算.
不符合平方差公式运算条件的乘法，按乘法法则进行运算.
典例解析
针对训练
计算:(1) 51×49; (2)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) .
解: (1) 原式=（50＋1）(50－1)
= 502-12
=2500 – 1
=2499；
(2) 原式=(3x)2-42-(6x2+5x-6)
= 9x2-16-6x2-5x+6
= 3x2-5x-10.
典例解析
例3 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.
原式＝5×12－5×22＝－15.
解：原式＝4x2－y2－(4y2－x2)
＝4x2－y2－4y2＋x2
＝5x2－5y2.
当x＝1，y＝2时，
典例解析
例4 对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？
即(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值是10的倍数．
解：原式＝9n2－1－(9－n2)
＝10n2－10.
∵(10n2－10)÷10=n2-1.
n为正整数，
∴n2-1为整数
典例解析
方法总结：对于平方差中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，在探究整除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简，然后根据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系．
典例解析
例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
∵a2＞a2－16，
解：李大妈吃亏了．
理由：原正方形的面积为a2，
改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16，
∴李大妈吃亏了．
典例解析
方法总结：解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简算式，解决问题．
典例解析
1.下列运算中，可用平方差公式计算的是( )
A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y)
C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y)
C
2.计算（2x+1）（2x-1）等于（ ）
A．4x2-1 B．2x2-1 C．4x-1 D．4x2+1
A
3.两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是________．
10
当堂练习
（1）(a+3b)(a- 3b)；
=4a2－9；
=4x4－y2.
原式=(2a+3)(2a-3)
=a2－9b2 ；
=(2a)2－32
原式=(-2x2 )2－y2
原式=(a)2－(3b)2
（2）(3+2a)(－3+2a)；
（3）(－2x2－y)(－2x2+y).
4.利用平方差公式计算：
当堂练习
5.计算： 20152 － 2014×2016.
解：
20152 － 2014×2016
= 20152 － (2015－1)(2015+1)
= 20152
－ （20152－12 )
= 20152
－ 20152+12
= 1
当堂练习
6.利用平方差公式计算:
（1）（a-2)(a+2)(a2 + 4)
解:原式=(a2-4)(a2+4)
=a4-16.
（2） (x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).
解：原式=（x2-y2)(x2+y2)(x4+y4)
=（x4-y4)(x4+y4)
= x8-y8.
当堂练习
7.先化简，再求值：(x＋1)(x－1)＋x2(1－x)＋x3，其中x＝2.
解：原式=x2－1＋x2－x3＋x3
=2x2－1.
将x＝2代入上式，
原式=2×22-1=7.
当堂练习
探索拓展
已知x≠1，计算：
(1＋x)(1－x)＝1－x2，
(1－x)(1＋x＋x2)＝1－x3，
(1－x)(1＋x＋x2＋x3)＝1－x4
······
(1)观察以上各式并猜想：(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝________；(n为正整数)
1－xn+1
(2)根据你的猜想计算：
①(1－2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝________；
②2＋22＋23＋…＋2n＝________(n为正整数)；
③(x－1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝________；
-63
2n＋1－2
x100－1
(3)通过以上规律请你进行下面的探索：
①(a－b)(a＋b)＝________；
②(a－b)(a2＋ab＋b2)＝________；
③(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝________．
a2－b2
a3－b3
a4－b4
探索拓展
今天我们学了什么？
今天我们悟到什么？
今天的质疑和发现？
梳理反思
今天我们学了什么？
今天我们悟到什么？
平方差公式
平方差公式
内容
注意
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差
1.符号表示：（a+b)(a-b)=a2-b2
2.紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用
课堂小结(共17张PPT)
名 师 课 件
14.2.1 平方差公式
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
（1）单项式与单项式相乘，利用乘法交换律和结合律，把它们的________________________分别相乘，其余______________________不变，一起作为_____________.
（2）单项式与多项式相乘，就是用_________去乘以____________________，再把所得的积相加.
（3）多项式与多项式相乘，就是用____________________乘_________________________，再把_________________.
系数、同底数的幂
字母连同它的指数
积的因式
单项式
多项式的每一项
一个多项式的每一项
另一个多项式的每一项
所得的积相加
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
活动1
探究一：平方差公式的推导
问题1 前面我们学习了整式的乘法，知道了多项式与多项式相乘的法则，根据所学知识，计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
回顾旧知
（1）（x+1）（x-1）=___________
（2）（m+2）（m-2）=___________
（3）（2x+1）（2x-1）=____________
x -1
m -4
4x -1
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
活动2
探究一：平方差公式的推导
追问1 上述问题中相乘的两个多项式有什么共同特点？
整合旧知
追问3 你能将发现的规律用式子表示出来吗？
追问2 相乘的两个多项式的各项与它们的积中的各项有什么关系？
追问4 你能对发现的规律进行推导吗？
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
活动1
探究二：理解平方差公式
重点、难点知识★▲
平方差公式的理解
前面我们研究的式子（a+b）（a-b）=a -b 称为平方差公式，你能将平方差公式用文字语言表述吗？
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
活动2
探究二：理解平方差公式
重点、难点知识★▲
平方差公式的代数说理和几何验证
问题2 你能验证上面你猜想的结论吗？
方法一：计算（a+b）（a-b）
方法二：请从一个边长为a的正方形纸板上剪下一个边长为b的小正方形，拼成
如左图所示的长方形，你能根据图中的面积说明你猜想的结论成立吗？
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
活动1
探究三：平方差公式的应用
例1 下列各式中，可以用平方差公式计算的是（ ）
A.（-a-b）（a+b） B.（-a-b）（a-b）
C.（-a+b）（a-b） D.（a+b）（a+b）
【解题过程】A 、C都是一个数与它的相反数的乘积，不能用平方差公式，D两个相同也不能用平方差公式，B用加法交换律和乘法交换律转化成（-b+a）（-b-a）.
【思路点拨】平方差公式的特点：把一个因式分成两部分，与另一个因式比较，一部分完全相同，另一部分互为相反数
B
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
活动1
探究三：平方差公式的应用
针对练习
下列各式相乘①（2a-3b）（3b-2a）②（-2a+3b）（2a+3b）③（-2a+3b）（-2a-3b）④（2a+3b）（2a-3b）⑤（-2a-3b）（2a-3b）能用平方差公式计算的有( )
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
【思路点拨】
平方差公式的特点：把一个因式分成两部分，与另一个因式比较，一部分完全相同，另一部分互为相反数.
B
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
活动2
探究三：平方差公式的应用
例2 (1)(3x＋2 )( 3x－2 ) (2) (－x+2y) (－x－2y)
思考：你知道运用平方差公式要做到哪几步吗？公式中的a和b分别是什么？
【解题过程】
解：（1）(3x+2)(3x-2)=(3x) -2 =9x -4
（2）(-x+2y)(-x-2y)=(-x) -(2y) =x -4y
【思路点拨】
先观察式子，是否符合平方差的结构特征．
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
活动2
探究三：平方差公式的应用
针对练习 (b+2a)(2a－b)
【解题过程】
解：（b+2a）（2a-b）=（2a） -b =4a -b
【思路点拨】
先观察式子，是否符合平方差的结构特征，需要用加法交换律对式子进行变形，然后运用平方差公式计算．
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
活动3
探究三：平方差公式的应用
例3 （1）102×98=_______ （2）
【解题过程】
解：(1)原式=(100+2)(100-2)=100 -2 =10000-4=9996
(2)原式=(a -b )(a +b )=a4-b4
【思路点拨】
观察式子特点与平方差公式结构的联系，然后对式子进行变形，运用平方差公式计算．
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
活动3
探究三：平方差公式的应用
针对练习（1）47×53 （2）(x+1)(x-1)(x +1)(x4+1)
【解题过程】
解：(1)原式=(50-3)(50+3)=50 -3 =2500-9=2491
(2)原式=(x -1)(x +1)(x4+1)= (x4-1) (x4+1)= x8-1
【思路点拨】
观察式子特点与平方差公式结构的联系，然后对式子进行变形，运用平方差公式计算．
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
活动4
探究三：平方差公式的应用
例4 身边的数学
一千克苹果4.9元，小明的妈妈买了5.1千克的苹果，你能帮她算一算，一共要付多少钱吗？
【解题过程】4.9×5.1=（5-0.1）（5+0.1）=24.99（元）
【思路点拨】
观察算式特点与平方差公式结构的联系，然后对式子进行变形，巩固平方差公式的运用.
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
活动4
探究三：平方差公式的应用
针对训练:
八年级一班要订购一批校服，老师说：“我们班有58名学生，每套校服62元，谁能帮老师算一算，一共要准备多少钱？这个问题你会用我们今天学习的知识解决了吗？
【解题过程】
解：58×62=（60-2）（60+2）=3600-4=3596（元）
【思路点拨】
观察算式特点与平方差公式结构的联系，然后对式子进行变形，巩固平方差公式的运用.
知识梳理
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
（1）会推导平方差公式：
两数和乘以两数差等于两数的平方差
符号表示：（a+b）（a-b）=a -b
（2）理解平方差公式结构特征：
左边（两数和乘以两数差）右边（两数的平方差）
（3）会用平方差公式进行计算.
重难点突破
（1）平方差公式的推导和应用.
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
（2）理解平方差公式的结构特征.
（3） 灵活运用平方差公式：①公式中的a、b既可以代表数，也可以代表式；②要符合公式的结构特征才能运用平方差公式；③有些多项式的乘法表面上不能运用公式，但经过变形后能运用公式.变形方法：一变相同部分，二找相反部分.
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
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