(共17张PPT)
14.1.2-14.1.3 幂的乘方、积的乘方
同底数幂乘法法则：
文字语言：同底数幂相乘，底数 ，指数 .
符号语言： （m、n 都是正整数）.
回顾旧知
探究一：探究幂的乘方法则
活动1
幂的乘方的意义：
（1）(23)2=23×23（根据乘方的意义）=23+3（根据同底数幂的乘法法则）=26
类比填空：
(a4)3= （根据乘方的意义）
= （根据同底数幂的乘法法则）= .
(am)n= （根据乘方的意义）
= （根据同底数幂的乘法法则）= .
活动2
整合旧知，探究幂的乘方法则
观察上面几个题目的答案，小组讨论你发现了什么？
(23)2=26 (a4)3=a12 (am)n= amn
探究一：探究幂的乘方法则
文字语言：幂的乘方，底数 ，指数 .
符号语言： （m、n 都是正整数）
幂的乘方的运算法则：
不变
相乘
活动1
提问：（1）同底数幂的乘法法则是什么？
（2）幂的乘方法则是什么？
（3）(ab)3=ab·ab·ab
探究二：探究积的乘方的法则
回顾旧知
重点知识★
活动2
整合旧知，探究积的乘方法则
=(a·a·a )(b·b·b)
=a3b3
（4）(ab)n=ab·ab·ab· ··· ·ab
=(a·a·a·…·a)(b·b·b · ··· · b)
观察上面的问题，你发现什么？
这一步的依据是什么？
这一步的依据又是什么？
这一步的依据是什么？
这一步的依据又是什么？
活动2
文字语言：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘
符号语言： （n 是正整数）
探究二：探究积的乘方的法则
重点知识★
整合旧知，探究积的乘方法则
积的乘方的法则：
活动1
幂的乘方与同底数幂乘法的混合运算
探究三：积的乘方、同底数幂的乘法、幂的乘方的运用
例1. 计算
（1）(a5)3 ; （2）－m2 ·(－m)4 ·[ (－m)5 ]2 ;
（3）(a2)3 +(a3)2 －3a · a5 .
解：（1）(a5)3 = a5×3=a15
重点、难点知识★▲
（2）－m2 ·(－m)4 ·[ (－m)5 ]2
= －m2 · m4·(－m)10
= －m2 · m4 · m10
=－m2+4+10
=－m16
（3）(a2)3 +(a3)2 －3a·a5
= a6+a6－3a6
=﹣a6
活动1
探究三：积的乘方、同底数幂的乘法、幂的乘方的运用
【思路点拨】
第（1）题直接用幂的乘方法则即可解.
第（2）题需要注意符号问题，先用幂的乘方，然后用同底数幂的乘法法则.
第（3）题是幂的乘方和合并同类项的知识的考查.
重点、难点知识★▲
幂的乘方与同底数幂乘法的混合运算
活动1
探究三：积的乘方、同底数幂的乘法、幂的乘方的运用
【思路点拨】
对于这组题目必须将同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则弄清楚，辨清它们的特征和适用的条件：
同底数幂的乘法法则：
文字语言：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
符号语言：am an=am+n（m、n 都是正整数）
幂的乘方的运算法则：
符号语言：(am)n=amn(m，n是正整数)
文字语言：幂的乘方，底数不变，指数相乘.
重点、难点知识★▲
幂的乘方与同底数幂乘法的混合运算
探究三：积的乘方、同底数幂的乘法、幂的乘方的运用
练习：计算
（1）(n5)3； （2）－ x2 (－x)4 [ (－x)5 ]4；
（3）2(n2)3 +3(n3)2 －3n n5.
重点、难点知识★▲
解：（1）(n5)3 = n5×3=n15
（2）－x2 (－x)4 [ (－x)5 ]4
= －x2 x4 (－x)20
= －x2 x4 x20
=－x2+4+20
=－x26
（3）2(n2)3 +3(n3)2 －3n n5
=2n6+3n6－3n6
=2n6
活动2
积的乘方法则运用
探究三：积的乘方、同底数幂的乘法、幂的乘方的运用
例2. 计算
（1）(2a)3； （2）(－5b)3；
（3）(3m2n)2 (－2m2)4 (－n2)5；
（4）(－3a3)2 －3a5 a－(－2a2)3 .
【思路点拨】积的乘方法则、幂的乘方、同底数幂的法则的混合运算，此类题目关键是注意法则的适用条件和法则的区别，以及运算顺序和符号的确定．
重点、难点知识★▲
解：（1）(2a)3= 8a3
（2）(－5b)3 =－125b3
（3）(3m2n)2 (－2m2)4 (－n2)5
=9m4n2 16m8 (－n10)
=－144m12n12
（4）(－3a3)2 －3a5 a－(－2a2)3
=9a6－3a6+8a6
=14a6
活动3
探究三：积的乘方、同底数幂的乘法、幂的乘方的运用
例3 .（1）已知am =2，an =3，求a2m+3n 的值.
（2）已知a =255， b =344，c =433. 比较a，b，c的大小.
（3）计算（－0.125）2017×82017
重点、难点知识★▲
幂的乘方、积的乘方的逆用
解：（1）a2m+3n
= a2m a3n
= (am)2 (an)3
= 22×33
= 108.
（2）a =255 = (25 )11=3211
b =344 = (34 )11=8111
c =433= (43 )11=6411
∵81>64>32
∴8111>6411>3211
即： b>c >a.
活动3
探究三：积的乘方、同底数幂的乘法、幂的乘方的运用
例3 .（1）已知am =2，an =3，求a2m+3n 的值.
（2）已知a =255， b =344，c =433. 比较a，b，c的大小.
（3）计算（－0.125）2017×82017
重点、难点知识★▲
幂的乘方、积的乘方的逆用
（3）（－0.125）2017×82017
=（－0.125×8）2017
=（－1）2017
=－1
【思路点拨】
幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法的逆用．
探究三：积的乘方、同底数幂的乘法、幂的乘方的运用
重点、难点知识★▲
练习：（1）已知am =5，an =2，求a2m+3n 的值.
（2）计算（－0.5）2017×22016
解：（1）a2m+3n
= a2m a3n
= (am)2 (an)3
= 52×23
= 200.
（3）（－0.5）2017×22016
=（－0.5×2）2016×（﹣0.5）
=（－1）2016×（﹣0.5）
=1×（﹣0.5）
=﹣0.5 .
【思路点拨】幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法的逆用．
（1）同底数幂的乘法法则：
文字语言：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
符号语言：am an=am+n（m、n 都是正整数）
（2）幂的乘方的运算法则：
符号语言：(am)n=amn(m，n是正整数)
文字语言：幂的乘方，底数不变，指数相乘.
（3）积的乘方的法则：
符号语言：(ab)n=anbn(n是正整数)
文字语言：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
（1）同底数幂的乘法与幂的乘方法则的区别.
（2）积的乘方、同底数幂的乘法、幂的乘方的综合运用以及法则的逆用.
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14.1 整式的乘法 （第2、3课时）
内容分析：
本课是在学生已经学习了同底数幂乘法的性质的基
础上，进一步研究幂的乘方与积的乘方这两个幂的
运算性质，它们都是后续学习整式乘法的基础．
学习目标：
1．理解幂的乘方与积的乘方性质的推导根据．
2．会运用幂的乘方与积的乘方性质进行计算．
3．在类比同底数幂的乘法性质学习幂的乘方与积的
乘方性质时，体会三者的联系和区别及类比、归
纳的思想方法．
学习重点：
幂的乘方与积的乘方的性质．
创设情境，导入新知
解：
答：这个铁盒的容积是a6 ．
问题1 有一个边长为a2 的正方体铁盒，这个铁盒
的容积是多少？
观察计算结果，你能发现什么规律？
创设情境，导入新知
问题2 根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空:
（1）
（2）
（3） （m是正整数）．
细心观察，归纳总结
对于任意底数a 与任意正整数m ，n， ？
（ m ，n都是正整数）
多重乘方可以重复运用上述法则：
细心观察，归纳总结
（m ，n 都是正整数）．
幂的乘方，底数不变，指数相乘．
幂的乘方性质：
（p是正整数）．
动脑思考，例题解析
解: （1）
（2）
（3）
（4）
例1 计算：
（1） （2） （3） （4）
动脑思考，变式训练
练习 计算下列各题：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
动脑思考，例题解析
解：因为 ,
又 25=52，
所以 ,
故 ．
例2 已知： ，求 的值．
解：
创设情境，导入新知
答：所得的铁盒的容积是 ．
问题3 一个边长为a 的正方体铁盒，现将它的边
长变为原来的b 倍，所得的铁盒的容积是多少？
你能发现有何运算规律吗？
积的乘方:
问题4 根据乘方的意义和乘法的运算律，计算：
（n是正整数）．
动手操作，得出性质
（n是正整数）．
当n 是正整数时，三个或三个以上因式的积的乘
方，也具有这一性质吗？
归纳总结
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再
把所得的幂相乘．
推广：
能用文字语言概述你发现的积的乘方运算规律吗？
动脑思考，例题解析
解: （1）
（2）
（3）
（4）
例3 计算：
（1） （2）
（3） （4）
动脑思考，变式训练
练习 计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
动脑思考，变式训练
解： ∵
∴
即
例4 若 比较a、b、c 的大小．
（1）本节课学习了哪些主要内容？
（2）幂的三个运算性质是什么？它们有什么区别和
联系？
归纳小结
教材第102页第1、2题．
布置作业(共22张PPT)
14.1.2 幂的乘方
地球、木星、太阳可以近似地看作是球体 .木星、太阳的半径分别约是地球的10倍和102倍，它们的体积分别约是地球的多少倍？
V球= —πr3 ，
其中V是体积、r是球的半径
3
4
情境导入
10
103
＝边长2
＝边长×边长
S正
问题1：请分别求出下列两个正方形的面积？
S小
＝10×10
＝102
＝103×103
S正
=（103）2
=
106
=
106
幂的乘方
新知探究
问题2：请根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空，
观察计算的结果，你能发现什么规律？
(32)3= ___ ×___ ×___
=3（ ）+（ ）+（ ）
=3（ ）×（ ）
=3（ ）
32
32
32
2
2
2
2
3
6
猜想：(am)n=_____.
amn
新知探究
证明：
(am)n
n个am
n个m
(am)n= amn（m，n都是正整数）
即幂的乘方，底数______，指数＿__＿.
不变
相乘
新知探究
计算：
（1）（103）5 ；
解: (1) (103)5 = 103×5 = 1015.
(2) (a4)4 = a4×4 = a16.
(3) (am)2 =am·2=a2m.
（3）（am）2；
（2）（a4）4；
（4）-（x4）3；
(4) -(x4)3 =-x4×3=-x12.
（6） [(﹣x)4]3.
（5） [(x+y)2]3；
(5)[(x+y)2]3= (x+y)2×3 =(x+y)6.
(6)[(﹣x)4]3= (﹣x)4×3 = (﹣x)12 = x12.
例1
典例解析
运用幂的乘方法则进行计算时，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆.
在幂的乘方中，底数可以是单项式，也可以是多项式．
方法总结
典例解析
(-a5)2表示2个-a5相乘，其结果不带符号.
思考：
(-a2)5和(-a5)2的结果相同吗 为什么
不相同.理由如下：
(-a2)5表示5个-a2相乘，其结果带有负号；
n为偶数
n为奇数
新知探究
思考：下面这道题该怎么进行计算呢？
＝(a6)4
=a24
（ m，n，p都是正整数）
想一想： 等于什么？
[(y5)2]2=______=______；
[(x5)m]n=______=______.
练一练：
(y10)2
y20
(x5m)n
x5mn
新知探究
计算：
(1) (x4)3·x6;
(2) a2(－a)2(－a2)3＋a10.
解: (1) (x4)3·x6
(2) a2(－a)2(－a2)3＋a10
= -a2·a2·a6＋a10
= -a10＋a10 = 0.
先乘方，再乘除
先乘方，再乘除，最后加减
=x12·x6= x18.
解题技巧：与幂的乘方有关的混合运算中，一般先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法，最后算加减，然后合并同类项．
例2
典例解析
已知10m＝3，10n＝2，求下列各式的值.
(1)103m； (2)102n； (3)103m＋2n．
解：(1)103m＝(10m)3＝33＝27.
(2)102n＝(10n)2＝22＝4.
(3)103m＋2n＝103m×102n＝27×4＝108.
解题技巧：此类题的关键是逆用幂的乘方及同底数幂的乘法公式，将所求代数式正确变形，然后代入已知条件求值即可.
例3
典例解析
(1)已知x2n＝3，求(x3n)4的值；
(2)已知2x＋5y－3＝0，求4x·32y的值．
解：(1) (x3n)4＝x12n＝(x2n)6＝36＝729.
(2) ∵2x＋5y－3＝0，
∴2x＋5y＝3，
∴4x·32y＝(22)x·(25)y＝22x·25y＝22x＋5y＝23＝8.
【变式】
典例解析
比较3500，4400，5300的大小.
解析：这三个幂的底数不同，指数也不相同，不能直接比较大小.通过观察，发现指数都是100的倍数，故可以考虑逆用幂的乘方法则.
解：3500=(35)100=243100，
4400=(44)100=256100，
5300=(53)100=125100.
∵256100>243100>125100，
∴4400>3500>5300.
例4
典例解析
▼比较底数大于1的幂的大小的方法有两种：
(1)底数相同，指数越大，幂就越大；
(2)指数相同，底数越大，幂就越大.
在此类题中，一般先观察题目所给数据的特点，将其转化为同底数的幂或同指数的幂，再进行大小比较.
方法总结
典例解析
1．(x4)2等于 ( )
A．x6 B．x8
C．x16 D．2x4
B
2.下列各式的括号内，应填入b4的是( )
A．b12＝( )8 B．b12＝( )6
C．b12＝( )3 D．b12＝( )2
C
当堂练习
3．下列计算中，错误的是( )
A．[(a＋b)2]3＝(a＋b)6
B．[(a＋b)2]5＝(a＋b)7
C．[(a－b)3]n＝(a－b)3n
D．[(a－b)3]2＝(a－b)6
B
4．如果(9n)2＝312，那么n的值是( )
A．4 B．3
C．2 D．1
B
当堂练习
5．计算：
(1)(102)8；
(2)(xm)2；
(3)[(－a)3]5；
(4)－(x2)m.
解：(1)(102)8＝1016.
(2)(xm)2＝x2m.
(3)[(－a)3]5＝(－a)15＝－a15.
(4)－(x2)m＝－x2m.
当堂练习
6．计算：
(1)5(a3)4－13(a6)2；
(2)7x4·x5·(－x)7＋5(x4)4－(x8)2；
(3)[(x＋y)3]6＋[－(x＋y)2]9.
解：(1)原式＝5a12－13a12＝－8a12.
(2)原式＝－7x9·x7＋5x16－x16＝－3x16.
(3)原式＝(x＋y)18－(x＋y)18＝0.
当堂练习
7.已知3x+4y-5=0，求27x·81y的值.
解：∵3x+4y-5=0，
∴3x+4y=5，
∴27x·81y=(33)x·(34)y
=33x·34y
=33x+4y
=35
=243.
当堂练习
8.已知a=355，b=444，c=533，试比较a，b，c的大小.
解：a=355=(35)11=24311，
b=444=(44)11=25611，
c=533=(53)11=12511.
∵256>243>125，
∴b>a>c.
当堂练习
今天我们学了什么？
今天我们悟到什么？
今天的质疑和发现？
梳理反思
今天我们学了什么？
今天我们悟到什么？
幂的乘方
幂的乘方
法则
（am）n=amn (m，n都是正整数）
注意
幂的乘方，底数不变，指数相乘
幂的乘方与同底数幂的乘法的区别：(am)n=amn；am﹒an=am+n
幂的乘方法则的逆用：
amn=(am)n=(an)m
课堂小结
