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15.2.1 分式的乘除
第一课时
活动1
探究一：探索分式的乘除法法则
问题２：大拖拉机m天耕地a hm2 , 小拖拉机n天耕地b hm2 , 大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍
问题１：一个水平放置的长方体容器，其容积为V，底面的长为a，宽为b，当容器内的水占容积的 时，水面的高度为多少？
出示两个问题
活动2
探究一：探索分式的乘除法法则
整合旧知,探究新知
观察下列运算：
猜一猜： ？ ？
活动1
探究二：理解并掌握分式的乘除法法则
重点、难点知识 ★▲
经过观察、类比不难发现：
大胆猜想 探究新知识
活动2
请同学们以小组为单位，再次举例探究．
集思广益，寻找方法
活动3
你能归纳总结出分式的乘除法法则吗？
反思过程，发现结论
活动4
探究二：理解并掌握分式的乘除法法则
重点、难点知识 ★▲
分式的乘法法则：
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为： ．
多元思维，重新认识
分式的除法法则：
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用式子表示为： ．
运用分式的乘除法法则进行简单的计算
活动1
探究三：运用法则进行计算，解决与分式乘除运算有关的简单实际问题
重点、难点知识 ★▲
例1. 计算：（1） （2）
【思路点拨】
牢记分式的乘除法法则，约去分子、分母中相同因式的最低次幂，注意系数也要约分．
解：（1）根据分式的乘法法则，
（2）根据分式的除法法则，
运用分式的乘除法法则进行简单的计算
活动1
探究三：运用法则进行计算，解决与分式乘除运算有关的简单实际问题
重点、难点知识 ★▲
解：（1）根据分式的乘法法则，
（2）根据分式的除法法则，
练习1. 计算：（1） （2）
运用分式的乘除法法则进行简单的计算
活动1
探究三：运用法则进行计算，解决与分式乘除运算有关的简单实际问题
重点、难点知识 ★▲
【思路点拨】当分子、分母是多项式时 , 通常先分解因式 , 再约分.
解：（1）根据分式的乘法法则，
（2）根据分式的除法法则，
例2. 计算：（1） （2）
运用分式的乘除法法则进行简单的计算
活动1
探究三：运用法则进行计算，解决与分式乘除运算有关的简单实际问题
重点、难点知识 ★▲
解：（1）根据分式的乘法法则，
（2）根据分式的除法法则，
练习2. 计算：（1） （2）
解决简单的实际问题
活动2
探究三：运用法则进行计算，解决与分式乘除运算有关的简单实际问题
重点、难点知识 ★▲
例3：如图 ,“丰收1号”小麦的试验田是边长为a m (a＞1)的正方形去掉一个边长为1 m的正方形蓄水池后余下的部分 ,“丰收2号”小麦的试验田是边长为 (a－1) m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500 kg．
（1）哪种小麦的单位面积产量高？
（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
解决简单的实际问题
活动2
探究三：运用法则进行计算，解决与分式乘除运算有关的简单实际问题
重点、难点知识 ★▲
解：（1）“丰收1号”小麦的试验田面积是(a2-1)m2，单位面积产量是 kg/m2；“丰收2号”小麦的试验田面积是(a-1)2 m2，单位面积产量是 kg/m2．
∵a>１，
∴(a-1)2>0，a2-1>0．由图可得(a-1)2 < a2-1
∴ < ，
∴“丰收2号”小麦的单位面积产量高．
（2）
所以，“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的 倍．
解决简单的实际问题
活动2
探究三：运用法则进行计算，解决与分式乘除运算有关的简单实际问题
重点、难点知识 ★▲
【思路点拨】
（1）在实际问题中比较两个分式的大小时，当分子相同，只需要比较分母的大小就可以了；（2）牢记分式的除法法则．
解决简单的实际问题
活动2
探究三：运用法则进行计算，解决与分式乘除运算有关的简单实际问题
重点、难点知识 ★▲
练习3：夏天到了，人们都喜欢吃西瓜．购买西瓜时，西瓜的质量越大则花费的钱越多，所以人们都希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好．假如我们把一个西瓜看成球形，并把西瓜瓤的密度看成是均匀的，西瓜的皮厚都是d，已知球的体积公式为 (其中R为球的半径)，那么：
(1)西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少？
(2)西瓜瓤占整个西瓜的体积的比是多少？
解决简单的实际问题
活动2
探究三：运用法则进行计算，解决与分式乘除运算有关的简单实际问题
重点、难点知识 ★▲
(2) 西瓜瓤占整个西瓜的体积的比是
解：(1)西瓜瓤的体积是 ，整个西瓜的体积是 ；
【思路点拨】牢记分式的除法法则．
活动3
探究三：运用法则进行计算，解决与分式乘除运算有关的简单实际问题
重点、难点知识 ★▲
例4：已知 ，则 的值是 ．
解：根据非负数的性质，
∵ ，
∴x-3=0，y-2=0，
可以得到x=3，y=2．
根据分式的乘法法则可得 ，
再把x、y的值代入化简后的分式得 ．
【思路点拨】理解并运用非负数的性质和分式的乘除法法则．
活动3
探究三：运用法则进行计算，解决与分式乘除运算有关的简单实际问题
重点、难点知识 ★▲
练习4：已知 ，则 的值是 ．
解：根据非负数的性质，
∵ ，
∴a-2=0，b-4=0，可以得到a=2，b=4．
根据分式的乘法法则可得
，
再把x、y的值代入化简后的分式得 ．
（1）分式的乘法法则：
分式乘分式，用 作为积的 ， 作为积的 ．
用式子表示为：
（2）分式的除法法则：
分式除以分式，把除式的分子、分母 后，与被除式 ．
用式子表示为：
分子的积
分子
分母的积
分母
颠倒位置
相乘
（1）理解并掌握分式的乘除法法则．
（2）合理运用法则进行分式的乘除运算．
（3）当分子和分母为多项式时的分式乘除法运算．
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15.2.1 分式的乘除
第1课时 分式的乘除
问题1 一个长方体容器的容积为V,底面的长为a,宽为b,当容器内的水占容积的 时,水高多少
长方体容器的高为 ,
水高为
情境引入
问题2 大拖拉机m天耕地a公顷,小拖拉机n天耕地b公顷,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍
大拖拉机的工作效率是 公顷/天,小拖拉机的工作效率是 公顷/天,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的( )倍.
情境引入
想一想：
填空：
分式的乘除
1
类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则吗？
新知探究
类似于分数，分式有：
乘法法则：
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.
除法法则：
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.
上述法则用式子表示为：
新知探究
例1 计算:
解：
注意：按照法则进行分式乘除运算，如果运算结果不是最简分式，一定要进行约分，使运算结果化成最简分式.
先把除法转化为乘法
约分
典例解析
解：（1）原式
（2）原式
（1）
（2）
做一做：
典例解析
方法总结：分子和分母都是单项式的分式的乘法，直接按“分子乘分子，分母乘分母”进行运算，其运算步骤为：
(1)符号运算；
(2)按分式的乘法法则运算．
典例解析
例2 计算：
解：原式=
分子、分母是多项式时，先分解因式 便于约分.
约分
典例解析
解：原式=
先把除法转化为乘法.
整式与分式运算时，可以把整式看成分母是1的分式．
负号怎么得来的？
典例解析
(1)
解：原式
做一做：
典例解析
解：原式
(2)
典例解析
1.分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，可先约去分子、分母的公因式，再按照法则进行计算.
2.分子或分母是多项式的按以下方法进行：
①将原分式中含同一字母的各多项式按降幂(或升幂)排列；在乘除过程中遇到整式则视其为分母为1，分子为这个整式的分式；
②把各分式中分子或分母里的多项式分解因式；
③应用分式乘除法法则进行运算；(注意:结果为最简分式或整式．)
分式乘除法的解题步骤
要点归纳
例3 若x＝1999，y＝－2000，你能求出分式
的值吗
当x＝1999，y＝－2000时，得
典例解析
做一做：
当x＝2时，原式= .
思考：本题中，x的取值不能为哪些数？
方法总结：根据分式乘除法法则将代数式先进行计算化简，再代入求值.同时注意字母的取值要使分数有意义！
典例解析
例4 “丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的正方形减去一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a－1）米的正方形，两块试验田的小麦都收获了500千克.
（1）哪种小麦的单位面
积产量高？
（2）高的单位面积产量
是低的单位面积产量的
多少倍？
1m
am
（a-1）m
典例解析
am
1m
（a-1）m
∵ a＞1, ∴（a-1）2 >0 , a 2-1>0，
由图可得（a-1）2＜ a 2-1.
∴
解：（1）“丰收1号”小麦的试验田面积是（a 2-1）m2，单位面积产量是 kg/m2；“丰收2号”小麦的试验田面积是（a－1）2m2，单位面积产量是 kg/m2.
∴“丰收2号”小麦的单位面积产量高.
典例解析
（2）
所以 “丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的 倍.
典例解析
一条船往返于水路相距100 km的A,B两地之间，已知水流的速度是每小时2 km，船在静水中的速度是每小时x km（x>2），那么船在往返一次过程中，顺流航行的时间与逆流航行的时间比是______.
【解析】顺流速度为（x+2）km/h，逆流速度为
（x-2）km/h，由题意得 .
做一做：
典例解析
1.计算 等于（ ）
A. B. C. D.
C
2.化简 的结果是（ ）
B
当堂练习
3.下列计算对吗？若不对，要怎样改正？
对
当堂练习
4.老王家种植两块正方形土地，边长分别为a米和b米(a≠b)，老李家种植一块长方形土地，长为2a米，宽为b米．他们种的都是花生，并且总产量相同，试问老王家种植的花生单位面积产量是老李家种植的单位面积产量的多少倍？
解：设花生的总产量是1，则
当堂练习
解：（1）原式
（1）
（2）
5.计算：
（2）原式
当堂练习
解析：利用分式的乘法法则先进行计算化简，然后代入求值．
6.先化简，再求值：
当堂练习
解析：将除法转化为乘法后约分化简，然后代入求值．
当堂练习
今天我们学了什么？
今天我们悟到什么？
今天的质疑和发现？
梳理反思
今天我们学了什么？
今天我们悟到什么？
分式的乘除
分式乘除运算
乘除法运算
注意
(1)分子分母是单项式的，先按法则进行，再约分化成最简分式或整式
除法先转化成乘法，再按照乘法法则进行运算
(2)分子分母是多项式的，通常要先分解因式再按法则进行
(3)运用法则时要注意符号的变化
课堂小结
