2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册7.1.1数系的扩充和复数的概念课件（16张ppt）

(共16张PPT)
第七章 复 数
7.1 复数的概念
7.1.1 数系的扩充和复数的概念
我们知道，对于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0，当△=b2-4ac<0时没有实数根. 因此，在研究代数方程的过程中，如果限于实数集，有些问题就无法解决. 事实上，数学家在研究解方程问题时早就遇到了负实数的开平方问题，但他们一直在回避. 到16世纪，数学家在研究实系数一元三次方程的求根公式时，再也无法回避这个问题了，于是开始尝试解决. 在解决这个问题的过程中，数学家们遇到了许多困扰，例如负实数到底能不能开平方 如何开平方 负实数开平方的意义是什么 等等.
本章我们将体会数学家排除这些困扰的思想，通过解方程等具体问题，感受引入复数的必要性，了 解从实数系到复数系的扩充过程和方法，研究复数的表示、运算及其几何意义，体会“数”与“形”的融合，感受人类理性思维在数系扩充中的作用.
3-5=？
3÷5=？
边长为1的正方形的对角线长
？
？
解方程x2+1=0
探究 我们知道，方程x2+1=0在实数集中无解，联系从自然数集到实数集的扩充过程，你能给出一种方法，适当扩充实数集，使这个方程有解吗？
数系的扩充：
引入一个新的数集
依照数集扩充的这种思想，为了解决x2+1=0这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使得x=i 是方程x2+1=0的解，此时 i2=-1 .
引入新数i后，我们希望i和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满足交换律、结合律，以及乘法对加法的分配律，故此可得
把实数b与i相乘，结果记作bi；把实数a与bi相加，结果记作a+bi .
这样所有实数以及i都可写成a+bi (a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中，我们把形如a+bi (a,b∈R)的数叫做复数，由这些数组成的数集叫做复数集.
i是数学家欧拉最早引入的，它取自imaginary
(想象的，假设的)一词的词头，i2=i·i.
复数的概念：
我们把形如a+bi (a, b∈R)的数叫做复数，其中 i 叫做虚数单位. 全体复数所构成的集合C={a+bi |a, b∈R}叫做复数集.
复数通常用字母z表示，即z=a+bi (a, b∈R)，以后不作特殊说明时，复数z=a+bi 中都有a, b∈R，其中把实数a叫做复数z的实部，把实数b叫做复数z的虚部.
在复数集C={a+bi |a, b∈R}中任取两个数a+bi，c+di (a,b,c,d∈R)，我们规定：
1. 复数的概念
2. 复数的代数形式
3. 复数相等
4. 复数的分类
对于复数a+bi (a, b∈R)，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数(imaginary number)； 当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数.
复数集
虚数集
纯虚数集
实数集
思考 复数集C与实数集R之间有什么关系？
显然，实数集R是复数集C的真子集，即R C. 这样，复数z=a+bi (a, b∈R)可以分类如下：
复数
实数(b=0)
虚数(b≠0)
纯虚数
(a=0, b≠0)
非纯虚数
(a≠0, b≠0)
复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用韦恩图表示(如右图所示).
练习
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说出下列复数的实部和虚部：
练习
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2. 指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数. 为什么？
3. 求满足下列条件的实数x，y的值.
练习
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1. 设复数z=a+bi (a, b∈R)时，一定要有a, b∈R，否则不能说实部为a，虚部为b；
2. 虚部是复数代数形式中i的实数系数，不含i，不能说虚部为bi；
3. 复数不能比较大小，若两个复数可以比较大小，则这两个复数必定都是实数；
注意：
例1 当实数m取什么值时，复数 z=m+1+(m-1)i 是下列数？
（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.
B
D
变式训练：
1. 已知复数(m2- 5m+6)+ (m2 - 3m)i(m∈R)是纯虚数，其中i是虛数单位，则实数m的值是( )
A. 3 B. 2 C. 2或3 D. 0或2或3
2. 若z=a+(a2-1)i(a∈R， i为需数单位)为实数，则a的值为( )
A. 0 B. 1 C. -1 D. 1或-1
2. 若z1=-3-4i, z2=(n2-3m-1)+(n2-m-6)i(m, n∈R), 且z1=z2, 则m+n的值为( )
A. -4 B. 0 C. 0或-4 D. 0或2
3. 若复数z=m2-1+(m2-m-2)i为实数，则实数m的值为( )
A. -1 B. 2 C. -1或2 D. 1或-2
1. 若复数z=ai2-bi(a, b∈R)是纯虚数，则一定有( )
A. b=0 B. a=0且b≠0 C. a=0或b=0 D. ab≠0
课堂检测：
B
C
C
小结:
1. 复数：z＝a＋bi(a，b∈R)
2. 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系：
复数集
虚数集
纯虚数集
实数集
作业：
课本P73习题7.1第1~3题