2021-2022学年安徽省阜阳实验中学九年级（上）12月月考数学试卷(word解析版)

2021-2022学年安徽省阜阳实验中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）
一．选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）的倒数是　　
A．2021 B． C． D．
2．（4分）如图所示放置的几何体，它的俯视图是　　
A． B． C． D．
3．（4分）下列计算正确的是　　
A． B．
C． D．
4．（4分）2021年5月22日，中国工程院院士袁隆平在长沙不幸逝世．这位“共和国勋章获得者”的最大贡献是杂交水稻技术．2020年我国水稻种植面积4.5亿亩，其中左右是杂交水稻，则杂交水稻种植面积用科学记数法表示约为　　
A．亩 B．亩 C．亩 D．亩
5．（4分）某班30名学生的身高情况如下表
身高 1.45 1.48 1.50 1.53 1.56 1.60
人数 6 8 5 4
关于身高的统计量中，不随、的变化而变化的有　　
A．众数，中位数 B．中位数，方差 C．平均数，方差 D．平均数，众数
6．（4分）受新冠影响，某股份有限公司在2021年3月份销售口罩的核心材料熔喷无纺布的收入为2.88万元，而在1月份的销售收入仅为2万元，那么该股份有限公司在2021年第一季度的销售收入月平均增长率为　　
A． B． C． D．
7．（4分）已知直线与抛物线在坐标系中如图所示，和是方程的两个根，且，则函数在坐标系中的图象大致为　　
A． B．
C． D．
8．（4分）除了圆以外，最简单的定宽曲线叫做莱洛三角形．即以一个等边三角形的3个顶点为圆心，边长为半径，作各内角所对应的圆弧，擦去原来的等边三角形，剩下的图形就是莱洛三角形，也叫曲边三角形或弧三角形，莱洛三角形是根据十九世纪德国工程师FranzReuleaux的名字命名的．已知一个莱洛三角形的周长是π，则这个莱洛三角形的面积为（　　）
A． B． C． D．
9．（4分）如图，的顶点在轴上，横坐标相等的顶点、分别在与图象上，则的面积为　　
A． B． C． D．
10．（4分）如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到△的位置，点、分别落在点、处，点在轴上，再将△绕点顺时针旋转到△的位置，点在轴上，将△绕点顺时针旋转到△的位置，点在轴上，依次进行下去，若点，，，则点的横坐标为　　
A．5 B．12 C．10070 D．10080
二、填空题（每小题5分，共20分）.
11．（5分）因式分解：　　．
12．（5分）从1，2，3，4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为，，则关于的一元二次方程有实数根的概率为　　．
13．（5分）如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的在格点上，则的正弦值为 　　．
14．（5分）正方形的边长为8，点、分别在边、上，将正方形沿折叠，使点落在处，点落在点处，交于．以下结论：
①当为中点时，△三边之比为；
②图当△三边之比为时，为中点；
③当在上移动时，△周长不变；
④当在上移动时，始终有．
其中正确的有 　　（写出所有正确结论的序号）
三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：．
16．（8分）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形按此规律排列下去，解答下列问题：
（1）填写下列表格：
图序 ① ② ③ ④
黑色三角形个数 1 3 6 　　 　　
（2）若第个图案中黑色三角形的个数有91个，求的值．
四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）《九章算术》中记载这样一道问题．
原文：“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀各重几何？”
译文：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕的总重量为1斤，问雀、燕每只各重多少斤？”
请解答上述问题．
18．（8分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，给出了格点四边形（顶点为网格线的交点）．
（1）画出四边形关于轴成轴对称的四边形；
（2）以为位似中心，在第三象限画出四边形的位似四边形，且位似比为1；
（3）在第一象限内找出格点，使，并写出点的坐标（写出一个即可）．
五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）校车安全是近几年社会关注的热门话题，其中超载和超速行驶是校车事故的主要原因．小亮和同学尝试用自己所学的三角函数知识检测校车是否超速，如下图，观测点设在到白田路的距离为100米的点处．这时，一辆校车由西向东匀速行驶，测得此校车从处行驶到处所用的时间为4秒，且，．
（1）求、之间的路程；（参考数据：，
（2）请判断此校车是否超过了白田路每小时60千米的限制速度？
20．（10分）如图，是的直径，点是上异于、的点，连接、，点在的延长线上，且，点在的延长线上，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
六、（本题满分12分）
21．（12分）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共调查了　　人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为　　；
（2）将条形统计图补充完整．观察此图，支付方式的“众数”是“　　”；
（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
七、（本题满分12分）
22．（12分）如图，已知二次函数，其中为正整数，它与轴相交于点．
（1）求二次函数的最小值（用含的代数式表示）．
（2）将二次函数向左平移个单位得到二次函数．
①二次函数顶点的纵坐标与横坐标之间存在一个函数关系，求这个函数关系式；
②若二次函数与二次函数关于轴对称，求的值．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图，中，，，于，点是上一点，连接并延长交于点，于点，连接．
（1）求证：；
（2）如图1，若，求证：点是中点；
（3）如图2，若，，求．
参考答案与详解
一．选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）的倒数是　　
A．2021 B． C． D．
【分析】直接利用倒数的定义得出答案．
【解答】解：的倒数是：．
故选：．
2．（4分）如图所示放置的几何体，它的俯视图是　　
A． B． C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
【解答】解：从上面看，是两个同心圆．
故选：．
3．（4分）下列计算正确的是　　
A． B．
C． D．
【分析】、原式利用积的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断；
、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可作出判断；
、原式利用单项式乘单项式法则计算得到结果，即可作出判断；
、原式合并同类项得到结果，即可作出判断．
【解答】解：、原式，错误；
、原式，错误；
、原式，正确；
、原式，错误，
故选：．
4．（4分）2021年5月22日，中国工程院院士袁隆平在长沙不幸逝世．这位“共和国勋章获得者”的最大贡献是杂交水稻技术．2020年我国水稻种植面积4.5亿亩，其中左右是杂交水稻，则杂交水稻种植面积用科学记数法表示约为　　
A．亩 B．亩 C．亩 D．亩
【分析】首先用2020年我国水稻种植面积乘，求出杂交水稻的种植面积；然后根据：用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，把杂交水稻种植面积用科学记数法表示出来即可．
【解答】解：4.5亿亩亩，
（亩．
故选：．
5．（4分）某班30名学生的身高情况如下表
身高 1.45 1.48 1.50 1.53 1.56 1.60
人数 6 8 5 4
关于身高的统计量中，不随、的变化而变化的有　　
A．众数，中位数 B．中位数，方差 C．平均数，方差 D．平均数，众数
【分析】根据总人数确定的值，然后根据表格确定众数和中位数即可得到结论．
【解答】解：由题意得：，
所以众数为1.53，中位数也是1.53，
所以众数、中位数不会随着、的变化而变化，
故选：．
6．（4分）受新冠影响，某股份有限公司在2021年3月份销售口罩的核心材料熔喷无纺布的收入为2.88万元，而在1月份的销售收入仅为2万元，那么该股份有限公司在2021年第一季度的销售收入月平均增长率为　　
A． B． C． D．
【分析】设第一季度的销售收入月增长率为，根据等量关系，可列出方程，即可解决问题．
【解答】解：设第一季度的销售收入月增长率为，
由题意得，
解得：，（不合实际舍去）．
答：第一季度的销售收入月增长率为．
故选：．
7．（4分）已知直线与抛物线在坐标系中如图所示，和是方程的两个根，且，则函数在坐标系中的图象大致为　　
A． B．
C． D．
【分析】根据函数图象可得，，，根据对称轴判断的符号，然后根据和是方程的两个根，且，结合根与系数的关系判断与的符号，即可确定函数在坐标系中的大致图象．
【解答】解：由图象可得：，，，对称轴，
，
的两个根，且，
，
，异号，
，
，，
故函数的图象经过一三四象限．
故选：．
8．（4分）除了圆以外，最简单的定宽曲线叫做莱洛三角形．即以一个等边三角形的3个顶点为圆心，边长为半径，作各内角所对应的圆弧，擦去原来的等边三角形，剩下的图形就是莱洛三角形，也叫曲边三角形或弧三角形，莱洛三角形是根据十九世纪德国工程师FranzReuleaux的名字命名的．已知一个莱洛三角形的周长是π，则这个莱洛三角形的面积为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据题意，先求出等边三角形的边长，图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积等于三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．
【解答】解：如图，作CD⊥AB，垂足为D，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝BC，
∵莱洛三角形的周长是π，
∴AC＝AB＝BC＝；
设 AB＝AC＝BC＝x，则由弧长公式，得＝，
∴x＝1，
∴AB＝AC＝BC＝1，
∴CD＝AC sin60°＝1×，
∴△ABC的面积为：1×＝；
∵扇形ABC的面积为：S扇ABC＝＝，
∴这个莱洛三角形的面积为：
S＝3S扇ABC﹣2S扇ABC＝3×﹣2×＝﹣＝；
故选：C．
9．（4分）如图，的顶点在轴上，横坐标相等的顶点、分别在与图象上，则的面积为　　
A． B． C． D．
【分析】作轴于，轴于，连接，根据题意得出轴，可知，即可得出，根据反比例函数系数的几何意义即可得出的面积为．
【解答】解：作轴于，轴于，连接，
的顶点在轴上，横坐标相等的顶点、分别在与图象上，
轴，
，
，
由反比例函数系数的几何意义可知，矩形的面积为，
，，
的面积为，
故选：．
10．（4分）如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到△的位置，点、分别落在点、处，点在轴上，再将△绕点顺时针旋转到△的位置，点在轴上，将△绕点顺时针旋转到△的位置，点在轴上，依次进行下去，若点，，，则点的横坐标为　　
A．5 B．12 C．10070 D．10080
【分析】由图象可知点在第一象限，求出，，的坐标，探究规律后即可解决问题．
【解答】解：由图象可知点在第一象限，
，，，
，
，，，
．
点横坐标为10080．
故选：．
二、填空题（每小题5分，共20分）.
11．（5分）因式分解：　．　．
【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式进行因式分解．
【解答】解：原式，
故答案为：．
12．（5分）从1，2，3，4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为，，则关于的一元二次方程有实数根的概率为　　．
【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的结果数，再找出满足△的结果数，然后根据概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中满足△，即的结果有、、、、、这6种结果，
则关于的一元二次方程有实数根的概率为，
故答案为：．
13．（5分）如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的在格点上，则的正弦值为 　　．
【分析】先利用圆周角定理得到，再根据勾股定理计算出，则利用正弦的定义得到，从而得到的值．
【解答】解：圆周角和都对，
，
在中，，，
，
，
．
故答案为．
14．（5分）正方形的边长为8，点、分别在边、上，将正方形沿折叠，使点落在处，点落在点处，交于．以下结论：
①当为中点时，△三边之比为；
②图当△三边之比为时，为中点；
③当在上移动时，△周长不变；
④当在上移动时，始终有．
其中正确的有 　①③④　（写出所有正确结论的序号）
【分析】①当为中点时，设，则，根据勾股定理列出方程求解，可推出①正确；
②当△三边之比为时，假设，，，根据，可求得 的值，进一步求得，即可判断出②错误；
③过点作，垂足为，连接，，先证△△，可得，，再证，可得，
由此证得△周长，即可得出③正确；
④根据△△，，可得，，所以，即得④正确．
【解答】
解：为中点，正方形的边长为8，
，，，
折叠，
设，则
在△中，，
，
解得：，
，，
当为中点时，△三边之比为，
故①正确；
当△三边之比为时，假设，，，则，
，
，
解得：，
，，
此时不是中点，
故②错误；
如图，过点作，垂足为，连接，，则，
折叠，
，，
，
，
△△，
，，
，
，
在与中，
，
，
，
△周长
，
当在上移动时，△周长不变，
故③正确；
△△，，
，，
，
故④正确．
三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：．
【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式
．
16．（8分）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形按此规律排列下去，解答下列问题：
（1）填写下列表格：
图序 ① ② ③ ④
黑色三角形个数 1 3 6 　10　 　　
（2）若第个图案中黑色三角形的个数有91个，求的值．
【分析】（1）根据图形的变化规律总结出第个图形黑色三角的个数为即可；
（2）根据（1）中的规律计算出值即可．
【解答】解：（1）由图形的变化规律知，④中黑三角的个数为，
中黑三角的个数为，
故答案为：10，；
（2）由（1）的规律知，，
，
．
四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）《九章算术》中记载这样一道问题．
原文：“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀各重几何？”
译文：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕的总重量为1斤，问雀、燕每只各重多少斤？”
请解答上述问题．
【分析】设每只雀重斤，每只燕重斤，根据“将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等；5只雀、6只燕的总重量为1斤”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出雀、燕每只的重量．
【解答】解：设每只雀重斤，每只燕重斤，
依题意得：，
解得：．
答：每只雀重斤，每只燕重斤．
18．（8分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，给出了格点四边形（顶点为网格线的交点）．
（1）画出四边形关于轴成轴对称的四边形；
（2）以为位似中心，在第三象限画出四边形的位似四边形，且位似比为1；
（3）在第一象限内找出格点，使，并写出点的坐标（写出一个即可）．
【分析】（1）利用关于轴对称的点的坐标特征写出、、、的坐标，然后描点即可；
（2）把、、、的横纵坐标都乘以得到、、、的坐标，然后描点即可；
（3）作的垂直平分线，在此垂直平分线找出格点，从而得到它的坐标．
【解答】解：（1）如图，四边形为所作；
（2）如图，四边形位似为所作；
（3）如图，点为所作，此时点坐标为．
五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）校车安全是近几年社会关注的热门话题，其中超载和超速行驶是校车事故的主要原因．小亮和同学尝试用自己所学的三角函数知识检测校车是否超速，如下图，观测点设在到白田路的距离为100米的点处．这时，一辆校车由西向东匀速行驶，测得此校车从处行驶到处所用的时间为4秒，且，．
（1）求、之间的路程；（参考数据：，
（2）请判断此校车是否超过了白田路每小时60千米的限制速度？
【分析】（1）分别在，中，求得、的长，从而求得的长．已知时间则可以根据路程公式求得其速度．
（2）将限速与其速度进行比较，若大于限速则超速，否则没有超速．
【解答】解：（1）在中，，
，，
．
在中，，
，
．
，
（米；
（2）此车的速度米秒，
60千米小时米秒，
18.25米秒，67米秒，
此车超过了白田路每小时60千米的限制速度．
20．（10分）如图，是的直径，点是上异于、的点，连接、，点在的延长线上，且，点在的延长线上，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得出，由圆周角定理得出，证出，则可得出结论；
（2）设，，证明，由相似三角形的性质得出，求出的长，则可求出答案．
【解答】（1）证明：连接，
，
，
，
，
又是的直径，
，
，
，
即，
，
是半径，
是的切线；
（2）解：，且，
设，，
，
，
又，，
，
，
，
，
，
，
，
，
即的长为．
六、（本题满分12分）
21．（12分）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共调查了　200　人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为　　；
（2）将条形统计图补充完整．观察此图，支付方式的“众数”是“　　”；
（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
【分析】（1）用支付宝、现金及其他的人数和除以这三者的百分比之和可得总人数，再用乘以“支付宝”人数所占比例即可得；
（2）用总人数乘以对应百分比可得微信、银行卡的人数，从而补全图形，再根据众数的定义求解可得；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）本次活动调查的总人数为人，
则表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为，
故答案为：200、；
（2）微信人数为人，银行卡人数为人，
补全图形如下：
由条形图知，支付方式的“众数”是“微信”，
故答案为：微信；
（3）将微信记为、支付宝记为、银行卡记为，
画树状图如下：
画树状图得：
共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，
两人恰好选择同一种支付方式的概率为．
七、（本题满分12分）
22．（12分）如图，已知二次函数，其中为正整数，它与轴相交于点．
（1）求二次函数的最小值（用含的代数式表示）．
（2）将二次函数向左平移个单位得到二次函数．
①二次函数顶点的纵坐标与横坐标之间存在一个函数关系，求这个函数关系式；
②若二次函数与二次函数关于轴对称，求的值．
【分析】（1）用顶点坐标公式即可求最小值；
（2）①二次函数顶点的纵坐标与横坐标与有关，消去即可得到与的函数关系；
②求出二次函数与二次函数的顶点，二次函数与二次函数关于轴对称即是顶点关于轴对称，列方程可求．
【解答】解：（1）二次函数，其中为正整数，
当时，函数的最小值为：，
二次函数的最小值是；
（2）二次函数的顶点为，
二次函数向左平移个单位得到二次函数，
抛物线的顶点坐标为，
①抛物线的顶点坐标为，
顶点横坐标，顶点纵坐标，即，
顶点的纵坐标与横坐标之间存在的函数关系为：；
②二次函数与二次函数关于轴对称，
顶点也关于轴对称，即与关于轴对称，
，
解得．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图，中，，，于，点是上一点，连接并延长交于点，于点，连接．
（1）求证：；
（2）如图1，若，求证：点是中点；
（3）如图2，若，，求．
【分析】（1）先证明，根据相似三角形性质即可证得结论；
（2）如图1，过作交于点，运用平行线分线段成比例定理即可证得结论；
（3）根据，得出、、、四点共圆，过点作于点，可得是等腰直角三角形，再证明，利用勾股定理和三角函数定义求出，再证明，运用相似三角形性质即可求出答案．
【解答】解：（1），，
，
，
，
，
；
（2）如图1，过作交于点，
，
，，
，，，
为的中点，
，
，
，，
，，
，
，
为的中点．
（3），，
，
，，
，，
、、、四点共圆，
，
如图2，过点作于点，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，，
，
，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．