必修5全套教案与学案

§1.1 正弦定理应用教案（1）
学习目标
1. 进一步熟悉正弦定理内容；
2. 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
3. 灵活运用正弦定理解题。
学习过程
一、课前准备
复习1：在解三角形时
已知三边求角，用 定理；
已知两边和夹角，求第三边，用 定理；
已知两角和一边，用 定理．
二、新课导学
※ 学习探究
探究：在△ABC中，已知下列条件，解三角形.
A＝，a＝25，b＝50；
A＝，a＝，b＝50；
A＝，a＝50，b＝50.
新知：用如下图示分析解的情况（A为锐角时）．
※ 典型例题
例1. 根据下列条件，判断有没有解？若有解，判断解的个数．
（1），，，求；
（2），，，求；
（3），，，求；
（4），，，求；
（5），，，求．
【解】（1）∵，∴只能是锐角，因此仅有一解．
（2）∵，∴只能是锐角，因此仅有一解．
（3）由于为锐角，而，即，因此仅有一解．
（4）由于为锐角，而，即，因此有两解，易解得．
（5）由于为锐角，又，即，∴无解．
试试：
1. 在△ABC中，已知b = 6，c = 10，B = 30°，则解此三角形的结果是 （　C　 ）
A.无解 B.一解 C.两解 D.解的个数不能确定
2. 在△ABC中，若，则等于（ D ）
A． B． C． D．
3. 在△ABC中，若，则△ABC的形状是（ D ）
A．直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．不能确定 D．等腰三角形
例2.在△ＡＢＣ中，已知＝＝，试判断△ＡＢＣ的形状．
【解】令＝ｋ，由正弦定理，得
代入已知条件，得＝＝　　，即tanＡ＝tanＢ＝tanＣ．
又Ａ，Ｂ，Ｃ∈ （０，π），
所以Ａ＝Ｂ＝Ｃ，从而△ＡＢＣ为正三角形．
例3．在锐角三角形ABC中，A=2B，、、所对的角分别为A、B、C，试求的范围。
分析：本题由条件锐角三角形得到B的范围，从而得出的范围。
【解】在锐角三角形ABC中，A、B、C<900，即：，
由正弦定理知：，故所求的范围是：。
例4．在△ABC中，设，求的值。
【解】由正弦定理得：
又，。
试试：
（1）在中，已知，，，则 ， ．
（2）在中，如果，，，那么 ，的面积是 ．
（3）在中，，，则 ．
能力提升
例5.如图所示，在等边三角形中，为三角形的中心，过的直线交于，交于，
求的最大值和最小值．
【解】由于为正三角形的中心，∴，
，设，则，
在中，由正弦定理得：，
?∴，在中，由正弦定理得：，∴，
∵，∴，故当时取得最大值，
所以，当时，此时取得最小值．
试试：
1.在中，，则 ( D )
A． B． C． D．
2.在中，若，且，则 4 ， 5 ，
6 ．
3.已知△ABC中，a∶b∶c＝1∶∶2，则A∶B∶C等于(　A )
A．1∶2∶3 B．2∶3∶1 C．1∶3∶2 D．3∶1∶2
4.如图，△ABC是简易遮阳棚，A、B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角为( C )
A.75° B.60° C.50° D.45
5．已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(1-2k)∶3k(k≠0)，则k的取值范围为 ( B　)
A．(2，＋∞) B．(，) C． D．
6．在△ABC中，证明：.
证明：
由正弦定理得：
作业
1．在△ABC中，若，，则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形 B。等腰或直角三角形 C。等腰直角三角形 D。等腰三角形
2．在△ABC中，已知∠B=，,则∠A的值是 （ ）
A． B。 C。 D。或
1 C 2 D
4．在△ABC中，=且cos2C+cosC=1－cos(A－B)，试判别其形状。
解：由已知==， ∴ ①
又， 即。
亦即， ②
由①、②， ，该三角形为Rt△
5．在△ABC中，=，求cos。
解：在△ABC中，，即：
，
。
6．已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，S是△ABC的面积，若a=4，b=5，S=，求c的长度。
解：由三角形的面积公式得：
，

§1.1 正弦定理应用学案（1）
学习目标
1. 进一步熟悉正弦定理内容；
2. 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
3. 灵活运用正弦定理解题。
学习过程
一、课前准备
复习1：在解三角形时
已知三边求角，用 定理；
已知两边和夹角，求第三边，用 定理；
已知两角和一边，用 定理．
二、新课导学
※ 学习探究
探究：在△ABC中，已知下列条件，解三角形.
①A＝，a＝25，b＝50；
②A＝，a＝，b＝50；
③A＝，a＝50，b＝50.
新知：用如下图示分析解的情况（A为锐角时）．
※ 典型例题
例1. 根据下列条件，判断有没有解？若有解，判断解的个数．
（1），，，求；
（2），，，求；
（3），，，求；
（4），，，求；
（5），，，求．
追踪训练一
1. 在△ABC中，已知b = 6，c = 10，B = 30°，则解此三角形的结果是 （　　 ）
A.无解 B.一解 C.两解 D.解的个数不能确定
2. 在△ABC中，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
3. 在△ABC中，若，则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．不能确定 D．等腰三角形
例2.在△ＡＢＣ中，已知＝＝，试判断△ＡＢＣ的形状．
例3．在锐角三角形ABC中，A=2B，、、所对的角分别为A、B、C，试求的范围。
分析：本题由条件锐角三角形得到B的范围，从而得出的范围。
例4．在△ABC中，设，求的值。
追踪训练二
（1）在中，已知，，，则 ， ．
（2）在中，如果，，，那么 ，的面积是 ．
（3）在中，，，则 ．
能力提升
例5.如图所示，在等边三角形中，为三角形的中心，过的直线交于，交于，
求的最大值和最小值．
追踪训练二
1.在中，，则 ( )
A． B． C． D．
2.在中，若，且，则 ， ，
6 ．
3.已知△ABC中，a∶b∶c＝1∶∶2，则A∶B∶C等于(　 )
A．1∶2∶3 B．2∶3∶1 C．1∶3∶2 D．3∶1∶2
4.如图，△ABC是简易遮阳棚，A、B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角为( )
A.75° B.60° C.50° D.45
5．已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(1-2k)∶3k(k≠0)，则k的取值范围为 ( 　)
A．(2，＋∞) B．(，) C． D．
6．在△ABC中，证明：.
作业
1．在△ABC中，若，，则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形 B。等腰或直角三角形 C。等腰直角三角形 D。等腰三角形
2．在△ABC中，已知∠B=，,则∠A的值是 （ ）
A． B。 C。 D。或
4．在△ABC中，=且cos2C+cosC=1－cos(A－B)，试判别其形状。
5．在△ABC中，=，求cos。
6．已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，S是△ABC的面积，若a=4，b=5，S=，求c的长度。
§1.1.1 正弦定理学案
学习目标
1. 掌握正弦定理的内容；
2. 掌握正弦定理的证明方法；
3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．
学习过程
一、课前准备
1. 同角三角函数基本关系式：
平方关系； 商数关系.
2．填写下表：
角 函数
0




3．填写下表：（诱导公式()）
角 函数
正弦
余弦
正切
记忆口诀

函数名不变
符号看象限


函数名改变
符号看象限

4．两角和与差及二倍角的三角函数
1两角和与差的三角函数公式


2.二倍角公式

= =

3.降幂公式：
4.辅助角公式：asinα＋bcosα＝sin（α＋φ）＝cos（α－）
一、新课导学
新知：正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即 ，其中为外接圆直径.．
试试：
（1）在中，一定成立的等式是（ ）．
A． B. C. D.
（2）已知△ABC中，a＝4，b＝8，∠A＝30°，则∠B等于 ．
[理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使， ，；
（2）等价于 ，，．
（3）正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如； ．
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，
如； ．
（4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形．
※ 典型例题
例1. 在中，已知，，cm，解三角形．
变式：在中，已知，，cm，解三角形．
例2. 在．
变式：在．
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 在中，若，则是（ ）.
A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形
2. 已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶1∶4，则a∶b∶c等于（ ）.
　A．1∶1∶4 B．1∶1∶2　 C．1∶1∶ D．2∶2∶
3. 在△ABC中，若，则与的大小关系为（ ）.
A. B. C. ≥ D. 、的大小关系不能确定
4. 已知ABC中，，则= ．
5. 已知ABC中，A，，则= ．
课后作业
1. 已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝，解此三角形．
§1.3 余弦定理应用教案
学习目标
进一步熟悉余弦定理内容；
2．能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；
3．进一步运用余弦定理解斜三角形．
学习过程
一、课前准备
1．余弦定理：
(1)，，.
(2) 变形：，，
2．判断该三角形的形状一般都有角化边或边化角两种思路.
二、新课导学
※ 学习探究
【例1】在ABC中，求证：
（1）
（2）
【解】（1）根据正弦定理，可设 = = = k
显然 k0，所以左边===右边
（2）根据余弦定理的推论，
右边=2(bc+ca+ab) =(b+c- a)+(c+a-b)+(a+b-c)
=a+b+c=左边
【例2】在中，已知acosA = bcosB，用两种方法判断该三角形的形状.
分析：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”。
【解】方法1o（余弦定理）得
a=bc=
是等腰三角形或直角三角形.
方法2o（正弦定理）得
sinAcosA=sinBcosB,
sin2A=sin2B,
2A=2B,或2A+2B=180A=B或A+B=90
是等腰三角形或直角三角形.
点评: 判断该三角形的形状一般都有“走边”或“走角”两条路。
【例3】在四边形ABCD中，ADB=BCD=75，ACB=BDC=45，DC=，求：
AB的长
四边形ABCD的面积
【解】（1）因为BCD=75，ACB=45，
所以ACD=30 ，又因为BDC=45，
所以DAC=180-（75+ 45+ 30）=30，
所以， AD=DC=
在BCD中，CBD=180-（75+ 45）=60，所以= ，
BD = =
在ABD中，AB=AD+ BD-2ADBDcos75= 5,所以， AB=
S=ADBDsin75=
同理， S=
所以四边形ABCD的面积S=
追踪训练一
1. 在△ABC中，，，则下列各式中正确的是（ D ）
A. B. C. D.
2. 如图，已知圆内接四边形ＡＢＣＤ的边长分别为ＡＢ＝２，ＢＣ＝６，ＡＤ ＝ＣＤ＝４，如何求出四边形ＡＢＣＤ的面积？
答案：S=8
能力提升
例4在锐角中，，，分别为内角，，所对的边，且满足．
（1）求角的大小；
（2）若，且，，求的值．
【答案】
解：（1）因为，所以，
因为，所以. 又为锐角， 则.
（2）由（Ⅰ）可知，．因为 根据余弦定理，得 ，
整理，得， 由已知 ，则．
又，可得 ，． 于是，
所以．
追踪训练二
1．在△ABC中，若c4-2(a2＋b2)c2＋a4＋a2b2＋b4＝0，则∠C等于( D )
A．90° B．120°
C．60° D．120°或60°
2．在锐角中，若，则边长的取值范围是
3．已知在ABC中，B=30,b=6,c=6,求a及ABC的面积S.
答案：a=6,S=9;a=12,S=18
作业
1．在△ABC中，若a=2bsinA,则B为 （ ）
A. 　 B. 　C. 或 D. 或
2．△ABC中，∠A、∠B的对边分别为a、b，，且∠A=60°，那么满足条件的△AB（ ）
A．有一个解 B．有两个解 C．无解 D．不能确定
3．△ABC的内角A满足则A的取值范围是（ ）
A．（0，） B．（，） C．（，） D．（，）
4．关于x的方程有一个根为1，则△ABC一定是（ ）
A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
5．在中,如果,则的大小为（ ）
或 或
6．在中，若 ，且，则的面积等于________.
7．在中，有下列关系：
① ② ③ ④
其中可作为充要条件的是___________________（把正确的序号都填上）
8．如图，我炮兵阵地位于Ａ处，两观察所分别设于Ｃ，Ｄ，已知△ＡＣＤ为边长等于ａ的正三角形．当目标出现于Ｂ时，测得∠ＣＤＢ＝４５°，∠ＢＣＤ＝７５°，试求炮击目标的距离ＡＢ．
1.C 2.A 3.C 4.D 5.A
6．
7．
8．①②④
9．炮击目标的距离ＡＢ为
§1.3 余弦定理应用学案
学习目标
进一步熟悉余弦定理内容；
2．能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；
3．进一步运用余弦定理解斜三角形．
学习过程
一、课前准备
1．余弦定理：
(1) ， ， .
(2) 变形： ， ，
2．判断该三角形的形状一般都有角化边或边化角两种思路.
二、新课导学
※ 学习探究
【例1】在ABC中，求证：
（1）
（2）
【例2】在中，已知acosA = bcosB，用两种方法判断该三角形的形状.
【例3】在四边形ABCD中，ADB=BCD=75，ACB=BDC=45，DC=，求：
（1） AB的长
四边形ABCD的面积
试试：1. 在△ABC中，，，则下列各式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，已知圆内接四边形ＡＢＣＤ的边长分别为ＡＢ＝２，ＢＣ＝６，ＡＤ ＝ＣＤ＝４，如何求出四边形ＡＢＣＤ的面积？

能力提升
例4 在锐角中，，，分别为内角，，所对的边，且满足．
（1）求角的大小；
（2）若，且，，求的值．
试试：
1．在锐角中，若，则边长的取值范围是
2．已知在ABC中，B=30,b=6,c=6,求a及ABC的面积S.
作业
1．在△ABC中，若a=2bsinA,则B为 （ ）
A. 　 B. 　C. 或 D. 或
2．△ABC中，∠A、∠B的对边分别为a、b，，且∠A=60°，那么满足条件的△AB（ ）
A．有一个解 B．有两个解 C．无解 D．不能确定
3．△ABC的内角A满足则A的取值范围是（ ）
A．（0，） B．（，） C．（，） D．（，）
4．关于x的方程有一个根为1，则△ABC一定是（ ）
A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
5．在中,如果,则的大小为（ ）
或 或
6．在中，若 ，且，则的面积等于________.
7．在中，有下列关系：
① ② ③ ④
其中可作为充要条件的是___________________（把正确的序号都填上）
8．如图，我炮兵阵地位于Ａ处，两观察所分别设于Ｃ，Ｄ，已知△ＡＣＤ为边长等于ａ的正三角形．当目标出现于Ｂ时，测得∠ＣＤＢ＝４５°，∠ＢＣＤ＝７５°，试求炮击目标的距离ＡＢ．
§1.1.2 余弦定理教案
学习目标
1. 掌握余弦定理的两种表示形式；
2. 证明余弦定理的向量方法；
3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．
学习过程
一、课前准备
复习1：在一个三角形中，各 和它所对角的 的 相等，即 = = ．
复习2：在△ABC中，已知，A=45(，C=30(，解此三角形．
二、新课导学
， ．
新知：余弦定理：三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的夹角的 的积的两倍．
从余弦定理，又可得到以下推论：
， ， ．
[理解定理]
（1）若C=，则 ，这时
由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．
（2）余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角．
试试：
（1）△ABC中，，，，求．
（2）△ABC中，，，，求．
※ 典型例题
例1. 在△ABC中，已知，，，求和．
变式：在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cosC＝，则BC＝________．
例2. 在△ABC中，已知三边长，，，求三角形的最大内角．
变式：在ABC中，若，求角A．
例3在△ABC中，=，=，且，是方程的两根，。
求角C的度数；
求的长；
（3）求△ABC的面积。
解：(1)
（2）因为，是方程的两根，所以

例4 已知A、B、C是三角形ABC的三内角，且
，并且
（1）求角A的大小。
（2）的递增区间。
解：（1）由
得
即 （2分）
由正弦定理得 即
由余弦定理得又，所以
（2）
因为，且B，C均为的内角，所以，
所以，又，即时，为递增函数，
即的递增区间为
知识拓展
在△ABC中，
若，则角是直角；
若，则角是钝角；
若，则角是锐角．
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 已知a＝，c＝2，B＝150°，则边b的长为（ ）.
A. B. C. D.
2. 已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（ ）.
A． B． C． D．
3. 已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（ ）.
A． B．＜x＜5　C． 2＜x＜ D．＜x＜5
4. 在△ABC中，||＝3，||＝2，与的夹角为60°，则|－|＝________．
5. 在△ABC中，已知三边a、b、c满足，则∠C等于 ．
课后作业
1. 在△ABC中，已知a＝7，b＝8，cosC＝，求最大角的余弦值．
2. 在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，求的值.
§1.1.2 余弦定理学案
学习目标
1. 掌握余弦定理的两种表示形式；
2. 证明余弦定理的向量方法；
3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．
学习过程
一、课前准备
复习1：在一个三角形中，各 和它所对角的 的 相等，即 = = ．
复习2：在△ABC中，已知，A=45(，C=30(，解此三角形．
二、新课导学
， ．
新知：余弦定理：三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的夹角的 的积的两倍．
从余弦定理，又可得到以下推论：
， ， ．
[理解定理]
（1）若C=，则 ，这时
由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．
（2）余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角．
试试：
（1）△ABC中，，，，求．
（2）△ABC中，，，，求．
※ 典型例题
例1. 在△ABC中，已知，，，求和．
变式：在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cosC＝，则BC＝________．
例2. 在△ABC中，已知三边长，，，求三角形的最大内角．
变式：在ABC中，若，求角A．
例3在△ABC中，=，=，且，是方程的两根，。
求角C的度数；
求的长；
（3）求△ABC的面积。
例4 已知A、B、C是三角形ABC的三内角，且
，并且
（1）求角A的大小。
（2）的递增区间。
知识拓展
在△ABC中，
若，则角是直角；
若，则角是钝角；
若，则角是锐角．
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 已知a＝，c＝2，B＝150°，则边b的长为（ ）.
A. B. C. D.
2. 已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（ ）.
A． B． C． D．
3. 已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（ ）.
A． B．＜x＜5　C． 2＜x＜ D．＜x＜5
4. 在△ABC中，||＝3，||＝2，与的夹角为60°，则|－|＝________．
5. 在△ABC中，已知三边a、b、c满足，则∠C等于 ．
课后作业
1. 在△ABC中，已知a＝7，b＝8，cosC＝，求最大角的余弦值．
2. 在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，求的值.
§1.2应用举例—①测量距离教案
学习目标
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题
学习过程
一、课前准备
1．正弦定理：在△ABC中，,
变形：（1），， （2），，
2．三角形的面积公式：==
3．余弦定理：
(1)，，.
(2) 变形：，，
二、新课导学
※ 典型例题
例1. 如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，BAC=，ACB=. 求A、B两点的距离(精确到0.1m).
例2. 为了测量河对岸两点之间的距离，在河岸这边取点，测得，，，，.设在同一平面内，试求之间的距离（精确到）.
【解】在中，，，则.
又，由正弦定理，得
.在中，，
，则.又，由正弦定理，得
在中，
由余弦定理，得
，
所以
答 两点之间的距离约为.
试试：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东60°，则A、B之间的距离为多少？
例3.在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北30°东，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在岛北60°西、俯角为60°的C处。
(1)求船的航行速度是每小时多少千米；
(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？
解 (1)在Rt△PAB中，∠APB=60° PA=1，∴AB= (千米)
在Rt△PAC中，∠APC=30°，∴AC= (千米)
在△ACB中，∠CAB=30°+60°=90°
(2)∠DAC=90°－60°=30°
sinDCA=sin(180°－∠ACB)=sin∠ACB=
sin∠CDA=sin(∠ACB－30°)=sin∠ACB·cos30°－cos∠ACB·sin30°
在△ACD中，据正弦定理得，
答 此时船距岛A为千米
三、总结提升
※ 学习小结
1. 解斜三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解
（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.
2．基线的选取：
测量过程中，要根据需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 水平地面上有一个球，现用如下方法测量球的大小，用锐角的等腰直角三角板的斜边紧靠球面，P为切点，一条直角边AC紧靠地面，并使三角板与地面垂直，如果测得PA=5cm，则球的半径等于（ ）.
A．5cm
B．
C．
D．6cm
2. 台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为（ ）.
A．0.5小时　　 　B．1小时　　C．1.5小时　　 　D．2小时
3. 在中，已知，则的形状（ ）.
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
4.在中，已知，，，则的值是 ．
5. 一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东，行驶４h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔的距离为 km．
课后作业
1. 隔河可以看到两个目标，但不能到达，在岸边选取相距km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，A、B、C、D在同一个平面，求两目标A、B间的距离.
2. 某船在海面A处测得灯塔C与A相距海里，且在北偏东方向；测得灯塔B与A相距海里，且在北偏西方向. 船由向正北方向航行到D处，测得灯塔B在南偏西方向. 这时灯塔C与D相距多少海里？
§1.2应用举例—①测量距离学案
学习目标
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题
学习过程
一、课前准备
1．正弦定理：在△ABC中，,
变形：（1），， （2），，
2．三角形的面积公式：==
3．余弦定理：
(1)，，.
(2) 变形：，，
二、新课导学
※ 典型例题
例1. 如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，BAC=，ACB=. 求A、B两点的距离(精确到0.1m).
例2. 为了测量河对岸两点之间的距离，在河岸这边取点，测得，，，，.设在同一平面内，试求之间的距离（精确到）.
.
试试：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东60°，则A、B之间的距离为多少？
例3.在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北30°东，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在岛北60°西、俯角为60°的C处。
(1)求船的航行速度是每小时多少千米；
(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？
三、总结提升
※ 学习小结
1. 解斜三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解
（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.
2．基线的选取：
测量过程中，要根据需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 水平地面上有一个球，现用如下方法测量球的大小，用锐角的等腰直角三角板的斜边紧靠球面，P为切点，一条直角边AC紧靠地面，并使三角板与地面垂直，如果测得PA=5cm，则球的半径等于（ ）.
A．5cm
B．
C．
D．6cm
2. 台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为（ ）.
A．0.5小时　　 　B．1小时　　C．1.5小时　　 　D．2小时
3. 在中，已知，则的形状（ ）.
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
4.在中，已知，，，则的值是 ．
5. 一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东，行驶４h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔的距离为 km．
课后作业
1. 隔河可以看到两个目标，但不能到达，在岸边选取相距km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，A、B、C、D在同一个平面，求两目标A、B间的距离.
2. 某船在海面A处测得灯塔C与A相距海里，且在北偏东方向；测得灯塔B与A相距海里，且在北偏西方向. 船由向正北方向航行到D处，测得灯塔B在南偏西方向. 这时灯塔C与D相距多少海里？
§1.2应用举例—②测量高度教案
学习目标
1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题；
2. 测量中的有关名称.
学习过程
一、课前准备
复习1：在ABC中，，则ABC的形状是怎样？
复习2：在ABC中，、b、c分别为A、B、C的对边，若=1:1:，求A:B:C的值.
二、新课导学
※ 学习探究
新知：坡度、仰角、俯角、方位角
方位角---从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角 ；
坡度---沿余坡向上的方向与水平方向的夹角；
仰角与俯角---视线与水平线的夹角当视线在水平线之上时，称为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角.
※ 典型例题
例1. 如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角=54，在塔底C处测得A处的俯角=50. 已知铁塔BC部分的高为27.3 m，求出山高CD(精确到1 m)
例2. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南25的方向上，仰角为8，求此山的高度CD.
例3.如图，某登山队在山脚Ａ处测得山顶Ｂ的仰角为３５°，沿倾斜角为２０°的斜坡前进１０００ｍ后到达Ｄ处，又测得山顶的仰角为６５°，求山的高度ＢＣ（精确到１ｍ）．
分析：要求ＢＣ，只要求ＡＢ，为此考虑
解△ＡＢＤ．
【解】
过点Ｄ 作ＤＥ ∥ＡＣ 交ＢＣ 于Ｅ，因为
∠ＤＡＣ ＝２０°，所以∠ＡＤＥ＝１６０°，
于是∠ＡＤＢ＝３６０°－１６０°－６５°＝１３５°．
又∠ＢＡＤ＝３５°－２０°＝１５°，所以∠ＡＢＤ＝３０°．
在△ＡＢＤ中，由正弦定理，得（ｍ）．
在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＢＣ＝ＡＢｓｉｎ３５°＝１000ｓｉｎ３５°≈８１１（ｍ）．
答　山的高度约为８１１ｍ．
追踪训练一
1．海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是 ( D )?
A.10海里 B.海里 C. 5海里? D.5海里
2．有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长( A )
A. 1公里 B. sin10°公里 C. cos10°公里 D. cos20°公里
3．如图：在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15(，向山顶前进100m后，又从点B测得斜度为45(，假设建筑物高50m，求此山对于地平面的斜度(
【解】在△ABC中，AB = 100m , (CAB = 15(, (ACB = 45((15( = 30(
由正弦定理： ∴BC = 200sin15(
在△DBC中，CD = 50m , (CBD = 45(, (CDB = 90( + (
由正弦定理：(cos( =,∴( = 4294(
三、总结提升
※ 学习小结
利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 在ABC中，下列关系中一定成立的是（ ）.
A． B． C． D．
2. 在ABC中，AB=3，BC=，AC=4，则边AC上的高为（ ）.
A． B． C． D．
3. D、C、B在地面同一直线上，DC=100米，从D、C两地测得A的仰角分别为和，则A点离地面的高AB等于（ ）米．
A．100 B． C．50 D．50
4. 在地面上点，测得一塔塔顶和塔基的仰角分别是和，已知塔基高出地面，则塔身的高为_________．
5. 在ABC中，，，且三角形有两解，则A的取值范围是 ．
课后作业
1. 为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，则塔AB的高度为多少m？
2. 在平地上有A、B两点，A在山的正东，B在山的东南，且在A的南25°西300米的地方，在A侧山顶的仰角是30°，求山高.
§1.2应用举例—②测量高度学案
学习目标
1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题；
2. 测量中的有关名称.
学习过程
一、课前准备
复习1：在ABC中，，则ABC的形状是怎样？
复习2：在ABC中，、b、c分别为A、B、C的对边，若=1:1:，求A:B:C的值.
二、新课导学
※ 学习探究
新知：坡度、仰角、俯角、方位角
方位角---从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角 ；
坡度---沿余坡向上的方向与水平方向的夹角；
仰角与俯角---视线与水平线的夹角当视线在水平线之上时，称为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角.
※ 典型例题
例1. 如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角=54，在塔底C处测得A处的俯角=50. 已知铁塔BC部分的高为27.3 m，求出山高CD(精确到1 m)
例2. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南25的方向上，仰角为8，求此山的高度CD.
例3.如图，某登山队在山脚Ａ处测得山顶Ｂ的仰角为３５°，沿倾斜角为２０°的斜坡前进１０００ｍ后到达Ｄ处，又测得山顶的仰角为６５°，求山的高度ＢＣ（精确到１ｍ）．
分析：要求ＢＣ，只要求ＡＢ，为此考虑
追踪训练一
1．海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是 ( )?
A.10海里 B.海里 C. 5海里? D.5海里
2．有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长( )
A. 1公里 B. sin10°公里 C. cos10°公里 D. cos20°公里
3．如图：在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15(，向山顶前进100m后，又从点B测得斜度为45(，假设建筑物高50m，求此山对于地平面的斜度(
三、总结提升
※ 学习小结
利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 在ABC中，下列关系中一定成立的是（ ）.
A． B． C． D．
2. 在ABC中，AB=3，BC=，AC=4，则边AC上的高为（ ）.
A． B． C． D．
3. D、C、B在地面同一直线上，DC=100米，从D、C两地测得A的仰角分别为和，则A点离地面的高AB等于（ ）米．
A．100 B． C．50 D．50
4. 在地面上点，测得一塔塔顶和塔基的仰角分别是和，已知塔基高出地面，则塔身的高为_________．
5. 在ABC中，，，且三角形有两解，则A的取值范围是 ．
课后作业
1. 为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，则塔AB的高度为多少m？
2. 在平地上有A、B两点，A在山的正东，B在山的东南，且在A的南25°西300米的地方，在A侧山顶的仰角是30°，求山高.
§1.2应用举例—③测量角度教案
学习目标
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题.
学习过程
一、课前准备
复习1：在中，已知，，且，求.
二、新课导学
※ 典型例题
例1. 如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行67.5 n mile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32的方向航行54.0 n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离?(角度精确到0.1，距离精确到0.01n mile)
例2.某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在处获悉后，测出该渔轮在方位角为，距离为的处，并测得渔轮正沿方位角为的方向，以的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以的速度前去营救.求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到，时间精确到）.
【解】设舰艇收到信号后在处靠拢渔轮，
则，，又，.
由余弦定理，得
，
即
化简，得
，
解得（负值舍去）.
由正弦定理，得
所以，
方位角为.
答 舰艇应沿着方向角的方向航行，经过就可靠近渔轮.
例3.某海岛上一观察哨在上午时测得一轮船在海岛北偏东的处，时分测得轮船在海岛北偏西的处，时分轮船到达海岛正西方的港口.如果轮船始终匀速前进，求船速.
【解】设，船的速度为，则，.
在中，，.
在中，，.
在中，，
，，
船的速度.
例4.在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+(其中sin=，)且与点A相距10海里的位置C.
（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;
（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断
它是否会进入警戒水域，并说明理由.
解: （I）如图，AB=40，AC=10，
由于,所以cos=
由余弦定理得BC=
所以船的行驶速度为（海里/小时）.
（II）解法一 如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B、C的坐标分别是B（x1，y2）, C（x1，y2）,BC与x轴的交点为D.由题设有，x1=y1= AB=40,
x2=ACcos,
y2=ACsin
所以过点B、C的直线l的斜率k=,直线l的方程为y=2x-40.
又点E（0，-55）到直线l的距离d=
所以船会进入警戒水域.
解法二: 如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q.
在△ABC中，由余弦定理得，
==.
从而
在中，由正弦定理得，
AQ=
由于AE=55>40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15.
过点E作EP BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离.
在Rt中，PE=QE·sin
=
所以船会进入警戒水域.
试试：1．我国潜艇外出执行任务，在向正东方向航行时，测得某国的雷达站在潜艇的东偏北300方向的100n mile处，已知该国的雷达扫描半径为70n mile，若我国潜艇不改变航向，则行驶多少路程后会有暴露目标？（ B ）
A 50 B C D
2．在△ABC中，若，则与的大小关系是 （ A ）
A 大于 B 大于等于 C 小于 D 小于等于
3．如图，某人在高出海面６００ｍ的山上Ｐ处，测得海面上的航
标Ａ在正东，俯角为３０°，航标Ｂ在南偏东６０°，俯角为４５°，
求这两个航标间的距离．
答案：这两个航标间的距离是600m.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系为（ ）.
A． B．= C．+= D．+=
2. 已知两线段，，若以、为边作三角形，则边所对的角A的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
3. 关于的方程有相等实根，且A、B、C是的三个内角，则三角形的三边满足（ ）.
A． B． C． D．
4. △ABC中，已知a:b:c=(+1) :(-1): ，则此三角形中最大角的度数为 .
5. 在三角形中，已知:A，a，b给出下列说法:
(1)若A≥90°，且a≤b，则此三角形不存在
(2)若A≥90°，则此三角形最多有一解
(3)若A＜90°，且a=bsinA，则此三角形为直角三角形，且B=90°
(4)当A＜90°，a(5)当A＜90°，且bsinA其中正确说法的序号是 .
课后作业
1. 我舰在敌岛A南偏西相距12海里的B处，发现敌舰正由岛沿北偏西的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？
2. 在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南）方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
20．解：如图建立坐标系以O为原点，正东方向为x轴正向.
在时刻：（1）台风中心P（）的坐标为
此时台风侵袭的区域是
其中若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有
即

答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.
§1.2应用举例—③测量角度学案
学习目标
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题.
学习过程
一、课前准备
复习1：在中，已知，，且，求.
二、新课导学
※ 典型例题
例1. 如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行67.5 n mile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32的方向航行54.0 n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离?(角度精确到0.1，距离精确到0.01n mile)
例2.某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在处获悉后，测出该渔轮在方位角为，距离为的处，并测得渔轮正沿方位角为的方向，以的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以的速度前去营救.求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到，时间精确到）.
例3.某海岛上一观察哨在上午时测得一轮船在海岛北偏东的处，时分测得轮船在海岛北偏西的处，时分轮船到达海岛正西方的港口.如果轮船始终匀速前进，求船速.
例4.在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+(其中sin=，)且与点A相距10海里的位置C.
（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;
（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断
它是否会进入警戒水域，并说明理由.
试试：1．我国潜艇外出执行任务，在向正东方向航行时，测得某国的雷达站在潜艇的东偏北300方向的100n mile处，已知该国的雷达扫描半径为70n mile，若我国潜艇不改变航向，则行驶多少路程后会有暴露目标？（ ）
A 50 B C D
2．在△ABC中，若，则与的大小关系是 （ ）
A 大于 B 大于等于 C 小于 D 小于等于
3．如图，某人在高出海面６００ｍ的山上Ｐ处，测得海面上的航
标Ａ在正东，俯角为３０°，航标Ｂ在南偏东６０°，俯角为４５°，
求这两个航标间的距离．
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系为（ ）.
A． B．= C．+= D．+=
2. 已知两线段，，若以、为边作三角形，则边所对的角A的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
3. 关于的方程有相等实根，且A、B、C是的三个内角，则三角形的三边满足（ ）.
A． B． C． D．
4. △ABC中，已知a:b:c=(+1) :(-1): ，则此三角形中最大角的度数为 .
5. 在三角形中，已知:A，a，b给出下列说法:
(1)若A≥90°，且a≤b，则此三角形不存在
(2)若A≥90°，则此三角形最多有一解
(3)若A＜90°，且a=bsinA，则此三角形为直角三角形，且B=90°
(4)当A＜90°，a(5)当A＜90°，且bsinA其中正确说法的序号是 .
课后作业
1. 我舰在敌岛A南偏西相距12海里的B处，发现敌舰正由岛沿北偏西的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？
2. 在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
§1.4生活中的优化问题举例（1）
学习目标
1．进一步理解导数的概念，会利用导数概念形成过程中的基本思想分析一些实际问题，并建立它们的导数模型；
2．掌握用导数解决实际中简单的最优化问题，构建函数模型，求函数的最值.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P101~ P102，找出疑惑之处）
复习1：函数y=2x3－3x2－12x+5在［0，3］上的最小值是___________
复习2：函数在上的最大值为_____；最小值为_______.
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：优化问题
问题：张明准备购买一套住房，最初准备选择购房一年后一次性付清房款，且付款时需加付年利率为4.8%的利息，这时正好某商业银行推出一种年利率低于的一年定期贷款业务，贷款量与利率的平方成正比，比例系数为，因此他打算申请这种贷款在购房时付清房款. （1）若贷款的利率为，写出贷款量及他应支付的利息；（2）贷款利息为多少时，张明获利最大？
新知：
生活中经常遇到求求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.
试试：在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去边长都为的小正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？
※ 典型例题
例1班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为，上、下两边各空，左、右两边各空.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？




变式：如图用铁丝弯成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为 ，为使所用材料最省，底宽应为多少？
例2 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是分，其中是瓶子的半径，单位是厘米.已知每出售1 的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6.问（1）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？（2）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
小结：⑴解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义．⑵根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较．⑶相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单

※ 动手试试
练1. 一条长为100的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？
练2. 周长为20的矩形，绕一条边边旋转成一个圆柱，求圆柱体积的最大值.
三、总结提升
※ 学习小结
1．解决最优化的问题关键是建立函数模型，因此首先审清题意，明确常量与变量及其关系，再写出实际问题的函数关系式，对于实际问题来说，需要注明变量的取值范围.
2．实际问题中在变量的范围内若只有一个极值点，那么它也是最值点.
知识拓展
牛顿和莱布尼兹是微积分的创立者.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 某公司生产某种新产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益与年产量的关系是，则总利润最大时，每年生产的产品是（ ）
A．100 B．150 C．200 D．300
2. 要做一个圆锥形漏斗，其母线长为，要使其体积最大，则其高应为（ ）
A． B． C． D.
3. 若一球的半径为，则内接球的圆柱的侧面积最大为（ ）
A． B． C． D．
4. 球的直径为，当其内接正四棱柱体积最大时的高为 .
5. 面积为的矩形中，其周长最小的是 .
课后作业
1. 一边长为的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长都为的小正方形，然后做成一个无盖方盒.
(1)试把方盒的容积表示为的函数.(2)多大时，方盒的容积最大？
2. 在半径为的半圆内作一内接梯形，使其下底为直径，其他三边为圆的弦，求梯形面积最大时，梯形的上底长为多少？
§2.1数列的概念与简单表示法教案(1)
学习目标
1. 理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；
2. 了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；
3. 对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式.
学习过程
一、新课导学
※ 学习探究
探究任务：数列的概念
⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数 的一列数叫做数列.
⒉ 数列的项：数列中的 每一个数 都叫做这个数列的项.
反思：
⑴ 如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们是相同的数列？
⑵ 同一个数在数列中可以重复出现吗？
3. 数列的一般形式：，或简记为，其中是数列的第 项.
4. 数列的通项公式：如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么 这个公式叫做这个数列的通项公式.
反思：
⑴所有数列都能写出其通项公式？
并不是所有数列都能写出其通项公式，如数列1，1.4，1.41， 1.414，…；
⑵一个数列的通项公式是唯一？
一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是
，也可以是.
⑶数列与函数有关系吗？如果有关，是什么关系？
从映射、函数的观点来看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式，因此，数列也可根据其通项公式画出其对应图象．数列的图像都是一群孤立的点.
5．数列的分类：
1）根据数列项数的多少分 数列和 数列；
2）根据数列中项的大小变化情况分为 数列， 数列， 数列和 数列.
※ 典型例题
例1根据下面数列的通项公式，写出它的前5项，并作出它的图象：
【解】（1）
(2)
例2写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
⑴ 1，－，，－； ⑵ 1， 0， 1， 0.
（3），-， ，-.（4）0, 2, 0, 2。
变式：写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
⑴ ，，，； ⑵ 1， －1， 1， －1；
（3）1， ，， ； （4） 1，，，2 .
小结：要由数列的若干项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数列中的项的构成规律，将项表示为项数的函数关系.
例3已知数列2，，2，…的通项公式为，求这个数列的第四项和第五项.
试试：（1）已知数列，，则 29 .
（2）已知数列，，，，，…，则5是它的第 项.
小结：已知数列的通项公式，只要将数列中的项代入通项公式，就可以求出项数和项.
能力提升
根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
(1)２，４，６，８；（２）
(2)１，４，９，１６；（3）
(3) 3, 5, 9, 17, 33,……；＝2n＋1；
(4), , , , , ……；＝
(5)0, 1, 0, 1, 0, 1,……； ＝；
(6) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ……；＝(－1)n(n＋1)
(7) 2, －6, 12, －20, 30, －42,……. ＝(－1)n(n＋1)
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 下列说法正确的是（ ）.
A. 数列中不能重复出现同一个数 B. 1，2，3，4与4，3，2，1是同一数列
C. 1，1，1，1…不是数列 D. 两个数列的每一项相同，则数列相同
2. 下列四个数中，哪个是数列中的一项（ ）.
A. 380 B. 392 C. 321 D. 232
3.设＝1＋＋＋…＋（n）那么等于（ ）
A. B. C. D.
4. 在横线上填上适当的数：3，8，15， ，35，48.
5.写出数列，，，的一个通项公式 .
课后作业
1. （1）写出数列，，，的一个通项公式为 .
（2）已知数列，，，，，… 那么3是这个数列的第 项.
2.已知数列｛｝的通项公式是．
（１）写出这个数列的前５项，并作出前５项的图象；
（２）这个数列所有项中有没有最小的项？
§2.1数列的概念与简单表示法学案(1)
学习目标
1. 理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；
2. 了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；
3. 对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式.
学习过程
一、新课导学
※ 学习探究
探究任务：数列的概念
⒈ 数列的定义： 的一列数叫做数列.
⒉ 数列的项：数列中的 都叫做这个数列的项.
反思：
⑴ 如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们是相同的数列？
⑵ 同一个数在数列中可以重复出现吗？
3. 数列的一般形式：，或简记为，其中是数列的第 项.
4. 数列的通项公式：如果数列的第n项与n之间的关系可以用 来表示，那么 就叫做这个数列的通项公式.
反思：
⑴所有数列都能写出其通项公式？
⑵一个数列的通项公式是唯一？
⑶数列与函数有关系吗？如果有关，是什么关系？
5．数列的分类：
1）根据数列项数的多少分 数列和 数列；
2）根据数列中项的大小变化情况分为 数列， 数列， 数列和 数列.
※ 典型例题
例1根据下面数列的通项公式，写出它的前5项，并作出它的图象：
例2写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
⑴ 1，－，，－； ⑵ 1， 0， 1， 0.
（3），-， ，-. （4）0, 2, 0, 2。
变式：写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
⑴ ，，，； ⑵ 1， －1， 1， －1；
（3）1， ，， ； （4） 1，，，2 .
小结：要由数列的若干项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数列中的项的构成规律，将项表示为项数的函数关系.
例3已知数列2，，2，…的通项公式为，求这个数列的第四项和第五项.
试试：（1）已知数列，，则 .
（2）已知数列，，，，，…，则5是它的第 项.
小结：已知数列的通项公式，只要将数列中的项代入通项公式，就可以求出项数和项.
能力提升
根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
(1)２，４，６，８；
(2)１，４，９，１６；
(3) 3, 5, 9, 17, 33,……；
(4), , , , , ……；
(5)0, 1, 0, 1, 0, 1,……；
(6) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ……；
(7) 2, －6, 12, －20, 30, －42,…….
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 下列说法正确的是（ ）.
A. 数列中不能重复出现同一个数 B. 1，2，3，4与4，3，2，1是同一数列
C. 1，1，1，1…不是数列 D. 两个数列的每一项相同，则数列相同
2. 下列四个数中，哪个是数列中的一项（ ）.
A. 380 B. 392 C. 321 D. 232
3.设＝1＋＋＋…＋（n）那么等于（ ）
A. B. C. D.
4. 在横线上填上适当的数：3，8，15， ，35，48.
5.写出数列，，，的一个通项公式 .
课后作业
1. （1）写出数列，，，的一个通项公式为 .
（2）已知数列，，，，，… 那么3是这个数列的第 项.
2.已知数列｛｝的通项公式是．
（１）写出这个数列的前５项，并作出前５项的图象；
（２）这个数列所有项中有没有最小的项？
§2.1数列的概念与简单表示法教案(2)
学习目标
1. 了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；
2. 会由递推公式写出数列的前几项，并掌握求简单数列的通项公式的方法.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P31 ~ P34 ，找出疑惑之处）
复习1：什么是数列？什么是数列的通项公式？
复习2：数列如何分类？
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务：数列的表示方法
问题：观察钢管堆放示意图，寻找每层的钢管数与层数n之间有何关系？
通项公式法：
试试：上图中每层的钢管数与层数n之间关系的一个通项公式是 .
图象法：
数列的图形是 ，因为横坐标为 数，所以这些点都在y轴的 侧，而点的个数取决于数列的 ．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．
3. 递推公式法：
递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
试试：上图中相邻两层的钢管数与之间关系的一个递推公式是 .
4. 列表法：
试试：上图中每层的钢管数与层数n之间关系的用列表法如何表示？
※ 典型例题
例1 设数列满足写出这个数列的前五项.
变式：已知，，写出前5项，并猜想通项公式.
小结：由递推公式求数列的项，只要让n依次取不同的值代入递推公式就可求出数列的项.
例2 已知数列满足，， 那么（ ）.
A. 2003×2004 B. 2004×2005 C. 2007×2006 D.
变式：已知数列满足，，求.
例3已知数列｛an｝的递推公式是：an＋2＝3an＋1－2an，且a1＝1，a2＝3，求数列的前5项，并推测数列｛an｝的通项公式.
【解】由a1=1,a2=3,an+2=3an+1－2an得
a3＝3a2－2a1＝3×3－2×1＝7 a4＝3 a3－2a2＝3×7－2×3＝15 a5＝3a4－2a3＝3×5－2×7＝31
……?可推测an＝2n－1.
小结：由递推公式求数列的通项公式，适当的变形与化归及归纳猜想都是常用方法.
变式：（1） 已知数列满足，，且（），求.
（2）已知数列满足， （），则（ ） .
A．0 B.－ C. D.
分析:由a1=0,得 由此可知: 数列是周期变化的,且三个一循环,所以可得:
例4．设，则称为数列的前项和，现有数列的前n项和为，点均在函数y＝3x－2的图像上,求数列的通项公式。
分析：根据题目的条件利用与的关系： ，求出数列的通项。
解：依题意得，即。
当n≥2时，;
当n=1时， 所以。
试试：已知数列的前项和，求该数列的通项公式。
分析：由于与的关系是因而已知求时，常用的解题策略是先求再将用表示，但由于=只能求出数列的第二项及以后各项，故特别要注意验证的情形是否满足=，若满足，则是关于的一个式子，否则写成分段函数的形式．
试试：已知数列的前项和，求该数列的通项公式。
【解】
能力提升
1. 已知数列中，，，通项是项数的一次函数，
①求的通项公式，并求；
②若是由组成，试归纳的一个通项公式.
解：设,则,解得,∴,∴,
又∵,,,,即为5,9,13,17,…,∴
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 数列中，，则此数列最大项的值是（ ）.
A. 3 B. 13 C. 13 D. 12
2. 数列满足，（n≥1），则该数列的通项（ ）.
A. B. C. D.
3.若数列{an}满足a1=,an=1－,n≥2，n∈N*,则a2003等于（　B ）
A. 　B.－1?　C.2 　　D.1?
4. 已知数列满足，（n≥2），则 .
5. 已知数列满足，（n≥2），则 .
课后作业
1. 数列中，＝0，＝＋(2n－1) (n∈N)，写出前五项，并归纳出通项公式.
2. 数列满足，，写出前5项，并猜想通项公式.
3. 在数列中，，，通项公式是项数n的一次函数.
⑴ 求数列的通项公式；
⑵ 88是否是数列中的项.
§2.1数列的概念与简单表示法学案(2)
学习目标
1. 了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；
2. 会由递推公式写出数列的前几项，并掌握求简单数列的通项公式的方法.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P31 ~ P34 ，找出疑惑之处）
复习1：什么是数列？什么是数列的通项公式？
复习2：数列如何分类？
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务：数列的表示方法
问题：观察钢管堆放示意图，寻找每层的钢管数与层数n之间有何关系？
通项公式法：
试试：上图中每层的钢管数与层数n之间关系的一个通项公式是 .
图象法：
数列的图形是 ，因为横坐标为 数，所以这些点都在y轴的 侧，而点的个数取决于数列的 ．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．
3. 递推公式法：
递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
试试：上图中相邻两层的钢管数与之间关系的一个递推公式是 .
4. 列表法：
试试：上图中每层的钢管数与层数n之间关系的用列表法如何表示？
※ 典型例题
例1 设数列满足写出这个数列的前五项.
变式：已知，，写出前5项，并猜想通项公式.
小结：由递推公式求数列的项，只要让n依次取不同的值代入递推公式就可求出数列的项.
例2 已知数列满足，， 那么（ ）.
A. 2003×2004 B. 2004×2005 C. 2007×2006 D.
变式：已知数列满足，，求.
例3已知数列｛an｝的递推公式是：an＋2＝3an＋1－2an，且a1＝1，a2＝3，求数列的前5项，并推测数列｛an｝的通项公式.
小结：由递推公式求数列的通项公式，适当的变形与化归及归纳猜想都是常用方法.
变式：（1） 已知数列满足，，且（），求.
（2）已知数列满足， （），则（ ） .
A．0 B.－ C. D.
例4．设，则称为数列的前项和，现有数列的前n项和为，点均在函数y＝3x－2的图像上,求数列的通项公式。
试试：已知数列的前项和，求该数列的通项公式。
能力提升
1. 已知数列中，，，通项是项数的一次函数，
①求的通项公式，并求；
②若是由组成，试归纳的一个通项公式.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 数列中，，则此数列最大项的值是（ ）.
A. 3 B. 13 C. 13 D. 12
2. 数列满足，（n≥1），则该数列的通项（ ）.
A. B. C. D.
3.若数列{an}满足a1=,an=1－,n≥2，n∈N*,则a2003等于（　 ）
A. 　B.－1?　C.2 　　D.1?
4. 已知数列满足，（n≥2），则 .
5. 已知数列满足，（n≥2），则 .
课后作业
1. 数列中，＝0，＝＋(2n－1) (n∈N)，写出前五项，并归纳出通项公式.
2. 数列满足，，写出前5项，并猜想通项公式.
3. 在数列中，，，通项公式是项数n的一次函数.
⑴ 求数列的通项公式；
⑵ 88是否是数列中的项.
§2.2等差数列教案（1）
学习目标
1. 理解等差数列的概念，了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列；
2. 探索并掌握等差数列的通项公式；
3. 正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P36 ~ P39 ，找出疑惑之处）
复习1：什么是数列？
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：等差数列的概念
问题1：请仔细观察，看看以下四个数列有什么共同特征？
① 0，5，10，15，20，25，…
② 48，53，58，63
③ 18，15.5，13，10.5，8，5.5
新知：
1.等差数列：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它 一项的 等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的 ， 常用字母 表示.
2.等差中项：由三个数a，A， b组成的等差数列，
这时数 叫做数 和 的等差中项，用等式表示为A=
例1根据等差数列的概念，判断下列数列是否是等差数列；
（1）1，1，1，1，1，1
（2）4，7，10，13，16
（3）-3，-2，-1，0，1，2，3
解（1） （2） （3）
例2已知等差数列{an}的前3项依次为a－1,a+1,2a+3，则此数列的通项an为（ B ）
A.2n－5 B.2n－3? C.2n－1 D.2n+1?
探究任务二：等差数列的通项公式
若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：
，即：
， 即：
，即：
……
由此归纳等差数列的通项公式可得：
∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差d，便可求得其通项.
※ 典型例题
例3 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项；
⑵ －401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？
变式：（1）求等差数列3，7，11，……的第10项.
（2）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.
小结：要求出数列中的项，关键是求出通项公式；要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n值，使得等于这一数.
例4在等差数列中，已知，，求
分析： 先根据两个独立的条件解出两个量a1和d，进而再写出an的表达式.几个独立的条件就可以解出几个未知量，这是方程组的重要应用.
解法一：∵，，则
∴，
思考：在此题中，有，思考，能否不求首项，而将求出？
解法二：

试试：（1）在等差数列的首项是， 求数列的首项与公差.
（2）已知数列{an}中a3=2,a7=1，又数列{}为等差数列，则a11等于（ B ）
A.0 B. C. D.－1
思维点拔：
等差数列的通项公式涉及到四个量a1、an、n、d，用方程的观点知三求一。列方程组求基本量是解决等差数列问题的常用方法，注意通项公式更一般的形式：
能力提升
例5已知数列{an}的前n项和为Sn且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝.
(1)求证：是等差数列；
(2)求an的表达式．
(1)证明　∵an＝Sn－Sn－1(n≥2)，又an＝－2Sn·Sn－1，
∴Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，Sn≠0，∴－＝2(n≥2)．
由等差数列的定义知是以＝＝2为首项，以2为公差的等差数列．
(2)解　由(1)知＝＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n，
∴Sn＝.当n≥2时，有an＝－2Sn×Sn－1＝－，
又∵a1＝，不适合上式，∴an＝
试试： 已知数列{an}的前n项和Sn是n的二次函数，且a1＝－2，a2＝2，S3＝6.
(1)求Sn；
(2)证明：数列{an}是等差数列．
(1)解　设Sn＝An2＋Bn＋C(A≠0)，则
解得：A＝2，B＝－4，C＝0.
∴Sn＝2n2－4n.
(2)证明　当n＝1时，a1＝S1＝－2.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－4n－[2(n－1)2－4(n－1)]
＝4n－6.
∴an＝4n－6(n∈N*)．
当n＝1时符合上式，故an＝4n－6，
∴an＋1－an＝4，
∴数列{an}成等差数列．
小结：要判定是不是等差数列，只要看（n≥2）是不是一个与n无关的常数.
三、总结提升
※ 学习小结
1. 等差数列定义： (n≥2)；
2. 等差数列通项公式： (n≥1).
※ 知识拓展
1. 等差数列通项公式为或. 分析等差数列的通项公式，可知其为一次函数，图象上表现为直线上的一些间隔均匀的孤立点.
2. 若三个数成等差数列，且已知和时，可设这三个数为. 若四个数成等差数列，可设这四个数为.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（ ）.
A. 92 B. 47 C. 46 D. 45
2. 数列的通项公式，则此数列是（ ）.
A.公差为2的等差数列 B.公差为5的等差数列
C.首项为2的等差数列 D.公差为n的等差数列
3. 等差数列的第1项是7，第7项是－1，则它的第5项是（ ）.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
4. 在△ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则∠B＝ .
5. 在－1和8之间插入两个数a,b，使这四个数成等差数列，则a=______,b=______.?
解析d==3∴a=－1+3=2,b=2+3=5【答案】2 5.
课后作业
1. 在等差数列中，
⑴已知，d＝3，n＝10，求； ⑵已知，，d＝2，求n；
⑶已知，，求d； ⑷已知d＝－，，求.
2. 一个木制梯形架的上下底边分别为33cm，75cm，把梯形的两腰各6等分，用平行木条连接各分点，构成梯形架的各级，试计算梯形架中间各级的宽度.
§2.2等差数列学案（1）
学习目标
1. 理解等差数列的概念，了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列；
2. 探索并掌握等差数列的通项公式；
3. 正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P36 ~ P39 ，找出疑惑之处）
复习1：什么是数列？
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：等差数列的概念
问题1：请仔细观察，看看以下四个数列有什么共同特征？
① 0，5，10，15，20，25，…
② 48，53，58，63
③ 18，15.5，13，10.5，8，5.5
新知：
1.等差数列：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它 一项的 等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的 ， 常用字母 表示.
2.等差中项：由三个数a，A， b组成的等差数列，
这时数 叫做数 和 的等差中项，用等式表示为A=
例1根据等差数列的概念，判断下列数列是否是等差数列；
（1）1，1，1，1，1，1
（2）4，7，10，13，16
（3）-3，-2，-1，0，1，2，3
例2已知等差数列{an}的前3项依次为a－1,a+1,2a+3，则此数列的通项an为（ ）
A.2n－5 B.2n－3? C.2n－1 D.2n+1?
探究任务二：等差数列的通项公式
若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：
，即：
， 即：
，即：
……
由此归纳等差数列的通项公式可得：
∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差d，便可求得其通项.
例3 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项；
⑵ －401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？
变式：（1）求等差数列3，7，11，……的第10项.
（2）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.
小结：要求出数列中的项，关键是求出通项公式；要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n值，使得等于这一数.
例4在等差数列中，已知，，求
试试：（1）在等差数列的首项是， 求数列的首项与公差.
（2）已知数列{an}中a3=2,a7=1，又数列{}为等差数列，则a11等于（ ）
A.0 B. C. D.－1
思维点拔：
等差数列的通项公式涉及到四个量a1、an、n、d，用方程的观点知三求一。列方程组求基本量是解决等差数列问题的常用方法，注意通项公式更一般的形式：
能力提升
例5已知数列{an}的前n项和为Sn且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝.
(1)求证：是等差数列；
(2)求an的表达式．
试试： 已知数列{an}的前n项和Sn是n的二次函数，且a1＝－2，a2＝2，S3＝6.
(1)求Sn；
(2)证明：数列{an}是等差数列．
小结：要判定是不是等差数列，只要看（n≥2）是不是一个与n无关的常数.
三、总结提升
※ 学习小结
1. 等差数列定义： (n≥2)；
2. 等差数列通项公式： (n≥1).
※ 知识拓展
1. 等差数列通项公式为或. 分析等差数列的通项公式，可知其为一次函数，图象上表现为直线上的一些间隔均匀的孤立点.
2. 若三个数成等差数列，且已知和时，可设这三个数为. 若四个数成等差数列，可设这四个数为.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（ ）.
A. 92 B. 47 C. 46 D. 45
2. 数列的通项公式，则此数列是（ ）.
A.公差为2的等差数列 B.公差为5的等差数列
C.首项为2的等差数列 D.公差为n的等差数列
3. 等差数列的第1项是7，第7项是－1，则它的第5项是（ ）.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
4. 在△ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则∠B＝ .
5. 在－1和8之间插入两个数a,b，使这四个数成等差数列，则a=______,b=______.?
课后作业
1. 在等差数列中，
⑴已知，d＝3，n＝10，求； ⑵已知，，d＝2，求n；
⑶已知，，求d； ⑷已知d＝－，，求.
2. 一个木制梯形架的上下底边分别为33cm，75cm，把梯形的两腰各6等分，用平行木条连接各分点，构成梯形架的各级，试计算梯形架中间各级的宽度.
§2.2等差数列教案（2）
学习目标
1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式；
2. 灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P39 ~ P40，找出疑惑之处）
复习1：什么叫等差数列？
复习2：等差数列的通项公式是什么？
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务：等差数列的性质
1. 在等差数列中，为公差， 与有何关系？
2. 在等差数列中，为公差，若且，则，，，有何关系？
3.等差数列的单调性：由等差数列的定义知an+1－an=d,
当d＞0时an+1＞an即{an}为递增数列；
当d=0时，an+1=an即{an}为常数列；
当d＜0时，an+1＜an即{an}为递减数列.
注：等差数列不会是摆动数列.
※ 典型例题
例1 在等差数列中，已知，，求首项与公差.
变式：若x≠y，两个数列：x，a1，a2，a3，y和x，b1，b2，b3，b4，y都是等差数列，求的值.?
【解】 设两个等差数列的公差分别为d1、d2，即求，由已知得
即?解得，?即
小结：在等差数列中，公差d可以由数列中任意两项与通过公式求出.
例2 （1）在等差数列中，，求和.
（2）若关于的方程和的四个根组成首项为的等差数列，则 （ D ）
A. B. C. D.
变式：（1）在等差数列中，已知，且，则公差d= .
（2） 若｛an｝是等差数列，a3,a10是方程x2-3x-5=0的两根，则a5+a8= 3 .
小结：在等差数列中，若m+n=p+q，则，可以使得计算简化.
例3等差数列｛an｝中，a1=23，公差d为整数，若a6>0,a7<0.
（1）求公差d的值; （2）求通项an.
（1）d=-4;（2）an=-4n+27
试试：首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是?（ D ）
A.d＞ B.d＜3 C. ≤d＜3 D.＜d≤3
例4. 已知数列{an}满足an+12=an2+4，且a1=1,an＞0，求an.
解 由an+12=a2n+4即an+12－an2=4∴数列{an2}构成等差数列.an2=a12+(n－1)d=12+(n－1)·4=4n－3
又an＞0∴an=
例5.甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示．甲调查表明:从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个鸡场出产2万只鸡．乙调查表明:由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个．
请您根据提供的信息说明：
⑴第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；
⑵到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是
缩小了？请说明理由；
⑶哪一年的规模最大？请说明理由．
解：
(1) 第2年养鸡场的个数为26个，全县出产鸡的总只数是31.2万只
(2) 到第6年这个县的养鸡业比第1年缩小了 (3) 第2年的规模最大
能力提升
例6.1934年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆(sundaram)发现了“正方形筛子”：
4 7 10 13 16
7 12 17 22 27
10 17 24 31 38
13 22 31 40 49
16 27 38 49 60

(1)这个“正方形筛子”的每一行有什么特点？每一列呢？
(2) “正方形筛子”中位于第100行的第100个数是多少？
解：(1)每一行与每一列都成等差数列 (2)
试试：如图（１）是一个三角形，分别连结这个三角形三边的中点，将原三角形剖分成４个三角形（如图（２）），再分别连结图（２）中间的小三角形三边的中点，又可将原三角形剖分成７个三角形（如图（３））．依此类推，第ｎ个图中原三角形被剖分为ａｎ个三角形．
（１）求数列｛ａｎ｝的通项公式；
（２）第１００个图中原三角形被剖分为多少个三角形？
解：（1）；（2）298个三角形
三、总结提升
※ 学习小结
1. 在等差数列中，若m+n=p+q，则
注意：，左右两边项数一定要相同才能用上述性质.
2. 在等差数列中，公差.
※ 知识拓展
判别一个数列是否等差数列的三种方法，即：
（1）；
（2）；
（3）.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 一个等差数列中，，，则（ ）.
A. 99 B. 49.5 C. 48 D. 49
2. 等差数列中，，则的值为（ ）.
A . 15 B. 30 C. 31 D. 64
3. 已知a，b，c成等差数列，则二次函数y=ax2+2bx+c的图象与x轴交点个数是（ ）
A、0 B、1 C、2 D、1或2
4. 等差数列中，，，则公差d＝ .
5. 若48，a，b，c，－12是等差数列中连续五项，则a＝ ，b＝ ，c＝ .
课后作业
1. 若 ， ， 求.
2. 成等差数列的三个数和为9，三数的平方和为35，求这三个数.
3. 已知，，求.
解：∵，，∴，∴是以2为首项，为公差的等差数列，∴，∴.
§2.2等差数列学案（2）
学习目标
1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式；
2. 灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P39 ~ P40，找出疑惑之处）
复习1：什么叫等差数列？
复习2：等差数列的通项公式是什么？
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务：等差数列的性质
1. 在等差数列中，为公差， 与有何关系？
2. 在等差数列中，为公差，若且，则，，，有何关系？
3.等差数列的单调性：由等差数列的定义知an+1－an=d,
当d＞0时an+1＞an即{an}为递增数列；
当d=0时，an+1=an即{an}为常数列；
当d＜0时，an+1＜an即{an}为递减数列.
注：等差数列不会是摆动数列.
※ 典型例题
例1 在等差数列中，已知，，求首项与公差.
变式：若x≠y，两个数列：x，a1，a2，a3，y和x，b1，b2，b3，b4，y都是等差数列，求的值.?
小结：在等差数列中，公差d可以由数列中任意两项与通过公式求出.
例2 （1）在等差数列中，，求和.
（2）若关于的方程和的四个根组成首项为的等差数列，则 （ ）
A. B. C. D.
变式：（1）在等差数列中，已知，且，则公差d= .
（2） 若｛an｝是等差数列，a3,a10是方程x2-3x-5=0的两根，则a5+a8= .
小结：在等差数列中，若m+n=p+q，则，可以使得计算简化.
例3等差数列｛an｝中，a1=23，公差d为整数，若a6>0,a7<0.
（1）求公差d的值; （2）求通项an.
试试：首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是?（ ）
A.d＞ B.d＜3 C. ≤d＜3 D.＜d≤3
例4. 已知数列{an}满足an+12=an2+4，且a1=1,an＞0，求an.
解 由an+12=a2n+4即an+12－an2=4∴数列{an2}构成等差数列.an2=a12+(n－1)d=12+(n－1)·4=4n－3
又an＞0∴an=
例5.甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示．甲调查表明:从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个鸡场出产2万只鸡．乙调查表明:由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个．
请您根据提供的信息说明：
⑴第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；
⑵到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是
缩小了？请说明理由；
⑶哪一年的规模最大？请说明理由．
能力提升
例6.1934年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆(sundaram)发现了“正方形筛子”：
4 7 10 13 16
7 12 17 22 27
10 17 24 31 38
13 22 31 40 49
16 27 38 49 60

(1)这个“正方形筛子”的每一行有什么特点？每一列呢？
(2) “正方形筛子”中位于第100行的第100个数是多少？
解：(1)每一行与每一列都成等差数列 (2)
试试：如图（１）是一个三角形，分别连结这个三角形三边的中点，将原三角形剖分成４个三角形（如图（２）），再分别连结图（２）中间的小三角形三边的中点，又可将原三角形剖分成７个三角形（如图（３））．依此类推，第ｎ个图中原三角形被剖分为ａｎ个三角形．
（１）求数列｛ａｎ｝的通项公式；
（２）第１００个图中原三角形被剖分为多少个三角形？
三、总结提升
※ 学习小结
1. 在等差数列中，若m+n=p+q，则
注意：，左右两边项数一定要相同才能用上述性质.
2. 在等差数列中，公差.
※ 知识拓展
判别一个数列是否等差数列的三种方法，即：
（1）；
（2）；
（3）.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 一个等差数列中，，，则（ ）.
A. 99 B. 49.5 C. 48 D. 49
2. 等差数列中，，则的值为（ ）.
A . 15 B. 30 C. 31 D. 64
3. 已知a，b，c成等差数列，则二次函数y=ax2+2bx+c的图象与x轴交点个数是（ ）
A、0 B、1 C、2 D、1或2
4. 等差数列中，，，则公差d＝ .
5. 若48，a，b，c，－12是等差数列中连续五项，则a＝ ，b＝ ，c＝ .
课后作业
1. 若 ， ， 求.
2. 成等差数列的三个数和为9，三数的平方和为35，求这三个数.
3. 已知，，求.
§2.3 等差数列的前n项和教案(1)
学习目标
1. 掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；
2. 会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P42 ~ P44，找出疑惑之处）
复习1：什么是等差数列？等差数列的通项公式是什么？
复习2：等差数列有哪些性质？
二、新课导学
※ 学习探究
探究：等差数列的前n项和公式
问题：
1. 计算1+2+…+100=?
2. 如何求1+2+…+n=?
新知：
数列的前n项的和：
一般地，称 为数列的前n项的和，用表示，即
反思：
① 如何求首项为，第n项为的等差数列的前n项的和?
② 如何求首项为，公差为d的等差数列的前n项的和?
试试：根据下列各题中的条件，求相应的等差数列的前n项和.
⑴ ⑵.
小结：
1. 用，必须具备三个条件： .
2. 用，必须已知三个条件： .
3. 若数列｛an｝的前n项和Sn＝An2＋Bn，则数列｛an｝为 等差数列 .
4.若已知等差数列{an}的前n项和为Sn,则an可用Sn表示:
※ 典型例题
例1 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的统治》. 某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元. 为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元. 那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？
试试： 美国某公司给员工加工资有两个方案：一是每年年末加1000美元；二是每半年结束时加300美元．问：
⑴ 从第几年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多？
⑵ 如果在该公司干10年，问选择第二种方案比选择第一种方案多加工资多少美元？
⑶ 如果第二种方案中每半年加300美元改为每半年加a美元．
问a取何值时，总是选择第二种方案比第一种方案多加工资？
解：⑴ 设工作年数为n（n∈N*），第一种方案总共加的工资为S1，第二种方案总共加的工资为S2．则：
S1＝1000×1＋1000×2＋1000×3＋…＋1000n＝500(n＋1)n
S2＝300×1＋300×2＋300×3＋…＋300×2n＝300(2n＋1)n
由S2>S1，即：300(2n＋1)n>500(n＋1)n解得：n>2
∴ 从第3年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多．
⑵ 当n＝10时，由⑴得：S1＝500×10×11＝55000，S2＝300×10×21＝63000
∴ S2－S1＝8000
∴ 在该公司干10年，选第二种方案比选第一种方案多加工资8000美元．
⑶ 若第二种方案中的300美元改成a美元．则＝an(2n＋1) n∈N*
∴ a＞＝250＋≥250＋＝
例2在等差数列｛an｝中，已知，，，求及n.
【解】由已知，得
由②，得
代入①后化简，得
点评: 　在等差数列的通项公式与前ｎ项和公式中，含有，ｄ，ｎ，，五个量，只要已知其中的三个量，就可以求出余下的两个量．
变式：等差数列中，已知，，，求n.
小结：等差数列前n项和公式就是一个关于的方程，已知几个量，通过解方程，得出其余的未知量.
例3在等差数列｛an｝中，已知第１项到第10项的和为310，第11项到第20项的和为910，求第21项到第30项的和．
【解】
即
解得
思维点拔： 数列{an}是等差数列,前项和是,那么仍成等差数列,公差为(为确定的正整数)
试试：（1）在等差数列中，若，则 .
（2）在等差数列｛an｝中，已知a11=10,则S21=___210___
例4设是等差数列，求证：以为通项公式的数列是等差数列。
能力提升
例5已知数列{an}满足a1=0，an+1+Sn=n2+2n(n∈N*)，其中Sn为{an}的前n项和，求此数列的通项公式.
解：
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 在等差数列中，，那么（ ）.
A. 12 B. 24 C. 36 D. 48
2. 把正偶数以下列方法分组：（2），（4，6），（8，10，12），…，其中每一组都比它的前一组多一个数，那么第11组的第2个数是（ ）.
?? A 114　　 B 134　　 C 132　　 D 112
3. 已知等差数列的前4项和为21，末4项和为67，前n项和为286，则项数n为（ ）
A. 24 B. 26 C. 27 D. 28
4. 在等差数列中，，，则 .
5. 已知数列{an}的前n项和为Sn=4n2－n+2,则该数列的通项公式为an=
课后作业
1. 数列｛｝是等差数列，公差为3，＝11，前和＝14，求和.
2．在小于100的正整数中共有多少个数被3除余2? 这些数的和是多少？
§2.3 等差数列的前n项和学案(1)
学习目标
1. 掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；
2. 会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P42 ~ P44，找出疑惑之处）
复习1：什么是等差数列？等差数列的通项公式是什么？
复习2：等差数列有哪些性质？
二、新课导学
※ 学习探究
探究：等差数列的前n项和公式
问题：
1. 计算1+2+…+100=?
2. 如何求1+2+…+n=?
新知：
数列的前n项的和：
一般地，称 为数列的前n项的和，用表示，即
反思：
① 如何求首项为，第n项为的等差数列的前n项的和?
② 如何求首项为，公差为d的等差数列的前n项的和?
试试：根据下列各题中的条件，求相应的等差数列的前n项和.
⑴ ⑵.
小结：
1. 用，必须具备三个条件： .
2. 用，必须已知三个条件： .
3. 若数列｛an｝的前n项和Sn＝An2＋Bn，则数列｛an｝为 .
4.若已知等差数列{an}的前n项和为Sn,则an可用Sn表示:
※ 典型例题
例1 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的统治》. 某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元. 为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元. 那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？
试试： 美国某公司给员工加工资有两个方案：一是每年年末加1000美元；二是每半年结束时加300美元．问：
⑴ 从第几年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多？
⑵ 如果在该公司干10年，问选择第二种方案比选择第一种方案多加工资多少美元？
⑶ 如果第二种方案中每半年加300美元改为每半年加a美元．
问a取何值时，总是选择第二种方案比第一种方案多加工资？
例2在等差数列｛an｝中，已知，，，求及n.
点评: 　在等差数列的通项公式与前ｎ项和公式中，含有，ｄ，ｎ，，五个量，只要已知其中的三个量，就可以求出余下的两个量．
变式：等差数列中，已知，，，求n.
小结：等差数列前n项和公式就是一个关于的方程，已知几个量，通过解方程，得出其余的未知量.
例3在等差数列｛an｝中，已知第１项到第10项的和为310，第11项到第20项的和为910，求第21项到第30项的和．
思维点拔： 数列{an}是等差数列,前项和是,那么仍成等差数列,公差为(为确定的正整数)
试试：（1）在等差数列中，若，则 .
（2）在等差数列｛an｝中，已知a11=10,则S21=___210___
例4设是等差数列，求证：以为通项公式的数列是等差数列。
能力提升
例5已知数列{an}满足a1=0，an+1+Sn=n2+2n(n∈N*)，其中Sn为{an}的前n项和，求此数列的通项公式.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 在等差数列中，，那么（ ）.
A. 12 B. 24 C. 36 D. 48
2. 把正偶数以下列方法分组：（2），（4，6），（8，10，12），…，其中每一组都比它的前一组多一个数，那么第11组的第2个数是（ ）.
?? A 114　　 B 134　　 C 132　　 D 112
3. 已知等差数列的前4项和为21，末4项和为67，前n项和为286，则项数n为（ ）
A. 24 B. 26 C. 27 D. 28
4. 在等差数列中，，，则 .
5. 已知数列{an}的前n项和为Sn=4n2－n+2,则该数列的通项公式为
课后作业
1. 数列｛｝是等差数列，公差为3，＝11，前和＝14，求和.
2．在小于100的正整数中共有多少个数被3除余2? 这些数的和是多少？
§2.3 等差数列的前n项和教案(2)
学习目标
1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；
2. 了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；
3. 会利用等差数列通项公式与前 n项和的公式研究的最大（小）值.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P45 ~ P46，找出疑惑之处）
复习1：等差数列{}中， ＝－15， 公差d＝3，求.
复习2：等差数列{}中，已知，，求和.
二、新课导学
※ 学习探究
问题：如果一个数列的前n项和为，其中p、q、r为常数，且，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？
※ 典型例题
例1已知数列的前n项为，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
变式：已知数列的前n项为，求这个数列的通项公式.
小结：数列通项和前n项和关系为
=，由此可由求.
例2 （1）已知一个等差数列的前四项和为21，末四项和为67，前项和为286，求数列的项数。
解，，
。
（2）在项数为2n+1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于（ B ）
A.9 B.10 C.11 D.12?
变式：（1）在等差数列｛an｝中，已知a14＋a15＋a17＋a18＝82，则S31＝.
变式：（2）等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项的和为（ C ）
A.130 B.170 C.210 D.260
变式：（3）一个等差数列的前12项和为354，前12项中，偶数项和与奇数项和之比为32∶27，则公差d等于 5 .
【解析】由已知，又S偶+S奇=354
∴S偶=(S偶+S奇)=192 S奇=162 d==5?【答案】5
例3已知两个等差数列｛an｝、｛bn｝，它们的前n项和分别是Sn、Sn′，若,求.
解 ∵2a9=a1+a17, 2b9=b1+b17,∴S17==17a9,
S17′==17b9,∴.
变式： 两等差数列{an}、{bn}的前n项和的比，则的值是（ B ）
A． B． C． D．
例4数列｛an｝是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负.
(1)求数列的公差.
(2)求前n项和Sn的最大值.
(3)当Sn＞0时，求n的最大值.
解 (1)由已知a6=a1+5d=23+5d＞0,a7=a1+6d=23+6d＜0,
解得:－＜d＜－,又d∈Z,∴d=－4
(2)∵d＜0，∴{an}是递减数列，又a6＞0，a7＜0∴当n=6时，Sn取得最大值，S6=6×23+ (－4)=78
(3)Sn=23n+ (－4)＞0，整理得：?n(50－4n)＞0?∴0＜n＜,又n∈N*,
所求n的最大值为12.
变式： 设等差数列的前项和为，已知，>，<，
①求公差的取值范围；
②中哪一个值最大？并说明理由.
解 ①∵,∴
解得,,②由,
又∵∴是递减数列,∴中最大.
小结：等差数列前项和的最大（小）值的求法.
（1）利用: 当>0，d<0，前n项和有最大值，可由≥0，且≤0，求得n的值；当<0，d>0，前n项和有最小值，可由≤0，且≥0，求得n的值
（2）利用：由，利用二次函数配方法求得最大（小）值时n的值.
例5 已知数列的前项和，求数列的前项和。
解 当时，；
当，
时适合上式，的通项公式为。
由，得，即当时，；当时，。
（1）当时，
（2）当时，
.
。
变式：已知数列｛an｝的前n项和是Sn=32n－n2,求数列｛｜an｜｝的前n项和Sn′.
解 ∵a1=S1=32×1－12=31,当n≥2时，an=Sn－Sn－1=33－2n,
又由an＞0，得n＜16.5,即｛an｝前16项为正，以后皆负.
∴当n≤16时，Sn′=｜a1｜+｜a2｜+…+｜an｜=a1+a2+…+an=33n－n2.
当n＞16时，Sn′=a1+a2+…+a16－a17－a18－…－an=S16－(Sn－S16)＝2S16－Sn＝512－32n＋n2.?
∴
※ 知识拓展
等差数列奇数项与偶数项的性质如下：
1°若项数为偶数2n，则；；
2°若项数为奇数2n＋1，则；；；.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 下列数列是等差数列的是（ ）.
A. B. C. D.
2. 等差数列{}中，已知，那么（ ）.
A. 3 B. 4 C. 6 D. 12
3. 已知在等差数列｛an｝中，a1＜0，S25＝S45，若Sn最小，则n为（ B ）
A.25 B.35 C.36 D.45?
4.等差数列{an}的通项公式是an=2n+1,由bn= (n∈N*)确定的数列{bn}的前n项和是（ A ）
A. n(n+5) B. n(n+4)?C. n(2n+7) D.n(n+2)?
5. 在小于100的正整数中共有 个数被7除余2，这些数的和为 .
6. 在等差数列中，公差d＝，，则 .
§2.3 等差数列的前n项和学案(2)
学习目标
1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；
2. 了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；
3. 会利用等差数列通项公式与前 n项和的公式研究的最大（小）值.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P45 ~ P46，找出疑惑之处）
复习1：等差数列{}中， ＝－15， 公差d＝3，求.
复习2：等差数列{}中，已知，，求和.
二、新课导学
※ 学习探究
问题：如果一个数列的前n项和为，其中p、q、r为常数，且，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？
※ 典型例题
例1已知数列的前n项为，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
变式：已知数列的前n项为，求这个数列的通项公式.
小结：数列通项和前n项和关系为
=，由此可由求.
例2 （1）已知一个等差数列的前四项和为21，末四项和为67，前项和为286，求数列的项数。
（2）在项数为2n+1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于（ ）
A.9 B.10 C.11 D.12?
变式：（1）在等差数列｛an｝中，已知a14＋a15＋a17＋a18＝82，则S31＝ .
变式：（2）等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项的和为（ ）
A.130 B.170 C.210 D.260
变式：（3）一个等差数列的前12项和为354，前12项中，偶数项和与奇数项和之比为32∶27，则公差d等于 .
例3已知两个等差数列｛an｝、｛bn｝，它们的前n项和分别是Sn、Sn′，若,求.
变式： 两等差数列{an}、{bn}的前n项和的比，则的值是（ ）
A． B． C． D．
例4数列｛an｝是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负.
(1)求数列的公差.
(2)求前n项和Sn的最大值.
(3)当Sn＞0时，求n的最大值.
变式： 设等差数列的前项和为，已知，>，<，
①求公差的取值范围；
②中哪一个值最大？并说明理由.

小结：等差数列前项和的最大（小）值的求法.
（1）利用: 当>0，d<0，前n项和有最大值，可由≥0，且≤0，求得n的值；当<0，d>0，前n项和有最小值，可由≤0，且≥0，求得n的值
（2）利用：由，利用二次函数配方法求得最大（小）值时n的值.
例5 已知数列的前项和，求数列的前项和。
变式：已知数列｛an｝的前n项和是Sn=32n－n2,求数列｛｜an｜｝的前n项和Sn′.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 下列数列是等差数列的是（ ）.
A. B. C. D.
2. 等差数列{}中，已知，那么（ ）.
A. 3 B. 4 C. 6 D. 12
3. 已知在等差数列｛an｝中，a1＜0，S25＝S45，若Sn最小，则n为（ ）
A.25 B.35 C.36 D.45?
4.等差数列{an}的通项公式是an=2n+1,由bn= (n∈N*)确定的数列{bn}的前n项和是（ A ）
A. n(n+5) B. n(n+4)?C. n(2n+7) D.n(n+2)?
5. 在小于100的正整数中共有 个数被7除余2，这些数的和为 .
6. 在等差数列中，公差d＝，，则 .
§2.4等比数列教案（1）
学习目标
1理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质；
2. 能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；
3. 体会等比数列与指数函数的关系.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P48 ~ P51，找出疑惑之处）
复习1：等差数列的定义？
复习2：等差数列的通项公式 ，等差数列的性质有：
二、新课导学
※ 学习探究
观察：①1，2，4，8，16，…
②1，，，，，…
③1，20，，，，…
思考以上四个数列有什么共同特征？
新知：
1. 等比数列定义：一般地，如果一个数列从第 项起， 一项与它的 一项的 等于 常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示（q≠0），即：= （q≠0）（隐含：任一项）
2. 等比数列的通项公式：
； ； ； … …
∴
3. 等比数列中任意两项与的关系是：
等比中项定义：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么称这个数G称为a与b的等比中项. 即G= （a，b同号）.
试试：数4和6的等比中项是 .
※ 典型例题
例1 （1） 一个等比数列的第9项是，公比是－，求它的第1项；
（2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项.
试试：（1）是公比为2的等比数列，且,则等于（ ）
　 A 25　 B 50　 C 125　 D 400
（2）已知依次成等比数列，那么函数的图象与轴的交点的个数为（ ）
A 0　　 B 1　　 C 2　　 D 1或2
例2 成等差数列的三个正数之和为15，若这三个数分别加上1，3，9后又成等比数列，求这三个数.
解：设这三个数分别为
解得 这三个数为
故由题意又可得 解得
这三个数为3，5，7
试试：有四个数，前三个数成等比数列，它们的和为19，后三个数成等差数列，它们的和为12.求这四个数.
解： 9，6，4，2或25，－10，4，18
例3 如图，一个边长为１的正三角形，将每边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（２），如此继续下去，得图（３）……试求第ｎ个图形的边长和周长．

解：这序列图形的边数构成的数列为：它们的边长构成的数列为：
.∴第个图形的周长为：
试试：如图，在边长为１的等边三角形ＡＢＣ中，连结各边中点得△Ａ１Ｂ１Ｃ１，再连结△Ａ１Ｂ１Ｃ１各边中点得△Ａ２Ｂ２Ｃ２……如此继续下去，试证明数列Ｓ△ＡＢＣ，Ｓ△Ａ１Ｂ１Ｃ１，Ｓ△Ａ２Ｂ２Ｃ２，…是等比数列．
答 以为首项，为公比的等比数列
例4 在数列中，其前项和，,求证数列是等比数列.
试试：已知数列｛an｝满足：lgan＝3n＋5，试用定义证明｛an｝是等比数列.
证明： 由lgan＝3n＋5，得an＝103n+5 ＝1000
∴数列｛an｝是公比为1000的等比数列.
小结：要证明一个数列是等比数列，只需证明对于任意正整数n，是一个不为0的常数就行了.
例5 设为数列的前项和，，，其中是常数．（1）求及；
（2）若对于任意的，，，成等比数列，求的值．
解（1）当，
（）
经验，（）式成立，
（2）成等比数列，，
即，整理得：，
对任意的成立，
能力提升
例6 已知数列{} 的前n项和，数列{}的前n项和
（1）求数列{}与{}的通项公式；
（2）设，证明：当且仅当n≥3时，＜
解：(1)由于
当时,
又当时，
数列项与等比数列,其首项为1,公比为
(2)由(1)知
由即 即
因此,当且仅当时,
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 在为等比数列，，，则（ ）.
A. 36 B. 48 C. 60 D. 72
2. 一个各项均正的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比（ ）.
A. B. C. D.
3. 已知数列a，a（1－a），，…是等比数列，则实数a的取值范围是（ ）.
A. a≠1 B. a≠0且a≠1 C. a≠0 D. a≠0或a≠1
4. 设，，，成等比数列，公比为2，则＝ .
5. 在等比数列中，，则公比q＝ .
课后作业
在等比数列中，
⑴ ，q＝－3，求； ⑵ ，，求和q；
⑶ ，，求； ⑷ ，求.
§2.4等比数列学案（1）
学习目标
1理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质；
2. 能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；
3. 体会等比数列与指数函数的关系.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P48 ~ P51，找出疑惑之处）
复习1：等差数列的定义？
复习2：等差数列的通项公式 ，等差数列的性质有：
二、新课导学
※ 学习探究
观察：①1，2，4，8，16，…
②1，，，，，…
③1，20，，，，…
思考以上四个数列有什么共同特征？
新知：
1. 等比数列定义：一般地，如果一个数列从第 项起， 一项与它的 一项的 等于 常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示（q≠0），即：= （q≠0）（隐含：任一项）
2. 等比数列的通项公式：
； ； ； … …
∴
3. 等比数列中任意两项与的关系是：
等比中项定义：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么称这个数G称为a与b的等比中项. 即G= （a，b同号）.
试试：数4和6的等比中项是 .
※ 典型例题
例1 （1） 一个等比数列的第9项是，公比是－，求它的第1项；
（2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项.
试试：（1）是公比为2的等比数列，且,则等于（ ）
　 A 25　 B 50　 C 125　 D 400
（2）已知依次成等比数列，那么函数的图象与轴的交点的个数为（ ）
A 0　　 B 1　　 C 2　　 D 1或2
例2 成等差数列的三个正数之和为15，若这三个数分别加上1，3，9后又成等比数列，求这三个数.
解：设这三个数分别为
解得 这三个数为
故由题意又可得 解得
这三个数为3，5，7
试试：有四个数，前三个数成等比数列，它们的和为19，后三个数成等差数列，它们的和为12.求这四个数.
解： 9，6，4，2或25，－10，4，18
例3 如图，一个边长为１的正三角形，将每边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（２），如此继续下去，得图（３）……试求第ｎ个图形的边长和周长．

试试：如图，在边长为１的等边三角形ＡＢＣ中，连结各边中点得△Ａ１Ｂ１Ｃ１，再连结△Ａ１Ｂ１Ｃ１各边中点得△Ａ２Ｂ２Ｃ２……如此继续下去，试证明数列Ｓ△ＡＢＣ，Ｓ△Ａ１Ｂ１Ｃ１，Ｓ△Ａ２Ｂ２Ｃ２，…是等比数列．
例4 在数列中，其前项和，,求证数列是等比数列.
试试：已知数列｛an｝满足：lgan＝3n＋5，试用定义证明｛an｝是等比数列.
小结：要证明一个数列是等比数列，只需证明对于任意正整数n，是一个不为0的常数就行了.
例5 设为数列的前项和，，，其中是常数．（1）求及；
（2）若对于任意的，，，成等比数列，求的值．

能力提升
例6 已知数列{} 的前n项和，数列{}的前n项和
（1）求数列{}与{}的通项公式；
（2）设，证明：当且仅当n≥3时，＜
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 在为等比数列，，，则（ ）.
A. 36 B. 48 C. 60 D. 72
2. 一个各项均正的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比（ ）.
A. B. C. D.
3. 已知数列a，a（1－a），，…是等比数列，则实数a的取值范围是（ ）.
A. a≠1 B. a≠0且a≠1 C. a≠0 D. a≠0或a≠1
4. 设，，，成等比数列，公比为2，则＝ .
5. 在等比数列中，，则公比q＝ .
课后作业
在等比数列中，
⑴ ，q＝－3，求； ⑵ ，，求和q；
⑶ ，，求； ⑷ ，求。
§2.4等比数列教案（2）
学习目标
1.灵活应用等比数列的定义及通项公式；
2. 熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P51 ~ P54，找出疑惑之处）
复习1：等比数列的通项公式 .公比q满足的条件是
复习2：等差数列有何性质？
二、新课导学
※ 学习探究
1.在等比数列{}中，是否成立呢？
2.是否成立？你据此能得到什么结论？
3.是否成立？你又能得到什么结论？
新知1：等比数列的性质
在等比数列中，若m+n=p+q，则.
※ 典型例题
例1在等比数列｛an｝中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比为整数，求a10.
解 由a4a7＝－512知，a3a8＝－512
解方程组且q为整数得 (舍去)q＝
∴a10＝a3q7＝－4(－2)7＝512.?
试试：（1）在等比数列{an}中，如果a6=6,a9=9，那么a3等于( A )
A.4 B. C. D.2
（2）在各项都为正数的等比数列｛an｝中，若a5·a6＝9，则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a10等于( B )
A.8 B.10? C.12 D.2＋log35
例2 已知是项数相同的等比数列，数列{}也一定是等比数列吗？证明你的结论.
试试：一个直角三角形三边成等比数列，则（ C ）.
A. 三边之比为3：4：5 B. 三边之比为1：：3
C. 较小锐角的正弦为 D. 较大锐角的正弦为
例3已知四个数前3个成等差，后三个成等比，中间两数之积为16，前后两数之积为－128，求这四个数.
解 设所求四个数为：－aq，，aq，aq3
由①得a2＝16 ∴a＝4或a＝－4由②得2a2q2－a2q4＝－128
将a2＝16代入整理得：q4－2q2－8＝0解得q2＝4
∴q＝2或q＝－2
因此所求的四个数为：－4，2，8，32或4，－2，－8，－32.
试试： 在7和56之间插入、，使7、、、56成等比数列，若插入、，使7、、、56成等差数列，求＋＋＋的值.
数列满足，，（1）求证是等比数列；（2）求数列的通项公式。
（1）证明： 又
故 是等比数列
（2）解：是等比数列，且
故
试试：在中，，试求的通项
解 设则可得＝1，，
为等比数列，首项为=2,公比为3，，
例5 在中，，试求的通项
解 原式可变为：，可构造为
为等比数列，首项，公比3，，
试试：在中，求｛｝的通项
解 法一：原式变形为：，设，
即，，即，
为等比数列，首项＝，公比
，
　法二：设，即
即，为等比数列，
首项＝，公比，，
能力提升
例6 已知数列{an}，an∈N*，Sn =.（1）求证：{an}是等差数列；
（2）若b1 =1，b2 =4，{bn}前n项和为Bn，且Bn+1 =（a n+1 – a n + 1）Bn +（a n – a n+1）Bn –1（n≥2）.求{bn}通项公式.
解：（1）an+1 = Sn+1 –Sn ,∴8 an+1 =,
∴, ∴（an+1 + an）（a n+1 – a n – 4）=0，∵an∈N*，∴an+1 + an≠0，
∴a n+1 – a n – 4=0，即a n+1 – a n = 4，∴数列{an}是等差数列.
（2）由a n+1 – a n = 4，由题知Bn+1 = 5Bn – 4 Bn–1， Bn+1 – Bn = 4（Bn – Bn–1） bn+1 = 4bn（n≥2）
又已知b1 = 1，b2 = 4. 故{bn}是首项为1，公比为4的等比数列. an =4n –1 （n∈N+）
※ 知识拓展
公比为q的等比数列具有如下基本性质：
1. 数列，，，，等，也为等比数列，公比分别为. 若数列为等比数列，则，也等比.
2. 若，则. 当m=1时，便得到等比数列的通项公式.
3. 若，，则.
4. 若各项为正，c>0，则是一个以为首项，为公差的等差数列. 若是以d为公差的等差数列，则是以为首项，为公比的等比数列. 当一个数列既是等差数列又是等比数列时，这个数列是非零的常数列.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 在为等比数列中，，，那么（ ）.
A. ±4 B. 4 C. 2 D. 8
2. 若－9，a1，a2，－1四个实数成等差数列，－9，b1，b2，b3，－1五个实数成等比数列，则b2(a2－a1)＝（ ）.
A．8 B．－8 C．±8 D．
3. 若正数a，b，c依次成公比大于1的等比数列，则当x>1时，，，（ ）
A.依次成等差数列 B.各项的倒数依次成等差数列
C.依次成等比数列 D.各项的倒数依次成等比数列
4. 在两数1，16之间插入三个数，使它们成为等比数列，则中间数等于 .
5. 在各项都为正数的等比数列中，，则log3+ log3+…+ log3 .
课后作业
1. 在为等比数列中，，，求的值.
2. 已知等差数列的公差d≠0，且，，成等比数列，求.
3．已知数列满足a1=,且an+1=an+,n∈N*，(1)求证{an－}是等比数列. (2)求数列{an}的通项公式.
解：(1)由an+1 =an+得?an+1－又an－≠0?∴
即，数列{an－}构成等比数列.
(2) 由(1)知an－=(a1－)（）n－1,且a1=
即an=(a1－n－1+==
§2.4等比数列学案（2）
学习目标
1.灵活应用等比数列的定义及通项公式；
2. 熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P51 ~ P54，找出疑惑之处）
复习1：等比数列的通项公式 .公比q满足的条件是
复习2：等差数列有何性质？
二、新课导学
※ 学习探究
1.在等比数列{}中，是否成立呢？
2.是否成立？你据此能得到什么结论？
3.是否成立？你又能得到什么结论？
新知1：等比数列的性质
在等比数列中，若m+n=p+q，则.
※ 典型例题
例1在等比数列｛an｝中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比为整数，求a10.
试试：（1）在等比数列{an}中，如果a6=6,a9=9，那么a3等于( )
A.4 B. C. D.2
（2）在各项都为正数的等比数列｛an｝中，若a5·a6＝9，则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a10等于( )
A.8 B.10? C.12 D.2＋log35
例2 已知是项数相同的等比数列，数列{}也一定是等比数列吗？证明你的结论.
试试：一个直角三角形三边成等比数列，则（ ）.
A. 三边之比为3：4：5 B. 三边之比为1：：3
C. 较小锐角的正弦为 D. 较大锐角的正弦为
例3已知四个数前3个成等差，后三个成等比，中间两数之积为16，前后两数之积为－128，求这四个数.
试试： 在7和56之间插入、，使7、、、56成等比数列，若插入、，使7、、、56成等差数列，求＋＋＋的值.
数列满足，，（1）求证是等比数列；（2）求数列的通项公式。
试试：在中，，试求的通项
例5 在中，，试求的通项
试试：在中，求｛｝的通项
能力提升
例6 已知数列{an}，an∈N*，Sn =.（1）求证：{an}是等差数列；
（2）若b1 =1，b2 =4，{bn}前n项和为Bn，且Bn+1 =（a n+1 – a n + 1）Bn +（a n – a n+1）Bn –1（n≥2）.求{bn}通项公式.
※ 知识拓展
公比为q的等比数列具有如下基本性质：
1. 数列，，，，等，也为等比数列，公比分别为. 若数列为等比数列，则，也等比.
2. 若，则. 当m=1时，便得到等比数列的通项公式.
3. 若，，则.
4. 若各项为正，c>0，则是一个以为首项，为公差的等差数列. 若是以d为公差的等差数列，则是以为首项，为公比的等比数列. 当一个数列既是等差数列又是等比数列时，这个数列是非零的常数列.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 在为等比数列中，，，那么（ ）.
A. ±4 B. 4 C. 2 D. 8
2. 若－9，a1，a2，－1四个实数成等差数列，－9，b1，b2，b3，－1五个实数成等比数列，则b2(a2－a1)＝（ ）.
A．8 B．－8 C．±8 D．
3. 若正数a，b，c依次成公比大于1的等比数列，则当x>1时，，，（ ）
A.依次成等差数列 B.各项的倒数依次成等差数列
C.依次成等比数列 D.各项的倒数依次成等比数列
4. 在两数1，16之间插入三个数，使它们成为等比数列，则中间数等于 .
5. 在各项都为正数的等比数列中，，则log3+ log3+…+ log3 .
课后作业
1. 在为等比数列中，，，求的值.
2. 已知等差数列的公差d≠0，且，，成等比数列，求.
3．已知数列满足a1=,且an+1=an+,n∈N*，(1)求证{an－}是等比数列. (2)求数列{an}的通项公式.
§2.5等比数列的前n项和教案(1)
学习目标
1. 掌握等比数列的前n项和公式；
2. 能用等比数列的前n项和公式解决实际问题.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P55 ~ P56，找出疑惑之处）
复习1：什么是数列前n项和？等差数列的数列前n项和公式是什么？
复习2：已知等比数列中，，，求.
二、新课导学
※ 学习探究
新知：等比数列的前n项和公式
设等比数列它的前n项和是，公比为q≠0，
公式的推导方法一：
则

当时， 当q=1时，
试试：求等比数列，，，…的前8项的和.
※ 典型例题
例1已知a1=27，a9=，q<0，求这个等比数列前5项的和.
变式：在等比数列｛an｝中，
（１）已知，求an. （２）已知
解 若ｑ＝１，则Ｓ６＝２Ｓ３，这与已知是矛盾的，所以ｑ≠１．从而
将上面两个等式的两边分别相除，得
所以ｑ＝２，由此可得，因此
例2 在等比数列｛an｝中，a1+an=66,a2·an－1=128,且前n项和Sn=126,求n及公比q.
解 ∵a1an=a2an－1=128,又a1+an=66, ∴a1、an是方程x2－66x+128=0的两根，
解方程得x1=2,x2=64,
∴a1=2,an=64或a1=64,an=2,显然q≠1.
若a1=2,an=64,由=126 得2－64q=126－126q, ∴q=2,
由an=a1qn－1得2n－1=32, ∴n=6.
若a1=64,an=2,同理可求得q=,n=6.
综上所述，n的值为6，公比q=2或.
变式：等比数列中,,,则 ( )
A.12 B.10 C.8 D.
例3 等比数列中前n项和为,,,求的值.
变式：已知等比数列的前项和,前项和,则前项和( )
A.64 B.66 C. D.
例4 水土流失是我国西部大开发中最突出的生态问题．全国9100万亩的坡耕地需要退耕还林，其中西部地区占７０％．国家确定2000年西部地区退耕土地面积为515万亩，以后每年退耕土地面积递增１２％，那么从2000年起到2005年底，西部地区退耕还林的面积共有多少万亩（精确到万亩）？
解：根据题意，每年退耕还林的面积比上一年增长的百分比相同，所以从2000年起，每年退耕还林的面积（单位：万亩）组成一个等比数列，其中
＝515，ｑ＝１＋１２％＝1.12，ｎ＝６，
则
答　从2000年起到2005年底，西部地区退耕还林的面积共有4179万亩．
变式：某人2004年初向银行申请个人住房公积金贷款20万元购买住房，月利率3.375‰，按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月初开始还贷．如果10年还清，那么每月应还贷多少元？
分析：对于分期付款，银行有如下规定：
（１）分期付款为复利计息，每期付款数相同，且在期末付款；
（２）到最后一次付款时，各期所付的款额的本利之和等于商品售价的本利之和．
为解决上述问题，我们先考察一般情形．设某商品一次性付款的金额为ａ元，以分期付款的形式等额地分成ｎ次付清，每期期末所付款是ｘ元，则分期付款方式可表示为：
从而有
运用等比数列求和公式，化简得
这就是分期付款的数学模型．
解　设每月应还贷ｘ元，共付款12×10=120次，则有
化简得
答　每月应还贷款2029.66元．
※ 知识拓展
1. 若，，则构成新的等比数列，公比为.
2. 若三个数成等比数列，且已知积时，可设这三个数为. 若四个同符号的数成等比数列，可设这四个数为.
3. 证明等比数列的方法有：
（1）定义法：；（2）中项法：.
4. 数列的前n项和构成一个新的数列，可用递推公式表示.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 数列1，，，，…，，…的前n项和为（ ）.
A. B. C. D. 以上都不对
2. 等比数列中，已知，，则（ ）.
A. 30 B. 60 C. 80 D. 160
3. 设是由正数组成的等比数列，公比为2，且，那么（ ）.
A. B. C. 1 D.
4. 等比数列的各项都是正数，若，则它的前5项和为 .
5. 等比数列的前n项和，则a＝ .
§2.5等比数列的前n项和学案(1)
学习目标
1. 掌握等比数列的前n项和公式；
2. 能用等比数列的前n项和公式解决实际问题.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P55 ~ P56，找出疑惑之处）
复习1：什么是数列前n项和？等差数列的数列前n项和公式是什么？
复习2：已知等比数列中，，，求.
二、新课导学
※ 学习探究
新知：等比数列的前n项和公式
设等比数列它的前n项和是，公比为q≠0，
公式的推导方法一：
则

当时， 当q=1时，
试试：求等比数列，，，…的前8项的和.
※ 典型例题
例1已知a1=27，a9=，q<0，求这个等比数列前5项的和.
变式：在等比数列｛an｝中，
（１）已知，求an. （２）已知
例2 在等比数列｛an｝中，a1+an=66,a2·an－1=128,且前n项和Sn=126,求n及公比q.
变式：等比数列中,,,则 ( )
A.12 B.10 C.8 D.
例3 等比数列中前n项和为,,,求的值.
变式：已知等比数列的前项和,前项和,则前项和( )
A.64 B.66 C. D.
例4 水土流失是我国西部大开发中最突出的生态问题．全国9100万亩的坡耕地需要退耕还林，其中西部地区占７０％．国家确定2000年西部地区退耕土地面积为515万亩，以后每年退耕土地面积递增１２％，那么从2000年起到2005年底，西部地区退耕还林的面积共有多少万亩（精确到万亩）？
变式：某人2004年初向银行申请个人住房公积金贷款20万元购买住房，月利率3.375‰，按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月初开始还贷．如果10年还清，那么每月应还贷多少元？
分析：对于分期付款，银行有如下规定：
（１）分期付款为复利计息，每期付款数相同，且在期末付款；
（２）到最后一次付款时，各期所付的款额的本利之和等于商品售价的本利之和．
※ 知识拓展
1. 若，，则构成新的等比数列，公比为.
2. 若三个数成等比数列，且已知积时，可设这三个数为. 若四个同符号的数成等比数列，可设这四个数为.
3. 证明等比数列的方法有：
（1）定义法：；（2）中项法：.
4. 数列的前n项和构成一个新的数列，可用递推公式表示.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 数列1，，，，…，，…的前n项和为（ ）.
A. B. C. D. 以上都不对
2. 等比数列中，已知，，则（ ）.
A. 30 B. 60 C. 80 D. 160
3. 设是由正数组成的等比数列，公比为2，且，那么（ ）.
A. B. C. 1 D.
4. 等比数列的各项都是正数，若，则它的前5项和为 .
5. 等比数列的前n项和，则a＝ .
§2.5等比数列的前n项和教案(2)
学习目标
1. 进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式；
2. 会用公式解决有关等比数列的中知道三个数求另外两个数的一些简单问题.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P57 ~ P62，找出疑惑之处）
复习1：等比数列的前n项和公式.
当时，
当q=1时，
复习2：等比数列的通项公式. .
二、新课导学
※ 典型例题
例1 数列的前n项和（a≠0，a≠1），试证明数列是等比数列.
变式：已知数列的前n项和，且， ，设，求证：数列是等比数列.
例2 已知数列｛an｝中， an＋1＝an＋2n，a1＝3，求an.
变式：已知数列5，55，555，5555，55555，555555，…，求an.
例3 已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝2，a3＋a4＋a5＝64.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝2，求数列{bn}的前n项和Tn.
解析：(1)设公比为q，则an＝a1qn－1，由已知有
 化简得
又a1>0，故q＝2，a1＝1. 所以an＝2n－1.
(2)由(1)知bn＝2＝an2＋＋2＝4n－1＋＋2.
因此Tn＝(1＋4＋…＋4n－1)＋＋2n ＝＋＋2n＝(4n－41－n)＋2n＋1.
变式：求数列，，，．．．的前n项和.
解 （）+（）+．．．+（）＝（１＋２＋３＋．．．＋ｎ）＋（）
=
例4 设数列 的首项a1=1,前n项的和Sn满足关系式3tSn－(2t+3)Sn－1=3t(t为常数,且t>0, n=2,3,4,……)。
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)设 的公比为f(t)，作数列，使得b1=1,bn=f() (n=2,3,4,…)，求的通项公式。
(3)求和：b1b2－b2b3+b3b4－…+b2n－1b2n－b2nb2n+1
解： (1)求得a1=S1=1 S2=a1+a2=1+a2,代入关系式，得 ,
又3tSn－(2t+3)Sn－1=3t, 3tSn－1－(2t+3)Sn－2=3t, 两式相减得3tan－(2t+3)an－1=0, ∴
(2)由f(t)= 得bn=f 由此可得
(3)原式 = b2(b1－b3)+b4(b3－b5)+…+b2n(b2n－1－b2n+1) =
例5 在数列中，求数列的前n项和Sn.
分析：要分成偶数项和奇数项之和分别求解。
解 当n=2k(k∈N+)时，a1,a3,a5,…，a2k－1，…，成等差数列，公有效差为4，首项为1；而a2,a4，…，a2k，…成等比数列，公比为q，首项为a2=9,
. 将k=代入得
当n=2k－1时，由S2k－1=S2k－a2k，得.
变式：已知{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列．
(1)求q的值；
(2)设{bn}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn.当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由．
解析：(1)由题设2a3＝a1＋a2，即2a1q2＝a1＋a1q，
∵a1≠0，∴2q2－q－1＝0. ∴q＝1或－.
(2)若q＝1，则Sn＝2n＋·1＝. 当n≥2时，Sn－bn＝Sn－1＝＞0， 故Sn＞bn.
若q＝－，则Sn＝2n＋＝. 当n≥2时，Sn－bn＝Sn－1＝－，
故对于n∈N*，当2≤n≤9时，Sn＞bn； 当n＝10时，Sn＝bn；当n≥11时，Sn＜bn.
例6．等比数列{}的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上. （1）求r的值；
（11）当b=2时，记 求数列的前项和
解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数)的图像上.所以得, 当时,,
当时,,
又因为{}为等比数列, 所以, 公比为, 所以
（2）当b=2时，,
则
相减,得
所以
变式：已知数列{an}的首项a1＝，an＋1＝，n＝1,2….(1)证明：数列{－1}是等比数列；
(2)求数列{}的前n项和Sn.
解析：(1)证明：∵an＋1＝，∴＝＝＋·，∴－1＝.
又a1＝，∴－1＝，∴数列{－1}是以为首项，为公比的等比数列．
(2)由(1)知－1＝·＝，即＝＋1，∴＝＋n.
设Tn＝＋＋＋…＋，① 则Tn＝＋…＋＋，②
①－②得Tn＝＋＋…＋－＝－＝1－－，
∴Tn＝2－－. 又1＋2＋3＋…＋n＝，
∴数列的前n项和Sn＝2－＋＝－.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 等比数列中，，，则（ ）.
A. 21 B. 12 C. 18 D. 24
2. 在等比数列中，，q＝2，使的最小n值是（ ）.
A. 11 B. 10 C. 12 D. 9
3. 计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”.如(1101)表示二进制的数， 将它转换成十进制的形式是，那么将二进制数(11111111)转换成十进制的形式是（ ）.
A. B. C. D.
4. 在等比数列中，若，则公比q＝ .
5. 在等比数列中，，，，则q＝ ，n＝ .
6. 求数列1，1+2，1+2+22，1+2+22+23，…的前n项和Sn.
例3 设数列为,,求此数列前项的和.
【解】①
②
由①(②得，
当时，

当时，
§2.5等比数列的前n项和学案(2)
学习目标
1. 进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式；
2. 会用公式解决有关等比数列的中知道三个数求另外两个数的一些简单问题.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P57 ~ P62，找出疑惑之处）
复习1：等比数列的前n项和公式.
当时，
当q=1时，
复习2：等比数列的通项公式. .
二、新课导学
※ 典型例题
例1 数列的前n项和（a≠0，a≠1），试证明数列是等比数列.
变式：已知数列的前n项和，且， ，设，求证：数列是等比数列.
例2 已知数列｛an｝中， an＋1＝an＋2n，a1＝3，求an.
变式：已知数列5，55，555，5555，55555，555555，…，求an.
例3 已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝2，a3＋a4＋a5＝64.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝2，求数列{bn}的前n项和Tn.
变式：求数列，，，．．．的前n项和.
例4 设数列 的首项a1=1,前n项的和Sn满足关系式3tSn－(2t+3)Sn－1=3t(t为常数,且t>0, n=2,3,4,……)。
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)设 的公比为f(t)，作数列，使得b1=1,bn=f() (n=2,3,4,…)，求的通项公式。
(3)求和：b1b2－b2b3+b3b4－…+b2n－1b2n－b2nb2n+1
例5 在数列中，求数列的前n项和Sn.
分析：要分成偶数项和奇数项之和分别求解。
变式：已知{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列．
(1)求q的值；
(2)设{bn}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn.当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由．
例6．等比数列{}的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上. （1）求r的值；
（2）当b=2时，记 求数列的前项和
变式：已知数列{an}的首项a1＝，an＋1＝，n＝1,2….(1)证明：数列{－1}是等比数列；
(2)求数列{}的前n项和Sn.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 等比数列中，，，则（ ）.
A. 21 B. 12 C. 18 D. 24
2. 在等比数列中，，q＝2，使的最小n值是（ ）.
A. 11 B. 10 C. 12 D. 9
3. 计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”.如(1101)表示二进制的数， 将它转换成十进制的形式是，那么将二进制数(11111111)转换成十进制的形式是（ ）.
A. B. C. D.
4. 在等比数列中，若，则公比q＝ .
5. 在等比数列中，，，，则q＝ ，n＝ .
6. 求数列1，1+2，1+2+22，1+2+22+23，…的前n项和Sn.
例3 设数列为,,求此数列前项的和.
第二章 数列（复习）
学习目标
1. 系统掌握数列的有关概念和公式；
2. 了解数列的通项公式与前n项和公式的关系；
3. 能通过前n项和公式求出数列的通项公式.
学习过程
一、知识回顾
1.等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质
等差数列
等比数列
定义
通项公式
=+（n-1）d=+（n-k）d=+-d
求和公式
中项公式
A= 推广：2=
。
推广：
性质
1
若m+n=p+q则
若m+n=p+q，则。
2
若成A.P（其中）则也为A.P。
若成等比数列 （其中），则成等比数列。
3
成等差数列。
成等比数列。
4

任一数列,其通项和它的前n项和之间的关系是

2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：
(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证为同一常数。
(2)通项公式法。
(3)中项公式法:验证都成立。
3. 在等差数列｛｝中,有关Sn 的最值问题：
(1)当>0,d<0时，满足的项数m使得取最大值。
(2)当<0,d>0时，满足的项数m使得取最小值。
二、数列求和的常用方法：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等。
1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
2.裂项相消法:适用于其中{ }是各项不为0的等差数列，c为常数。
3.错位相减法:适用于其中{ }是等差数列，是各项不为0的等比数列。
4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法。
5.常用结论
1） 1+2+3+...+n =
2） 1+3+5+...+(2n-1) =
3）
4）
5）
※ 典型例题
一 函数方程思想在研究数列问题中的运用
例1（1）首项为正数的等差数列｛a｝，其中S=S，问此数列前几项和最大？
（2）等差数列｛a｝中，S=100，S=300，求 S。
（3）等差数列的公差不为0，a=15,a,a,a成等比数列，求S。
解（1）设S= An+B（A≠0），∵S=S，
∴9A+3B=121A+11B，即14A+B=0。 又∵S= An+B=A（n+）－,
∴当n=－=7时，S有最大值S。
（2）设S=An+Bn(A≠0)∵S=100，S=300,
∴∴S=900×+30×5=600。
另解 ∵S=100，S=300，又S，S－S，S－S成等差数列。
∴S－S=2（S－S）－S∴S=600
（3）设a=An+B(A≠0) ∵a=15,a=a·a, ∴
∴ a=2n－1
∴S=(2×1－1)+(2×2－1)+…+（2×n－1）=2×(1+2+…+n)－n=n(n+1)－n=n.
二 求数列的通项公式
数列的通项公式是数列的核心之一，它如同函数中的解析式一样，有解析式便可研究其性质等；而有了数列的通项公式便可求出任一项及前n项和等，现将求数列通项公式的几种题目类型及方法总结如下。
观察法
观察法就是观察数列特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数n的内在联系，从而归纳出数列的通项公式。
例2写出下面各数列的一个通项公式
（1），…； （2）1，－…； （3）…；
（4）21，203，2005，20007，…； （5）0.2,0.22,0.222,0.2222,…；
（6）1，0，1，0，…； （7）1，…
【解】（1）a=. (2)a=（－1）· （3）a= （4）a=2×10+（2n－1）.
(5)a=·（1－）。 （6）a= （7） a=+.
评析 用观察法写数列的通项公式，一般考虑如下几点：
观察数列各项符号变化，考虑通项公式中是否有（－1）或者（－1）部分，如本例中（2），（6），（7）也有所涉及。
分解分子分母的因数（式），考虑其变化规律与序号的关系，应注意根据某些变化规律较明显的项，“猜”出某些因式约分后规律表现得不那么明显的项，同时要特别注意等差，等比关系，如本例（2），（3），（4）等。
考虑分子、分母与一些特殊数列如2，3，n,n等的关系，如本例（1），（2），（3）等。
已知S求a或已知S与a的关系求a 即
例3已知下列各数列｛a｝的前n项和S的公式，求｛a｝的通项公式。
S=10－1； （2）S=10+1；
【解】（1）a=9·10（n）. (2)
评析 已知｛a｝的前n项和S求a时应注意以下三点：
应重视分类类讨论的应用，要先分n=1和n≥2两种情况讨论，特别注意由S－S= a推导的通项a中的n≥2。
由S－S= a，推得的a且当n=1时，a也适合“a式”，则需统一“合写”。
由S－S= a推得的a，当n=1时，a不适合“a式”，则数列的通项应分段表示（“分号”），即 如本例中（2），（3）。请观察本例中（1）与（2）的差异及联系。
累差法：若数列｛a｝满足a－a=f(n)(n),其中｛f(n)｝是易求和数列，那么可用累差法求a。
例4求数列1，3，7，13，21，…的一个通项公式。
【解】 a=n－n+1.
评析 我们应验证n=1时a=1适合a=n－n+1式，这是什么原因。
累商法：若数列｛a｝满足=f(n)( n),其中数列｛f(n)｝前n项积可求，则可用累商法求a.
例5在数列｛a｝中，a=2，a= a,求通项a。
【解】 a=2n .
构造法
直接求通项a较难求，可以通过整理变形等，从中构造出一个等差或等比数列，从而将问题转化为较易求解的问题，进一步求出通项a。
例6各项非零的数列｛a｝，首项a=1,且2S=2aS－a,n≥2,求数列的通项a。
【解】 ∵a=1，2S=2aS－a, n≥2,又a= S－S.
∴2S=2S－2 SS－S+ S，∴－=2 （n≥2）
∴数列｛｝是以=1为首项，以2为公差的等差数列，
∴=1+（n－1）·2=2n－1, S=.
∴a= S－S=－= (n≥2)
又a=S=1,不适合上式，
∴
三 数列求和
数列求和是数列部分的重要内容，求和问题也是很常见的试题，对于等差数列，等比数列的求和主要是运用公式；某些既不是等差数，也不是等比数列的求和问题，一般有以下四种常用求和技巧和方法。
1.公式法：能直接应用等差数列或等比数列的求和公式以及正整数平方和，立方和公式寻求和的方法。
例7数列｛a｝的通项a=n－n，求前n项和S。
【解】 S=（1－1）+（2－2）+…+（n－n）=（1+2+…+n）－（1+2+…+n）
=－=。
2.倒序求和法
3.错项求和法
例8求和S=+++…+。答案 S=3－。
4.裂拆项法
例9在数列｛a｝中，a=10+2n－1,求S
【解】 S=（10+2×1－1）+（10+2×2－1）+…（10+2n－1）
=（10+10+…+10）+2×（1+2+…+n）－n=+n(n+1)－n=(10－1)+n.
练习：求数列1，1+2，1+2+3，…的前n项的和。
答案 S=。
例10已知数列｛a｝：，，，…，…，求它的前n项和。
【解】∵a==2（），
∴S=a+a+a+…+a=2[(1－)+(－)+(－)+…+（）]=2（1－）=。
评析 如果数列的通项公式可转化为f(n+1)－f(n)形式，常采用裂项求和的方法，特别地，当数列的通项公式是关于n的分式形式时，可尝试采用此法。
常用的裂项技巧如：=（）；=（－）等。
使用裂项法时要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项；你是否注意到由于数列｛a｝中每一项a均裂成一正一负两项，所以互为相反数的项合并为零后，所剩正数项与负数项的项数必是一样多的，切不可漏写未被消去的项。
四、等差、等比数列的综合问题
例11已知数列的前n项和=4+2(n∈N＋)，a=1.
(1)设=-2,求证：数列为等比数列，
(2)设Cn=,求证：是等差数列.
证明：(1) =4+2, =4+2,相减得=4-4,

∴是以3为首项，2为公比的等比数列，∴=3×２?.
(2) ∵
，
∴是以为首项，为公差的等差数列.
说明：一个表达式中既含有又含有Ｓｎ，一般要利用＝－（ｎ≥２），消去或.
例12在等比数列中，，求的范围.
解：∵，∴
又∵，且，∴，
∴解之：
当时，，∴
（∵）
当时，，
∵且必须为偶数
∴，（∵）
例12 设{}, {}都是等差数列，它们的前n项和分别为, , 已知,求⑴；⑵
⑴ 解法1：＝＝＝.
⑴解法2：∵{}, {}都是等差数列∴可设＝kn(5n+3), =kn(2n-1)
∴=-= k[n(5n+3)-(n-1)(5(n-1)+3)]=kn(10n-2),
=-=k[n(2n-1)-(n-1)(2(n-1)-1)] =kn(4n-3),
∴==
⑵解：由⑴解法2，有
=-= k[n(5n+3)-(n-1)(5(n-1)+3)]=kn(10n-2),
=-=k[n(2n-1)-(n-1)(2(n-1)-1)] =kn(4n-3),
∴＝k5(105-2)=240k
＝k8(48-3)=232k
∴ =
【追踪训练】
1．一等差数列共有9项，第1项等于1，各项之和等于369，一等比数列也有9项，并且它的第1项和最末一项与已知的等差数列的对应项相等，求等比数列的第7项。
解：设等差数列为｛an｝，公差为d，等比数列为｛bn｝,公比为q.
由已知得：a=b=1,?
又b＝ａ，∴ｑ＝81，∴ｑ＝３，
∴b＝ｂｑ＝27，即等比数列的第7项为27.
说明：本题涉及的量较多，解答要理清关系，以免出错.?
2．已知, a, , …, , …构成一等差数列，其前n项和为＝n, 设＝, 记{}的前n项和为, (1) 求数列{}的通项公式；(2) 证明：<1.
解：(1) ＝＝1, 当n≥2时, ＝－＝2n－1;
由于n＝1时符合公式，∴ ＝2n－1 (n≥1).
(2) ＝,
∴ ＝,
两式相减得
＝＋＝＋(1－)－,
∴ ＝＋(1－)－<1.
3．已知等差数列{}的前n项和为，＝, 且＝,＋＝21, (1) 求数列{bn}的通项公式；(2) 求证：＋＋＋……＋<2.
解：(1)设等差数列{}的首项为, 公差为d,则＝(＋2d)·＝,
＋＝8＋13d＝21, 解得 ＝1, d＝1,
∴ ＝n, ＝, ＝;
(2) ＋＋＋……＋
＝2·[(1－)＋(－)＋……＋()]<2.
4．已知数列，，
（1）求通项公式；
（2）若，求数列的最小项的值；
（3）数列的前项和为，求数列前项的和．
5．等差数列中，，，依次抽出这个数列的第项，组成数列，求数列的通项公式和前项和公式．
6．已知函数f (x)＝(x－1), 数列{}是公差为d的等差数列，数列{}是公比为q的等比数列(q∈R, q≠1, q≠0),
若＝f (d－1), ＝f (d＋1), ＝f (q－1), ＝f (q＋1),
(1) 求数列{}, {}的通项公式；
(2) 设数列{}对任意的自然数n均有
成立，求＋＋＋……＋的值.
解：(1) ＝f (d－1)＝(d－2), ＝f (d＋1)＝d,
∴ －＝2d, 即d－(d－2)＝2d,
解得d＝2, ∴ ＝0, ＝2(n－1),
又＝f (q－1)＝(q－2), ＝f (q＋1)＝q, ＝q,
∴ ＝q,
∵q ≠1, ∴ q＝3, ∴＝1, ＝3
(2) 设＝(n∈N), 数列{}的前n项和为,
则＝＝2n, ＝＝2(n－1),
∴－＝2, 即＝2, ∴ ＝2＝2·3
∴＋＋＋……＋＝2＋2·3＋……＋2·3＝＝
2.等比数列中，,那么（?A? ?? ）.
　（A）? （B）－3? （C）? （D）3
3.等比数列中，，则等于（?B ? ）.
（A）14　 （B）16　 （C）18 　（D）20
4.某工厂生产总值月平均增长率为，则年平均增长率为（?D????? ）.
（A） （B）??
（C）?? （D）
5.的和为（?D???? ）.
（A）　（B）　
（C）　（D）
6.设是公差为－2的等差数列，若，则（?C. ?? ）.
（A）－182（B）－148（C）－82（D）－78
6.公比为的等比数列的前项的和为，且，则 －1 .
7.数列的通项公式是，前项的和为10，则项数等于___120?_____.
8.是由7个正数组成的等比数列，其前三项的和为26，后三项的和为2106，则第四项等于__54_________.
9.一个弹球从32米的高处自由落下，每次着地后又跳回原高度的一半再落下，第五次着地时所经过的路程为__92?_________米.
【拓展延伸】
10.已知是公差不为0的等差数列，是公比为的等比数列，且,求数列的前项和.
12.由数列：构成一个新数列,,,,…,…，此数列是首项为1，公比为的等比数列.求数列的通项及前项的和为.
（12;.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 集合的元素个数是（ ）.
A. 59 B. 31 C. 30 D. 29
2. 若在8和5832之间插入五个数，使其构成一个等比数列，则此等比数列的第五项是（　　）.
A．648　　B．832　　C．1168　　D．1944
3. 设数列是单调递增的等差数列，前三项的和是12， 前三项的积是48，则它的首项是（ ）.
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
4. 已知等差数列的前项和为，则使得最大的序号的值为 .
5. 在小于100的正整数中，被5除余1的数的个数有 个；这些数的和是
课后作业
1. 观察下面的数阵， 容易看出， 第行最右边的数是， 那么第20行最左边的数是几?第20行所有数的和是多少?
1
2 3 4
5 6 7 8 9
11 12 13 14 15 16
18 19 20 21 22 23 24 25
… … … … … …
2. 选菜问题：学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A，B两种菜可供选择.调查资料表明，凡是在星期一选A种菜的，下星期一会有20% 改选B种菜；而选B种菜的，下星期一会有30% 改选A种菜. 用分别表示在第个星期选A的人数和选B的人数，如果 求.
§3.1 不等关系与不等式（1）
学习目标
1. 了解现实世界和日常生活中存在着的不等关系；
2. 会从实际问题中找出不等关系，并能列出不等式与不等式组.
学习过程
一、课前准备
复习1：写出一个以前所学的不等关系_________
复习2：用不等式表示，某地规定本地最低生活保障金x不低于400元______________________
二、新课导学
※ 学习探究
探究1：限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是_______________
某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量p应不少于2.5%，蛋白质的含量q应不少于2.3%，写成不等式组就是_________________
※ 典型例题
例1 设点A与平面的距离为d，B为平面上的任意一点，则其中不等关系有______________
例2 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本. 据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本. 若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
例3某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种．按照生产的要求，600mm的数量不能超过500mm钢管的3倍．怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？
试试：1. 某夏令营有48人，出发前要从A、B两种型号的帐篷中选择一种．A型号的帐篷比B型号的少5顶．若只选A型号的，每顶帐篷住4人，则帐篷不够；每顶帐篷住5人，则有一顶帐篷没有住满．若只选B型号的，每顶帐篷住3人，则帐篷不够；每顶帐篷住4人，则有帐篷多余．设A型号的帐篷有x顶，用不等式将题目中的不等关系表示出来．
2. 某正版光碟，若售价20元/本，可以发行10张，售价每体高2元，发行量就减少5000张，如何定价可使销售总收入不低于224万元?
§3.1 不等关系与不等式（2）
学习目标
1. 掌握不等式的基本性质；
2. 会用不等式的性质证明简单的不等式；
3. 会将一些基本性质结合起来应用.
学习过程
一、课前准备
2．在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质.
（1）
（2）
（3）
（4）
二、新课导学
※ 学习探究
问题1：如何比较两个实数的大小.
问题2：同学们能证明以上的不等式的基本性质吗？并利用以上基本性质，证明不等式的下列性质：
试试：（1）有以下四个条件：（3）；（4）
其中能使成立的有 3 个
（2）若a、b、c，a>b,则下列不等式成立的是（ C ）
A． B． C． D．
※ 典型例题
例1 比较大小：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4）当时，_______.
变式：比较与的大小.
例2 已知求证.

变式： 已知，，求证：.
例3已知的取值范围.
变式：已知，求的取值范围.
※ 动手试试
练1. 用不等号“>”或“<”填空：
（1）；（2）；
（3）； （4）.
※ 知识拓展 “作差法”、“作商法”比较两个实数的大小
（1）作差法的一般步骤：作差——变形——判号——定论
（2）作商法的一般步骤：作商——变形——与1比较大小——定论
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 若，，则与的大小关系为（ ）.
A． B． C． D．随x值变化而变化
2. 已知，则一定成立的不等式是（ ）.
A． B． C． D．
3. 已知，则的范围是（ ）.
A． B． C． D．
4. 如果，有下列不等式：①，②，③，④，其中成立的是 .
5. 设，，则三者的大小关系为 .
课后作业
1. 某市环保局为增加城市的绿地面积，提出两个投资方案：方案A为一次性投资500万元；方案B为第一年投资5万元，以后每年都比前一年增加10万元．列出不等式表示“经n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”．
§3.2 一元二次不等式及其解法的实际应用（4）
学习目标
1. 学会建立一元二次不等式及二次函数模型解决实际问题；
2. 体会由实际问题建立数学模型的过程和方法。
学习过程
一、新课导学
※ 典型例题
例1 某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m和汽车的速度 x km/h有如下的关系：.
在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前的速度是多少？（精确到0.01km/h）
试试：汽车在行驶中, 由于惯性的作用, 刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住, 我们称这段距离为“刹车距离”, 刹车距离是分析事故的一个重要因素.
在一个限速为40km / h的弯道上 , 甲、乙两辆汽车相向而行 , 发现情况不对 , 同时刹车, 但还是相碰了, 事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m , 乙车的刹车距离略超过10m , 又知甲、乙两种车型的刹车距离s ( m )与车速x ( km / h )之间分别有如下关系 : s甲= 0.1x+0.01x2, s乙=0.05x+0.005x2, 问甲、乙两车有无超速现象?
例2 一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（辆）与创造的价值y（元）之间有如下的关系：
若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？
例3 产品的总成本y（万元）与产量x之间的函数关系式是， 若每台产品的售价为25万元，求生产者不亏本时的最低产量.
试试：某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏. 为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？
例4某企业生产一种机器的固定成本为0.5万元, 但每生产100台时又需可变成本0.25万元, 市场对此商品的年需求量为500台, 销售收入函数为R(x)=5x－x2 (万元) (0≤x≤5). 其中x是产品售出的数量(单位: 百台)
(1)把利润表示为年产量的函数;
(2)年产量为多少时, 企业所得的利润最大?
(3)年产量为多少时, 企业才不亏本?
略解：（１）设利润为，则
（２）当且仅当时，的最大值为万元．
（３）由，解得 即
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 1.某厂扩建后计划后年的产量不低于今年的2倍, 那么明、后两年每年的平均增长率至少
是 41.4% ．（精确到0.1％）.
2．要在长为800米,宽为600米的一块长方形地面上进行绿化,要求四周种花卉(花卉带的宽度相同),中间种草坪,要求草坪的面积不小于总面积的一半,则花卉带宽度x的范围为 .
3.已知半圆的半径为1,其内接等腰梯形的一条底边与半圆的直径重合,则当x= 1 时,梯形的周长最长.
4. 已知两个圆的半径分别为1和5，圆心距满足，则两圆的位置关系为 .
课后作业
1. .国家为了加强对烟酒生产的宏观管理, 实行征收附加税政策, 已知某种酒每瓶70元, 不加收附加税时, 每年大约销售100万瓶; 若政府征收附加税, 每销售100元要征税R元(叫做税率R%), 则每年的销售量将减少10R万瓶, 要使每年在此项经营中所收取的附加税不少于112万, R应怎样确定?
解：由(100-10R)×70%112,解得
2．某地区上年度电价为0.8元/千瓦时,年用电量为a千瓦时,本年度计划将电价降低到0.55元/千瓦时至0.75元/千瓦时之间,而用户期望电价为0.4元/千瓦时.经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k),该地区电力成本价为0.3元/千瓦时,(1)写出本年度电价下调后,电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式.
(2)设k=0.2a,当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?(注:收益=实际用电量×(实际电价－成本价)).
解：(1)设下调后的电价为x元/千瓦时,椐题意知,用电量增至,电力部门的收益为 (0.550.75).
(2) 椐题意有解得0.60.75.
3. 据气象部门预报，在距离某码头O南偏东方向600km处的热带风暴中心A在以20km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450km以内的地区都将受影响. 从现在起多长时间后，该码头将受到热带风暴影响，影响时间为多长？
§3.2 一元二次不等式及其解法（1）
学习目标
1. 正确理解一元二次不等式的概念，掌握一元二次不等式的解法；
2. 理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系，能借助二次函数的图象及一元二次方程解一元二次不等式.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P76~ P78，找出疑惑之处）
复习1：解下列不等式：
①； ②； ③.
二、新课导学
※ 学习探究
探究一：某同学要上网，有两家公司可供选择，公司A每小时收费1.5元(不足1小时按1小时收费);公司B的收费原则为:在第1小时内(含恰好1小时，下同)收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元(若一次上网时间超过17小时按17小时计算). 如何选择?

归纳：这是一个关于x的一元二次不等式，最终归结为如何解一元二次不等式.
新知：只含有____个未知数，并且未知数的最高次数是_______的不等式，称为_______________.
探究二：如何解一元二次不等式？能否与一元二次方程及其图象结合起来解决问题呢？


二次函数
（）的图象
一元二次方程






归纳：解不等式时应先将二次项系数化为正，再根据图象写出其解集.
※ 典型例题
例1求下列不等式的解集。
（1）； （2）10
变式：求下列不等式的解集.
（1）； （2）； （3）。
（4） （5） （6） >0
例2 求下列函数的定义域
(1)y=lg(x2－3x+2) (2) y=
试试：（1） 函数y=的定义域为_____________
（2） 函数y=lg(2x2+3x-1)的定义域为_____________
小结：解一元二次不等式的步骤：（1）将原不等式化为一般式.（2）判断的符号.（3）求方程的根.（4）根据图象写解集.
例3解下列不等式：
（1） （2）
答案：
（1） （2）
思维点拨
解高次或分式不等式的方法：序轴标根法．
步骤：①化一边为零且让最高次数系数均为正；
②把根标在数轴上；
③右上方向起画曲线，让曲线依次穿过标在数轴上的各个根；
④根据“大于0在上方，小于0在下方”写出解集。
注：①重根问题处理方法：“奇过偶不过”．
能力提升
例4 设（为实常数），且方程有两个实数根为，，
（1）求函数的解析式．（２）设，解关于的不等式．
略解：（１）
（２）原式变为 可化为 即
当时，解集为
当时，解集为
当时，解集为
※ 知识拓展
（1）对一切都成立的条件为
（2）对一切都成立的条件为
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 已知方程的两根为，且，若，则不等式的解为（ ）.
A．R B． C．或 D．无解
2. 关于x的不等式的解集是全体实数的条件是（ ）.
A． B． C． D．
3. 在下列不等式中，解集是的是（ ）.
A． B． C． D．
4. 设集合A={x|x2－6x+8<0} , B={x|4－x≥1}, 则A∩B等于 ( )
A.{x|2≤x≤3} B. {x|－45. 的定义域为 .
课后作业
求下列不等式的解集
（1）； （2）.
2. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围.
§3.2一元二次不等式及其解法（2）
学习目标
1. 进一步理解三个一元二次之间的关系，掌握一元二次不等式解的逆向问题；2. 会解一些简单的含参数的一元二次不等式。
学习过程
一、课前准备
复习1：不等式a(x-1)(x-2)<0的解集为{x|x<1或x>2}则a与0的关系为： a复习2：不等式的解集.
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务：含参数的一元二次不等式的解法
问题：解关于的不等式：
分析：在上述不等式中含有参数，因此需要先判断参数对的解的影响.
先将不等式化为方程
此方程是否有解，若有，分别为__________，其大小关系为________________
试试：能否根据图象写出其解集为_____________
※ 典型例题
例1设关于x的不等式的解集为，求.
小结：二次不等式给出解集，既可以确定对应的二次函数图象开口方向（即a的符号），又可以确定对应的二次方程的两个根，由此可根据根与系数关系建立系数字母关系式，或通过代入法求解不等式.
变式：已知二次不等式的解集为或，求关于的不等式的解集.

例２.解关于x的不等式x2－(a+1)x+a>0
解：原式变为：（x－1）(x－a)>0
当a>1时，x<1或x>a；当a1时，x1；当a<1时，x1；所以原式解集为：略．
例3：解关于x的不等式ax2－x+1>0
解 当a=0时，x<1；当a<0时，当0；当a=时，x2；当a>时，xR 综述：略．
试试 （1） 解关于x的不等式ax2－(a+1)x+1>0
答案：a=0：；a<0：；02. 解关于x的不等式x2－ax+1>0
答案：，当时，或
当时，xR；当时，．
三、总结提升
※ 学习小结
对含有字母系数的一元二次不等式，在求解过程中应对字母的取值范围进行讨论，其讨论的原则性一般分为四类：
按二次项系数是否为零进行分类；
若二次项系数不为零，再按其符号分类；
按判别式的符号分类；
按两根的大小分类.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 若方程（）的两根为2，3，那么的解集为（ ）.
A．或 B．或
C． D．
2. 不等式的解集是，则等于（ ）.
A．14 B．14 C．10 D．10
3. 关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
4. 不等式的解集是 .
5. 若不等式的解集为，则的值分别是 .
课后作业
1. 是什么实数时，关于的一元二次方程没有实数根.
2. 解关于的不等式（a∈R）.
3．解关于x的不等式(x－2)(x－a2－a)≤0 .
§3.2一元二次不等式及其解法（3）
学习目标
1. 学会处理含字母系数的一元二次不等式恒成立问题2. 学会处理含字母系数的一元二次不等式实根分布问题
学习过程
一、课前准备
复习1：不等式x2+2x+m2>0恒成立，则m取值范围为　　m<－1或m>1　　　　　　
复习2：方程x2+(m-3)x+m=0的解集为，则m取值范围为　1二、新课导学
例1已知关于x不等式kx2-2x+6k<0的解集为R 求k的取值范围。
解：当k=0时不合题。
当时，由 解得 ．
变式：已知关于x不等式kx2-2kx+6<0的解集为，求k的取值范围。
答案：
思维点拔：
1。若ax2+bx+c>0恒成立(即解集为R)，则 或
2。若ax2+bx+c>0解集为φ，则 或
试试：１．当a为何值时, 不等式(a2－3a+2) x2+(a－1)x+2>0恒成立．
解：或 解得：
例２. 分别求m的取值范围, 使方程x2－mx－m+3=0 的两根满足下列条件:
(1)两根都大于－5 ;
(2)一根大于0小于1 , 一根大于1小于2 .
解：设作草图后得．
（１）进而得 （２）得
例3：已知A={x|x2+(P+2)x+4=0}, M={x|x>0}, 若A∩M=φ, 求实数P的取值范围.
解：分Ａ＝与Ａφ两情况，最终可求出．
思维点拔：
１．实根分布问题解题步骤
(1)化方程一边为零;
(2)设非零一边为函数f(x);
(3)画函数f(x)的符合题意的草图；
(4)根据草图列不等式组；
(5)解不等式组．
试试：方程x2－mx-m+3=0的两根均在(-4,0)内，求m的取值范围．
答案：
例4.若不等式x2－２ax+a+６>0在x∈[-2,2]上时总成立，求实数a的取值范围．
思路：令，
则
椐题意知由得．
试试 ，，且，求的取值范围.
思维点拔：
对于不等式f(x)≥M在x[a,b]上恒成立，只需将其转化为f(x)在[a,b]上的最小值f(x)min≥M即可．因此解决此题的关键是求f(x)在区间[a,b]上的最小值．
类似地，对于不等式f(x)≤M在x[a,b]上恒成立，只需将其转化为f(x)在[a,b]上的最大值f(x)max≤M即可．因此解决此题的关键是求f(x)在区间[a,b]上的最大值
试试 1.已知不等式1≤－x2＋x+a≤在x[-１,１]上时总成立，求实数a的取值范围．
答案：
２．设不等式mx2－2x－m+1<0对满足|m|≤2的一切m都成立，求实数x的取值范围。
答案：设，结合图象知，可解出
能力提升
例5．已知函数f(x)=ax2+bx+c的图象过点(-1,0)是否存在常数a,b,c使不等式x≤f(x)≤对切实数x都成立？若存在，求出a,b,c的值，若不存在，说明理由．
解：易知f(1)=1.
于是由得所以
所以恒成立．所以．
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 若关于x的不等式ax2+bx+c<0 (a≠0)的解集是空集, 那么 (C )
A. a<0且b2－4ac>0 B. a<0且b2－4ac≤0 C. a>0且b2－4ac≤ D. a>0且b2－4ac>0
2. 设k∈R , x1 , x2是方程x2－2kx+1－k2=0的两个实数根, 则x+x的最小值为 (C )
A. —2 　 B. 0 C. 1 D. 2
3. A={x||x－a|<2} , B={x|}, 若AB, 则 　　　　　　　 (A )
A. 0≤a≤1 B. 0≤a<1 C. 04. .设f(x)=(m+1)x2－mx+m－1, 若方程f(x)=0有实根, 则实数m的取值范围是__ ;
5. 设f(x)=(m+1)x2－mx+m－1, 若不等式f(x)>0的解集为, 则实数m的取值范围是___ 。
课后作业
1. 已知不等式x2－2x+k2－1>0对一切实数x恒成立, 求实数k的取值范围.
2. 设对于一切都成立，求的范围.
3. 若方程有两个实根，且，，求的范围.
不等式解法及应用
一．教学目标与要求：
1．会解一元一次不等式和一元二次不等式以及可转化为一元一次不等式和一元二次不等式的不等式。特别是含参数的不等式，要加强分类讨论思想的复习，学会分析引起分类讨论的原因，合理分类，不重不漏。
2．不等式与函数的综合应用。
二．要点精讲
1．一元一次不等式
解一元一次不等式（组）及一元二次不等式（组）是解其他各类不等式的基础，必须熟练掌握，灵活应用。
2．一元二次不等式
或分及情况分别解之，还要注意的三种情况，即或或，最好联系二次函数的图象。
3．分式不等式
分式不等式的等价变形：>0f(x)·g(x)>0，≥0，最好用数轴穿根法求解。
4．指数不等式
；；
5．对数不等式
（1）当时，；（2）当时，。
四．典例解析
题型1：简单不等式的求解问题
[例1] 不等式的解集是( )
　 A． 　　 　B. 　　 　C. 　 　D.
【解题思路】严格按解题步骤进行
[解析]由得,所以解集为,故选D;别解:抓住选择题的特点,显然当时满足不等式,故选D.
题型2.已知一元二次不等式的解集求系数.
[例2]已知关于的不等式的解集为,求的解集.
【解题思路】由韦达定理求系数
[解析] 由的解集为知,为方程的两个根,由韦达定理得,解得,∴即,其解集为.
【名师指引】已知一元二次不等式的解集求系数的基本思路是,由不等式的解集求出根,再由韦达定理求系数
题型3：指数对数三解函数不等式的解法
例4．（1）不等式（）＞3－2x的解集是_____。
（2）在（0，2π）内，使sinx＞cosx成立的x取值范围为（ ）
A.（，）∪（π，） B.（，π）C.（，） D.（，π）∪（，）
（3）设f(x)= 则不等式f(x)>2的解集为（ ）
(A)（1，2）（3，+∞） (B)（，+∞）(C)（1，2） （ ，+∞） (D)（1，2）
解析：（1）答案：｛x|－2＜x＜4｝将不等式变形得
则－x2＋8＞－2x，从而x2－2x－8＜0，（x＋2）（x－4）＜0，－2＜x＜4，所以不等式的解集是｛x|－2＜x＜4｝．
评述：此题考查指数不等式的解法；
（2）答案：C
解法一：作出在（0，2π）区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标和，由图4—6可得C答案。
图4—6 图4—7
解法二：在单位圆上作出一、三象限的对角线，由正弦线、余弦线知应选C.（如图4—7）。
（3）C；
点评：特殊不等式的求解，转化是一方面，借助于函数的性质和图象也是解决问题的有效手段。
题型4： 分式不等式及高次不等式的解法
[例5] 解不等式:
【解题思路】先分解因式,再标根求解
[解析]原不等式,各因式根依次为-1,1,2,4,在数轴上标根如下:
所以不等式的解集为.
【名师指引】求解高次不等式或分式不等式一般用根轴法,要注意不等式的解集与不等式对应的方程的根的关系.
题型5： 含参数不等式的解法
例1：解关于的一元二次不等式
【解题思路】比较根的大小确定解集
解析：∵，∴
⑴当，不等式解集为；
⑵当时，不等式为，解集为；
⑶当，不等式解集为
【名师指引】解含参数的有理不等式时分以下几种情况讨论:①根据二次项系数(大于0,小于0,等于0);②根据根的判别式讨论().③根据根的大小讨论().
【新题导练】
5.若关于的不等式的解集是,则的值为_______
解析:原不等式,结合题意画出图可知.
6. 解关于
解：①若；
②若；
③若
变式训练：（1）设不等式x2－2ax+a+2≤0的解集为M，如果M［1，4］，求实数a的取值范围？
（2）解关于x的不等式＞1(a≠1)。
分析：该题实质上是二次函数的区间根问题，充分考虑二次方程、二次不等式、二次函数之间的内在联系是关键所在；数形结合的思想使题目更加明朗。
解析：（1）M［1，4］有两种情况：其一是M=，此时Δ＜0；其二是M≠，此时Δ=0或Δ＞0，分三种情况计算a的取值范围。
设f(x)=x2 －2ax+a+2，有Δ=(－2a)2－(4a+2)=4(a2－a－2)
当Δ＜0时，－1＜a＜2，M=［1，4］；
当Δ=0时，a=－1或2；
当a=－1时M={－1}［1，4］；当a=2时，m={2}［1，4］。
当Δ＞0时，a＜－1或a＞2。
设方程f(x)=0的两根x1，x2，且x1＜x2，
那么M=［x1，x2］，M［1，4］1≤x1＜x2≤4，
即，解得2＜a＜，
∴M［1，4］时，a的取值范围是(－1，)。
（2）原不等式可化为：＞0，
①当a＞1时，原不等式与(x－)(x－2)＞0同解。
由于，
∴原不等式的解为(－∞，)∪(2，+∞)。
②当a＜1时，原不等式与(x－)(x－2) ＜0同解。
由于，
若a＜0，，解集为(，2)；
若a=0时，，解集为；
若0＜a＜1，，解集为(2，)。
综上所述：当a＞1时解集为(－∞，)∪(2，+∞)；当0＜a＜1时，解集为(2，)；当a=0时，解集为；当a＜0时，解集为(，2)。
点评：考查二次不等式的解与系数的关系及集合与集合之间的关系。本题主要涉及一元二次不等式根与系数的关系及集合与集合之间的关系，以及分类讨论的数学思想。 M=是符合题设条件的情况之一，出发点是集合之间的关系考虑是否全面，易遗漏；构造关于a的不等式要全面、合理，易出错。
题型6：不等式的应用
例9.据调查，某地区100万从事传统农业的农民，人均收入3000元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资本，建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作，据估计，如果有x(x＞0)万人进企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均收入有望提高2x%，而进入企业工作的农民的人均收入为3000a元（a＞0）。
（I）在建立加工企业后，要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的农民的年总收入，试求x的取值范围；
（II）在（I）的条件下，当地政府应该如何引导农民（即x多大时），能使这100万农民的人均年收入达到最大。
解：（I）由题意得（100-x）·3000·（1+2x%）≥100×3000，
即x2－50x≤0，解得0≤x≤50，
又∵x＞0 ∴0＜x≤50；
（II）设这100万农民的人均年收入为y元，
则y= =
=－[x－25(a+1)]2+3000+475(a+1)2 (0（i）当0<25(a+1)≤50，即0＜a≤1，当x=25(a+1)时，y最大；
（ii）当25(a+1)＞50，即a ＞1，函数y在（0,50]单调递增，∴当x=50时，y取最大值
答：在0＜a≤1时，安排25(a +1)万人进入企业工作，在a＞1时安排50万人进入企业工作，才能使这100万人的人均年收入最大
例10．对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为：为，要求清洗完后的清洁度为。有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙: 分两次清洗。该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为。设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是，用单位质量的水第二次清洗后的清洁度是，其中是该物体初次清洗后的清洁度。
(Ⅰ)分别求出方案甲以及时方案乙的用水量, 并比较哪一种方案用水量较少；
(Ⅱ)若采用方案乙，当为某固定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最小? 并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响。
解析：(Ⅰ)设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z,由题设有=0.99,解得x=19。
由得方案乙初次用水量为3, 第二次用水量y满足方程：
解得y=4,故z=4+3.即两种方案的用水量分别为19与4+3。
因为当,故方案乙的用水量较少。
（II）设初次与第二次清洗的用水量分别为与，类似（I）得，（*），
于是+，
当为定值时,，
当且仅当时等号成立。
此时
将代入（*）式得
故时总用水量最少, 此时第一次与第二次用水量分别为：
, 最少总用水量是.
当，故T()是增函数(也可以用二次函数的单调性判断)。这说明，随着的值的最少总用水量, 最少总用水量最少总用水量。
点评：通过实际情景建立函数关系式求解不等式问题成为高考的亮点，解题的关键是建立函数模型，通过函数的性质特别是单调性建立不等关系求得结果。
变式训练：为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平方米.问当a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）?
解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，则y=，其中k＞0为比例系数，依题意，即所求的a、b值使y值最小。根据题设，有4b+2ab+2a=60（a＞0，b＞0），得b=（0＜a＜30 ①，
于是
。当a+2=时取等号，y达到最小值。
这时a=6，a=－10（舍去） 将a=6代入①式得b=3，
故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。
解法二：依题意，即所求的a、b值使ab最大。
由题设知4b+2ab+2a=60（a＞0，b＞0），即a+2b+ab=30（a＞0，b＞0）。
∵a+2b≥2 ∴2＋ab≤30，
当且仅当a=2b时，上式取等号.
由a＞0，b＞0，解得0＜ab≤18
即当a=2b时，ab取得最大值，其最大值为18。
∴2b2＝18．解得b=3，a=6。
故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。
点评：本题考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查利用均值不等式求最值的方法、阅读理解能力、建模能力。
不等式解法及应用学案
一．教学目标与要求：
1．会解一元一次不等式和一元二次不等式以及可转化为一元一次不等式和一元二次不等式的不等式。特别是含参数的不等式，要加强分类讨论思想的复习，学会分析引起分类讨论的原因，合理分类，不重不漏。
2．不等式与函数的综合应用。
二．要点精讲
1．一元一次不等式
解一元一次不等式（组）及一元二次不等式（组）是解其他各类不等式的基础，必须熟练掌握，灵活应用。
2．一元二次不等式
或分及情况分别解之，还要注意的三种情况，即或或，最好联系二次函数的图象。
3．分式不等式
分式不等式的等价变形：>0f(x)·g(x)>0，≥0，最好用数轴穿根法求解。
4．指数不等式
；；
5．对数不等式
（1）当时，；（2）当时，。
四．典例解析
题型1：简单不等式的求解问题
[例1] 不等式的解集是( )
　 A． 　　 　B. 　　 　C. 　 　D.
题型2.已知一元二次不等式的解集求系数.
[例2]已知关于的不等式的解集为,求的解集.
题型3：指数对数三解函数不等式的解法
例4．（1）不等式（）＞3－2x的解集是_____。
（2）在（0，2π）内，使sinx＞cosx成立的x取值范围为（ ）
A.（，）∪（π，） B.（，π）C.（，） D.（，π）∪（，）
（3）设f(x)= 则不等式f(x)>2的解集为（ ）
(A)（1，2）（3，+∞） (B)（，+∞）(C)（1，2） （ ，+∞） (D)（1，2）
题型4： 分式不等式及高次不等式的解法
[例5] 解不等式:
题型5： 含参数不等式的解法
例1：解关于的一元二次不等式
【新题导练】
5.若关于的不等式的解集是,则的值为_______
6. 解关于
变式训练：（1）设不等式x2－2ax+a+2≤0的解集为M，如果M［1，4］，求实数a的取值范围？
（2）解关于x的不等式＞1(a≠1)。
题型6：不等式的应用
例9.据调查，某地区100万从事传统农业的农民，人均收入3000元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资本，建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作，据估计，如果有x(x＞0)万人进企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均收入有望提高2x%，而进入企业工作的农民的人均收入为3000a元（a＞0）。
（I）在建立加工企业后，要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的农民的年总收入，试求x的取值范围；
（II）在（I）的条件下，当地政府应该如何引导农民（即x多大时），能使这100万农民的人均年收入达到最大。

例10．对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为：为，要求清洗完后的清洁度为。有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙: 分两次清洗。该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为。设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是，用单位质量的水第二次清洗后的清洁度是，其中是该物体初次清洗后的清洁度。
(Ⅰ)分别求出方案甲以及时方案乙的用水量, 并比较哪一种方案用水量较少；
(Ⅱ)若采用方案乙，当为某固定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最小? 并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响。
变式训练：为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平方米.问当a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）?
均值不等式应用复习教案
【目标要求】
(1)了解基本不等式的证明过程.
(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题、 以及范围和实际生活问题.
【核心知识】
一．基本不等式
1.（1）若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=”）
2. (1)若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=”）
(3)若，则 (当且仅当时取“=”）
3.若，则 (当且仅当时取“=”）;若，则 (当且仅当时取“=”）
若，则 (当且仅当时取“=”）
4.若，则 (当且仅当时取“=”）
若，则 (当且仅当时取“=”）
5.若，则（当且仅当时取“=”）
注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．
（2）利用基本不等式一定要遵循“一正，二定，三相等”三个条件,否则可能出错,如: 当且仅当,即是时等号成立，显然此解法是错误的,所以在解题过程中我们不要照搬照抄,生搬硬套,在不能利用基本不等式,但题目的形式又符合基本不等式时,就转为利用函数单调性来求解.另外创造应用均值不等式的条件,合理拆添项或配凑因式是常用的解题技巧,而拆与凑的前提在于使等号能够成立.利用基本不等式求解与其它章节的综合题时,列出有关量的函数关系式或方程式用基本不等式求解或转化的关键.
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．
考点一：利用基本不等式求最值
例1：求下列函数的值域
（1）y＝3x 2＋ （2）y＝x＋
解：（1）值域为[，+∞）（2）∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）
解题技巧：
技巧一：凑项
例2：已知，求函数的最大值。
解： 。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
变式训练1. 设，则的最小值是（ ）
（A）2 （B）4 （C） （D）5 答案：B
技巧二：凑系数
例3. 当时，求的最大值。
解析：最大值为8。
变式：设，求函数的最大值。
技巧三： 拆项分离
例4. 求的值域。
解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。
当,即时,（当且仅当x＝1时取“＝”号）。
例5：已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为（ ）
(A) (B) (C) (D)
故.此时.，选择答案D。
技巧四：换元
解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x＋1，
化简原式在分离求最值。
当,即t=时,（当t=2即x＝1时取“＝”号）。
评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。
技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数的单调性。
例6：求函数的值域。
解：函数的值域为。
变式训练．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.
（1） （2） (3)
2．已知，求函数的最大值.；3．，求函数的最大值.
限制条件求最值问题
例7.若实数满足，则的最小值是 .
分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且定值，因此考虑利用均值定理求最小值，
解：最小值是6．
变式训练：若，求的最小值.并求x,y的值
技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。
例8：已知，且，求的最小值。
正解： 。
变式： （1）若且，求的最小值
(2)已知且，求的最小值
技巧七、凑条件构造均值不等
例9．已知x，y为正实数，且x 2＋＝1，求x的最大值.
分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤。
同时还应化简中y2前面的系数为 ， x＝x ＝x·
下面将x，分别看成两个因式：
x·≤＝＝ 即x＝·x ≤ 
技巧八：转化条件构造均值平等式
例10．已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝的最小值.
分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。
法一：a＝， ab＝·b＝
　　　由a＞0得，0＜b＜15
　　　令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝＝－2（t＋）＋34∵t＋≥2＝8
　　　∴ ab≤18 ∴ y≥ 当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。
法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥2 　∴ 30－ab≥2
　　　令u＝　则u2＋2u－30≤0， －5≤u≤3
　　　∴≤3，ab≤18，∴y≥
变式：1.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。
变式训练: (原创题)已知x>0，y>0，且3x+4y=12，求lgx+lgy的最大值及此时x、y的值．
解: lgx+lgy取得最大值lg3 ．
3.(2010陕西) 已知a，b为正常数，x，y为正实数，且，求x+y的最小值。
技巧九、取平方
例11、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝＋的最值.
解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，，
　＋ ≤＝＝2
解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。
W＞0，W2＝3x＋2y＋2·＝10＋2·≤10＋()2·()2 ＝10＋(3x＋2y)＝20
　　∴ W≤＝2
变式: 求函数的最大值。
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式。
考点二：利用基本不等式证明不等式
证明不等式时,可依据求证式两端的式子结构,合理选择基本不等式及其变形不等式来证,同时要从整体上把握不等式.
例12: (原创题)已知,求证:.
解:略
例13. (2010辽宁)已知a、b、c∈(0，＋∞)且a＋b＋c＝1，求证：(－1)(－1)(－1)≥8.
证明：略
变式训练: (原创题)已知a，b为正数，求证：≥．
考点四: 利用基本不等式解实际应用题
利用基本不等式要注意等号成立时的自变量的取值不在实际问题规定的范围内时,就不能应用基本不等式,此时可考虑函数的单调性或导数法处理.
例14:已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200千克，配料的价格为元/千克，每次购买配料需支付运费236元.每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下: 7天以内（含7天），无论重量多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付.
(1)当9天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用P是多少元？
(2)设该厂天购买一次配料，求该厂在这天中用于配料的总费用（元）关于的函数关系式，并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少?
解析: 购买一次配料平均每天支付的费用要除以x,分离变量或经过变形构造基本不等式的应用形式.
解：(1)当9天购买一次时，该厂用于配料的保管费用
P=70+=88(元)
(2)当x≤7时,y=360x+10x+236=370x+236
x>7时,y=360x+236+70+6[()+()+……+2+1]=
∴
∴设该厂x天购买一次配料平均每天支付的费用为f(x)元

当x≤7时, , 当且仅当x=7时 , f(x)有最小值（元）,
当x＞7时,=≥393,
当且仅当x=12时取等号,∵393<404,∴当x=12时 f(x)有最小值393元 .
变式训练: 某厂生产某种产品的年固定成本为250万元,每生产千件,需另投入成本为.当年产量不足80千件时,(万元);当年产量不小于80千件时,(万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.
(1)写出年利润(万元)关于年产量(千件)的函数解析式;
(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
解析:求分段函数的最值时,要分别求得每一段的最值,然后进行比较,本题考查学生的基本运算能力,和对实际问题的处理能力.
解:(1)当时,
当时,
∴
(2)当时,,此时,当时,取得最大值(万元);
当时,
此时,当时,即时,取得最大值1000万元.
所以,当产量为100千件时,该厂在这一商品中所获利润最大,最大利润为1000万元.
【课堂巩固，夯实基础】
一.选择题
1. 已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则 (　　) 答案：C
A．ab≤ B．ab≥ C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3
2. 下列结论正确的是( )
A.当x＞0且x≠1时,≥2 B.当x＞0时,≥2
C.当x≥2时,的最小值是2 D.当0＜x≤2时,无最大值 答案:B
3. 某学生用一不准确的天平(两臂不等长)称10 g药品,他先将5 g的砝码放在左盘,将药品放在右盘使之平衡;然后又将5 g的砝码放在右盘,将药品放于左盘使之平衡,则此学生实际所得药品( ) 答案:B
A.小于10 g B.大于10 g C.大于等于10 g D.小于等于10 g
4. 若实数a、b满足a+b＝2,则3a+3b的最小值是( ) 答案:B
A.18 B.6 C. D.
5. 已知M是△ABC内的一点，且·＝2，∠BAC＝30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为，x，y，则＋的最小值是(　　) 答案:B
A．20 B．18 C．16 D．9
解:由已知得·＝bccos∠BAC＝2?bc＝4，故S△ABC＝x＋y＋＝bcsinA＝1?x＋y＝，
而＋＝2(＋)×(x＋y)＝2(5＋＋)≥2(5＋2)＝18.
6. 在面积为S(S为定值)的扇形中，当扇形中心角为θ，半径为r时，扇形周长最小，这时θ，r的值分别是(　　)
A．θ＝1，r＝ B．θ＝2，r＝ C．θ＝2，r＝ D．θ＝2，r＝
解:S＝θr2?θ＝，又∵扇形周长P＝2r＋θr＝2(r＋)≥4，
∴当P最小时，r＝?r＝，此时θ＝2.答案:D
7. 设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为(　　)
A．8 B．4 C．1 D.
解:由题意知3a·3b＝3，即3a＋b＝3，所以a＋b＝1.因为a>0，b>0，
所以＋＝(＋)(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b时，等号成立．答案:B
8. 已知x<，则函数y＝2x＋的最大值是(　　)
A．2 B．1 C．－1 D．－2
解:y＝2x＋＝－[(1－2x)＋]＋1，由x<可得1－2x>0，
根据基本不等式可得(1－2x)＋≥2，当且仅当1－2x＝即x＝0时取等号，则ymax＝－1.答案:C
9. 已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)对称，则＋的最小值是(　　)
A．4 B．6 C．8 D．9
解: 由圆的对称性可得，直线2ax－by＋2＝0必过圆心(－1,2)，所以a＋b＝1.所以＋＝＋
＝＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当＝，即a＝2b时取等号.答案:D
10. 一批货物随17列货车从A市以a km/h匀速直达B市，已知两地铁路线长400 km，为了安全，两列车之间的距离不得小于（)2 km，那么这批货物全部运到B市，最快需要( )
A.6 h B.8 h C.10 h D.12 h
解:第一列货车到达B市的时间为h，由于两列货车的间距不得小于()2 km,所以第17列货车到达时间为+≥8，当且仅当,即a＝100(km/h)时成立，所以最快需要8 h.
答案:B
11. 若a，b是正常数，a≠b，x，y∈(0，＋∞)，则＋≥，当且仅当＝时取等号．利用以上结论，函数f(x)＝＋(x∈(0，))取得最小值时x的值为 (　　)
A．1 B. C．2 D.
解:由＋≥得，f(x)＝＋≥＝25.当且仅当＝时取等号，即当x＝时f(x)取得最小值25.答案：B
12. 某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(0A．18 B．27 C．20 D．16
解:平均销售量y＝＝＝t＋＋10≥18.
当且仅当t＝，即t＝4∈等号成立，即平均销售量的最小值为18.答案：A
13. 已知不等式(x＋y)(＋)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为 (　　)
A．8 B．6 C．4 D．2
解:(x＋y)(＋)＝1＋a·＋＋a≥a＋1＋2 ＝a＋2 ＋1，当且仅当a·＝等号成立，
所以()2＋2＋1≥9，即()2＋2－8≥0，得≥2或≤－4(舍)，所以a≥4，即a的最小值为4.
答案：C
14.设x、y均为正实数，且＋＝1，则xy的最小值为 (　　)
A．4 B．4 C．9 D．16
解:由＋＝1可得xy＝8＋x＋y.∵x，y均为正实数，∴xy＝8＋x＋y≥8＋2(当且仅当x＝y时等号成立)，即xy－2－8≥0，可解得≥4，即xy≥16，故xy的最小值为16.答案：D
二.填空题
15. 已知正数满足,则的最小值为 .
解析:因为,
所以 .
16. 已知且则的最小值为 .
解:当且仅当时等号成立.
或解：由得,则.答案:16
17. 已知则的取值范围是 .
解:由题意,
故,,当且仅当时等号成立,.
答案:
18. 设实数x,y满足，则x+y的取值范围是____ ．
解:．答案:(-∞,-1]∪[1, +∞)
19.设x，y均为正实数，且，则xy的最小值为 .
解:由可化为xy =8+x+y,x，y均为正实数
xy =8+x+y（当且仅当x=y等号成立）即xy-2-8
可解得,即xy16故xy的最小值为16.答案:16
20. 若直线ax－by＋2＝0(a>0，b>0)和函数f(x)＝ax＋1＋1(a>0且a≠1)的图象恒过同一个定点，则当＋取最小值时，函数f(x)的解析式是________．
解:函数f(x)＝ax＋1＋1的图象恒过(－1,2)，故a＋b＝1，＋＝(a＋b)(＋)＝＋＋≥＋.当且仅当b＝a时取等号，将b＝a代入a＋b＝1得a＝2－2，故f(x)＝(2－2)x＋1＋1.
答案：f(x)＝(2－2)x＋1＋1
21. 关于的不等式＋25＋|－5|≥在[1，12]上恒成立，则实数的取值范围是 ．
解：因为，当且仅当=5时取等号；当=5时，（最小值）.所以，。所以.
可见，这题的关键是能否想到将所给不等式两边同时除以，化成符合基本不等式的形式。当把它变形为后，事实上已将问题转化为求函数最小值问题，这种转化思想应当熟练掌握.应当强调的是，运用基本不等式求最值时，应注意所研究的数是正数，它们的和或积是定值，并且要注意等号取得的条件，即应强调“一正、二定、三相等”的要求.答案：
22. 已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________．
解析：在已知条件下凑配式子使之适合基本不等式的使用条件.恒成立问题经常转化为最值问题,处理办法通常是:单调性,基本不等式,数形结合,导数法等.
解:因为x>a，所以2x＋＝2(x－a)＋＋2a≥2 ＋2a＝2a＋4，即2a＋4≥7，所以a≥，即a的最小值为.答案：
三.解答题
23. 某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)
解：设将楼房建为x层，则每平方米的平均购地费用为＝.
∴每平方米的平均综合费用,y＝560＋48x＋＝560＋48(x＋)．
当x＋取最小值时，y有最小值．∵x>0，∴x＋≥2＝30，
当且仅当x＝，即x＝15时，上式等号成立．所以当x＝15时，y有最小值2000元．
因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最小．
24：某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制,房子侧面的长度x不得超过a米,房屋正面的造价为400元/m2,房屋侧面的造价为150元/m2,屋顶和地面的造价费用合计为5 800元,如果墙高为3 m,且不计房屋背面的费用.
(1)把房屋总造价y表示成x的函数,并写出该函数的定义域.
(2)当侧面的长度为多少时,房屋的总造价最低?最低总造价是多少?
解析：考查学生对实际问题的理解，能够从实际生活中提炼出数学模型，并能根据实际意义限制函数中的变量，特别是本题中利用基本不等式时等号不成立，应当采取函数的单调性解决最值问题是此题的关键.
解:(1)由题意，可得y＝3()+5 800＝900()+5 800(0＜x≤a).
(2)y＝900()+5 800≥900×+5 800＝13 000,
当且仅当x＝,即x＝4时取等号.若a≥4,则当x＝4时,y有最小值13 000;
当0＜a＜4,任取x1,x2∈(0,a］且x1＜x2,
y1-y2＝900()+5 800-900()-5 800＝900［(x1-x2)+16()］
＝,∵x1＜x2≤a,∴x1-x2＜0,x1x2＜a2＜16.∴y1-y2＞0.
∴y＝900()+5 800在(0,a］上是减函数.∴当x＝a时,y有最小值900()+5 800.
综上,①若a≥4,当侧面的长度为4米时,总造价最低,最低总造价是13 000元;
当0＜a＜4时,当侧面长度为a米时,总造价最低,最低总造价是900()+5 800元.
25. 某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计．
(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；
(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．
解析:准确把握定义域是正确解题的先决条件.
解：(1)设污水处理池的宽为x米，则长为米．
则总造价f(x)＝400×(2x＋)＋248×2x＋80×162＝1 296x＋＋12 960
＝1 296(x＋)＋12 960≥1 296×2 ＋12 960＝38 880(元)，当且仅当x＝(x>0)，
即x＝10时取等号．∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38 880元．
(2)由限制条件知，∴10≤x≤16.设g(x)＝x＋(10≤x≤16)，
由函数性质易知g(x)在上是增函数，∴当x＝10时(此时＝16)，g(x)有最小值，即f(x)有最小值
1 296×(10＋)＋12 960＝38 882(元)．
∴当长为16米，宽为10米时，总造价最低，为38 882元．
26.为了提高产品的年产量，某企业拟在2010年进行技术改革．经调查测算，产品当年的产量x万件与投入技术改革费用m万元(m≥0)满足x＝3－(k为常数)．如果不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是1万件．已知2010年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．由于市场行情较好，厂家生产的产品均能销售出去．厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的1.5倍(生产成本包括固定投入和再投入两部分资金)．
(1)将2010年该产品的利润y万元(利润＝销售金额－生产成本－技术改革费用)表示为技术改革费用m万元的函数；
(2)该企业2010年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
解析:考查学生对实际问题的理解和分析能力,锻炼思维,提炼数学模型,并正确选择处理方法.
解：(1)由题意可知，当m＝0时，x＝1(万件)，∴1＝3－k，∴k＝2，∴x＝3－，
每件产品的销售价格为1.5×(元)，∴2010年的利润
y＝x·－(8＋16x)－m＝－[＋(m＋1)]＋29(元)(m≥0)．
(2)∵m≥0，∴＋(m＋1)≥2＝8，∴y≤29－8＝21，当＝m＋1，即m＝3，ymax＝21.
∴该企业2010年的技术改革费用投入3万元时，厂家的利润最大．
27. 某种汽车的购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为万元，年维修费用第一年是万元，以后逐年递增万元。问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最小？最小值是多少？
解析：年维修费用成等差数列,年维修费用加上其他费用是汽车的消费总费用.
解:设使用年的年平均费用为万元
则使用年的维修总费用为 万元
依题得
当且仅当 即时取等号 时取得最小值3 万元.
答：这种汽车使用10年时，它的年平均费用最小，最小值是3 万元.
28. 某乡为提高当地群众的生活水平,由政府投资兴建了甲、乙两个企业,2007年该乡从甲企业获得利润320万元,从乙企业获得利润720万元.以后每年上交的利润是：甲企业以1.5倍的速度递增,而乙企业则为上一年利润的.根据测算,该乡从两个企业获得的利润达到2000万元可以解决温饱问题,达到8100万元可以达到小康水平.
（1）若以2007年为第一年,则该乡从上述两个企业获得利润最少的一年是那一年,该年还需要筹集多少万元才能解决温饱问题？
（2）试估算2015年底该乡能否达到小康水平？为什么？
解析:经审题抽象出数列模型,本题重点考查数列的相关知识,基本不等式起到了工具性的作用.
解:(1)若以2007年为第一年,则第n年该乡从这两家企业获得的利润为
== ，当且仅当,即n=2时,等号成立，
所以第二年（2008年）上交利润最少，利润为960万元.
由2000–960=1040（万元）知：还需另筹资金1040万元可解决温饱问题.
(2)2015年为第9年,该年可从两个企业获得利润

所以该乡到2015年底可以达到小康水平.
均值不等式应用复习学案
【目标要求】
(1)了解基本不等式的证明过程.
(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题、 以及范围和实际生活问题.
【核心知识】
一．基本不等式
1.（1）若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=”）
2. (1)若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=”）
(3)若，则 (当且仅当时取“=”）
3.若，则 (当且仅当时取“=”）;若，则 (当且仅当时取“=”）
若，则 (当且仅当时取“=”）
4.若，则 (当且仅当时取“=”）
若，则 (当且仅当时取“=”）
5.若，则（当且仅当时取“=”）
注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．
（2）利用基本不等式一定要遵循“一正，二定，三相等”三个条件,否则可能出错,如: 当且仅当,即是时等号成立，显然此解法是错误的,所以在解题过程中我们不要照搬照抄,生搬硬套,在不能利用基本不等式,但题目的形式又符合基本不等式时,就转为利用函数单调性来求解.另外创造应用均值不等式的条件,合理拆添项或配凑因式是常用的解题技巧,而拆与凑的前提在于使等号能够成立.利用基本不等式求解与其它章节的综合题时,列出有关量的函数关系式或方程式用基本不等式求解或转化的关键.
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．
考点一：利用基本不等式求最值
例1：求下列函数的值域
（1）y＝3x 2＋ （2）y＝x＋
解题技巧：
技巧一：凑项
例2：已知，求函数的最大值。
解：
变式训练. 设，则的最小值是（ ）
（A）2 （B）4 （C） （D）5
技巧二：凑系数
例3. 当时，求的最大值。
变式：设，求函数的最大值。
技巧三： 拆项分离
例4. 求的值域。
例5：已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为（ ）
(A) (B) (C) (D)
技巧四：换元
技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数的单调性。例：例6。求函数的值域。
变式训练．1求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.
（1） （2） (3)
2．已知，求函数的最大值.；3．，求函数的最大值.
限制条件求最值问题
例7.若实数满足，则的最小值是 .
变式：若，求的最小值.并求x,y的值
技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。
例8：已知，且，求的最小值。
变式： （1）若且，求的最小值
(2)已知且，求的最小值
技巧七、凑条件构造均值不等
例9．已知x，y为正实数，且x 2＋＝1，求x的最大值.
技巧八：转化条件构造均值平等式
例10．已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝的最小值.
变式：1.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。
变式训练: (原创题)已知x>0，y>0，且3x+4y=12，求lgx+lgy的最大值及此时x、y的值．
3.(2010陕西) 已知a，b为正常数，x，y为正实数，且，求x+y的最小值。
技巧九、取平方
例11、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝＋的最值.
考点二：利用基本不等式证明不等式
证明不等式时,可依据求证式两端的式子结构,合理选择基本不等式及其变形不等式来证,同时要从整体上把握不等式.
例12: (原创题)已知,求证:.
例13. 已知a、b、c∈(0，＋∞)且a＋b＋c＝1，求证：(－1)(－1)(－1)≥8.
证明：
变式训练: (原创题)已知a，b为正数，求证：≥．
解析：
考点四: 利用基本不等式解实际应用题
利用基本不等式要注意等号成立时的自变量的取值不在实际问题规定的范围内时,就不能应用基本不等式,此时可考虑函数的单调性或导数法处理.
例14:已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200千克，配料的价格为元/千克，每次购买配料需支付运费236元.每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下: 7天以内（含7天），无论重量多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付.
(1)当9天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用P是多少元？
(2)设该厂天购买一次配料，求该厂在这天中用于配料的总费用（元）关于的函数关系式，并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少?
解析: 购买一次配料平均每天支付的费用要除以x,分离变量或经过变形构造基本不等式的应用形式.
解：
变式训练: 某厂生产某种产品的年固定成本为250万元,每生产千件,需另投入成本为.当年产量不足80千件时,(万元);当年产量不小于80千件时,(万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.
(1)写出年利润(万元)关于年产量(千件)的函数解析式;
(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
解析:求分段函数的最值时,要分别求得每一段的最值,然后进行比较,本题考查学生的基本运算能力,和对实际问题的处理能力.
解:
【课堂巩固，夯实基础】
一.选择题
1. 已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则 (　　)
A．ab≤ B．ab≥ C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3
2. 下列结论正确的是( )
A.当x＞0且x≠1时,≥2 B.当x＞0时,≥2
C.当x≥2时,的最小值是2 D.当0＜x≤2时,无最大值 答案:B
3. 某学生用一不准确的天平(两臂不等长)称10 g药品,他先将5 g的砝码放在左盘,将药品放在右盘使之平衡;然后又将5 g的砝码放在右盘,将药品放于左盘使之平衡,则此学生实际所得药品( )
A.小于10 g B.大于10 g C.大于等于10 g D.小于等于10 g
4. 若实数a、b满足a+b＝2,则3a+3b的最小值是( )
A.18 B.6 C. D.
5. 已知M是△ABC内的一点，且·＝2，∠BAC＝30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为，x，y，则＋的最小值是(　　)
A．20 B．18 C．16 D．9
6. 在面积为S(S为定值)的扇形中，当扇形中心角为θ，半径为r时，扇形周长最小，这时θ，r的值分别是(　　)
A．θ＝1，r＝ B．θ＝2，r＝ C．θ＝2，r＝ D．θ＝2，r＝
7. 设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为(　　)
A．8 B．4 C．1 D.
8. 已知x<，则函数y＝2x＋的最大值是(　　)
A．2 B．1 C．－1 D．－2
9. 已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)对称，则＋的最小值是(　　)
A．4 B．6 C．8 D．9
10.一批货物随17列货车从A市以a km/h匀速直达B市，已知两地铁路线长400 km，为了安全，两列车之间的距离不得小于（)2 km，那么这批货物全部运到B市，最快需要( )
A.6 h B.8 h C.10 h D.12 h
11. 若a，b是正常数，a≠b，x，y∈(0，＋∞)，则＋≥，当且仅当＝时取等号．利用以上结论，函数f(x)＝＋(x∈(0，))取得最小值时x的值为 (　　)
A．1 B. C．2 D.
12. 某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(0A．18 B．27 C．20 D．16
13. 已知不等式(x＋y)(＋)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为 (　　)
A．8 B．6 C．4 D．2
14.(原创题)设x、y均为正实数，且＋＝1，则xy的最小值为 (　　)
A．4 B．4 C．9 D．16
二.填空题
15. 已知正数满足,则的最小值为 .
16. 已知且则的最小值为 .
17. 已知则的取值范围是 .
18. 设实数x,y满足，则x+y的取值范围是____ ．
19.设x，y均为正实数，且，则xy的最小值为 .
20. 若直线ax－by＋2＝0(a>0，b>0)和函数f(x)＝ax＋1＋1(a>0且a≠1)的图象恒过同一个定点，则当＋取最小值时，函数f(x)的解析式是________．
21. 关于的不等式＋25＋|－5|≥在[1，12]上恒成立，则实数的取值范围是 ．
22. 已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为_____．
三.解答题
23. 某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)
24：某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制,房子侧面的长度x不得超过a米,房屋正面的造价为400元/m2,房屋侧面的造价为150元/m2,屋顶和地面的造价费用合计为5 800元,如果墙高为3 m,且不计房屋背面的费用.
(1)把房屋总造价y表示成x的函数,并写出该函数的定义域.
(2)当侧面的长度为多少时,房屋的总造价最低?最低总造价是多少?
25. 某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计．
(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；
(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．
26.为了提高产品的年产量，某企业拟在2010年进行技术改革．经调查测算，产品当年的产量x万件与投入技术改革费用m万元(m≥0)满足x＝3－(k为常数)．如果不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是1万件．已知2010年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．由于市场行情较好，厂家生产的产品均能销售出去．厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的1.5倍(生产成本包括固定投入和再投入两部分资金)．
(1)将2010年该产品的利润y万元(利润＝销售金额－生产成本－技术改革费用)表示为技术改革费用m万元的函数；
(2)该企业2010年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
27. 某种汽车的购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为万元，年维修费用第一年是万元，以后逐年递增万元。问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最小？最小值是多少？
28. 某乡为提高当地群众的生活水平,由政府投资兴建了甲、乙两个企业,2007年该乡从甲企业获得利润320万元,从乙企业获得利润720万元.以后每年上交的利润是：甲企业以1.5倍的速度递增,而乙企业则为上一年利润的.根据测算,该乡从两个企业获得的利润达到2000万元可以解决温饱问题,达到8100万元可以达到小康水平.
（1）若以2007年为第一年,则该乡从上述两个企业获得利润最少的一年是那一年,该年还需要筹集多少万元才能解决温饱问题？
（2）试估算2015年底该乡能否达到小康水平？为什么？
必修五复习
1已知是等比数列，an＞0，且a4a6+2a5a7+a6a8=36，则a5+a7等于 （ A ）
A．6 B．12 C．18 D．24
2下列不等式中解集为实数集R的是 （ C ）
A． B．
C． D．
3等差数列中，a1＞0，d≠0，S3=S11，则Sn中的最大值是 （ A ）
A．S7 B．S7或S8 C．S14 D．S8
4 不等式的解集是 （ D ）
A． B．
C． D．
5 已知，则的最小值为 （ C ）
A．8 B．6 C． D．
6设是正数等差数列，是正数等比数列，且a1=b1，a2n+1=b2n+1，则 （ D ）
A．an+1=bn+1 B．an+1＞bn+1 C．an+1＜bn+1 D．an+1≥bn+1
7 不等式对一切R恒成立，则实数a的取值范围是（ C ）
A． B． C． D．
8已知A．B．C是△ABC的三个内角，且，则 （ C ）
A．B=C B．B＞C
C．B＜C D．B,C的大小与A的值有关
9在△ABC中，如果，那么cosC等于 （ D ）
A． B． C． D．
10出下列三个命题
（1）若tanAtanB>1，则△ABC一定是钝角三角形；
（2）若sin2A＋sin2B＝sin2C，则△ABC一定是直角三角形；
（3）若cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)＝1，则△ABC一定是等边三角形
以上正确命题的个数有 （ C ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
11种电讯产品自投放市场以来，经过三年降价，单价由原来的174元降到58元，这种电讯产品平均每次降价的百分率大约是（C ）
A．29% B．30% C．31% D．32%
12且，则关于，以下命题正确的是（B ）
A. 最大值为，无最小值 B. 最大值为，最小值为
C. 最大值为，最小值为 D. 以上都不对
13人为了观看2008年奥运会，从2001年起，每年5月10日到银行存入a元定期储蓄，若年利率为P，且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2008年5月10日将所有存款和利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为 （C ）
A． B．
C． D．
二．填空题，本大题共4小题，每小题4分，满分16分，把正确的答案写在题中横线上．
14知平面平域D由下列约束条件确定：2x-3y+5≥0,x+2y-8≤0,x-5y+60,当点(x,y)在D上时，
若z=3x-4y,则z的最大值是_4____________，最小值是_____7_________．
15等比数列｛an｝共有3n项，它的前2n项的和为100，后2n项之和为200，则该等比
数列中间n项的和等于___________________．
16△ABC中，若，则B等于_____________．
17差数列｛an｝中，Sn是它的前n项之和，且S6＜S7，S7＞S8，则
①比数列的公差d＜0 ②S9一定小于S6
③a7是各项中最大的一项 ④S7一定是Sn中的最大值
其中正确的是__（1）．（2）．（4）；__________（填入你认为正确的所有序号）．
18正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数
表（每行比上一行多一个数）：设（i、j∈N*）是位
于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j
个数，如＝8．则为 2007
三．解答题, 本大题共6小题，共74分，解答应写出必要的文字说明．证明过程和演算步骤．
19．ABC中，A．B．C成等差数列，，
S△ABC=，求a．b．c值．
解：不妨设，由，得；又因此，
．
20．若不等式的解集是，求不等式的解集．
解：因为若不等式的解集是，所以是 的两根，可求出，不等式变成，其解集为．
21△ABC的三个内角A．B．C对边分别是a, b, c，且，，又△ABC的面积为． 求:
（1）角C；
（2）a+b的值．
所以。又，
由余弦定理 ．
22（本小题满分12分）某工厂要制造A种电子装置45台，B种电子装置55台，需用薄钢板给每台装置配一个外壳，已知薄钢板的面积有两种规格：甲种薄钢板每张面积2㎡，可做A．B的外壳分别为3个和5个，乙种薄钢板每张面积3㎡，可做A．B的外壳分别为5个和6个，求两种薄钢板各用多少张，才能使总的用料面积最小？
解：设使用甲种薄钢板张，乙种薄钢板张，则
23．建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：元)．
（1）将y表示为x的函数；
（2）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
24已知数列{an}的前n项和为Sn，且an=(3n+Sn)对一切正整数n成立
（I）证明：数列{3+an}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式；
（II）设，求数列的前n项和Bn；
解：（I）由已知得Sn=2an-3n，
Sn+1=2an+1-3(n+1),两式相减并整理得：an+1=2an+3
所以3+ an+1=2（3+an），又a1=S1=2a1-3，a1=3可知3+ a1=6，进而可知an+3
所以，故数列{3+an}是首相为6，公比为2的等比数列，
所以3+an=6,即an=3()
（II）
设 （1）
（2）
由（2）-（1）得


25 （12分）已知，其中0< <2,
(1) 解不等式。（2）若x>1时，不等式恒成立,求实数m的范围。
解：（1） 　
当－１＝0时，不等式为　即．
当－１＞0时，不等式解集为
当－１＜0时，不等式解集为
综上得：当时解集为，当0<时解集为
当时，不等式解集为
（2）x>1时, 原命题化为(m-1)x+1>0恒成立, ∴(m-1) >
∴
26已知△ABC的周长为6，成等比数列，求
（1）△ABC的面积S的最大值；
（2）的取值范围。
解 设依次为a，b，c，则a+b+c=6，b2=ac，
由余弦定理得,故有，
又从而
∵△ABC三边依次为a，b，c，
则，∵ a+b+c=6，b2=ac
，∴ ，∴
所以，即
所以

∵ ，
必修五复习学生卷
1已知是等比数列，an＞0，且a4a6+2a5a7+a6a8=36，则a5+a7等于 （ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
2下列不等式中解集为实数集R的是 （ ）
A． B．
C． D．
3等差数列中，a1＞0，d≠0，S3=S11，则Sn中的最大值是 （ ）
A．S7 B．S7或S8 C．S14 D．S8
4 不等式的解集是 （ ）
A． B．
C． D．
5 已知，则的最小值为 （ ）
A．8 B．6 C． D．
6设是正数等差数列，是正数等比数列，且a1=b1，a2n+1=b2n+1，则 （ ）
A．an+1=bn+1 B．an+1＞bn+1 C．an+1＜bn+1 D．an+1≥bn+1
7 不等式对一切R恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8已知A．B．C是△ABC的三个内角，且，则 （ ）
A．B=C B．B＞C
C．B＜C D．B,C的大小与A的值有关
9在△ABC中，如果，那么cosC等于 （ ）
A． B． C． D．
10出下列三个命题
（1）若tanAtanB>1，则△ABC一定是钝角三角形；
（2）若sin2A＋sin2B＝sin2C，则△ABC一定是直角三角形；
（3）若cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)＝1，则△ABC一定是等边三角形
以上正确命题的个数有 （ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
11种电讯产品自投放市场以来，经过三年降价，单价由原来的174元降到58元，这种电讯产品平均每次降价的百分率大约是（ ）
A．29% B．30% C．31% D．32%
12且，则关于，以下命题正确的是（ ）
A. 最大值为，无最小值 B. 最大值为，最小值为
C. 最大值为，最小值为 D. 以上都不对
13人为了观看2008年奥运会，从2001年起，每年5月10日到银行存入a元定期储蓄，若年利率为P，且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2008年5月10日将所有存款和利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为 （ ）
A． B．
C． D．
二．填空题，本大题共4小题，每小题4分，满分16分，把正确的答案写在题中横线上．
14知平面平域D由下列约束条件确定：2x-3y+5≥0,x+2y-8≤0,x-5y+60,当点(x,y)在D上时，
若z=3x-4y,则z的最大值是_____________，最小值是______________．
15等比数列｛an｝共有3n项，它的前2n项的和为100，后2n项之和为200，则该等比
数列中间n项的和等于___________________．
16△ABC中，若，则B等于_____________．
17差数列｛an｝中，Sn是它的前n项之和，且S6＜S7，S7＞S8，则
①比数列的公差d＜0 ②S9一定小于S6
③a7是各项中最大的一项 ④S7一定是Sn中的最大值
其中正确的是____________（填入你认为正确的所有序号）．
18正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数
表（每行比上一行多一个数）：设（i、j∈N*）是位
于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j
个数，如＝8．则为
三．解答题, 本大题共6小题，共74分，解答应写出必要的文字说明．证明过程和演算步骤．
19．ABC中，A．B．C成等差数列，，
S△ABC=，求a．b．c值．
20．若不等式的解集是，求不等式的解集．
21△ABC的三个内角A．B．C对边分别是a, b, c，且，，又△ABC的面积为． 求:
（1）角C；
（2）a+b的值．

22某工厂要制造A种电子装置45台，B种电子装置55台，需用薄钢板给每台装置配一个外壳，已知薄钢板的面积有两种规格：甲种薄钢板每张面积2㎡，可做A．B的外壳分别为3个和5个，乙种薄钢板每张面积3㎡，可做A．B的外壳分别为5个和6个，求两种薄钢板各用多少张，才能使总的用料面积最小？
23．建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：元)．
（1）将y表示为x的函数；
（2）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
24已知数列{an}的前n项和为Sn，且an=(3n+Sn)对一切正整数n成立
（I）证明：数列{3+an}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式；
（II）设，求数列的前n项和Bn；
25 （12分）已知，其中0< <2,
(1) 解不等式。（2）若x>1时，不等式恒成立,求实数m的范围。
26已知△ABC的周长为6，成等比数列，求
（1）△ABC的面积S的最大值；
（2）的取值范围。
第二章 数列（复习）
学习目标
1. 系统掌握数列的有关概念和公式；
2. 了解数列的通项公式与前n项和公式的关系；
3. 能通过前n项和公式求出数列的通项公式.
学习过程
一、知识回顾
1.等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质
等差数列
等比数列
定义
通项公式
=+（n-1）d=+（n-k）d=+-d
求和公式
中项公式
A= 推广：2=
。
推广：
性质
1
若m+n=p+q则
若m+n=p+q，则。
2
若成A.P（其中）则也为A.P。
若成等比数列 （其中），则成等比数列。
3
成等差数列。
成等比数列。
4

任一数列,其通项和它的前n项和之间的关系是

2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：
(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证为同一常数。
(2)通项公式法。
(3)中项公式法:验证都成立。
3. 在等差数列｛｝中,有关Sn 的最值问题：
(1)当>0,d<0时，满足的项数m使得取最大值。
(2)当<0,d>0时，满足的项数m使得取最小值。
二、数列求和的常用方法：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等。
1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
2.裂项相消法:适用于其中{ }是各项不为0的等差数列，c为常数。
3.错位相减法:适用于其中{ }是等差数列，是各项不为0的等比数列。
4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法。
5.常用结论
1） 1+2+3+...+n =
2） 1+3+5+...+(2n-1) =
3）
4）
5）
※ 典型例题
一 函数方程思想在研究数列问题中的运用
例1（1）首项为正数的等差数列｛a｝，其中S=S，问此数列前几项和最大？
（2）等差数列｛a｝中，S=100，S=300，求 S。
（3）等差数列的公差不为0，a=15,a,a,a成等比数列，求S。
二 求数列的通项公式
数列的通项公式是数列的核心之一，它如同函数中的解析式一样，有解析式便可研究其性质等；而有了数列的通项公式便可求出任一项及前n项和等，现将求数列通项公式的几种题目类型及方法总结如下。
观察法
观察法就是观察数列特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数n的内在联系，从而归纳出数列的通项公式。
例2写出下面各数列的一个通项公式
（1），…； （2）1，－…； （3）…；
（4）21，203，2005，20007，…； （5）0.2,0.22,0.222,0.2222,…；
（6）1，0，1，0，…； （7）1，…
评析 用观察法写数列的通项公式，一般考虑如下几点：
观察数列各项符号变化，考虑通项公式中是否有（－1）或者（－1）部分，如本例中（2），（6），（7）也有所涉及。
分解分子分母的因数（式），考虑其变化规律与序号的关系，应注意根据某些变化规律较明显的项，“猜”出某些因式约分后规律表现得不那么明显的项，同时要特别注意等差，等比关系，如本例（2），（3），（4）等。
考虑分子、分母与一些特殊数列如2，3，n,n等的关系，如本例（1），（2），（3）等。
已知S求a或已知S与a的关系求a 即
例3已知下列各数列｛a｝的前n项和S的公式，求｛a｝的通项公式。
S=10－1； （2）S=10+1；
评析：应重视分类类讨论的应用，要先分n=1和n≥2两种情况讨论，特别注意由S－S= a推导的通项a中的n≥2。
由S－S= a，推得的a且当n=1时，a也适合“a式”，则需统一“合写”。
由S－S= a推得的a，当n=1时，a不适合“a式”，则数列的通项应分段表示（“分号”），即 如本例中（2），（3）。请观察本例中（1）与（2）的差异及联系。
累差法：若数列｛a｝满足a－a=f(n)(n),其中｛f(n)｝是易求和数列，那么可用累差法求a。
例4求数列1，3，7，13，21，…的一个通项公式。
累商法：若数列｛a｝满足=f(n)( n),其中数列｛f(n)｝前n项积可求，则可用累商法求a.
例5在数列｛a｝中，a=2，a= a,求通项a。
构造法
直接求通项a较难求，可以通过整理变形等，从中构造出一个等差或等比数列，从而将问题转化为较易求解的问题，进一步求出通项a。
例6各项非零的数列｛a｝，首项a=1,且2S=2aS－a,n≥2,求数列的通项a。
三 数列求和
数列求和是数列部分的重要内容，求和问题也是很常见的试题，对于等差数列，等比数列的求和主要是运用公式；某些既不是等差数，也不是等比数列的求和问题，一般有以下四种常用求和技巧和方法。
1.公式法：能直接应用等差数列或等比数列的求和公式以及正整数平方和，立方和公式寻求和的方法。
例7数列｛a｝的通项a=n－n，求前n项和S。
2.倒序求和法
3.错项求和法
例8求和S=+++…+。
4.裂拆项法
例9在数列｛a｝中，a=10+2n－1,求S
练习：求数列1，1+2，1+2+3，…的前n项的和。
例10已知数列｛a｝：，，，…，…，求它的前n项和。
评析 如果数列的通项公式可转化为f(n+1)－f(n)形式，常采用裂项求和的方法，特别地，当数列的通项公式是关于n的分式形式时，可尝试采用此法。
常用的裂项技巧如：=（）；=（－）等。
使用裂项法时要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项；你是否注意到由于数列｛a｝中每一项a均裂成一正一负两项，所以互为相反数的项合并为零后，所剩正数项与负数项的项数必是一样多的，切不可漏写未被消去的项。
四、等差、等比数列的综合问题
例11已知数列的前n项和=4+2(n∈N＋)，a=1.
(1)设=-2,求证：数列为等比数列，
(2)设Cn=,求证：是等差数列.
例12已知函数f (x)＝(x－1), 数列{}是公差为d的等差数列，数列{}是公比为q的等比数列(q∈R, q≠1, q≠0),
若＝f (d－1), ＝f (d＋1), ＝f (q－1), ＝f (q＋1),
(1) 求数列{}, {}的通项公式；
(2) 设数列{}对任意的自然数n均有
成立，求＋＋＋……＋的值.