2021-2022学年沪科版数学九年级上册期末总复习测试卷（word版含解析）

初中数学九年级上册 期末总复习单元测试卷2 （沪科版）2021-2022学年
（考试时间：120分钟 满分：150分）
姓名：__________ 班级：__________考号：__________成绩：
题号 一 二 三 总分
评分
阅卷人 一、单选题（共10题；共40分）
得分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1.二次函数y=x2-2x+3的最小值是（　 　）
A. -2 B. 2 C. -1 D. 1
2.如图，二次函数 图象的对称轴是 ，下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
3.如图所示，在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，下面各个备选答案的量中，保持不变的量是（ ）
A. 角 B. 边长 C. 周长 D. 面积
4.已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
5.设A(﹣2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线 上的三点，则y1 ， y2 ， y3的大小关系为（ ）
A. y1＞y2＞y3 B. y1＞y3＞y2 C. y3＞y2＞y1 D. y3＞y1＞y2
6.如图，直线 与x轴交于点A，与双曲线 交于点B，若 ，则b的值是（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
7.已知 ，相似比为 ，则 与 的面积比为（ ）
A. B. C. D.
8.设直线x=1是函数y=ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a＜0）的图象的对称轴，（ ）
A. 若m＞1，则（m﹣1）a+b＞0 B. 若m＞1，则（m﹣1）a+b＜0
C. 若m＜1，则（m﹣1）a+b＞0 D. 若m＜1，则（m﹣1）a+b＜0
9.如图，直线y=x+3交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O，另两个顶点M、N恰落在直线y=x+3上，若N点在第二象限内，则tan∠ AON的值为（ ）

A. B. C. D.
10.将矩形OABC如图放置，O为原点．若点A（﹣1，2），点B的纵坐标是 ，则点C的坐标是（ ）
A. （4，2） B. （2，4） C. （ ，3） D. （3， ）
阅卷人 二、填空题（共4题；共20分）
得分
11.已知反比例函数y （k是常数，且k≠﹣2）的图象有一支在第二象限，则k的取值范围是________．
12.将抛物线 向左平移3个单位，再向下平移2个单位，则得到的抛物线解析式是________.（结果写成顶点式）
13.如图，已知反比例函数y＝ (k为常数，k≠0)的图象经过点A，过A点作AB⊥ x轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，若△ ABC的面积为 ，则k的值为________.
14.已知矩形AOBC的边AO、OB分别在y轴、x轴正半轴上，点C的坐标为（8，6），点E是x轴上任意一点，连接EC ， 交AB所在直线于点F ， 当△ ACF为等腰三角形时，EF的长为________．
阅卷人 三、解答题（共9题；共90分）
得分
15.（8分）已知二次函数 的图象经过 两点，求此二次函数的解析式.
16. （8分）如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的 长为12米，求大厅两层之间的距离BC的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.60）
17. （8分）如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥ BD ， CD⊥ BD ， 测得AB＝2米，BP＝3米，PD＝12米，求该古城墙的高度CD ．
18. （8分）已知：Rt△ OAB在直角坐标系中的位置如图所示，P（3，4）为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把Rt△ OAB分割成两部分. 问：点C在什么位置时，分割得到的三角形与
Rt△ OAB相似？（注：在图上画出所有符合要求的线段PC，并写出相应的点C的坐标）．
19. （10分）在一次课外实践活动中，数学兴趣小组要测量某公园人工湖两侧A、B两个凉亭之间的距离，如图，现测得∠ ABC=30°，∠ CAB=15°，AC=300米，请计算A、B两个凉亭之间的距离（结果精确到1米）
20. （10分）如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为21米，留在墙上的影高为2米，求旗杆的高度．
21. （12分）如图，小明在A处测得风筝（C处）的仰角为30°，同时在A正对着风筝方向距A处30米的B处，小明测得风筝的仰角为60°，求风筝此时的高度．（结果保留根号）
22. （12分）已知：Rt△ A′BC′≌Rt△ ABC，∠ A′C′B=∠ ACB=90°，∠ A′BC′=∠ ABC=60°，Rt△ A′BC′可绕点B旋转，设旋转过程中直线CC′和AA′相交于点D．
（1）如图1所示，当点C′在AB边上时，判断线段AD和线段A′D之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）将Rt△ A′BC′由图1的位置旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）将Rt△ A′BC′由图1的位置按顺时针方向旋转α角（0°≤α≤120°），当A、C′、A′三点在一条直线上时，请直接写出旋转角的度数．
23. （14分）如图，已知抛物线y=-+x+4交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B.
（1）求直线AB的解析式；
（2）设P（x，y）（x>0）是直线y = x上的一点，Q是OP 的中点（O是原点），以PQ为对角线作正方形PEQF，若正方形PEQF与直线AB有公共点，求x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，记正方形PEQF与△ OAB公共部分的面积为S，求S关于x的函数解析式，并探究S的最大值．
初中数学九年级上册 期末总复习单元测试卷2 （沪科版）2021-2022学年
答案解析部分
一、单选题： BCAAA DACAD
1.【答案】 B
【解析】【解答】解：因为原式=x2-2x+1+2=（x-1）2+2，
所以原式有最小值，最小值是2． 故答案为：B．
【分析】利用配方法将一般式化为顶点式，利用二次函数的性质即可求出最小值.
2.【答案】 C
【解析】【解答】解：A、根据开口向下，所以a＜0，故A选项错误，不符合题意；
B、抛物线交y轴的正半轴，所以c＞0，故B选项错误，不符合题意；
C、由对称轴是x＝1，可得 ，即 ，可知2a+b＝0，故C选项正确，符合题意；
D、抛物线与x轴有两个交点，所以b2﹣4ac＞0，故D选项错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据图象开口向下，可判断出a的正负，据此判断A；根据抛物线与y轴的交点在y轴正半轴可得c的正负，进而判断B；根据对称轴为直线x=1可得b=-2a，进而判断C的正误；根据抛物线与x轴有两个交点可得b2-4ac的正负，进而判断D的正误.
3.【答案】 A
【解析】【解答】解：在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，角度没有改变，
故答案为：A.
【分析】因为在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相似，根据相似三角形的性质可知角度没有改变.
4.【答案】 A
【解析】【解答】解：由等比性质，得 ， 故答案为：A.
【分析】 已知 ， 利用等比定理即可求解.
5.【答案】 A
【解析】【解答】∵ A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+2上的三点，
∴ y1＝﹣（﹣2+1）2+2＝1，y2＝﹣（1+1）2+2＝﹣2，y3＝﹣（2+1）2+2＝﹣7，
∵ 1＞﹣2＞﹣7， ∴ y1＞y2＞y3 ， 故答案为：A．
【分析】把点的坐标分别代入抛物线解析式可求得y1 ， y2 ， y3的值，比较大小即可．
6.【答案】 D
【解析】【解答】解：因为直线 与x轴交于点A,所以令y=0,可得: ,解得 ,
则OA=2b,又因为 ,所以B点纵坐标是: ,因为B点在 ,所以B点坐标为(－2b, ),又因为B点在直线 上,所以 ,解得 ,因为直线 与y轴交于正半轴,所以 ,所以 ,故答案为：D.
【分析】先由直线 与x轴交于点A求得OA，再由得B点纵坐标，由三角形面积公式即可求得 b的值 .
7.【答案】 A
【解析】【解答】∵ ，相似比为
∴ 与 的面积比为 ， 故答案为：A．
【分析】根据 ，相似比为 ， 求面积比即可。
8.【答案】 C
【解析】【解答】解：由对称轴，得 b=﹣2a． （m﹣1）a+b=ma﹣a﹣2a=（m﹣3）a
∵ a＜0， 当m＜1时，（m﹣3）a＞0， 故选：C．
【分析】根据对称轴，可得b=﹣2a，根据有理数的乘法，可得答案．
9.【答案】 A
【解析】【分析】过O作OC⊥ AB于C，过N作ND⊥ OA于D，设N的坐标是（x，x+3)，得出DN=x+3，OD=-x，求出OA=4，OB=3，由勾股定理求出AB=5，由三角形的面积公式得出AO×OB=AB×OC，代入求出OC，根据sin45°=求出ON，在Rt△ NDO中，由勾股定理得出（x+3)2+（-x)2=()2 ， 求出N的坐标，得出ND、OD，代入tan∠ AON=求出即可．
【解答】
过O作OC⊥ AB于C，过N作ND⊥ OA于D，
∵ N在直线y=x+3上， ∴ 设N的坐标是（x，x+3)， 则DN=x+3，OD=-x，y=x+3，
当x=0时，y=3， 当y=0时，x=-4， ∴ A（-4，0)，B（0，3)， 即OA=4，OB=3，
在△ AOB中，由勾股定理得：AB=5，
∵ 在△ AOB中，由三角形的面积公式得：AO×OB=AB×OC，
∴ 3×4=5OC， OC=，
∵ 在Rt△ NOM中，OM=ON，∠ MON=90°， ∴ ∠ MNO=45°，∴ ，∴ ON=，
在Rt△ NDO中，由勾股定理得：ND2+DO2=ON2 ，即（x+3)2+（-x)2=()2 ，
解得：x1=-，x2=，
∵ N在第二象限， ∴ x只能是-， x+3=， 即ND=，OD=， tan∠ AON==． 故选A．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，三角形的面积，解直角三角形等知识点的运用，主要考查学生运用这些性质进行计算的能力，题目比较典型，综合性比较强．
10.【答案】 D
【解析】【解答】解：
过点A作AE⊥ x轴于点E，过点B作BF⊥ x轴于点F，过点A作AN⊥ BF于点N，
过点C作CM⊥ x轴于点M，
∵ ∠ EAO+∠ AOE=90°,∠ AOE+∠ MOC=90°， ∴ ∠ EAO=∠ COM，
又∵ ∠ AEO=∠ CMO， ∴ ∠ AEO∽△ COM， ∴ = ，
∵ ∠ BAN+∠ OAN=90°,∠ EAO+∠ OAN=90°， ∴ ∠ BAN=∠ EAO=∠ COM，
在△ ABN和△ OCM中
∴ △ ABN≌△ OCM(AAS)，∴ BN=CM，
∵ 点A( 1,2),点B的纵坐标是 ， ∴ BN= ， ∴ CM= ， ∴ MO==2CM=3，
∴ 点C的坐标是：(3, ). 故选：D.
【分析】次题主要考查了矩形的性质以及相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质等知识.构造直角三角形，正确得出CM的长是解题的关键.
二、填空题
11.【答案】 k ＜﹣2
【解析】【解答】∵ 反比例函数y 的图象有一支在第二象限， ∴ 2k+4＜0，解得k＜﹣2．
故答案为：k＜﹣2．
【分析】由于反比例函数 的图象有一支在第二象限，可得k-1＜0，求出k的范围即可．
12.【答案】
【解析】【解答】解：将抛物线y=x2向左平移3个单位后所得直线解析式为：y=(x+3)2；
再向下平移2个单位为： ． 故答案为：
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
13.【答案】 ﹣5
【解析】【解答】解：设A（a，b），则OB=﹣a，AB=b， S△ ABC ，∴ OB×AB ，
即：﹣ab=5，∴ k=ab=﹣5. 故答案为：﹣5.
【分析】反比例函数中k的值与点A的坐标有关，设出点A的坐标，得三角形的面积，进而求出k.
14.【答案】 5或 或
【解析】【解答】解：△ ACF为等腰三角形有三种情况：
①如图①，当AF＝CF时，点E与点O重合，
由题意得OB＝8，BC＝6，∴ 由勾股定理得OC＝10，
∵ 四边形AOBC为矩形，∴ EF＝5；
②如图②，当AF＝AC＝8时，
由①可知OC＝10，
∵ 四边形AOBC为矩形，∴ AB＝OC＝10，AC∥ OB，∴ △ AFC∽△ BFE，∴ ＝ ＝ ，
∴ BE＝BF＝10﹣8＝2，∴ 在Rt△ BCE中，由勾股定理得：CE＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝4，∴ EF＝ CE＝ ；
③如图③，当CF＝AC＝8时，过点C作CD⊥ AF于点D，
∴ AD＝DF，
∵ AC＝8，BC＝6，AB＝10，∴ CD＝ ＝ ，
∴ 在Rt△ ACD中，由勾股定理得：AD＝ ＝ ，
∴ BD＝AB﹣AD＝10﹣ ＝ ，DF＝AD＝ ，AF＝ ，BF＝DF﹣BD＝ ，
∵ AC∥ OE，∴ △ AFC∽△ BFE，∴ ＝ ，∴ ＝ ，∴ BE＝ ，
∵ CF＝AC，∴ EF＝BE，∴ EF＝ ．
综上所述，EF的长为5或 或 ． 故答案为：5或 或 ．
【分析】△ ACF是等腰三角形，需要分三种情况进行讨论求解.
三、解答题
15.【答案】 解：把（1,0）、（0,5）代入
得 ，
解得 ，
所以二次函数的解析式为
【解析】【分析】将（1,0）、（0,5）两点坐标代入 得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可.
16.【答案】 解：过B作地平面的垂线段BC，垂足为C，
在Rt△ ABC中， ∵ ∠ ACB=90°， ∴ BC=AB sin∠ BAC=12×0.515≈6.2（米），
答：大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米．
【解析】【分析】 过B作地平面的垂线段BC，垂足为C， 根据正弦函数的定义由 BC=AB sin∠ BAC 即可算出答案。
17.【答案】 解：由题意知：∠ APB=∠ CPD，∠ ABP=∠ CDP， ∴ △ ABP∽△ CDP，∴ = ，
得： = ，解得：CD=8． 答：该古城墙CD的高度为8米．
故答案为CD=8米．
【解析】【分析】由题意得到两对角相等，利用两对角相等的三角形相似得到△ ABP与△ CDP相似，由相似得比例求出CD的长即可．
18.【答案】 过P作PC1⊥ OA，垂足是C1 ， 则△ OC1P∽△ OAB．点C1坐标是（3，0）．
过P作PC2⊥ AB，垂足是C2 ， 则△ PC2B∽△ OAB．点C2坐标是（6，4）．
过P作PC3⊥ OB，垂足是P（如图），
则△ C3PB∽△ OAB，∴ ． 易知OB=10，BP=5，BA=8，
∴ ．∴ C3（6，）．
符合要求的点C有三个，其连线段分别是PC1 ， PC2 ， PC3（如图）．
【解析】【分析】按照公共锐角进行分类，可以分为两种情况：当∠ BOA为公共锐角时，只存在∠ PCO为直角的情况；当∠ B为公共锐角时，存在∠ PCB和∠ BPC为直角两种情况．
19.【答案】 解：过点A作AD⊥ BC，交BC延长线于点D，∵ ∠ B=30°，∴ ∠ BAD=60°，又∵ ∠ BAC=15°，∴ ∠ CAD=45°，在Rt△ ACD中，∵ AC=300米，∴ AD=ACcos∠ CAD=300× =150 （米），∴ AB= = =300 ≈424（米），答：A，B两个凉亭之间的距离约为424米．
【解析】【分析】题中关键的已知条件是：∠ ABC=30°，∠ CAB=15°，两角是△ ABC的两个内角，之和为45°，因此添加辅助线，构造外角是45°的三角形。过点A作AD⊥ BC，交BC延长线于点D，可得△ ACD是等腰直角三角形。将要解决的问题就转化到两直角三角形中求解。
20.【答案】 解：过C作CE⊥ AB于E，
∵ CD⊥ BD，AB⊥ BD，∴ ∠ EBD＝∠ CDB＝∠ CEB＝90°，
∴ 四边形CDBE为矩形，∴ BD＝CE＝21，CD＝BE＝2，
设AE＝x，∴ ，解得：x＝14，∴ 旗杆的高AB＝AE+BE＝14+2＝16米．
【解析】【分析】过C作CE⊥ AB于E，首先证明四边形CDBE为矩形，可得BD＝CE＝21，CD＝BE＝2，设AE＝x，则 ，求出x即可解决问题．
21.【答案】 解：∵ ∠ A=30°，∠ CBD=60°，∴ ∠ ACB=30°，∴ BC=AB=30米，在Rt△ BCD中，∠ CBD=60°，BC=30，∴ sin∠ CBD= ，sin60°= ，∴ CD=15 米，答：风筝此时的高度15 米
【解析】【分析】结合已知条件根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，得出∠ ACB=30°，根据等腰三角形的性质得出BC=AB=30米，在Rt△ BCD中，根据锐角三角函数定义得出CD值即可.
22.【答案】 答：（1）AD=A′D．证明：如图1，∵ Rt△ A′BC′≌Rt△ ABC，∴ BC=BC′，BA=BA′．∵ ∠ A′BC′=∠ ABC=60°，∴ △ BCC′和△ BAA′都是等边三角形．∴ ∠ BAA′=∠ BC′C=60°．∵ ∠ A′C′B=90°，∴ ∠ DC′A′=30°．∵ ∠ AC′D=∠ BC′C=60°，∴ ∠ ADC′=60°．∴ ∠ DA′C′=30°．∴ ∠ DAC′=∠ DC′A，∠ DC′A′=∠ DA′C′．∴ AD=DC′，DC′=DA′．∴ AD=A′D．（2）仍然成立：AD=A′D．证法一：利用相似．如图2﹣1．由旋转可得，BA=BA′，BC=BC′，∠ CBC′=∠ ABA′∵ ∠ 1=（180°﹣∠ ABA′），∠ 3=（180°﹣∠ CBC′）∴ ∠ 1=∠ 3．设AB、CD交于点O，则∠ AOD=∠ BOC∴ △ BOC∽△ DOA．∴ ∠ 2=∠ 4，= ． 连接BD，∵ ∠ BOD=∠ COA，∴ △ BOD∽△ COA．∴ ∠ 5=∠ 6．∵ ∠ ACB=90°，∴ ∠ 2+∠ 5=90°．∴ ∠ 4+∠ 6=90°，即∠ ADB=90°．∵ BA=BA′，∠ ADB=90°，∴ AD=A′D．证法二：利用全等．如图2﹣2．过点A作AE∥ A′C′，交CD的延长线于点E，则∠ 1=∠ 2，∠ E=∠ 3．由旋转可得，AC=A′C′，BC=BC′，∴ ∠ 4=∠ 5．∵ ∠ ACB=∠ A′C′B=90°，∴ ∠ 5+∠ 6=∠ 3+∠ 4=90°，∴ ∠ 3=∠ 6．∴ ∠ E=∠ 6，∴ AE=AC=A′C′．在△ ADE与△ A′DC′中，∴ △ ADE≌△ A′DC′（ASA），∴ AD=A′D．（3）当A、C′、A′三点在一条直线上时，如图3，则有∠ AC′B=180°﹣∠ A′C′B=90°．在Rt△ ACB和Rt△ AC′B中， ． ∴ Rt△ ACB≌Rt△ AC′B （HL）．∴ ∠ ABC=∠ ABC′=60°．∴ 当A、C′、A′三点在一条直线上时，旋转角α的度数为60°．
【解析】【分析】（1）易证△ BCC′和△ BAA′都是等边三角形，从而可以求出∠ AC′D=∠ BAD=60°，∠ DC′A′=∠ DA′C′=30°，进而可以证到AD=DC′=A′D．
（2）解答中提供了两种方法，分别利用相似与全等，证明所得的结论．
（3）当A、C′、A′三点在一条直线上时，有∠ AC′B=90°，易证Rt△ ACB≌Rt△ AC′B （HL），从而可以求出旋转角α的度数．
23.【答案】 解：（1）对于y=-+x+4，令x=0，得y=4，即B（0，4）；
令y=0，即-+x+4=0，解得：x1=-2，x2 =4，即A（4，0）
设直线AB的解析式为y =kx+ b，
把A（4，0），B（0，4）分别代入上式，得
， 解得：k=-1，b=4， ∴ 直线AB的解析式为y=-x+4
（2）当点P（x，y）在直线AB上时，由x=-x+4，得：x=2，
当点Q在直线AB上时，依题意可知Q（ ， ），由=-+2，得：x=4，
∴ 若正方形PEQF与直线AB有公共点，则x的取值范围为2≤x≤4；
（3）当点E（x，）在直线AB上时，=-x+4，解得：x= ，
①当2≤x＜时，直线AB分别与PE、PF交于点C、D，此时PC=x-（-x+4）=2x-4，
∵ PD = PC， ∴ S△ PCD ==2 ∴ S=-2=-+8x-8=-+
∵ 2≤＜ ， ∴ 当x=时，=
②当≤x≤4时，直线AB分别与QE、QF交于点M、N，此时， QN=（-+4）-=-x+4
∵ QM = QN， ∴ S△ QMN== 即S= ，
其中，当x= 时，= 综合①、②，当x=时，=
【解析】【分析】（1）抛物线的解析式中，令x=0可求出B点的坐标，令y=0可求出A点的坐标，然后用待定系数法即可求出直线AB的解析式；
（2）可分别求出当点P、点Q在直线AB上时x的值，即可得到所求的x的取值范围；
（3）首先要计算出一个关键点：即直线AB过E、F时x的值（由于直线AB与直线OP垂直，所以直线AB同时经过E、F），此时点E的坐标为（x，），代入直线AB的解析式即可得到x=；
①当2≤x＜时，直线AB与PE、PF相交，设交点为C、D；那么重合部分的面积为正方形QEPF和等腰Rt△ PDC的面积差，由此可得到关于S、x的函数关系式，进而可根据函数的性质及自变量的取值范围求出S的最大值及对应的x的值；
②当≤x≤4时，直线AB与QE、QF相交，设交点为M、N；此时重合部分的面积为等腰Rt△ QMN的面积，可参照①的方法求出此时S的最大值及对应的x的值；
综合上述两种情况，即可比较得出S的最大值及对应的x的值．18