(共21张PPT)
6.1 平方根 课时1
实数
人教版-数学-七年级-下册
学习目标
1.了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根.
2.会求非负数的算术平方根，掌握算术平方根的非负性．
课堂导入
学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块面积为 25 dm2 的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？你能帮小鸥算一算吗？
正方形画布的边长应取 5 dm.
52=25
新知探究
知识点1：算术平方根
已知一个正数，求这个正数的平方，这是平方运算.
正方形的边长/dm 1 3 4
正方形的面积/dm2
1
填表：
9
16
表一
新知探究
正方形的面积/dm2 1 9 16
正方形的边长/dm
1
填表：
3
4
已知一个正数的平方，求这个正数.
表一和表二中的两种运算有什么关系？
表二
新知探究
一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2=a，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根.
规定：0 的算术平方根是 0.
算术平方根是它本身的数只有 0 和 1.
新知探究
a 的算术平方根
互为
逆运算
平方根号
被开方数(a≥0)
读作“根号a”
(x≥0)
怎么用符号来表示一个正数的算术平方根呢？
新知探究
例1 分别求下列各数的算术平方根：
(1) 100； (2) ； (3) 0.0001.
解：(1) 由于102=100， 因此 10.
(2)由于 ，因此 .
(3) 由于 0.012=0.0001，因此 .
被开方数越大，对应的算术平方根也越大.
新知探究
1.一个正数有几个算术平方根？
一个.
2.负数有算术平方根吗？
负数没有算术平方根.
是什么数 其中a可以取任何数吗？
新知探究
算术平方根的双重非负性
a 的算术平方根
非负数
非负数
到目前为止，表示非负数的式子有：
|a|≥0；a2 ≥0；当a ≥0 时， ≥0.
新知探究
解: 因为 |m-2| ≥0， ≥0，
且 |m-2| + =0，
所以 |m-2| =0， =0，
所以 m=2，n=-2，
所以 m+n=2+(-2)=0.
例2 若 |m-2| + =0，求 m+n 的值.
若几个非负数的和为0，则每个数均为0.
(2) 的算术平方根是______.
跟踪训练
(1) 16 的算术平方根是______；
4
2
1.填空：
4
跟踪训练
2.已知 a，b，c 为有理数，若|a-1| + +(c+4)2=0，则 (a+b+c)2020= .
a-1=0→a=1
b-2=0→b=2
c+4=0→c=-4
1+2-4=-1
1
随堂练习
1.求下列各数的算术平方根.
(1) 144；
(2) 0.0036；
(3) ；
(4) ；
(5) 0.
12
→
求一个带分数的算术平方根时,要先把带分数化成假分数.
随堂练习
2.已知：|x+2| + + (5+z)2=0，则 x-3y+4z= .
3y-6=0→y=2
x+2=0→x=-2
5+z=0→z=-5
-2-3×2+4×(-5)=-28
-28
随堂练习
3.若
因为
一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2=a，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根.
课堂小结
算术平方根
概念
双重非负性
应用
a ≥0
几个非负数的和为0，则每个数均为0.
拓展提升
1.已知非零实数 a，b 满足 |2a-4| + |b+2| + + 4 = 2a，则 a+b 等于( )
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
|2a-4| + |b+2| + = 2a-4 ≥ 0
|b+2| + = 0
b = -2
a = 3
C
2.自由下落物体下落的距离 h (米)与下落时间 t (秒)的关系为 h=4.9t2 ．有一铁球从 19.6 米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？
解：将 h＝19.6 代入公式得
19.6=4.9t2 ，得 t2=4 ，
所以正数 t = =2 (秒).
即铁球到达地面需要 2 秒.
拓展提升
拓展提升
解：设每块地板砖的边长为 x m.由题意得
3.用大小完全相同的 240 块正方形地板砖，铺一间面积为 60 m2 的会议室的地面，每块地板砖的边长是多少？
故每块地板砖的边长是 0.5 m.
课后作业
请完成课本后习题第1题.(共29张PPT)
6.1 平方根 课时2
实数
人教版-数学-七年级-下册
知识回顾
填空：
(1) 一个数的算术平方根是3，则这个数是 ；
(2) 一个自然数的算术平方根为a，则这个自然数是___；和这个自然数相邻的下一个自然数是 ；
(3) 的算术平方根为 ；
(4) 2 的算术平方根为____.
3
9
a2
a2+1
学习目标
1.会用计算器求算术平方根.
2.掌握算术平方根的估算及大小比较．
课堂导入
通过上节课的学习我们知道 的算术平方根是 3 ，
2 的算术平方根是 ，那么 有多大呢？
探究 能否用两个面积为 1 dm2 的小正方形拼成一个面积为 2 dm2 的大正方形？
新知探究
知识点1：算术平方根的估算及大小比较
设大正方形的边长为 x dm，则
x2 = 2
由算术平方根的意义可知
x =
所以大正方形的边长是 dm
新知探究
小正方形的对角线的长是多少呢？
小正方形的对角线的长即为大正方形的边长
新知探究
因为 12=1，22=4，
而 1 < 2 < 4 ，
所以 1 < < 2．
有多大呢？
对算术平方根进行估算时，通常利用与被开方数比较接近的两个完全平方数的算术平方根来估计这个被开方数的算术平方根的大小.
新知探究
因为1.42 = 1.96，1.52 = 2.25，而 1.96 < 2 < 2.25，
所以 1.4 < < 1.5；
能不能得到更精确的范围？
因为1.412 = 1.9881，1.422 = 2.0164，而 1.9881 < 2 < 2.0164，
所以 1.41 < < 1.42；
因为1.4142 = 1.999396，1.4152 = 2.002225，
而 1.999396 < 2 < 2.002225，所以 1.414 < < 1.415；
新知探究
如此进行下去，可以得到 更精确的近似值. 事实上 =1.414213562373…，它是一个无限不循环小数.
小数位数无限，且小数部分不循环的小数称为无限不循环小数.
新知探究
(1)确定 的整数部分：根据算术平方根的定义，若 夹在两个连续正整数 m，n (m(2)确定 的小数部分：从较小整数 m 开始，逐步加 0.1，并求其平方，采用与(1)类似的方法确定 的十分位上的数；再用同样的方法确定其他数位上的数，直到能按照精确度估计近似值为止（若要求精确到百分位，估算过程中需计算到千分位，再用四舍五入法确定百分位的值）.
夹逼法按照精确度估计 的近似值
新知探究
例3 小丽想用一块面积为 400 cm2 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为 300 cm2 的长方形纸片，使它的长宽之比为 3 : 2．她不知能否裁得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？小
丽能用这块纸片裁出符合要求的
纸片吗？
新知探究
解：设长方形纸片的长为 3x cm ，宽为 2x cm，
根据边长与面积的关系得
3x 2x = 300 ，
6x2 = 300 ，
x2 = 50，
x = ，
因此长方形纸片的长为 3 cm .
新知探究
因为 50 > 49，所以 > 7.
由上可知 3 > 21，则长方形纸片的长应该大于 21 cm.
因为 = 20，所以正方形纸片的边长只有 20 cm.
这样，长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长.
答：不能同意小明的说法. 小丽不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片.
跟踪训练
估算 的近似值(精确到0.01).
解：∵ 22=4，32=9，∴ 2< <3.
∵ 2.22 =4.84，2.32 =5.29，∴ 2.2< <2.3，
∵ 2.232 =4. 9729，2.242 =5. 0176，∴ 2.23 < <2.24.
∵ 2.2362 =4.999696，2.2372 =5.004169，∴ 2.236< <2.237，
∴ ≈2.24.
确定整数部分为 2
确定十分位为 2
四舍五入确定百分位为 4
新知探究
知识点2：用计算器求正有理数的算术平方根
在估计有理数的算术平方根的过程中，为方便计算，可借助计算器求一个正有理数 a 的算术平方根(或其近似数).
a
=
按键顺序：
计算器的型号不同，按键顺序可能有所不同，要注意阅读使用说明书.
新知探究
例2 用计算器求下列各式的值：
(1) ； (2) (精确到0.001).
解：(1)依次按键 ，
显示：56.
∴ .
(2)依次按键 ，
显示：1.414213562.
∴ .
=
3136
=
2
新知探究
… …
… …
探究 （1）利用计算器计算下表中的算术平方根，并将计算结果填在表中.
0.25
0.791
2.5
7.91
25
79.1
250
你发现了什么规律？
新知探究
被开方数的小数点向右每移动 位，它的算术平方根的小数点就向右移动 位；
被开方数的小数点向左每移动 位，它的算术平方根的小数点就向左移动 位.
2
1
2
1
… …
… …
0.25
0.791
2.5
7.91
25
79.1
250
新知探究
探究 （2）用计算器计算 (精确到0.001)，并利用你在（1）中发现的规律说出 ， ， 的近似值，你能根据 的值说出 是多少吗？
用计算器可得 ，根据(1)中发现的规律可知 ， ， ；
根据 的值不能说出 是多少.
跟踪训练
用计算器求下列各式的值：
(1) ；(2) (精确到0.01).
解：(1)依次按键 ，
显示：85.
所以 = 85.
(2)依次按键 ，
显示：3.464101615.
所以 ≈3.46.
7
5
2
2
=
1
2
=
1.估算 的值 ( )
A.在 1 和 2 之间 B.在 2 和 3 之间
C.在 3 和 4 之间 D.在 4 和 5 之间
解析：因为 42<19<52，
所以 4< <5，
所以 2< <3.
B
随堂练习
2.比较下列各组数的大小：
(1) 与 5； (2) 与 .
解：(1)∵ 26>25，
∴ > ，
即 >5.
(2) ∵ 12<2<22，
∴ 1< <2，
∴ 0< -1<1，
∴ .
随堂练习
随堂练习
解析： ∵ < <，
∴ 6< < 7，
∵ 6.52=42.25，
∴ 6< <6.5，
∴ ≈6.
3.估算： ≈ (结果精确到 1).
6
比较大小
课堂小结
算术平方根的求值
估算
用计算器计算
拓展提升
1.与 最接近的整数是( )
A.5 B.6 C.7 D.8
解析： ∵ 36<44<49，
∴ 6< < 7，
∵ 6.52=42.25，
∴ 6.5< <7，
∴与 最接近的整数是 7.
C
2.通过估算比较下列各组数的大小：
(1) 与1.9； (2) 与1.5.
解：(1)因为 5>4，
所以 >2，
所以 >1.9.
(2)因为 6>4，
所以 > 2，
所以 >
所以 >1.5.
拓展提升
拓展提升
3.已知 ≈1.536， ≈4.858， ≈15.36， ≈48.58， ≈153.6.
(1)求 的值；
(2)若≈0.4858，求 x 的值；
解：(1) ∵ ≈4.858， ∴ ≈0.04858.
(2) ∵ ≈4.858， ∴ ≈0.4858≈ ，
∴ x≈0.236.
拓展提升
3.已知 ≈1.536， ≈4.858， ≈15.36， ≈48.58， ≈153.6.
(3)若 ≈1536，求 a 的值.
解：(3) ∵ ≈1536 ≈ ，
∴ a×106 ≈ 2360000 = 2.36×106 ,
∴ a ≈ 2.36.
课后作业
请完成课本后习题第2题.(共29张PPT)
6.1 平方根 课时3
实数
人教版-数学-七年级-下册
知识回顾
1.算术平方根的定义：
一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2=a，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根.
2.判断下列各数有没有算术平方根，如果有，请求出它们的算术平方根.
36 0 1 -1 (-4)2
6
0
1
无
4
学习目标
1.了解平方根的概念，并理解平方与开平方的关系.
2.会求非负数的平方根．
课堂导入
(1) 32= ，(-3)2= ；
(2) = ， = ；
(3) 0.82 = ，(-0.8)2 = .
9
0.64
0.64
填空：
9
反过来，如果已知一个数的平方，怎样求这个数呢？
新知探究
知识点：平方根的定义及性质
思考 如果一个数的平方等于 9，这个数是多少？
从前面我们知道，这个数可以是 3. 除了 3 以外，还有没有别的数的平方也等于 9 呢？
由于 ，这个数也可以是 -3.
因此这个数是 3 或 -3.
新知探究
x2 1 16 36 49
x
完成下列表格.
1或-1
4或-4
6或-6
7或-7
或
新知探究
一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根或二次方根.
这就是说，如果 x2=a，那么 x 叫做 a 的平方根.
例如，3 和 -3 是 9 的平方根，简记为 ±3 是 9 的平方根.
新知探究
一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根或二次方根.
这就是说，如果 x2=a，那么 x 叫做 a 的平方根.
例如，3 和 -3 是 9 的平方根，简记为 ±3 是 9 的平方根.
新知探究
+1
-1
+2
-2
+3
-3
1
4
9
平方
已知一个数，求它的平方的运算，叫做平方运算.
新知探究
+1
-1
+2
-2
+3
-3
1
4
9
反之，已知一个数的平方，求这个数的运算叫什么？
求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.
新知探究
例4 求下列各数的平方根：
(1) 100 ； (2) ； (3) 0.25.
解：(1) 因为 (±10)2 = 100，所以 100 的平方根是 ±10；
(2) 因为 ，所以 的平方根是 ；
(3)因为 (±0.5)2 = 0.25，所以 0.25 的平方根是 ±0.5.
新知探究
思考 正数的平方根有什么特点？0 的平方根是多少？负数有平方根吗？
1. 正数有两个平方根，两个平方根互为相反数.
2. 0 的平方根还是0.
3. 负数没有平方根.
归纳
新知探究
我们知道，正数 a 的算术平方根可以用 表示；正数 a 的负的平方根，可以用符号“-”表示，故正数 a 的平方根可以用符号“±”表示，读作“正、负根号 a”.
新知探究
例5 求下列各式的值：
(1) ； (2) ； (3) .
解：(1) 因为 62=36，所以 .
(2) 因为 0.92=0.81 ，所以 .
(3) 因为 ，所以 .
新知探究
平方根与算术平方根的区别
算术平方根 平方根
区别 定义
个数
表示方法
结果
一个
两个，且互为相反数
一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2=a，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根
一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根或二次方根
正数的算术平方根一定
是正数
正数的平方根一正一负
算术平方根 平方根
联系 具有包含关系
存在条件相同
特殊值0
平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的正的平方根
只有非负数才有平方根和算术平方根
0 的平方根和算术平方根都是 0
新知探究
平方根与算术平方根的联系
跟踪训练
判断下列说法是否正确：
(1) 0 的平方根是 0.
(2) 1 的平方根是 1.
(3) -1 的平方根是 -1.
(4) 0.01 是 0.1 的一个平方根.
±1
负数没有平方根
0.1 是 0.01 的一个平方根
随堂练习
1.下列说法中不正确的是( )
A. 是 2 的平方根
B. 是 2 的平方根
C. 2 的平方根是
D. 2 的算术平方根是
C
随堂练习
2.求下列各数的算术平方根和平方根.
(1)(-11)2；(2) ；(3) ；(4) .
解：(1)(-11)2 =121，它的算术平方根是 11，平方根是 ±11.
(2) =7，它的算术平方根是 ，平方根是 .
因为 =7，所以求 的算术平方根和平方根实际上是求7的算术平方根和平方根.
随堂练习
(3) =4 ，它的算术平方根是 2，平方根是 ±2.
(4)因为 ，
所以 的算术平方根是 ，平方根是 .
2.求下列各数的算术平方根和平方根.
(1)(-11)2；(2) ；(3) ；(4) .
注意被开方数13 -12 是一个整体，所以需要先计算的值.
随堂练习
先找出平方等于这个正数 a 的数，这样的数有两个，它们互为相反数，这两个数均为这个正数 a 的平方根，其中正的平方根为这个正数 a 的算术平方根.另外，当这个正数 a 为带分数时，一般先将其化为假分数，再求其平方根；当有乘方运算时，先用乘方运算求出结果，针对结果再求平方根；当这个正数 a 不能写成有理数的平方的形式时，其平方根应表示为 .
求一个正数 a 的算术平方根和平方根的方法
3.一个正数的两个平方根分别是2a＋1和a－4，求这个数．
解：由于一个正数的两个平方根是2a＋1和a－4，
则有2a＋1＋a－4＝0，
即3a－3＝0，
解得a＝1.
所以这个数为(2a＋1)2＝(2＋1)2＝9.
随堂练习
互为相反数
一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根或二次方根
课堂小结
平方根
概念
性质
正数有两个平方根，两个平方根互为相反数
负数没有平方根
拓展提升
1.求下列各式中 x 的值.
(1) x2-49=0； (2) 25-64x2=0； (3)4(1-2x)2-1=0.
解：(1)∵ x2-49=0，∴ x2=49，∴ x=±7.
(2) ∵ 25-64x2=0， ∴ 64x2=25，
∴ x2= . ∴ x= .
拓展提升
1.求下列各式中 x 的值.
(1) x2-49=0； (2) 25-64x2=0； (3)4(1-2x)2-1=0.
(3) ∵ 4(1-2x)2-1=0，
∴ 4(1-2x)2=1， ∴(1-2x)2= ，
∴ 1-2x= .当 1-2x= 时，x= ；当1-2x= 时，x= .
∴ x= 或 x= .
利用整体思想求解
拓展提升
2.若 8xmy 与 6x3yn 的和是单项式，则(m +n)3的平方根为( )
A. 4 B. 8 C. ±4 D. ±8
同类项
m =3，n =1
(3+1)3=64
D
拓展提升
3.已知 2a- 1 的平方根为 ，3a -2b 的算术平方根为 2，求 4a-b+2 的平方根.
2a-1=3
a = 2
3a-2b=4
b = 1
4×2-1+2=9
平方根为±3
拓展提升
3.已知 2a- 1 的平方根为 ，3a -2b 的算术平方根为 2，求 4a-b+2 的平方根.
解： ∵ 2a-1 的平方根为，3a-2b 的算术平方根为 2，
∴ 2a-1=3，3a-2b=4，
∴ a=2，b=1，
∴ 4a-b+2=4×2-1+2=9，
∴ 4a-b+2 的平方根是±3.
课后作业
请完成课本后习题第3、4、7、8题.
