(共32张PPT)
6.3 实数 课时1
实数
人教版-数学-七年级-下册
知识回顾
一般地，如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根或三次方根．这就是说，如果 x3=a，那么 x 叫做 a 的立方根.
求一个数的立方根的运算叫做开立方.开立方与立方互为逆运算，可以利用开立方求一个数的立方根.
知识回顾
求下列各式的值：
(1) ； (2) ； (3) .
解：(1) ；
(2) ；
(3) .
学习目标
1.了解实数的意义，并能将实数按要求进行准确的分类.
3.了解实数和数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示无理数.
2.熟练掌握实数大小的比较方法.
课堂导入
整数、小数、分数、百分数.
小学阶段我们学过哪些数？
让我们通过本节课的学习来寻找答案吧！
属于哪一类呢？
新知探究
知识点1：实数的概念和分类
探究 我们知道有理数包括整数和分数，请把下列分数写成小数的形式，你有什么发现？
-
它们都可以写成有限小数或无限循环小数的形式.
= 2.5 - = -0.6 = 6.75 = 1.2 = 0.81
新知探究
整数可以看成是小数点后是0的小数.
整数能写成小数的形式吗？
事实上，如果把整数看成小数点后是 0 的小数，那么任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式.反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.
新知探究
所有的数都可以写成有限小数和无限循环小数的形式吗？
π=3.1415926535897932384626…
1.01001000100001…(两个1之间依次多一个0)
不是. 如：
1.41421356…
1.70997594…
新知探究
无限不循环小数叫做无理数.
1.无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数,只有无限不循环小数才是无理数.
2.某些数的平方根或立方根是无理数，但带根号的数不一定都是无理数.
有理数和无理数统称为实数.
新知探究
常见的无理数的形式：
(1)开方开不尽的数的方根，如：等；
(2) π 及化简后含 π 的数，如：π+1等；
(3)具有特殊结构的数，如：0.3030030003…(相邻两个 3之间依次多一个 0 ).
像有理数一样，无理数也有正负之分.例如，是正无理数，是负无理数.
新知探究
无理数与有理数的区别
(1)任何有理数都能化成分数(整数可以看成分母是1的分数)，无理数不能化成分数.
(2)任何一个有理数都可以化成有限小数(把整数看成小数点后是0的小数)或无限循环小数，无理数是无限不循环小数.
新知探究
(1)按定义分：
你能给实数分类吗？
实数
有理数
无理数
正有理数
0
负有理数
正无理数
负无理数
有限小数或无限循环小数
无限不循环小数
新知探究
(2)按大小分：
实数
正实数
负实数
正有理数
正无理数
负有理数
负无理数
0
实数的分类有不同的方法，但不论用哪一种分类方法，都要做到不重不漏.
新知探究
(1)对实数进行分类时，某些数应先进行计算或化简，然后根据最后结果进行分类，不能看到带根号的数，就认为是无理数，不能看到有分数线的数，就认为是有理数. (2)在实数范围内，一个数不是有理数，那么它一定是无理数，反之亦成立.
跟踪训练
把下列各数填在相应的大括号内.
.
非负整数：{ …}；
整数：{ …}；
负分数：{ …}；
跟踪训练
把下列各数填在相应的大括号内.
正实数：{ …}；
有理数：{ …}；
无理数：{ …}.
.
新知探究
知识点2：实数与数轴上的点
探究 如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点 O'，点 O' 对应的数是多少？
O
-2
-1
1
3
2
4
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示，那么无理数是否也可以用数轴上的点表示出来呢？
O'
新知探究
从图中可以看出，OO' 的长是这个圆的周长 π，所以点 O' 对应的数是 π.
这样，无理数 π 可以用数轴上的点表示出来.
O
-2
-1
1
3
2
4
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
O'
新知探究
把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，得到一个大正方形，大正方形的边长为 ，从而说明边长为1的小正方形的对角线长为.
你能在数轴上表示出 和 吗？
新知探究
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；
反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.
实数和数轴上的点一 一对应
-2
-1
0
1
2
新知探究
与有理数一样，实数也可以比较大小.
对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大.
1.正实数大于0，负实数小于0，正实数大于一切负实数；
2. 两个负实数比较大小，绝对值大的反而小.
新知探究
不用计算器， 与 2 比较哪个大？与 3 比较呢？
，2可以分别看作是面积为5，4的正方形的边长，可以推断：面积较大的正方形，它的边长也比较大，因此 .
因为5<9，所以.
跟踪训练
1.下列说法正确的有( )
①数轴上任意一点都表示一个有理数；
②任意一个无理数都可以用数轴上的一个点来表示；
③任意一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；
④有理数与数轴上的点一 一对应.
实数
实数
B
A.1个 B.2个 C.3 D.4个
2.给出三个数：-π，-3， ，将它们按从小到大的顺序排列为( )
A.-3<-π< B.-π<-3<
C. <-3<-π D.-π< <-3
解析：|-π|=π≈3.14，|-3|=3， ≈2.65，
∵2.65<3<3.14，即<|-3|<|- π |，
∴ -π<-3< .
B
跟踪训练
随堂练习
1.给出下列各数： (，0.，5-π，，，，，0，1.2020020002 （相邻两个2之间0的个数依次增加1）.其中无理数有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
4
C
0.3
随堂练习
2.实数 a，b，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是( )
A. |a|>4 B. c -b>0
C. ac>0 D. a+c>0
-4
c>0,b<0 c-b>0
a<-3,c<3 a+c<0
a<0,c>0
B
随堂练习
3.比较 与 的大小.
解：
∵2<4，
∴，即<2，
∴<0，
∴<0，
<
一 一对应
无限不循环小数
课堂小结
实数
无理数
实数的分类
实数与数轴上点的关系
实数的大小比较
拓展提升
1.实数 a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示.下列结论正确的是( )
A. a>b B. a> -b C. -a>b D. -a-3C
拓展提升
2.比较3，，的大小( )
A. 3<< B. 3<<
C. <3< D. <<3
3=<
3=>
C
拓展提升
3.设 x，y 是有理数，且 x，y 满足等式 x2+2y+y=17-4，求 x-y 的值．
解：∵ x，y 是有理数，且 x，y 满足等式 x2+2y+y=17-4，
∴ 解得 或
∴ 当 x=5，y=-4 时，x-y=5-(-4)=9，
当 x=-5，y=-4 时，x-y=-5-(-4)=-1．
课后作业
请完成课本后习题第1、 2题.(共26张PPT)
6.3 实数 课时2
实数
人教版-数学-七年级-下册
知识回顾
有理数关于相反数和绝对值的意义是什么？
只有符号不同的两个数，其中一个是另一个的相反数.
数轴上表示数 a 的点到原点的距离叫做数 a 的绝对值，用 |a| 表示.
学习目标
1.理解在实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义.
2.掌握实数的运算法则，熟练地利用计算器去解决有关实数的运算问题.
课堂导入
把有理数扩充到实数之后，有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数，这节课就让我们来学习这些内容吧！
新知探究
知识点1：实数的有关概念
思考 （1） 的相反数是______，-π 的相反数是______，0 的相反数是______；
（2）| | =____，|-π| =____，| 0 | =____.
π
0
π
0
数 a 的相反数是 -a，这里 a 表示任意一个实数.
新知探究
一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0.
即设 a 表示一个实数，则
新知探究
例1 (1)分别写出 ，π - 3.14 的相反数；
解：(1)因为
，-（π - 3.14）= 3.14 - π，
所以 ，π - 3.14 的相反数分别为 ，3.14 - π.
(2)指出 ， 分别是什么数的相反数；
(2)因为 ， ，
所以 ， 分别是 ， 的相反数.
新知探究
(3) 求 的绝对值；
(3) 因为
所以
(4) 已知一个数的绝对值是 ，求这个数.
(4)因为
所以绝对值为 的数是 或 .
跟踪训练
求下列各数的相反数和绝对值：
(1)； (2)3-π； (3) .
解：(1)的相反数是，.
(2)3-π的相反数是-(3-π)=π-3；|3-π|=π-3.
(3) 的相反数是；
| |= .
新知探究
实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
知识点2：实数的运算
新知探究
填空：设a，b，c是任意实数，则
（1）a+b = （加法交换律）；
（2）(a+b)+c = （加法结合律）；
（3）a+0 = 0+a = ；
（4）a+(-a) = (-a)+a = ；
（5）ab = （乘法交换律）；
（6）(ab)c = （乘法结合律）；
b+a
a+(b+c)
a
0
ba
a(bc)
（7） 1 · a = a · 1 = ；
a
新知探究
（8）a(b+c) = （乘法对于加法的分配律），
(b+c)a = （乘法对于加法的分配律）；
（9）实数的减法运算规定为a-b = a+ ；
（10）对于每一个非零实数a，存在一个实数b，
满足a·b = b·a =1，我们把b叫做a的 ；
（11）实数的除法运算（除数b≠0），规定为
a÷b = a · ；
（12）实数有一条重要性质：如果a ≠ 0，b ≠ 0，
那么ab 0.
ab+ac
ba+ca
(-b)
倒数
≠
新知探究
实数的混合运算顺序与有理数的混合运算顺序基本相同，先乘方、开方，再乘除，最后加减，同级运算按从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的.
新知探究
例2 计算下列各式的值：
新知探究
例3 计算（结果保留小数点后两位）：
解：
在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算.
跟踪训练
计算：
(1) ；
解：(1)
=
=
= .
跟踪训练
(2) ；
解：(2)
=
= .
(3) (精确到0.01) .
解：(3)
≈2.236+1.710-5.021
=-1.075
≈-1.08.
随堂练习
1. 的相反数是 ，绝对值是 .
2.计算： .
解：
=
= .
随堂练习
3.实数 a，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a+b| - 的结果是 .
-2a-b
解析：由数轴可知 b<0|a|，
∴ a+b<0，
∴ |a+b|- = -a-b-a= -2a-b.
课堂小结
相反数、绝对值
实数
实数的有关概念
实数的混合运算
在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
拓展提升
1.计算： .
解：
=
=
= .
拓展提升
2.学校原有一个面积为 100 m2 的圆形花坛，现将花坛的半径增加 2 m，重建一个新花坛.求新建花坛的周长.(结果精确到 1 m)
解：设原有花坛的半径为 r m，根据题意得 πr2=100，
∴ r2= .
∵ r>0，∴ r =，
∴ 新建花坛的半径为() m，
∴ 新建花坛的周长为2π× ()≈48(m).
拓展提升
3. 已知 ， ， ， .
(1)请化简 a，b，c，d 这四个数；
解：(1) ， ，
， .
拓展提升
(2)根据化简结果，求出这四个数中“有理数的和 m” 与“无理数的和 n”，并比较 m，n 的大小.
解：(2) ，
，
，
∴ n > m.
拓展提升
(2)根据化简结果，求出这四个数中“有理数的和 m” 与“无理数的和 n”，并比较 m，n 的大小.
解：(2) ，
，
，
∴ n > m.
本题源于《教材帮》
课后作业
请完成课本后习题第3、4、5题.