2021-2022学年北师大版七年级数学上册2.3绝对值讲义

北师大版七年级（上）
有理数及其运算
2.3 绝对值
【本节学习要点】
1.了解相反数的概念，并会表示一个数或式子的相反数;
2.会化简一个数的符号;
3.理解绝对值的意义;
4.会用绝对值的法则求一个数的绝对值，并会求含绝对值的四则运算;
5.能利用"几个非负数的和为零，则每个非负数都为零"求字母的值.
【知识呈现】
1.相反数∶只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0.
注意∶①相反数是成对出现的;②相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负;③0 的相反数是它本身;相反数为本身的数是0.
（2）相反数的性质与判定∶互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即 a，b互为相反数，则 a+b =0.
（3）相反数的几何意义∶在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称.
（4）相反数的求法
①求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号"-"即可求得（如∶a的相反数是-a）;
②求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添"-"，然后化简∶（如;a+b的相反数是-（a+b）=-a -b，a-b的相反数是-（a-b）= -a+b=b-a;
③求前面带"-"的单个数，也应先用括号括起来再添“-”然后化简（如∶-5的相反数是-（-5）=5;
（5）多重符号的化简规律∶"+"号的个数不影响化简的结果，可以直接省略;"-"号的个数决定最后化简结果;即∶"-"的个数是奇数时，结果为负，"-"的个数是偶数时，结果为正.
如 -（- 3）= 3，-[-（-7）] = - 7，-(+1)=-1.
2.绝对值∶
（1）绝对值的几何定义∶一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作.
（2）绝对值的代数定义①一个正数的绝对值是它本身;②一个负数的绝对值是它的相反数;③0 的绝对值是0.可用字母表示为∶①如果a>0，那么=a;②如果a<0，那么= -a;③如果a=0，那么=0.
（3）绝对值的性质∶任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性.所以，a取任何有理数，都有≥0.
①0的绝对值是0;绝对值是0的数是0.即∶a=0、=0;
②一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0. 即∶≥0;
③任何数的绝对值都不小于原数.即∶≥α;④绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数. 即∶若=a（a>0），则x= ±a;
⑤互为相反数的两数的绝对值相等.即∶= 或若a+b=0，则=;
⑥绝对值相等的两数相等或互为相反数.即∶=，则a=b或a= -b;
⑦若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为0.即+=0，则a=0且b=0.
（非负数的常用性质∶若几个非负数的和为0，则有且只有这几个非负数同时为0）
【纠错核心点拨】
1.绝对值刻画的是一个数所对应的点到原点的距离，因为距离一定是非负的，所以≥0.
2.绝对值等于0的数只有0，绝对值等于正数的数一定有两个，它们互为相反数，位于原点两侧，与原点距离相同.
3.相反数等于本身的数只有0，绝对值等于本身的数有正数和0.
4.几个非负数的和为0，这几个非负数分别为0，现在学习的非负数就只有绝对值.
【例题演练】
例1：下列各对数中互为相反数的是（B）
A.-5与 -（+5） B.-（-7）与 +（-7） C.-（+2）与 +（-2） D.- 与 -（-3）
（2）化简下列各数的符号
① -(-2); ②+（- ）
③-[-(-4)]; ④-[-(+3.5)];
⑤-{-[-(+5)}. ⑥-{-[-(-5)]};
解∶①2; ②.- ③-4; ④3.5; ⑤-5; ⑥5
例2： 把-|-3.5|，|-2|，-|+1.5|，|0|，|-3.5|在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序排列出来.
解∶因为-|-3.5|=-3.5，|-2|=2，-|+1.5|=-1.5，|0|=0，|-3.5|=3.5.
将各数在数轴上表示如图
按从小到大的顺序排列出来为∶
-|-3.5|<-|+1.5|<|0|<|-2|<|-3.5|
例3例3（1）如果|x-2|=1，那么x是 3或1 .
（2）已知|a-2|+|b-4|+|c-9|=0，求2a+3b-c 的值
答∶|a-2|≥0，|b-4|≥0，|c-9|≥0且|a-2|+|b-4|+|c-9| =0,
则a-2=0,b-4=0,c-9=0,
所以a=2，b=4，c=9，所以2a+3b-c=2×2+3×4-9=7.
【课后练习】
1.的相反数为 ，a-b的相反数 -a+b ，2x+y的相反数是 -2x-y .
2.如图，如果点A，B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是（ D）
A.-3 B.-4 C.-5 D.-6
3.化简下列各数∶
①-（-100）; ②-[+（-5）] ③-[-(+21）]
④+（-2.8）; ⑤[-（-12)]; ⑥-[-(-5)].
解∶①100; ②5； ③21 ④-2.8 ⑤12 ⑥-5
4.计算|-2|+|-（-3）|= 5 ； -|-6| < -（-6）.（填">""<"或"="）；
5.（2020·编写）|a|=-a，则a一定是（C）
A.负数 B.正数 C.零或负数 D.非负数
6.化简|6-2π|=2π-6 |π-4|+|3-π|= 1
7.如果|x-5|=3，x= 8或2 若|a-3|+|b-2|=0，则a+b= 5
8.已知|3x-6|+|2y+4|+=0，求x，y，z的值；
解∶|3x-6|≥0，|2y+4|≥0，≥0且|3x-6|+|2y+4|+=0，
则3x-6=0，2y+4=0 =0，所以x=2，y= -2，z=2.