2021-2022学年湘教版九年级上学期数学期末练习试卷（word版含解析）

2021-2022学年湘教新版九年级上学期数学期末练习试卷
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．把方程2x（x﹣1）＝3x化成一元二次方程的一般形式，则二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）
A．2，5，0 B．2，﹣5，0 C．2，5，1 D．2，3，0
2．已知反比例函数y＝（k≠0）的图象在二、四象限，点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）在此函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y3＞y1
3．不解方程，判别方程2x2﹣3x＝3的根的情况（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有一个实数根 D．无实数根
4．点（﹣3，5）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则下列各点在该函数图象上的是（　　）
A．（5，﹣3） B．（﹣，3） C．（﹣5，﹣3） D．（，3）
5．某商场在销售一种日用品时发现，如果以单价20元销售，则每周可售出100件，若销售单价每提高0.5元，则每周销售量会相应减少2件．如果该商场这种日用品每周的销售额达到2024元．若设这种日用品的销售单价为x元，则根据题意所列方程正确的是（　　）
A．（20+x）（100﹣2x）＝2024
B．（20+x）（100﹣）＝2024
C．x[100﹣2（x﹣20）]＝2024
D．x（100﹣×2）＝2024
6．为调查某校1500名学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机抽取部分学生进行调查，并结合调查数据作出如图所示的扇形统计图．根据统计图提供的信息，可估算出该校喜爱体育节目的学生共有（　　）
A．1200名 B．450名 C．400名 D．300名
7．如图，在三角形纸片ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝4．沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（　　）
A． B．
C． D．
8．在下列网格中，小正方形的边长为1，点A、B、O都在格点上，则∠A的正弦值是（　　）
A． B． C． D．
9．矩形ABCD中，E为BC边中点，DG⊥AE交AE于点F，交AB于点G，连接CF，若tan∠AEB＝3，AF＝4，则线段CF的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．
10．已知任意四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AB＝CD，若只增加下列条件中的一个：①AO＝BO；②AC＝BD；③；④∠OAD＝∠OBC，一定能使∠BAC＝∠CDB成立的可选条件是（　　）
A．② B．①② C．③④ D．②③④
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．若一组数x1，x2，x3，…，xn的平均数为，方差为s2，则另一组数kx1，kx2，kx3，…，kxn的平均数和方差分别为　 　和　 　．
12．设m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为　 　．
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，有两边长分别为3和4，则sinA的值为　 　．
14．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，那么CD为 　 　米．
15．在物理课中，同学们曾学过小孔成像：在较暗的屋子里，把一只点燃的蜡烛放在一块半透明的塑料薄膜前面，在它们之间放一块钻有小孔的纸板，由于光沿直线传播，塑料薄膜上就出现了蜡烛火焰倒立的像，这种现象就是小孔成像（如图1）．如图2，如果火焰AB的高度是2cm，倒立的像A′B′的高度为5cm，
蜡烛火焰根B到小孔O的距离为4cm，则火焰根的像B′到O的距离是　 　cm．
16．如图，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，双曲线y＝经过斜边OA的中点C，与另一直角边交于点D．若S△OCD＝9，则S△OBD的值为　 　．
三．解答题（共8小题，满分86分）
17．（10分）解方程：
（Ⅰ）（x+3）2＝36；
（Ⅱ）3x2﹣1＝6x．
18．（10分）计算：6sin45°﹣|1﹣|﹣×（π﹣2021）0﹣（）﹣2．
19．（10分）如图，在第一象限内，点A，B在反比例函数（k＞0）的图象上，AM⊥x轴于点M（3，0），△AOM的面积为3，BC∥AM交OA于点C，连结OB．
（1）求出k的值和直线OA的函数解析式．
（2）当点B的横坐标为2时，求△OBC的面积．
20．（10分）如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向，距离小岛80nmile的点A处，它沿着点A的南偏东15°方向航行．
（1）渔船航行多远与小岛B的距离最近？（结果保留根号）
（2）渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行40nmile到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问：救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少？（结果保留根号）
21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝2，过点A作AM∥BC，点P是AB上一点，作∠CPD＝∠B，PD交AM于点D．
（1）如图1，在BA的延长线上取点G，使得DG＝DA，则的值为　 　；
（2）如图1，在（1）的条件下，求证：△DGP∽△PBC；
（3）如图2，当点P是AB的中点时，求AD的长．
22．（10分）为了解中考体育科目训练情况，某教育局从九年级学生中随机抽取了a名进行了中考体育科目测试（测试结果分四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：
（1）求a的值；
（2）求在a名学生中，测试结果为C级的学生人数，并补全条形统计图；
（3）九年级共有9200名学生，他们全部参加了这次体育科目测试，请估计不及格的人数．
23．（12分）如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．
（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，点P，Q之间的距离为cm？
（2）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？
（3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，几秒后，△PBQ的面积为1cm2？
24．（14分）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．
（1）求证△ADF∽△EAB；
（2）若AB＝12，BC＝10，求DF的长．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．解：方程2x（x﹣1）＝3x，
整理得：2x2﹣5x＝0，
则二次项系数为2，一次项系数为﹣5，常数项为0．
故选：B．
2．解：∵图象在二、四象限，
∴k＜0，
∴在每个象限内，y随x值的增大而增大，
∴当x＝﹣1时，y1＞0，
∵2＜3，
∴y2＜y3＜0，
∴y2＜y3＜y1，即y1＞y3＞y2．
故选：C．
3．解：方程整理得2x2﹣3x﹣3＝0，
∵Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣3）＝18+24＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
4．解：∵点（﹣3，5）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴k＝﹣3×5＝﹣15，
A、∵5×（﹣3）＝﹣15，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项符合题意；
B、∵﹣×3＝﹣≠﹣15，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不合题意；
C、∵﹣5×（﹣3）＝15≠﹣15，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不合题意；
D、∵×3＝≠﹣15，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不合题意．
故选：A．
5．解：由题意可得，
x（100﹣×2）＝2024，
故选：D．
6．解；∵喜爱体育节目的学生占1﹣10%﹣5%﹣35%﹣30%＝20%，该校共1500名学生，
∴该校喜爱体育节目的学生共有1500×20%＝300（名），
故选：D．
7．解：在三角形纸片ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝4．
A．∵＝＝，对应边＝＝，≠，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
B．∵＝，对应边＝＝，≠，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
C．∵＝，对应边＝，即：＝，∠C＝∠C，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确；
D．∵＝＝，
＝，≠，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
故选：C．
8．解：由题意得，OC＝2，AC＝4，
由勾股定理得，AO＝＝2，
∴sinA＝＝，
故选：A．
9．解：延长AE交DC的延长线于点M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠B＝∠ECM，
∵E为BC的中点，
∴BE＝CE，
在△ABE和△MCE中，
，
∴△ABE≌△MCE（ASA），
∴AB＝CM，
∴DC＝CM，
∵DG⊥AE，
∴CF＝DM＝DC，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠FAD，
∴tan∠AEB＝tan∠FAD＝3，
∵AF＝4，
∴DF＝12，
∴AD＝＝＝4，
∴BE＝2，
∴AB＝3BE＝6，
∴CF＝CD＝6．
故选：C．
10．解：①由AO＝BO，只能得出△AOB为等腰三角形，不一定能使∠BAC＝∠CDB成立；
②AC＝BD，再由AB＝CD，BC＝BC，可证△ABC≌△DCB，则∠BAC＝∠CDB，能使∠BAC＝∠CDB成立；
③，可证AD∥BC，可再由AB＝CD推出ABCD等腰梯形，一定能使∠BAC＝∠CDB成立；
④∵∠OAD＝∠OBC，∴A，B，C，D四点共圆，一定能使∠BAC＝∠CDB成立．
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．解：∵x1，x2，x3，…，xn的平均数为，方差为s2，
∴kx1，kx2，kx3，…，kxn的平均数为k，方差为k2s2，
故答案为：k，k2s2．
12．解：∵m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，
并且m2+m﹣1001＝0，
∴m2+m＝1001，
∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝1001﹣1＝1000．
故答案为：1000．
13．解：根据题意画图如下：
如图（1）当BC＝4，AC＝3时，AB＝5，则sinA的值为；
如图（2）当BC＝3，AC＝4时，AB＝5，则sinA的值为；
如图（3）当AB＝4，BC＝3时，则sinA的值为；
如图（4）当AB＝4，AC＝3时，BC＝，则sinA的值为；
则sinA的值为或或或．
故答案为：或或或．
14．解：由题意知：AB∥CD，
则∠BAE＝∠C，∠B＝∠CDE，
∴△ABE∽△CDE，
∴，
∴，
∴CD＝3米，
故答案为：3．
15．解：如图，
∵AB∥A′B′，
∴△ABO∽△A′B′O，
则＝，即＝，
解得：OB′＝10，
故答案为：10．
16．解：如图，过C点作CE⊥x轴，垂足为E．
∵Rt△OAB中，∠OBA＝90°，
∴CE∥AB，
∵C为Rt△OAB斜边OA的中点C，
∴CE为Rt△OAB的中位线，
∵△OEC∽△OBA，
∴＝．
∵双曲线的解析式是y＝，即xy＝k
∴S△BOD＝S△COE＝|k|，
∴S△AOB＝4S△COE＝2|k|，
由S△AOB﹣S△BOD＝S△AOD＝2S△DOC＝18，得2k﹣k＝18，
k＝12，
S△BOD＝S△COE＝k＝6，
故答案为：6．
三．解答题（共8小题，满分86分）
17．解：（Ⅰ）（x+3）2＝36，
x+3＝±6，
x+3＝6，
x1＝3，
x+3＝﹣6，
x2＝﹣9，
∴x1＝3，x2＝﹣9，
（Ⅱ）3x2﹣1＝6x，
3x2﹣6x﹣1＝0，
a＝3，b＝﹣6，c＝﹣1，
Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×3×（﹣1）＝48＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝．
18．解：原式＝6×﹣（﹣1）﹣2×1﹣4
＝3﹣+1﹣2﹣4
＝﹣3．
19．解：（1）∵△AOM的面积为3，设A（x，y），
∴＝3，
则xy＝6＝k，
故A坐标为（3，2），
设直线OA的解析式为y＝mx，代入点A（3，2），
得2＝3m，m＝，
故k＝6，直线OA的解析式为y＝x；
（2）延长BC交x轴于点N，
设B坐标为（2，m），
∴2m＝6，m＝3，
把x＝2代入y＝x中，得y＝，
即C点纵坐标为，
∴BC＝3﹣＝，
又ON＝2，
∴S△OBC＝＝＝．
20．解：（1）过点B作BM⊥AC于点M，如图所示：
由题意，知∠BAM＝45°，则∠ABM＝45°．
在Rt△ABM中，∠BAM＝45°，AB＝80nmile，
∴△ABM是等腰直角三角形，
∴BM＝AM＝AB＝40（nmile）
答：渔船航行40nmile与小岛B的距离最近．
（2）∵BM＝40nmile，MC＝40nmile，
∴，
∴∠MBC＝60°，
∴∠CBG＝180°﹣60°﹣45°﹣30°＝45°，
在Rt△BCM中，∠MBC＝60°，
∴∠BCM＝30°，
∴BC＝2BM＝80（nmile），
答：救援队从B处出发沿着点B的南偏东45°方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是80nmile．
21．解：（1）∵AM∥BC，
∴∠GAD＝∠B，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵AD＝DG，
∴∠GAD＝∠G，
∴∠G＝∠ACB，
∴△ADG∽△ABC，
∴，
∵AB＝6，BC＝2，
∴，
∴；
故答案为：3．
（2）证明：∵∠APC＝∠GPD+∠DPC，∠APC＝∠B+∠BCP，
又∠CPD＝∠B，
∴∠GPD＝∠BCP，
又AD＝DG，
∴∠G＝∠GAD，
∵AM∥BC，
∴∠GAD＝∠B，
∴∠G＝∠B，
∴△DGP∽△PBC；
（3）在BA的延长线上取点G，使得DA＝DG．
由（1）知，
∵点P是AB的中点，
∴AP＝BP＝3，
设AD＝x，则DG＝x，AG＝，PG＝3+，
由（2）得△DGP∽△PBC，
∴，
∴，
解得x＝9，
∴AD＝9．
22．解：（1）a＝12÷30%＝40；
（2）C级的人数为40×35%＝14（名），
；
（3）9200×＝1840（名）．
答：不及格的人数是1840名．
23．解：（1）设经过x秒，点P，Q之间的距离为cm，
则AP＝x（cm），QB＝2x（cm），
∵AB＝6cm，BC＝8cm
∴PB＝（6﹣x）（cm），
∵在△ABC中，∠B＝90°
∴由勾股定理得：（6﹣x）2+（2x）2＝6
化简得：5x2﹣12x+30＝0
∵△＝（﹣12）2﹣4×5×30＝144﹣600＜0
∴点P，Q之间的距离不可能为cm．
（2）设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm2，由题意得：
（6﹣x） 2x＝8
解得：x1＝2，x2＝4
检验发现x1，x2均符合题意
∴经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2．
（3）①点P在线段AB上，点Q在线段CB上
设经过m秒，0＜m≤4，依题意有
（6﹣m）（8﹣2m）＝1
∴m2﹣10m+23＝0
解得；m1＝5+（舍），m2＝5﹣
∴m＝5﹣符合题意；
②点P在线段AB上，点Q在射线CB上
设经过n秒，4＜n≤6，依题意有
（6﹣n）（2n﹣8）＝1
∴n2﹣10n+25＝0
解得n1＝n2＝5
∴n＝5符合题意；
③点P在射线AB上，点Q在射线CB上
设经过k秒，k＞6，依题意有
（k﹣6）（2k﹣8）＝1
解得k1＝5+，k2＝5﹣（舍）
∴k＝5+符合题意；
∴经过（5﹣）秒，5秒，（5+）秒后，△PBQ的面积为1cm2．
24．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠DAF＝∠AEB，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD＝90°＝∠B，
∴△ADF∽△EAB；
（2）解：∵BC＝AD＝10，E是BC边的中点，
∴BE＝5，
∴AE＝＝＝13，
由（1）得：△ADF∽△EAB，
∴＝，
即＝，
解得：DF＝．