2021-2022学年华东师大版九年级上册数学期末练习试卷 （Word版含解析）

2021-2022学年华东师大新版九年级上学期数学期末练习试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．代数式在实数范围内有意义的条件是（　　）
A．x＞﹣ B．x≠﹣ C．x＜﹣ D．x≥﹣
2．一只不透明的袋子里装有4个黑球，2个白球，每个球除颜色外都相同，则事件“从中任意摸出3个球，至少有1个球是黑球”的事件类型是（　　）
A．随机事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．无法确定
3．方程（3x﹣2）（x+1）＝0的解是（　　）
A．x＝ B．x＝﹣1
C．x1＝﹣，x2＝1 D．x1＝，x2＝﹣1
4．若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么cos∠ACB值为（　　）
A． B． C． D．
6．连接正六边形不相邻的两个顶点，并将中间的六边形涂成黑色，制成如图所示的镖盘，将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在黑色区域的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．在直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（3，4），把线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OA'，则点A'的坐标为（　　）
A．（4，3） B．（4，﹣3） C．（﹣4，3） D．（3，﹣4）
8．如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍然不能使△ACD∽△ABC的是（　　）
A．∠ACB＝∠ADC B．∠ACD＝∠ABC C． D．
9．二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，若点A（0，y1）和B（﹣3，y2）在此函数图象上，则y1与y2的大小关系是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法确定
10．服装店将进价为每件100元的服装按每件x（x＞100）元出售，每天可销售（200﹣x）件，若想获得最大利润，则x应定为（　　）
A．150元 B．160元 C．170元 D．180元
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．计算： +＝　 　．
12．如图，已知抛物线y＝x2﹣3x﹣4与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴负半轴交于点 C．D是抛物线上一点于点，且AD∥CB，作∠DAE＝∠ADB交射线CB于点E，则点E的坐标为　 　．
13．等腰△ABC中，AC＝8，AB、BC的长是关于x的方程x2﹣9x+m＝0的两根，则m的值是　 　．
14．如图，O为坐标原点，矩形ABCO，A（0，2），∠ACO＝30°，点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连接BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF，若△DEC是等腰三角形，AD＝　 　．
15．如图，把等边△ABC沿DE翻折，使点A落在BC上的F处，给出以下结论：
①∠BDF＝∠EFC；
②BD CE＝BF CF；
③S△BDF+S△EFC＝；
④若BF：CF＝1：2，则AD：AE＝4：5．其中正确的结论有　 　．（填序号）
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）先化简，再求值：，其中x＝tan60°﹣2．
17．（9分）已知关于x的方程x2﹣2（k﹣3）x+k2﹣4k﹣1＝0．
（1）若这个方程有实数根，求k的取值范围；
（2）若此方程有一个根是1，请求出k的值．
18．（9分）为更有针对性地备战中考体考，初三年级决定每周五下午第三节课全年级统一安排为“体考分类训练课”，训练课分为四类：A跳绳、B实心球、C立定跳远、D综合训练．每位同学必须选择其中一类课进行训练，且只限一类，不可多选．为更科学的分配训练课的老师人数，年级事先随机抽取了部分学生了解其参加训练课类型的意愿，并将调查结果绘制成图1、图2的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：
（1）本次调查中，希望参加“C立定跳远”训练课的学生人数所占百分比是 　 　，分别希望参加四类训练课的学生人数的中位数是 　 　；
（2）请补全条形图；
（3）如果初三（1）班希望参加“A跳绳”训练课的共有4名同学，其中有2名女生，2名男生，现从这4名学生中任意抽取2名学生，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到同性别学生的概率．
19．（9分）周末，小亮一家人去水库游玩，他在大坝上的点A处看到一棵大树的影子刚好落在坝底的BE处（点A与大树及其影子在同一平面内），此时太阳光与地面夹角为60°，在A处测得树顶D的仰角为30°．如图所示，已知背水坡AB的坡度i＝4：3，AB的长为10米，请你帮助小亮算一算这颗大树的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73．注：坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）
20．（9分）某厂为满足市场需求，改造了10条口罩生产线，每条生产线每天可生产口罩500个，如果每增加一条生产线，每条生产线每天就会少生产20个口罩，设增加x条生产线（x为正整数），每条生产线每天可生产口罩y个．
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量取值范围；
（2）设该厂每天可以生产的口罩w个，请求出w与x的函数关系式，并求出当x为多少时，每天生产的口罩数量w最多？最多为多少个？
（3）由于口罩供不应求，所以每天生产的口罩数量不能低于6000个，请直接写出需要增加的生产线x条的取值范围．
21．（10分）某商店如果将进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件．现在采取提高售价，减少售货量的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销量减少10件．
（1）若涨价x元，则每天的销量为　 　件（用含x的代数式表示）；
（2）要使每天获得700元的利润，请你帮忙确定售价．
22．（10分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点（﹣2，0），且关于直线x＝1对称．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设此抛物线与直线l：y＝﹣x﹣1相交于P，Q两点，平行于y轴的直线x＝m交PQ于M点，交抛物线于N点．
①当点M在点N上方的时候，求MN的表达式（用含m的代数式表示）；
②在①的条件下当△PQN的面积最大的时候，求m的值及面积的最大值．
23．（11分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝1，对角线AC，BD相交于点O，∠COD＝60°，点E是线段CD上一点，连接OE，将线段OE绕点O逆时针旋转60°得到线段OF，连接DF．
（1）求证：DF＝CE；
（2）连接EF交OD于点P，求DP的最大值；
（3）如图2，点E在射线CD上运动，连接AF，在点E的运动过程中，若AF＝AB，求OF的长．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：由题意得，2x+1≥0，
解得x≥﹣，
故选：D．
2．解：∵一只不透明的袋子里装有4个黑球，2个白球，每个球除颜色外都相同，
∴事件“从中任意摸出3个球，至少有1个球是黑球”的事件类型是必然事件．
故选：C．
3．解：方程（3x﹣2）（x+1）＝0，
可得3x﹣2＝0或x+1＝0，
解得：x1＝，x2＝﹣1．
故选：D．
4．解：设＝＝＝k，
则x＝3k，y＝4k，z＝6k，
所以
＝
＝
＝，
故选：A．
5．解：如图，过点A作AH⊥BC于H．
在Rt△ACH中，∵AH＝4，CH＝3，
∴AC＝＝＝5，
∴cos∠ACB＝＝，
故选：C．
6．解：如图所示，令S△ABC＝a，
则S阴影＝6a，S正六边形＝18a，
∴将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在黑色区域的概率为＝，
故选：B．
7．解：如图，由题意A（3，4），把线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OA'，观察图象可知A′（4，﹣3）．
故选：B．
8．解：A、当∠ACB＝∠ADC时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
B、当∠ACD＝∠ABC时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
C、当＝时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
D、当＝时，无法得出△ACD∽△ABC，故此选项符合题意；
故选：D．
9．解：点A（0，y1）和B（﹣3，y2）在抛物线对称轴x＝﹣2的两侧，且点A比点B离对称轴要远，因此y1＞y2，
故选：A．
10．解：设获得的利润为y元，由题意得：
y＝（x﹣100）（200﹣x）
＝﹣x2+300x﹣20000
＝﹣（x﹣150）2+2500
∵a＝﹣1＜0
∴当x＝150时，y取得最大值2500元．
故选：A．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．解：原式＝2+3＝；
故答案为：5．
12．解：当y＝0时，x2﹣3x﹣4＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，则A（﹣1，0），B（4，0），
当x＝0时，y＝x2﹣3x﹣4＝﹣4，则C（0，﹣4），
易得直线BC的解析式为y＝x﹣4，
∵BC∥AD，
∴设AD的解析式为y＝x+b，
把A（﹣1，0）代入得﹣1+b＝0，解得b＝1，
∴直线AD的解析式为y＝x+1，
解方程组得或，
∴D（5，6），
作DH⊥x轴于H交AE于F，
易得△ADH为等腰直角三角形，
∴∠DAH＝∠ADH＝45°，
∵∠DAE＝∠ADB，
∴∠EAH＝∠BDH，
∴Rt△AFH∽Rt△DBH，
∴＝，即＝，
∴FH＝1，
∴F（5，1），
易得直线AE的解析式为y＝x+，
解方程组得
∴E点坐标为（5，1）．
故答案为（5，1）．
13．解：若△ABC中，AC＝8是腰长，则关于x的方程x2﹣9x+m＝0有一根为8，
∴将x＝8代入，得：64﹣72+m＝0，
解得m＝8；
若△ABC中，AC＝8是底边长，则关于x的方程x2﹣9x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣9）2﹣4m＝0，
解得m＝；
综上，m的值为8或，
故答案为：8或．
14．解：∵A（0，2），
∴OA＝2，
∵四边形ABCO是矩形，
∴BC＝OA＝2，OC＝AB，∠AOC＝∠BCO＝∠BAO＝90°，
∵∠ACO＝30°，
∴AB＝OC＝OA＝2，∠ACB＝60°，
分两种情况：
①当E在线段CO上时，△DEC是等腰三角形，
由题意可知，只有ED＝EC，如图1所示：
∴∠DCE＝∠EDC＝30°，
∴∠DBC＝∠BCD＝60°，
∴△DBC是等边三角形，
∴DC＝BC＝2，
在Rt△AOC中，∠ACO＝30°，OA＝2，
∴AC＝2AO＝4，
∴AD＝AC﹣CD＝4﹣2＝2，
即当AD＝2时，△DEC是等腰三角形；
②当E在OC的延长线上时，△DCE是等腰三角形，只有CD＝CE，
则∠DBC＝∠DEC＝∠CDE＝15°，如图2所示：
∴∠ABD＝∠ADB＝75°，
∴AB＝AD＝2，
综上所述，若△DEC是等腰三角形，AD为2或2；
故答案为：2或2．
15．解：①由折叠可得，∠DFE＝∠A＝60°，
∴∠CFE+∠DFE＝120°，
∵∠B＝60°，
∴∠BDF+∠DFB＝120°，
∴∠BDF＝∠EFC，故①正确；
②∵∠B＝∠C＝60°，∠BDF＝∠EFC，
∴△BDF∽△CFE，
∴，
即BD CE＝BF CF，故②正确；
③当点F为BC的中点时，S△BDF+S△EFC＝成立，
当点E与点C重合，点F与点B重合时，S△BDF+S△EFC＝0，
此时，S△BDF+S△EFC＝不成立，故③错误；
④设BF＝1，CF＝2，则BC＝3＝AB＝AC，
设DF＝x＝AD，则BD＝3﹣x，
由，可得，
解得CE＝，
∴AE＝3﹣＝EF，
由，可得，
解得x＝，
∴＝，
∴AD：AE＝4：5，故④正确．
故答案为：①②④．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．解：原式＝﹣
＝﹣
＝﹣，
当x＝tan60°﹣2＝﹣2时，
原式＝﹣＝﹣＝﹣．
17．解：（1）∵x2﹣2（k﹣3）x+k2﹣4k﹣1＝0有实数根，
∴Δ＝4（k﹣3）2﹣4（k2﹣4k﹣1）＝4k2﹣24k+36﹣4k2+16k+4＝40﹣8k≥0，
解得：k≤5；
（2）将x＝1代入方程得：12﹣2（k﹣3）+k2﹣4k﹣1＝0，即k2﹣6k+6＝0，
Δ＝（﹣6）2﹣4×6＝12，
解得k＝＝3±，
所以，k＝3+或k＝3﹣．
18．解：（1）希望参加“C立定跳远”训练课的学生人数所占百分比为：1﹣10%﹣30%﹣20%＝40%，
本次调查的学生人数为：30÷20%＝150（人），
则希望参加“A跳绳”训练课的学生人数为：150×10%＝15（人），
希望参加“B实心球”训练课的学生人数为：150×30%＝45（人），
希望参加“C立定跳远”训练课的学生人数为：150×40%＝60（人），
∴希望参加四类训练课的学生人数的中位数是“C立定跳远”，
故答案为：40%，C立定跳远；
（2）补全条形图如下：
（3）画树状图如图：
共有12种等可能的结果，刚好抽到同性别学生的结果有4种，
∴刚好抽到同性别学生的概率为＝．
19．解：如图，过点A作AG⊥BC于G，AH⊥DE于H，
在Rt△AGB中，
∵i＝4：3，
∴AG：BG＝4：3，
设AG＝4x，BG＝3x，由勾股定理得：
（4x）2+（3x）2＝102，
解得：x＝2，
∴AG＝8，BG＝6，
∵∠AGE＝∠GEH＝∠AHE＝90°，
∴四边形AGEH是矩形，
∴AG＝EH，AH＝GE，
在Rt△BDE中，∠DBE＝60°，
设BE＝y，
则DE＝BE tan∠EBD＝BE tan60°＝y，
在Rt△ADH中，∠DAH＝30°，
∵AH＝BG+BE＝6+y，DH＝DE﹣HE＝y﹣8，
∴DH＝AH tan∠DAH，
即：，
解得：y＝3+4，
∴≈17.2（米），
所以这棵树约为17.2米高．
20．解：（1）由题意可知该函数关系为一次函数，其解析式为：y＝500﹣20x；
故y与x之间的函数关系式为y＝500﹣20x（1≤x＜25，且x为正整数）；
（2）w＝（10+x）（500﹣20x）
＝﹣20x2+300x+5000
＝﹣20（x﹣7.5）2+6125，
∵a＝﹣20＜0，开口向下，
∴当x＝7.5时，w最大，
又∵x为整数，
∴当x＝7或8时，w最大，最大值为6120．
答：当增加7或8条生产线时，每天生产的口罩数量最多，为6120个；
（3）由题意得：
（10+x）（500﹣20x）＝6000，
整理得：x2﹣15x+50＝0，
解得：x1＝5，x2＝10，
由（2）得：w＝﹣20x2+300x+5000，
∵a＝﹣20＜0，开口向下，
∴需要增加的生产线x条的取值范围是：5≤x≤10（x为正整数）．
21．解：（1）∵这种商品每涨价0.5元，其销量减少10件，
∴这种商品每涨价1元，其销量减少20件，
∴涨价x元，则每天的销量为（200﹣20x ）件；
故答案为：200﹣20x；
（2）设这种商品上涨x元，根据题意得：
（10﹣8+x）（200﹣20x）＝700，
整理得 x2﹣8x+15＝0，
解得 x1＝5，x2＝3，
因为要采取提高售价，减少售货量的方法增加利润，
所以取x＝5．
所以售价为10+5＝15（元），
答：售价为15元．
22．解：（1）由题意得：，解得，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣4；
（2）联立PQ表达式和二次函数表达式得，解得，
故点P、Q的坐标分别为（﹣2，0）、（3，﹣），
①设点M的坐标为（m，﹣ m﹣1），则点N的坐标为（m， m2﹣m﹣4），
∵点M在点N上方，
∴MN＝（﹣m﹣1）﹣（m2﹣m﹣4）＝﹣m2+m+3（﹣2＜m＜3）；
②S△PQN＝S△MNP+S△MNQ＝×MN（xQ﹣xP）＝×（3+2）×（﹣m2+m+3）＝﹣（m﹣）2+．
∵＜0，故△PQN的面积有最大值，
当m＝时，△PQN的面积最大值为．
23．（1）证明：由题意知∠FOE＝∠DOC＝60°，
∴∠FOE﹣∠DOC﹣∠DOE，
即∠FOD＝∠EOC，
在矩形ABCD中，AC＝BD＝2OC＝2OD，
∴OC＝OD，
又∵OF＝OE，
∴△FOD≌△EOC（SAS），
∴DF＝CE；
（2）解：在△ODC中，OD＝OC，∠COD＝60°，
∴△OCD是等边三角形，∠OCD＝60°，
又△FOD≌△EOC，
∴∠FDO＝∠ECO＝60°，
在△OEF中，OE＝OF，∠EOF＝60°，
∴△OEF是等边三角形，∠OEF＝60°，
∴180°﹣∠FDP﹣∠FPD＝180°﹣∠OEP﹣∠OPE，
即∠DFP＝∠DOE，
又∠FDP＝∠ODE＝60°，
∴△FDP∽△ODE，
∴，
设DF＝CE＝x，则DE＝1﹣x，
∴，
∴DP＝﹣x2+x＝，
∴DP的最大值为．
（3）解：①在矩形ABCD中，AB＝1，∠COD＝60°，
∴AD＝，∠OAD＝∠ODA＝30°，
∴∠FDA＝∠FDO﹣∠ODA＝30°，
如图1，过点F作FM⊥AD于点M，
设FM＝m，则MD＝m，AM＝m，
又∵AF＝AB＝1，
∴在Rt△AFM中，AM2+FM2＝AF2，
∴＝1，
∴m1＝，m2＝1（舍去），
∴sin∠FAM＝，
∴∠FAM＝30°，
∴∠FAO＝60°，且AF＝AB＝AO，
∴△AOF是等边三角形，
∴OF＝1．
②如图2，过点A作AN⊥DF于点N，则∠FDA＝30°，
∴∠DAN＝60°，AN＝，
∴cos∠FAN＝，
∴∠FAN＝30°，
∴∠FAO＝120°，
又∠AOD＝120°，
∴∠FAO＝∠AOD，
又AF＝AO＝OD，
∴△OAF≌△AOD（SAS），
∴OF＝AD＝．
综合以上可得，OF＝1或．