北师大版九上第四章 图形的相似培优试题(word版含解析）

北师大版九上第四章 图形的相似培优试题
一．选择题（共15小题）
1．（2021秋 东港市期中）如图，P是直角△ABC斜边AB上任意一点（A，B两点除外），过点P作一条直线，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线可以作（　　）
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
2．（2021秋 南岸区校级期中）有一块三角形铁片ABC，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，现要按图中方式把它加工成一个正方形DEFG（加工中的损耗忽略不计），则正方形DEFG的边长为（　　）
A． B． C． D．
3．（2021秋 李沧区期中）如图，在正方形ABCD中，以BC为边作等边△BPC，延长BP，CP分别交AD于点E，F，连接BD、DP、BD与CF相交于点H，给出下列结论：①AE＝CF；②∠BPD＝135°；③△PDE∽△DBE；④ED2＝EP EB，其中正确的是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2021秋 宝安区校级期中）如图，正方形ABCD的边长为3，点E是BC的中点，连接AE与对角线BD交于点G，连接CG并延长，交AB于点F，连接DE交CF于点H，连接AH．以下结论：①CF⊥DE；②＝；③AD＝AH；④GH＝，其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2021秋 邓州市期中）如图，在等边三角形ABC中，AB＝4，点D是边AB上一点，且BD＝1，点P是边BC上一动点（D、P两点均不与端点重合），作∠DPE＝60°，PE交边AC于点E．若CE＝a，当满足条件的点P有且只有一个时，则a的值为（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
6．（2021秋 宝安区校级期中）如图，在 ABCD中，点E在线段AB上，点F、G分别为对角线AC与DE、DB的交点．若AB：AE＝3：2，则四边形BGFE与 ABCD的面积之比为（　　）
A．7：60 B．8：70 C．5：43 D．3：26
7．（2021秋 历下区期中）直角三角形ABC中，∠C＝90°，三个正方形如图放置，边长分别为a，b，c，已知a＝2，b＝3，则c值为（　　）
A．4 B．2 C．5 D．6
8．（2021秋 历下区期中）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点EF，连接BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：①AE＝FC；②∠PDE＝15°；③；④DE2＝PF FC．其中正确的为（　　）
A．①②③ B．①③ C．②③④ D．①②④
9．（2021秋 南海区期中）如图，正方形ABCD的边长是3，BP＝CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA2＝OE OP；③S△AOD＝S四边形OECF；④当BP＝1时，OE＝．其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2021秋 蜀山区校级期中）如图，矩形ABCD中，AD＝3，AB＝2，点E为AB的中点，点F在边BC上，且BF＝2FC，AF分别与DE、BD相交于点M、N，则MN的长为（　　）
A． B． C． D．
11．（2021秋 禅城区校级月考）如图，AB∥DC，AD与BC的交点为M，过点M作MH∥AB交BD于H．已知AB＝3，MH＝2，则△ABM与△MCD的面积之比为（　　）
A．1：2 B．1：4 C．2：3 D．4：9
12．（2021 平南县三模）如图，在△ABC中，点D在AC上，点F是BD的中点，连接AF并延长交BC点E，BE：BC＝2：7，则AD：CD＝（　　）
A．2：3 B．2：5 C．3：5 D．3：7
13．（2020秋 南岸区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8．E是AC边上一动点，过点E作EF∥AB交BC于点F，D为线段EF的中点，当BD平分∠ABC时，AE的长度是（　　）
A． B． C． D．
14．（2020 浙江自主招生）等腰△ABC中，AB＝AC，E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF，连接CE、BF交于点P，若＝，则的值为（　　）
A． B． C． D．
15．（2020秋 揭西县期末）如图，正方形ABCD中，BE＝EF＝FC，CG＝2GD，BG分别交AE、AF于M、N，下列结论：①AF⊥BG；②；③S四边形CGNF＝S△ABN；④．其中正确的有（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
二．填空题（共14小题）
16．（2021秋 金牛区校级期中）如图，点F在平行四边形ABCD的边AD上，延长BF交CD的延长线于点E，交AC于点O，若，则＝　 　．
17．（2021秋 永春县期中）如图，点B、C是线段AD上的点，△ABE、△BCF、△CDG都是等边三角形，且AB＝12，BC＝18，已知△ABE与△CDG的相似比为2：5．则：
①CD＝　 　；
②图中阴影部分面积为 　 　．
18．（2021秋 郑州期中）如图，已知直角坐标系中，点A（﹣6，3），B（﹣1，﹣1），以O为位似中心，按比例尺3：1把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标为 　 　．
19．（2021秋 碑林区校级月考）如图，菱形ABCD中，∠BAD＝120°，对角线相交于点O，点E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，连接AE、AF分别交对角线BD于点M、N，若AB＝5，DN＝2，则△AMN的面积为 　 　．
20．（2021 曾都区一模）如图，在 ABCD中，AB＝3，BC＝6，AB⊥BD，P是BC上方一动点，且∠BPC＝60°，PC交BD于点E．当点P运动到PB＝PC时，的值为　 　；随着点P的运动，的最大值为　 　．
21．（2021春 金牛区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP，BP，AP+BP的最小值为　 　．
22．（2021 西湖区一模）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，点D在边AC上，将△ABD沿BD翻折，点A的对称点为A'，使得A'D∥BC，则∠BDC＝　 　，＝　 　．
23．（2021秋 晋江市期中）如图，正方形ABCD边长为3，点E是AD上一点，且AE＝1，连接BE，过C作CF⊥BE，垂足为F，CF交对角线BD于G，将△BCG沿CG翻折得到△HCG，CH交对角线BD于M，则S△HGM＝　 　．
24．（2020秋 虹口区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB的内、外角平分线分别交BA及其延长线于点D、E，BC＝2.5AC，则＝　 　．
25．（2020秋 江北区期中）如图，△ABC是等边三角形，矩形DEFG的顶点D在BC边上，且BD＝3CD＝3，DE＝AB＝2DG，连接AG、AE、AF，若将矩形DEFG绕点D旋转一周，当AG+AF最小时，则AE＝　 　．
26．（2019 东平县二模）如图，△ABC是边长为6cm等边三角形，动点P、Q同时从A、B出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点停止运动，在运动过程中作QR∥BA交AC于点R，连接PR，设运动的时间为t（s），当t＝　 　s时△APR∽△PRQ．
27．（2021 成都模拟）如图，在正方形ABCD中，以AB为腰向正方形内部作等腰△ABE，点G在CD上，且CG＝3DG．连接BG并延长，与AE交于点F，与AD延长线交于点H．连接DE交BH于点K，连接CK．若AE2＝BF BH，FG＝，则S四边形EFKC＝　 　．
28．（2018秋 青羊区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，点D是线段BC上一动点，连接AD，以AD为边作△ADE∽△ABC，点N是AC的中点，连接NE，当线段NE最短时，线段CD的长为　 　．
29．（2017秋 天心区校级月考）如图，在三角形ABC中，D为BC的中点，AF＝2BF，CE＝3AE，连接CF交DE于P点，则的值为　 　．
三．解答题（共11小题）
30．（2021 柯桥区模拟）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边上的动点，DE∥BC交AC于点E．
问题发现：（1）如图2，当∠B＝45°时，计算的值及EC与BD所在直线相交所成的锐角．
类比探究：（2）当∠BAC＝30°时，把△ADE绕点A逆时针旋转到如图3的位置时，请求出的值以及EC与BD所在直线相交所成的锐角．
31．（2021秋 青羊区校级期中）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、CD上（F不与C重合），且∠BEF＝90°
（1）△ABE与△DEF相似吗？为什么？
（2）当点E位于AD上何处时，△ABE、△BEF、△DEF这三个三角形都相似？
（3）当△ABE、△BEF、△DBF、△CBF这四个三角形都相似时，求及的值．
32．（2020 硚口区模拟）如图，正方形ABCD，∠EAF＝45°．交BC、CD于E、F，交BD于H、G．
（1）求证：AD2＝BG DH；
（2）求证：CE＝DG；
（3）求证：EF＝HG．
33．（2017秋 新野县期中）阅读下面材料：小昊遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，BE是AC边上的中线，点D在BC边上，＝，AD与BE相交于点P，求的值．
小昊发现，过点C作CF∥AD，交BE的延长线于点F，通过构造△CEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．
请回答：的值为　 　．
参考小昊思考问题的方法，解决问题：
（1）如图3，在△ABC中，点D在BC的延长线上，，点E在AC上，且．求的值；
（2）如图4，在△ABC中，点D在BC的延长线上，，点E在AC上，且，直接写出的值为　 　．
34．（2021秋 青羊区校级期中）在△ABC中，点D是BC上一点，点E是AD上一点，且ED＝BD，∠EBC＝∠BAC，BE的延长线交AC于点F．
（1）求证：△AEF∽△BAF；
（2）如图2，若AD⊥BC，AE＝6，DE＝12，求AF的长；
（3）如图3，若AB＝AC，AD＝2BD，AF＝1，求CF的长．
35．（2021 重庆）在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上一动点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转至AE的位置，使得∠DAE+∠BAC＝180°．
（1）如图1，当∠BAC＝90°时，连接BE，交AC于点F．若BE平分∠ABC，BD＝2，求AF的长；
（2）如图2，连接BE，取BE的中点G，连接AG．猜想AG与CD存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，CE．若∠BAC＝120°，当BD＞CD，∠AEC＝150°时，请直接写出的值．
36．（2021秋 宁波期中）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转α（0°＜α≤360°）得到ΔA′B′C，其中点A，B的对应点分别为点A′，B′．
（1）如图1，当B′落在CA的延长线上时，
①连接BB′，求线段BB′的长．
②求从初始状态到此位置时，线段AB扫过的面积．
（2）如图2，连接AA′，BB′，AA′所在直线与BB′所在直线交于点M，AA′所在直线与B′C交于点N，当0°＜α≤180°时，是否存在α使得BB′＝2MN，若存在，请求出α；若不存在，请说明理由．
（3）如图3，AA′所在直线与BB′所在直线交于点M，K为边AB的中点，连接MK，请直接写出在旋转过程中，MK长度的取值范围．
37．（2021秋 成都期中）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，过点C作直线l∥AB，点N为直线l上一动点，作射线AN，交射线BC于点P，将射线AN绕点A顺时针旋转，交线段BC于M，使得∠MAN＝∠ABC，连接MN．
（1）如图1，当点N在点C左侧时，求证△AMP∽△CMA．
（2）如图2，当点N在点C右侧时，若AM＝，求线段CN的长．
（3）如图3，若射线AM与直线l交于点Q，满足∠AQN＝∠ANM，请直接写出线段CN．
38．（2021秋 锦江区校级期中）如图1，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E是线段AC上一动点，连接BE，在BE下方作BF⊥BE，且BF＝BE．
（1）求证：△ABE∽△CBF；
（2）如图2，P、Q分别是AD和DE的中点，猜想PQ与CF的数量关系，并说明理由；
（3）连接EF，交BC于G，若BE＝，请作出图形，并求CG的长．
39．（2020秋 衢州期末）已知在矩形ABCD中，tan∠DBC＝，BC＝8，点E在射线OD上，连接EC，在射线BC上取点F，使得EF＝EC，射线EF与射线AC交于点P．
（1）如图，当点E在线段OD上（不包括O、D），求证：△CPF∽△BEC；
（2）在（1）的条件下，设CF＝x，△PFC的面积为y，求y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围；
（3）当＝时，求OE的长．
40．（2020秋 北碚区校级期末）如图1，△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，CE的延长线与BD交点P，CP与BA相交于点F，现将△ADE绕点A旋转．
（1）如图1，求证：BP⊥CP；
（2）如图2，若AF＝BF，猜想BP与CP的数量关系，并证明你猜想的结论；
（3）若AC＝DE＝2，在将△ADE绕点A旋转的过程中，请直接写出点P运动路径的长度．
2021年12月19日李老师的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．（2021秋 东港市期中）如图，P是直角△ABC斜边AB上任意一点（A，B两点除外），过点P作一条直线，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线可以作（　　）
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
【解答】解：过点P可作PE∥BC或PE″∥AC，可得相似三角形△APE∽△ABC、△PBE″∽△ABC；
过点P还可作PE′⊥AB，可得：∠EPA＝∠C＝90°，∠A＝∠A
∴△APE∽△ACB；
∴满足这样条件的直线的作法共有3种．
故选：B．
2．（2021秋 南岸区校级期中）有一块三角形铁片ABC，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，现要按图中方式把它加工成一个正方形DEFG（加工中的损耗忽略不计），则正方形DEFG的边长为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q．
∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，
∴AC＝＝5
∵S△ABC＝ AB BC＝ AC BP，
∴BP＝＝＝．
∵DE∥AC，
∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，
∴△BDE∽△BAC，
∴＝．
设DE＝x，则有：＝，
解得x＝，
∴正方形DEFG的边长为，
故选：D．
3．（2021秋 李沧区期中）如图，在正方形ABCD中，以BC为边作等边△BPC，延长BP，CP分别交AD于点E，F，连接BD、DP、BD与CF相交于点H，给出下列结论：①AE＝CF；②∠BPD＝135°；③△PDE∽△DBE；④ED2＝EP EB，其中正确的是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵△BPC是等边三角形，
∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
在正方形ABCD中，
∵AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴∠ABE＝∠DCF＝30°，
∴AE＝BE＝CF；故①正确；
∵PC＝CD，∠PCD＝30°，
∴∠PDC＝75°，
∴∠FDP＝15°，
∵∠DBA＝45°，
∴∠PBD＝15°，
∴∠EDP＝∠EBD，
∵∠DEP＝∠DEP，
∴△DEP∽△BED，
∴＝，即ED2＝EP EB，故④正确；
∵∠FDP＝∠PBD＝15°，∠PED＝∠DEB，
∴△PDE∽△DBE，故③正确；
∵∠PBD＝15°，∠PDB＝30°，
∴∠BPD＝135°，故②正确；
故选：D．
4．（2021秋 宝安区校级期中）如图，正方形ABCD的边长为3，点E是BC的中点，连接AE与对角线BD交于点G，连接CG并延长，交AB于点F，连接DE交CF于点H，连接AH．以下结论：①CF⊥DE；②＝；③AD＝AH；④GH＝，其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵四边形ABCD是边长为3的正方形，点E是BC的中点，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝3，BE＝CE＝1.5，∠DCE＝∠ABE＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，
∴△ABE≌△DCE（SAS）
∴∠CDE＝∠BAE，DE＝AE，
∵AB＝BC，∠ABG＝∠CBG，BG＝BG，
∴△ABG≌△CBG（SAS），
∴∠BAE＝∠BCF，
∴∠BCF＝∠CDE，且∠CDE+∠CED＝90°，
∴∠BCF+∠CED＝90°，
∴∠CHE＝90°，
∴CF⊥DE，故①正确；
∵DC＝3，CE＝1.5，
∴DE＝＝＝3，
∵S△DCE＝×CD×CE＝×DE×CH，
∴CH＝，
∵∠CHE＝∠CBF，∠BCF＝∠ECH，
∴△ECH∽△FCB，
∴，
∴CF＝＝，
∴HF＝CF﹣CH＝，
∴＝，故②正确；
如图，过点A作AM⊥DE，
∵DC＝3，CH＝，
∴DH＝＝，
∵∠CDH+∠ADM＝90°，∠ADM+∠DAM＝90°，
∴∠CDH＝∠DAM，
∵AD＝CD，∠CHD＝∠AMD＝90°，
∴△ADM≌△DCH（AAS）
∴CH＝DM＝，AM＝DH＝，
∴MH＝DM＝，
∵AM⊥DH，
∴AD＝AH，故③正确；
∵DE＝，DH＝，
∴HE＝，ME＝HE+MH＝，
∵AM⊥DE，CF⊥DE，
∴AM∥CF，
∴，
∴，
∴HG＝，故④正确，
故选：D．
5．（2021秋 邓州市期中）如图，在等边三角形ABC中，AB＝4，点D是边AB上一点，且BD＝1，点P是边BC上一动点（D、P两点均不与端点重合），作∠DPE＝60°，PE交边AC于点E．若CE＝a，当满足条件的点P有且只有一个时，则a的值为（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴∠BDP+∠BPD＝180°﹣∠B＝120°，
∵∠DPE＝60°，
∴∠BPD+∠CPE＝120°，
∴∠BDP＝∠CPE，
∵∠B＝∠C＝60°，
∴△BDP∽△CPE；
∴，
∴＝，
∴BP2﹣4BP+a＝0，
∵满足条件的点P有且只有一个，
∴方程BP2﹣4BP+a＝0有两个相等的实数根，
∴△＝42﹣4×a＝0，
∴a＝4．
故选：D．
6．（2021秋 宝安区校级期中）如图，在 ABCD中，点E在线段AB上，点F、G分别为对角线AC与DE、DB的交点．若AB：AE＝3：2，则四边形BGFE与 ABCD的面积之比为（　　）
A．7：60 B．8：70 C．5：43 D．3：26
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴S△ABD＝S ABCD，S△AGB＝S ABCD，
∵AB：AE＝3：2，
∴S△ADE＝S△ABD＝S ABCD，
∵AB∥CD，
∴△AEF∽△CDF，
∴＝＝＝，
∴＝，
∴S△AEF＝S△AED＝S ABCD，
∵S四BGFE＝S△AGB﹣S△AEF
＝S ABCD﹣S ABCD
＝S ABCD，
∴S四BGFE：S ABCD＝7：60，
故选：A．
7．（2021秋 历下区期中）直角三角形ABC中，∠C＝90°，三个正方形如图放置，边长分别为a，b，c，已知a＝2，b＝3，则c值为（　　）
A．4 B．2 C．5 D．6
【解答】解：直角三角形ABC中，∠C＝90°，放置边长分别为a，b，c的正方形，且a＝2，b＝3，
∴△CEF∽△OME∽△PFN，
∴，
∵MO＝2，PN＝3，EF＝c，
∴OE＝c﹣2，PF＝C﹣3，
∴，
解得：c＝5或0（舍去），
∴c＝5，
故选：C．
8．（2021秋 历下区期中）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点EF，连接BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：①AE＝FC；②∠PDE＝15°；③；④DE2＝PF FC．其中正确的为（　　）
A．①②③ B．①③ C．②③④ D．①②④
【解答】解：∵△BPC为等边三角形，
∴PB＝PC，∠PBC＝∠PCB＝60°，
∵FE∥BC，
∴△FEP∽△CPB，
又∵PB＝PC，
∴PE＝PF，
∴FC＝EB，
∵∠PBC＝60°，∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝30°，
在Rt△ABE中，∵∠ABE＝30°，
∴AE＝，
又∵BE＝FC，
∴AE＝，
故①正确；
∵PC＝BC＝CD，∠PCD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DPC＝∠PDC＝＝75°，
∴∠PDE＝∠ADC﹣∠PDC＝90°﹣75°＝15°，
故②正确；
∵FD∥BC，
∴△FDN∽△CHB，
∴，
又∵△BHC与△DHC同高，
∴，
又∵，F不是AD中点，
∴≠，
∴，
故③错误；
∵∠EPD＝180°﹣∠EPF﹣∠DPC＝180°﹣60°﹣75°＝45°＝∠ADB，
∠PED＝∠PED，
∴△PED∽△DEB，
∴，
∴ED2＝PE BE，
又∵PE＝PF，BE＝FC，
∴DE2＝PF FC，
故④正确，
故选：D．
9．（2021秋 南海区期中）如图，正方形ABCD的边长是3，BP＝CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA2＝OE OP；③S△AOD＝S四边形OECF；④当BP＝1时，OE＝．其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，
∵BP＝CQ，
∴AP＝BQ，
在△DAP与△ABQ中，
，
∴DAP≌△ABQ（SAS），
∴∠P＝∠Q，
∵∠Q+∠QAB＝90°，
∴∠P+∠QAB＝90°，
∴∠AOP＝90°，
∴AQ⊥DP，
故①正确；
∵∠DOA＝∠AOP＝90°，∠ADO+∠P＝∠ADO+∠DAO＝90°，
∴∠DAO＝∠P，
∴△DAO∽△APO，
∴，
∴AO2＝OD OP，
∵AE＞AB，
∴AE＞AD，
∴OD≠OE，
∴OA2≠OE OP，
故②错误；
在△CQF与△BPE中，
，
∴△CQF≌△BPE（ASA），
∴CF＝BE，
∴DF＝CE，
在△ADF与△DCE中，
，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴S△ADF＝S△DCE，
∴S△ADF﹣S△DFO＝S△DCE﹣S△DOF，
即S△AOD＝S四边形OECF，
故③正确，
∵BP＝1，AB＝3，
∴AP＝4，
∵△PBE∽△PAD，
∴＝，
∴BE＝，
∴QE＝，
∵△QOE∽△PAD，
∴＝，
∴OE＝，
故④正确，
故选：C．
10．（2021秋 蜀山区校级期中）如图，矩形ABCD中，AD＝3，AB＝2，点E为AB的中点，点F在边BC上，且BF＝2FC，AF分别与DE、BD相交于点M、N，则MN的长为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，过点F作FH⊥AD于H，交ED于O，
则FH＝AB＝2，
∵BF＝2FC，
∴BF＝AH＝2，FC＝HD＝1，
∴AF＝＝2，
∵OH∥AE，
∴，
∴OF＝FH﹣OH＝2﹣＝，
∵AE∥FO，
∴△AME∽△FMO，
∴，
∴AM＝，
∵AD∥BF，
∴△AND∽△FNB，
∴，
∴AN＝，
∴MN＝AN﹣AM＝＝，
故选：B．
11．（2021秋 禅城区校级月考）如图，AB∥DC，AD与BC的交点为M，过点M作MH∥AB交BD于H．已知AB＝3，MH＝2，则△ABM与△MCD的面积之比为（　　）
A．1：2 B．1：4 C．2：3 D．4：9
【解答】解：∵AB∥DC，
∴△ABM∽△MCD，
∴＝（）2
∵MH∥AB，
∴＝＝，
∴＝，
∴＝，
则△ABM与△MCD的面积之比为：1：4．
故选：B．
12．（2021 平南县三模）如图，在△ABC中，点D在AC上，点F是BD的中点，连接AF并延长交BC点E，BE：BC＝2：7，则AD：CD＝（　　）
A．2：3 B．2：5 C．3：5 D．3：7
【解答】解：如图，过点D作DH∥AE交BC于H．
∵BF＝DF，FE∥DH，
∴BE＝EH，
∴BE：BC＝2：7，
∴EH：CH＝2：3，
∵AE∥DH，
∴＝＝，
故选：A．
13．（2020秋 南岸区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8．E是AC边上一动点，过点E作EF∥AB交BC于点F，D为线段EF的中点，当BD平分∠ABC时，AE的长度是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝10，BC＝8．
∴AC＝＝＝6，
∵EF∥AB，
∴∠ABD＝∠BDF，又∠ABD＝∠FBD，
∴∠FBD＝∠BDF，
∴FB＝FD，
∴EF＝2FB，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴＝＝，
∴＝＝，
解得，BF＝，
∴AE＝．
故选：B．
14．（2020 浙江自主招生）等腰△ABC中，AB＝AC，E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF，连接CE、BF交于点P，若＝，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：作ED∥AC交BF于D，如图，
∵ED∥FC，
∴＝＝，
设ED＝4x，BE＝y，则FC＝3x，AF＝y，
∵AB＝AC，
∴AE＝FC＝3x，
∵DE∥AF，
∴＝，即＝，
整理得y2﹣4xy﹣12x2＝0，
∴（y+2x）（y﹣6x）＝0，
∴y＝6x，
∴＝＝．
故选：A．
15．（2020秋 揭西县期末）如图，正方形ABCD中，BE＝EF＝FC，CG＝2GD，BG分别交AE、AF于M、N，下列结论：①AF⊥BG；②；③S四边形CGNF＝S△ABN；④．其中正确的有（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【解答】解：∵正方形ABCD中，BE＝EF＝FC，CG＝2GD，
∴AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠C＝90°，
∴BE＝EF＝FC＝BC，BF＝BC，CG＝CD＝BC，
∴BF＝CG，
在△ABF和△BCG中，
，
∴△ABF≌△BCG（SAS），
∴∠AFB＝∠BGC，
∵∠BGC+∠CBG＝90°，
∴∠AFB+∠CBG＝90°，
∴∠BNF＝90°，
∴AF⊥BG；
故结论①正确．
∵∠BNF＝∠C，∠FBN＝∠GBC，
∴△BFN∽△BGC，
∴＝＝＝，
∴BN＝NF，
故结论②错误；
∵△ABF≌△BCG，
∴S△ABF＝S△BCG，
即：S△ABN+S△BNF＝S△BNF+S四边形CGNF，
∴S四边形CGNF＝S△ABN，
故结论③正确；
延长AD、BG交于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AD∥BC，CG＝2GD，BE＝BC，
∴△HDG∽△HAB，△BEM∽△HAM，
∴＝＝＝，＝，
∴HG＝BH，AH＝AD＝BC，
∴＝＝＝，
∴＝，
∴BM＝BH，
∴MG＝BH﹣BM﹣HG＝BH﹣BH﹣BH＝BH，
∴＝＝．
故结论④正确．
故选：D．
二．填空题（共14小题）
16．（2021秋 金牛区校级期中）如图，点F在平行四边形ABCD的边AD上，延长BF交CD的延长线于点E，交AC于点O，若，则＝　　．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴△ABO∽△CEO，
∴＝（）2＝，
∴＝，
∴CE＝3AB＝3CD，
∴DE＝2CD，
∵AB∥CD，
∴＝＝．
故答案为：．
17．（2021秋 永春县期中）如图，点B、C是线段AD上的点，△ABE、△BCF、△CDG都是等边三角形，且AB＝12，BC＝18，已知△ABE与△CDG的相似比为2：5．则：
①CD＝　30　；
②图中阴影部分面积为 　　．
【解答】①解：∵△ABE、△CDG都是等边三角形，
∴△ABE∽△CDG，
∴＝，即＝，
解得CD＝30；
②解：如图，设AG与CF、BF分别相交于点M、N，
∵AC＝AB+BC＝12+18＝30，
∴AC＝CG．
∴∠CAG＝∠CGA．
又∵∠CAG+∠CGA＝∠DCG＝60°，
∴∠CGA＝30°．
∴∠AGD＝∠CGA+∠CGD＝30°+60°＝90°．
∴AG⊥GD．
∵∠BCF＝∠D＝60°，
∴CF∥DG．
∴△ACM∽△ADG．
∴MN⊥CF．
∴＝，即＝，
解得CM＝15，
所以，MF＝CF﹣CM＝18﹣15＝3．
∵∠F＝60°，
∴MN＝MF＝3，
∴S△MNF＝MF MN＝×3×3＝，
即阴影部分面积为．
故答案为：①30；②．
18．（2021秋 郑州期中）如图，已知直角坐标系中，点A（﹣6，3），B（﹣1，﹣1），以O为位似中心，按比例尺3：1把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标为 　（﹣2，1）或（2，﹣1）　．
【解答】解：当点A′在第二象限时，A′（﹣2，1），
当点A′在第四象限时，A′（2，﹣1）．
故答案为：（﹣2，1）或（2，﹣1）．
19．（2021秋 碑林区校级月考）如图，菱形ABCD中，∠BAD＝120°，对角线相交于点O，点E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，连接AE、AF分别交对角线BD于点M、N，若AB＝5，DN＝2，则△AMN的面积为 　　．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，AB＝5，∠BAD＝120°，
∴∠ABC＝60°，AC⊥BD，AB∥CD，AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABO＝30°，
∴AO＝AB＝，
∴BO＝OD＝，
∴BD＝5，
∵DN＝2，
∴BN＝3，
∵AB∥CD，
∴△ABN∽△FDN，
∴，
∴DF＝，
∴CF＝5﹣
∵∠EAF＝60°＝∠ABC，
∴∠BAE＝∠CAF，
在△BAE和△CAF中，
，
∴△BAE≌△CAF（ASA），
∴BE＝CF＝，
∵BC∥AD，
∴△BEM∽△DAM，
∴，
∴BM＝＝，
∴OM＝BO﹣BM＝，
∵ON＝﹣2＝，
∴MN＝，
∴S△AMN＝ MN AO＝＝，
故答案为：．
20．（2021 曾都区一模）如图，在 ABCD中，AB＝3，BC＝6，AB⊥BD，P是BC上方一动点，且∠BPC＝60°，PC交BD于点E．当点P运动到PB＝PC时，的值为　1　；随着点P的运动，的最大值为　　．
【解答】（1）如图所示，
∵AB⊥BD，
∴∠ADB＝90°，
∴sin∠ADB＝＝，
∴∠ADB＝30°，
在 ABCD中，
∴AB∥CD，
∴∠DBC＝∠ADB＝30°，
∵PB＝PC，∠BPC＝60°，
∴△BPC为等边三角形，
∴∠PBC＝60°，
∴∠PBD＝30°＝∠DBC，
∴PE＝CE，
∴＝1，
故答案为：1.
（2）如图①所示，过点D作FC⊥BC交BD延长线于点F，过点P作PQ⊥BD交BD于点Q，
∵FC⊥BC，
∴∠FCB＝90°，
∵∠DBC＝30°，
∴∠BFC＝60°，
∵∠BPC＝60°，
∴点B、C、F、P四点共圆，
∵∠FCB＝90°，
∴BF为⊙O的直径，
∵AB∥CD，
∴∠BDC＝∠ABD＝90°，
∵PQ⊥BD，
∴∠PQD＝90°，
∴∠PQD＝∠CDQ，
∵∠PEQ＝∠CED，
∴△PQE∽△CDE，
∴，
∴，
∴当PQ取最大值时，的值最大，
当点Q与点O重合时PQ最大，即PQ为⊙O半径时，
在Rt△BFC中，sin∠BFC＝，
∴BF＝BC＝4，
∴⊙O半径为2，即PQ的最大值是2，
∴．
故答案为：．
21．（2021春 金牛区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP，BP，AP+BP的最小值为　　．
【解答】解：如图1，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，
则有＝＝，
又∵∠PCD＝∠BCP，
∴△PCD∽△BCP，
∴＝，
∴PD＝BP，
∴AP+BP＝AP+PD．
要使AP+BP最小，只要AP+PD最小，
当点A，P，D在同一条直线时，AP+PD最小，
即：AP+BP最小值为AD，
在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝6，
∴AD＝＝，
AP+BP的最小值为．
22．（2021 西湖区一模）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，点D在边AC上，将△ABD沿BD翻折，点A的对称点为A'，使得A'D∥BC，则∠BDC＝　52.5°　，＝　　．
【解答】解：方法一：∵AB＝AC，∠A＝30°，
∴∠ABC＝∠C＝75°
∵△ABD沿BD翻折，
∴∠A′＝∠A＝30°，
∵A'D∥BC，
∴∠A′BC＝∠A′＝30°，
∴∠A′BA＝∠ABC﹣∠A′BC＝45°，
∵△ABD沿BD翻折，
∴∠DBA＝∠DBA′＝22.5°，
∴∠BDC＝∠A+∠DBA＝52.5°；
延长A′D交AB于E，过E作EF⊥A′B于F，如图：
∵AB＝AC，A'D∥BC，
∴AD＝AE，
∵△ABD沿BD翻折，
∴AD＝A′D＝A′G＝AE，BG＝BE，
∵△ABD沿BD翻折，A'D∥BC，
∴∠A＝∠A′＝∠A′BC＝30°，
而∠C＝75°，
∴∠BGC＝75°，∠EBF＝45°，
∴BC＝BG＝BE，
设AD＝A′D＝AE＝A′G＝a，EF＝x，
Rt△A′EF中，A′F＝x，
Rt△BEF中，BF＝x，BE＝x，
由AB＝A′B可得：a+x＝x+x，
解得x＝a，
∴BE＝BC＝x＝a，
∴＝＝＝．
方法二：∵AB＝AC，∠A＝30°，
∴∠ABC＝∠C＝75°
∵△ABD沿BD翻折，
∴∠A′＝∠A＝30°，
∵A'D∥BC，
∴∠A′BC＝∠A′＝30°，
∴∠A′BA＝∠ABC﹣∠A′BC＝45°，
∵△ABD沿BD翻折，
∴∠DBA＝∠DBA′＝22.5°，
∴∠BDC＝∠A+∠DBA＝52.5°；
过G作GH⊥AB于H，如图：
∵AB＝AC，∠A＝30°，
∴∠ABC＝∠ACB＝75°，
∵△ABD沿BD翻折，
∴∠A'＝30°，
∵A'D∥BC，
∴∠A'BC＝30°，
∴∠ABA'＝45°，
∴△BGH是等腰直角三角形，
设GH＝BH＝m，则BG＝m，
Rt△AGH中，tanA＝，
∴AH＝m，
∴AB＝AH+BH＝m+m，
∴A'B＝AB＝m+m，
∴A'G＝A'B﹣BG＝m+m﹣m，
∵∠ACB＝75°，∠A'BC＝30°，
∴∠BGC＝∠A'GD＝75°，
∴BC＝BG＝m，
∵∠A'＝30°，∠A'GD＝75°，
∴∠A'DG＝75°，
∴A'D＝A'G＝m+m﹣m，
∴AD＝m+m﹣m，
∴＝＝．
故答案为：52.5°，．
23．（2021秋 晋江市期中）如图，正方形ABCD边长为3，点E是AD上一点，且AE＝1，连接BE，过C作CF⊥BE，垂足为F，CF交对角线BD于G，将△BCG沿CG翻折得到△HCG，CH交对角线BD于M，则S△HGM＝　　．
【解答】解：如图，过点G作GR⊥BC于R，过点H作HN∥BC交BD于N，则∠BRG＝∠CRG＝90°，
∵CF⊥BE
∴∠BFC＝90°
∴∠CBF+∠BCF＝90°
∵正方形ABCD
∴∠A＝∠ABC＝90°，AB＝AD＝BC＝3
∴∠ABE+∠CBF＝90°
∴∠ABE＝∠BCF
∴△ABE∽△FCB
在Rt△ABE中，BE＝＝＝
∴＝，即＝
∴BF＝，
由翻折知：FH＝BF＝，BH＝，HC＝BC＝3，△HGC≌△BGC
∵HN∥BC
∴△BHN∽△BED
∴＝，即＝
∴HN＝
∵△HNM∽△CBM
∴＝＝
∴＝，
∴＝＝，
∵GR⊥BC，∠CBG＝45°
∴△BGR是等腰直角三角形，设BR＝GR＝x，则CR＝3﹣x，
∵△CGR∽△CBF
∴＝＝，即＝，解得x＝
∴GR＝
∴S△BCG＝×BC×GR＝×3×＝
∴S△HGC＝
∴S△HGM＝S△HGC＝×＝，
故答案为：．
24．（2020秋 虹口区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB的内、外角平分线分别交BA及其延长线于点D、E，BC＝2.5AC，则＝　5　．
【解答】解：∵CD平分∠ACB，
∴＝，
∴＝，
∴＝，①
∵CE平分∠ACB的外角，
∴＝，
∴＝，
∴＝，②
①+②得，
+＝+＝＝2×2.5＝5．
故答案为：5．
25．（2020秋 江北区期中）如图，△ABC是等边三角形，矩形DEFG的顶点D在BC边上，且BD＝3CD＝3，DE＝AB＝2DG，连接AG、AE、AF，若将矩形DEFG绕点D旋转一周，当AG+AF最小时，则AE＝　　．
【解答】解：过点A作AH⊥BC于点H，连接AD，
∵△ABC是等边三角形，AH⊥BC，
∴AB＝AC＝BC，∠B＝60°，
∴BH＝CH，
∵BD＝3CD＝3，
∴CD＝1，
∴BC＝BD+CD＝3+1＝4，
∴BH＝CH＝2，
∴AB＝AC＝4，
∴AH＝2，
∵DE＝AB＝2DG＝4，
∴DG＝2，
∵四边形DEFG是矩形，
∴FG＝DE＝4，∠DGF＝90°，EF＝DG＝2，
∵AG+AF≥FG，
∴当且仅当A、G、F三点共线时，AG+AF取得最小值为4，
∵DH＝CH﹣CD＝2﹣1＝1，
在Rt△ADH中，根据勾股定理，得
AD＝＝＝，
在Rt△ADG中，根据勾股定理，得
AG＝＝＝3，
∴AF＝GF﹣AG＝4﹣3＝1，
在Rt△AEF中，根据勾股定理，得
AE＝＝＝．
∴当AG+AF最小时，则AE＝．
故答案为：．
26．（2019 东平县二模）如图，△ABC是边长为6cm等边三角形，动点P、Q同时从A、B出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点停止运动，在运动过程中作QR∥BA交AC于点R，连接PR，设运动的时间为t（s），当t＝　1.2　s时△APR∽△PRQ．
【解答】解：∵△ABC是边长为6cm等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°
∵QR∥BA
∴∠CRQ＝∠A＝60°，∠CQR＝∠B＝60°
∴△CRQ为等边三角形
∵点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s
∴AP＝t，PB＝6﹣t，BQ＝2t，CQ＝CR＝RQ＝6﹣2t，AR＝2t
∵QR∥BA
∴∠QRP＝∠APR
若要△APR∽△PQR，则需满足∠RPQ＝60°
∴∠BPQ+∠APR＝120°，∠ARP+∠APR＝120°
∴∠BPQ＝∠ARP
又∵∠A＝∠B
∴△APR∽△BQP
∴＝
∴＝
解得t＝1.2
故答案为1.2．
27．（2021 成都模拟）如图，在正方形ABCD中，以AB为腰向正方形内部作等腰△ABE，点G在CD上，且CG＝3DG．连接BG并延长，与AE交于点F，与AD延长线交于点H．连接DE交BH于点K，连接CK．若AE2＝BF BH，FG＝，则S四边形EFKC＝　　．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∵CG＝3DG，
∴可以假设DG＝3a，CG＝9a，
则AB＝AD＝BC＝CD＝12a，
∴DG∥AB，
∴＝＝＝，
∴DH＝4a，GH＝5a，BH＝20a，
∵AE2＝BF BH，AE＝AB，
∴AB2＝BF BH，
∴＝，∵∠ABF＝∠ABH，
∴△ABF∽HBA，
∴∠AFB＝∠BAH＝90°，
∴AF＝＝a，BF＝a，
∴FG＝BH﹣BF﹣GH＝a，
∵AE＝AD，
∴∠ADE＝∠AED，
∵∠ADE+∠GDK＝90°，∠KEF+∠EKF＝90°，∠EKF＝∠GKD，
∴∠GDK＝∠GKD，
∴GD＝GK＝3a，
作KM⊥CD于M，EN⊥AB于N，
∵＝，
∴KM＝a，
∵△AFB≌△ANE，
∴EN＝BF＝a，
∴S四边形EFKC＝S△EFK+S△ECK
＝s△EFK+（S△CDE﹣S△CDK）
＝×a×a+（×12a×a﹣×12a×a）
＝a2，
∵FG＝a＝，
∴a＝，
∴S四边形EFKC＝，
故答案为．
28．（2018秋 青羊区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，点D是线段BC上一动点，连接AD，以AD为边作△ADE∽△ABC，点N是AC的中点，连接NE，当线段NE最短时，线段CD的长为　　．
【解答】解：如图，连接EC，作AH⊥BC于H．
∵△ABC∽△ADE，
∴∠AED＝∠ACD，
∴A，D，C，E四点共圆，
∴∠DAE+∠DCE＝180°，
∴∠DCE＝∠DAE＝90°，
∴EC⊥BC，
∴NE⊥EC时，EN的值最小，作AG⊥CE交CE的延长线于G．
在Rt△ABC中，∵BC＝5，AB＝3，
∴AC＝4，
∵△ENC∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
∴EC＝，
∴AH＝CG＝＝，CH＝AG＝，
∵NE∥AG，AN＝NC，
∴GE＝EC＝，
∵∠HAG＝∠DAE，
∴∠DAH＝∠EAG，∵∠AHD＝∠G＝90°，
∴△AHD∽△AGE，
∴＝，
∴＝，
∴DH＝，
∴CD＝DH+CH＝．
（求出CE＝1.2后，利用△ABD∽△ACE，AB＝3，AC＝4，CE＝1.2，求出BD＝0.9，从而CD＝4.1）
故答案为．
29．（2017秋 天心区校级月考）如图，在三角形ABC中，D为BC的中点，AF＝2BF，CE＝3AE，连接CF交DE于P点，则的值为　3　．
【解答】解：作EG∥CB交AB于G，交CF的延长线于H．
∵＝＝＝，
∴可以设EG＝m，则BC＝4m，
∵AF＝2BF，设BF＝a，则AF＝2a，
∴AG＝AB＝a，FG＝2a﹣a＝a，
∵＝，
∴＝，
∴HG＝5m，
∵＝，CD＝2m，EH＝6m，
∴＝＝3，
故答案为3．
三．解答题（共11小题）
30．（2021 柯桥区模拟）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边上的动点，DE∥BC交AC于点E．
问题发现：（1）如图2，当∠B＝45°时，计算的值及EC与BD所在直线相交所成的锐角．
类比探究：（2）当∠BAC＝30°时，把△ADE绕点A逆时针旋转到如图3的位置时，请求出的值以及EC与BD所在直线相交所成的锐角．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠B＝45°，
∴∠A＝45°，
∴＝，
∵DE∥BC，
∴＝＝；
（2）延长BD交AC于点F，交CE的延长线于点G，
由（1）可知：△ADE∽△ABC，
∴＝，∠DAE＝∠BAC，
∴＝，∠BAD＝∠CAE，
∴△ACE∽△ABD，
∴＝＝cos30°＝，
∠ACE＝∠ABD，
∵∠CFG＝∠AFB，
∴∠CGB＝∠CAB＝30°．
31．（2021秋 青羊区校级期中）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、CD上（F不与C重合），且∠BEF＝90°
（1）△ABE与△DEF相似吗？为什么？
（2）当点E位于AD上何处时，△ABE、△BEF、△DEF这三个三角形都相似？
（3）当△ABE、△BEF、△DBF、△CBF这四个三角形都相似时，求及的值．
【解答】解：（1）△ABE与△DEF相似，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∵∠BEF＝90°，
∴∠ABE+∠AEB＝∠DEF+∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝∠DEF，
∴△ABE∽△DEF；
（2）当点E位于AD中点时，△ABE、△BEF、△DEF这三个三角形都相似，理由如下：
作EG⊥BF于G，
∵△EBF∽△ABE，
∴∠ABE＝∠EBF，
∵∠A＝90°，
∴EG＝EA，
同理可得：ED＝EG，
∴AE＝ED，
即E是AD的中点
（3）如图2，
当△CBF∽△EBF∽△ABE∽△DEF时，
∠CBF＝∠EBF＝∠ABE＝∠DEF＝30°，
∴AE＝AB，
由（2）知：AD＝2AE＝AB，
∴＝＝，
∵＝＝，
∴DF＝AE＝×AB＝AB，
∵CD＝AB，
∴DF＝CD，
∴＝．
32．（2020 硚口区模拟）如图，正方形ABCD，∠EAF＝45°．交BC、CD于E、F，交BD于H、G．
（1）求证：AD2＝BG DH；
（2）求证：CE＝DG；
（3）求证：EF＝HG．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形
∴∠ABD＝∠ADB＝45°，AB＝AD，
∵∠EAF＝45°
∴∠BAG＝45°+∠BAH，∠AHD＝45°+∠BAH，
∴∠BAG＝∠AHD，
又∵∠ABD＝∠ADB＝45°，
∴△ABG∽△HDA，
∴，
∴BG DH＝AB AD＝AD2；
（2）如图，连接AC，
∵四边形ABCD是正方形
∴∠ACE＝∠ADB＝∠CAD＝45°，
∴AC＝AD，
∵∠EAF＝45°，
∴∠EAF＝∠CAD，
∴∠EAF﹣∠CAF＝∠CAD﹣∠CAF，
∴∠EAC＝∠GAD，
∴△EAC∽△GAD，
∴，
∴CE＝DG；
（3）由（2）得：△EAC∽△GAD，
∴，
同理得：△AFC∽△AHB，
∴，
∴，
∴，
∵∠GAH＝∠EAF，
∴△GAH∽△EAF，
∴，
∴EF＝GH．
33．（2017秋 新野县期中）阅读下面材料：小昊遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，BE是AC边上的中线，点D在BC边上，＝，AD与BE相交于点P，求的值．
小昊发现，过点C作CF∥AD，交BE的延长线于点F，通过构造△CEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．
请回答：的值为　　．
参考小昊思考问题的方法，解决问题：
（1）如图3，在△ABC中，点D在BC的延长线上，，点E在AC上，且．求的值；
（2）如图4，在△ABC中，点D在BC的延长线上，，点E在AC上，且，直接写出的值为　　．
【解答】解：如图2，过点C作CF∥AD，交BE的延长线于点F，
∴∠F＝∠APF，∠FCE＝∠EAP，
∵BE为AC边的中线，
∴AE＝CE，
∴△AEP≌△CEF（AAS），
∴AP＝FC，
∵PD∥FC，
∴△BPD∽△BFC，
∴＝，
∴＝，
故答案为：；
（1）如图3，过A作AF∥BC，交BP延长线于点F，
∴△AFE∽△CBE，
∴，
∵，
∴，
设AF＝3x，BC＝2x，
∵，
∴BD＝3x，
∴AF＝BD＝3x，
∵AF∥BD，
∴△AFP∽△DBP，
∴＝＝1；
（2）如图4，过C作CF∥AP交PB于F，
∴△BCF∽△BDP，
∴，
设CF＝2x，PD＝3x，
∵CF∥AP，
∴△ECF∽△EAP，
∴，
∴AP＝7x，AD＝4x，
∴．
故答案为：．
34．（2021秋 青羊区校级期中）在△ABC中，点D是BC上一点，点E是AD上一点，且ED＝BD，∠EBC＝∠BAC，BE的延长线交AC于点F．
（1）求证：△AEF∽△BAF；
（2）如图2，若AD⊥BC，AE＝6，DE＝12，求AF的长；
（3）如图3，若AB＝AC，AD＝2BD，AF＝1，求CF的长．
【解答】（1）证明：如图1，
∵ED＝BD，
∴∠EBD＝∠DEB，
又∵∠EBC＝∠BAC，
∴∠DEB＝∠BAC，
又∵∠DEB＝∠AEF，
∴∠AEF＝∠BAF，
又∵∠AFE＝∠BFA，
∴△AEF∽△BAF；
（2）解：如图2，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵DE＝BD，DE＝12，AE＝6，
∴BD＝12，AD＝18，
∴BE＝＝12，AB＝＝6，
∵△AEF∽△BAF；
∴＝，
∴AF2＝EF BF，
设EF＝x，
∴AF＝x，BF＝BE+EF＝12+x，
∴（x）2＝x （12+x）
∴x＝，
∴EF＝，AF＝；
（3）解：如图3，
设CF＝x，BC＝BF＝y，
由（2）得：AF2＝FE BF，
∴EF＝＝，
∴BE＝BF﹣EF＝y﹣＝，
∵△AEF∽△BAF，
∴＝，
∴＝，
∴AE＝，
作AG∥BC交BF的延长线于G，
∴△AFG∽△CFB，△AEG∽△DEB，
∴＝＝1，＝＝＝1，
∴FG＝AG，AG＝AE＝，EG＝BE，
∴FG＝，
∴EG＝EF+FG＝+＝，
∵BE＝EG，
∴＝，
∴y2＝x+3，
∵△BCF∽△ABC，
∴，
∴＝，
∴y2＝x2+x，
∴x2+x＝x+3，
∴x1＝，x2＝﹣（舍去），
∴CF＝．
35．（2021 重庆）在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上一动点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转至AE的位置，使得∠DAE+∠BAC＝180°．
（1）如图1，当∠BAC＝90°时，连接BE，交AC于点F．若BE平分∠ABC，BD＝2，求AF的长；
（2）如图2，连接BE，取BE的中点G，连接AG．猜想AG与CD存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，CE．若∠BAC＝120°，当BD＞CD，∠AEC＝150°时，请直接写出的值．
【解答】解：（1）连接CE，过点F作FQ⊥BC于Q，
∵BE平分∠ABC，∠BAC＝90°，
∴FA＝FQ，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴FQ＝CF，
∵∠BAC+∠DAE＝180°，
∴∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
由旋转知，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE＝2，∠ABD＝∠ACE＝45°，
∴∠BCE＝90°，
∴∠CBF+∠BEC＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠ABF+∠BEC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABF+∠AFB＝90°，
∴∠AFB＝∠BEC，
∵∠AFB＝∠CFE，
∴∠BEC＝∠CFE，
∴CF＝CE＝2，
∴AF＝FQ＝CF＝；
（2）AG＝CD，
理由：延长BA至点M，使AM＝AB，连接EM，
∵G是BE的中点，
∴AG＝ME，
∵∠BAC+∠DAE＝∠BAC+∠CAM＝180°，
∴∠DAE＝∠CAM，
∴∠DAC＝∠EAM，
∵AB＝AM，AB＝AC，
∴AC＝AM，
∵AD＝AE，
∴△ADC≌△AEM（SAS），
∴CD＝EM，
∴AG＝CD；
（3）如图3，连接DE，AD与BE的交点记作点N，
∵∠BAC+∠DAE＝180°，∠BAC＝120°，
∴∠DAE＝60°，
∵AD＝AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴AE＝DE，∠ADE＝∠AED＝60°，
∵∠AEC＝150°，
∴∠DEC＝∠AEC﹣∠AED＝90°，
在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠ACB＝∠ABC＝30°，
∵∠AEC＝150°，
∴∠ABC+∠AEC＝180°，
∴点A，B，C，E四点共圆，
∴∠BEC＝∠BAC＝120°，
∴∠BED＝∠BEC﹣∠DEC＝30°，
∴∠DNE＝180°﹣∠BED﹣∠ADE＝90°，
∵AE＝DE，
∴AN＝DN，
∴BE是AD的垂直平分线，
∴AG＝DG，BA＝BD＝AC，
∴∠ABE＝∠DBE＝∠ABC＝15°，
∴∠ACE＝∠ABE＝15°，
∴∠DCE＝45°，
∵∠DEC＝90°，
∴∠EDC＝45°＝∠DCE，
∴DE＝CE，
∴AD＝DE，
设AG＝a，则DG＝a，
由（2）知，AG＝CD，
∴CD＝2AG＝2a，
∴CE＝DE＝CD＝a，
∴AD＝a，
∴DN＝AD＝a，
过点D作DH⊥AC于H，
在Rt△DHC中，∠ACB＝30°，CD＝2a，
∴DH＝a，
根据勾股定理得，CH＝a，
在Rt△AHD中，根据勾股定理得，AH＝＝a，
∴AC＝AH+CH＝a+a，
∴BD＝a+a，
∴＝＝．
36．（2021秋 宁波期中）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转α（0°＜α≤360°）得到ΔA′B′C，其中点A，B的对应点分别为点A′，B′．
（1）如图1，当B′落在CA的延长线上时，
①连接BB′，求线段BB′的长．
②求从初始状态到此位置时，线段AB扫过的面积．
（2）如图2，连接AA′，BB′，AA′所在直线与BB′所在直线交于点M，AA′所在直线与B′C交于点N，当0°＜α≤180°时，是否存在α使得BB′＝2MN，若存在，请求出α；若不存在，请说明理由．
（3）如图3，AA′所在直线与BB′所在直线交于点M，K为边AB的中点，连接MK，请直接写出在旋转过程中，MK长度的取值范围．
【解答】解：（1）①如图1中，连接BB′．
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，
∴BC＝2AC＝4，∠BCA＝60°，
∵CB＝CB′＝4，
∴△BCB′是等边三角形，
∴BB′＝BC＝4；
②如图1﹣1中，
线段AB扫过的面积＝S扇形BCB′+S△A′CB′﹣S△ABC﹣S扇形ACA′＝S扇形BCB′﹣S扇形ACA′＝﹣＝2π；
（2）存在．
理由：如图2中，连接CM．
∵∠BCA＝∠B′CA′＝60°，
∴∠BCB′＝∠ACA′，
∵CB＝CB′，CA＝CA′，
∴∠CB′M＝∠CA′N，
∵∠MNB′＝∠CNA′，
∴△MNB′∽△CNA′，
∴＝，∠NMB′＝∠NCA′，
∴＝，
∵∠MNC＝∠A′NB′，
∴△MNC∽△B′NA′，
∴∠NMC＝∠CB′A′，
∴∠CMB′＝∠NMC+∠NMB′＝∠CB′A′+∠NCA′＝90°，
∴CM⊥BB′，
∵CB＝CB′，
∴BM＝MB′，
当BB′＝2MN时，MN＝MB＝MB′，
∴此时BN⊥NB′，
观察图象可知，当CN与CA重合时，满足条件，此时旋转角α＝60°；
（3）如图3中，取BC的中点Q，连接KQ，MQ．
由（2）可知，∠BMC＝90°，
∵BQ＝QC，
∴MQ＝BC＝2，
∵AK＝BK，BQ＝CQ，
∴QK＝AC＝1，
∴MQ﹣KQ≤MK≤MQ+KQ，
∴1≤MK≤3．
37．（2021秋 成都期中）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，过点C作直线l∥AB，点N为直线l上一动点，作射线AN，交射线BC于点P，将射线AN绕点A顺时针旋转，交线段BC于M，使得∠MAN＝∠ABC，连接MN．
（1）如图1，当点N在点C左侧时，求证△AMP∽△CMA．
（2）如图2，当点N在点C右侧时，若AM＝，求线段CN的长．
（3）如图3，若射线AM与直线l交于点Q，满足∠AQN＝∠ANM，请直接写出线段CN．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC
∴∠ABC＝∠C，
∵∠MAN＝∠ABC
∴∠MAN＝∠C，
∵∠AMP＝∠AMP，
∴△AMP∽△CMA；
（2）解：如图1，
作AH⊥BC于H，
∵AB＝AC＝5，AH⊥BC，
∴BH＝HC＝4，
∴，
∵AM＝，
∴，
，
∵∠MAN＝∠ACB，∠AMC＝∠PMA，
∴△AMP∽△CMA，
∴，得，
∴PC＝2，
∵l//AB
∴∠PNC＝∠PAB，∠PCN＝∠PBA，
∴△PNC∽△PAB，
∴，
∴CN＝1，
（3）解：如图2，
作AG⊥BC于G，作AH⊥CN于H，作MK⊥AB于K，
由上知：BG＝4，
∵CQ∥AB，
∴∠PCN＝∠B＝∠ACB，
∵∠MAN＝∠ACB，
∴∠MAN＝∠PCN，
∴点A、M、N、C共圆，
∴∠ANM＝∠ACB，
∵∠AQN＝∠ANM，
∴∠AQN＝∠MAN，
∴∠ANC＝∠AQN+∠MAN
＝2∠MAN
＝2∠ACB，
∴∠ANC＝∠ACN，
∵∠AMC＝∠AQN+∠MCQ＝2∠ACB＝∠ACH，
∠AHC＝∠AGM＝90°，
∴△AGM∽△AHC，
∴＝，
∵∠ACM＝∠B+∠BAM
＝2∠ACB＝2∠B，
∴BM＝AM，
∴BK＝＝，
∵cosB＝＝，
∴＝，
∴AM＝BM＝，
∴MG＝BG﹣BM
＝4﹣
＝，
∴＝，
∴CH＝．
∴CN＝2CH＝．
38．（2021秋 锦江区校级期中）如图1，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E是线段AC上一动点，连接BE，在BE下方作BF⊥BE，且BF＝BE．
（1）求证：△ABE∽△CBF；
（2）如图2，P、Q分别是AD和DE的中点，猜想PQ与CF的数量关系，并说明理由；
（3）连接EF，交BC于G，若BE＝，请作出图形，并求CG的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵BF⊥BE，
∴∠EBF＝90°，
∴∠ABC＝∠EFB，
∴∠ABC﹣∠EBC＝∠EBF﹣∠EBC，
∴∠ABE＝∠CBF，
又∵＝，
∴△ABE∽△CBF；
（2）解：PQ＝CF，理由如下：
由（1）知，
△ABE∽△CBF，
∴＝＝，∠BCF＝∠BAC，
∴AE＝CF，∠BCF+∠ACB＝∠BAC+∠ACB＝90°，
即∠ACF＝90°，
∵P、Q分别是AD和DE的中点，
∴PQ＝AE
＝CF
＝CF；
（3）如图1，
作EG⊥AB于G，
∵tan∠GAE＝＝＝，
∴设GE＝4a，
则AG＝3a，AE＝5a，
BG＝AB﹣AG＝6﹣3a，
在Rt△BGE中，
（6﹣3a）2+（4a）2＝（）2，
∴a1＝，a2＝，
如图2，
作GH⊥CF于H，
当a＝时，
AE＝5a＝，
∴CF＝＝×＝，
∵AC＝10，AE＝，
∴CE＝，
∵△ABE∽△CBF，
∴∠GCF＝∠BAE，
∴tan∠GCF＝tan∠BAE＝＝，
∴设GH＝4x，CH＝3x，
则CG＝5x，
在Rt△GHF中，
tan∠GFH＝＝，
∴＝＝，
∴FH＝x，
由FH+CH＝CF得，
+3x＝，
∴x＝，
∴CG＝5x＝，
如图3，
当a＝时，
AE＝5a＝6，
∴CF＝AE＝8，
∴CE＝4，
∴FH＝8x，
∴8x+3x＝8，
∴x＝，
∴CG＝5x＝，
综上所述，CG＝或．
39．（2020秋 衢州期末）已知在矩形ABCD中，tan∠DBC＝，BC＝8，点E在射线OD上，连接EC，在射线BC上取点F，使得EF＝EC，射线EF与射线AC交于点P．
（1）如图，当点E在线段OD上（不包括O、D），求证：△CPF∽△BEC；
（2）在（1）的条件下，设CF＝x，△PFC的面积为y，求y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围；
（3）当＝时，求OE的长．
【解答】（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵EF＝EC，
∴∠EFC＝∠ECF，
∴△CPF∽△BEC；
（2）解：如图1中，过点E作EH⊥CF于点H．
在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝8，
∴tan∠DBC＝＝，
∴CD＝4，
∵EF＝EC，EH⊥CF，
∴FH＝CH＝x，
∵tan∠DBC＝＝，
∴EH＝（8﹣x），
∵△CPF∽△BEC，
∴＝（）2，
∴＝（）2，
∴y＝﹣x3+x2（0＜x＜8）．
（3）解：∵＝，EF＝EC，
∴EC＝2PF，
∵△CPF∽△BEC，
∴＝＝，
∵EH⊥CF，EF＝EC，
∴FH＝CH，
∴BH：BC＝3：4，
∵EH∥CD，
∴BE：BD＝BH：BC，
∴BE＝BD，
在Rt△BCD中，BD＝＝＝4，
∴BD＝3，
∵OB＝OD＝2，
∴OE＝．
40．（2020秋 北碚区校级期末）如图1，△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，CE的延长线与BD交点P，CP与BA相交于点F，现将△ADE绕点A旋转．
（1）如图1，求证：BP⊥CP；
（2）如图2，若AF＝BF，猜想BP与CP的数量关系，并证明你猜想的结论；
（3）若AC＝DE＝2，在将△ADE绕点A旋转的过程中，请直接写出点P运动路径的长度．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴∠DAB＝∠EAC，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠BFD＝∠CFA，
∴∠BPF＝∠CAF＝90°，
∴BP⊥CP．
（2）解：如图2中，结论：PC＝3PB．
理由：过点A作AT⊥PC于T，AJ⊥BD交BD的延长线于J．
∵△BAD≌△CAE，
∴AT＝AJ（全等三角形的对应边上的高相等），
∵∠J＝∠ATP＝∠JPT＝90°，
∴四边形AJPT是矩形，
∵AJ＝AT，
∴四边形AJPT是正方形，
∴PT＝AT＝AJ＝PJ，
∵∠J＝∠ATC＝90°，AB＝AC，AJ＝AT，
∴Rt△ABT≌RtACT（HL），
∴CT＝BJ，
∵∠BPF＝∠ATF＝90°，∥BFP＝∠AFT，AF＝BF，
∴△BPF≌△ATF（AAS），
∴BP＝AT＝JP，
∴CT＝2PB＝2PT，
∴PC＝3BP．
（3）如图3中，
∵BP⊥PC，
∴∠BPC＝90°，
∴点P的BC为直径的圆上运动，设轨迹为，BC的中点为O，连接OM，ON．
当AE⊥CP时，∵AC＝DE＝2，
∴DE＝，
∴AD＝AE＝1，
∴AC＝2AE，
∴∠ACE＝30°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠BCE＝15°，
∵OM＝OC，
∴∠OMC＝∠OCM＝15°，
∴∠BON＝∠OCM+∠OMC＝30°，
∴∠BOM的最小值为30°，
同法可证，∠NOC的最小值为30°，
∴∠MON＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵BC＝AC＝2，
∴OM＝ON＝OB＝，
∴点P的运动轨迹的长＝2×＝π