2021-2022学年华东师大版九年级数学上册第二十四章解直角三角形 期末综合复习训练（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年华东师大版九年级数学上册第二十四章解直角三角形 期末综合复习训练（Word版含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 524.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-04 23:29:52 | ||
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文档简介
2021-2022学年华师大版九年级数学上册《解直角三角形》期末综合复习训练（附答案）
1．如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC等于（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在C处测得旗杆AB的顶端A的仰角为30°，向旗杆前进10米到达D处，在D处测得A的仰角为60°，则旗杆的高为（ ）米．
A．5+3 B．10 C．5 D．5+5
3．如图，垂直于地面的通信基地AB建在陡峭的山坡BC上，该山坡的坡度i＝1：2.4．小明为了测得通信基地AB的高度，他首先在C处测得山脚与通信基地AB的水平距离CD＝156米，然后沿着斜坡走了52米到达E处，他在E处测得通信基地顶端A的仰角为60°，则通信基地AB的高度约为（ ）（参考数据：≈1.414，≈1.732）
A．136米 B．142米 C．148米 D．87米
4．如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则cos∠ACB的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图1，是我们经常看到的一种折叠桌子，它是由下面的支架AD、BC与桌面构成，如图2，已知OA＝OB＝OC＝OD＝20cm，∠COD＝60°，则点A到地面（CD所在的平面）的距离是（ ）
A．30cm B．60cm C．40cm D．60cm
6．如图，一个长方体木箱沿斜面滑至如图位置时，AB＝2m，木箱高BE＝1m，斜面坡角为α，则木箱端点E距地面AC的高度表示为（ ）m．
A．+2sinα B．2cosα+sinα
C．cosα+2sinα D．tanα+2sinα
7．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，连接AB、AC，则sin∠BAC的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA＝，则CD的值为（ ）
A．2 B． C． D．
9．如图所示，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在交点处，则∠ABC的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A，若AC＝4，cosA＝，则BD的长度为 ．
11．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB，若S△ACD：S△BCD＝3：2，则cos∠ACB＝ ．
12．如图，热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋楼顶部的俯角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球A处与地面距离为150m，则这栋楼的高度是 m．
13．如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝10米，AE＝21米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
（1）求点B距水平地面AE的高度；
（2）求广告牌CD的高度．（结果精确到0.1米）
14．测量计算是日常生活中常见的问题，如图，建筑物BC的屋顶有一根旗杆AB，从地面上D点处观测旗杆顶点A的仰角为50°，观测旗杆底部B点的仰角为45°．若已知旗杆的高度AB＝5米，求建筑物BC的高度．（参考数据：sin50°≈0.8，tan50°≈1.2）
15．如图某船由西向东航行，在点A处测得小岛O在北偏东60°方向，船航行了10海里后到达点B．这时测得小岛O在北偏东45°方向，船继续航行到点C时，测得小岛O恰好在船的正北方，求此时船到小岛的距离．（结果保留根号）
16．如图，为了测量旗杆AB的高，一位学生在教学楼距地面6m高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为59°，旗杆底部B点的俯角为45°．求旗杆AB的高．（结果
精确到个位）[参考数据：sin59°＝0.86，cos59°＝0.52，tan59°＝1.67]
17．如图，楼顶上有一个广告牌AB，从与楼BC相距12米的D处测得广告牌顶部A的仰角为37°，测得广告牌底部B的仰角为30°，求广告牌AB的高度．（结果保留根号，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
18．如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为29.5°和45°，如果这时气球的高度CD为80米，且点A、D、B在同一直线上，求建筑物A、B之间的距离（结果精确到1米）．
[参考数据：sin29.5°≈0.49，cos29.5°≈0.87，tan29.5°≈0.57]
19．2021年9月16号，泸县发生地震，救援队及时达到现场参与救援，在救援中用热气球进行探测．如图，探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶部B的仰角（∠BAD）为45°，看这栋高楼底部C的俯角（∠CAD）为60°，热气球与高楼的水平距离AD为50m，求这栋高楼的高度（结果保留根号）．
20．如图，平地上两栋建筑物AB和CD相距30m，在建筑物AB的顶部测得建筑物CD底部的俯角为26.6°，测得建筑物CD顶部的仰角为45°．求建筑物CD的高度．（参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50）
21．大汉雄风坐落于河南省永城市芒砀山主峰，是为纪念刘邦在芒砀山斩蛇起义创建四百年大汉王朝而建，某数学兴趣小组想测量底座之上部分雕像AB的高度，如图在和雕塑底座上端水平的山坡C处测得雕塑顶端B的仰角为58.5°，沿山坡上行10米到达点D，测得雕塑顶端B的仰角为45°，已知山坡的坡度i＝1：3，且A，C在同一水平地面上，求塑像AB的高度．（测倾器高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：sin58.5°≈0.85，cos58.5°≈0.52，tan58.5°≈1.63，≈1.4，≈1.7，≈3.2．）
22．如图，大楼AB高10米，远处有一雕像（含底座）．某人在楼顶A测得雕像顶C点的仰角为30°，此人从楼底B向雕像水平方向前进2米到达点E，在E处测得C点的仰角为53°．已知雕像底座DF的高是8米，求雕像CF的高．（参考数据：sin53°＝，cos53°＝，tan53°＝，≈1.7，计算结果精确到1m．）
23．如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路．现新修一条路AC到公路l，小明测量出∠ACD＝31°，∠ABD＝45°，BC＝60m．请你帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度？（精确到0.1m；参考数据tan31°≈0.60，sin31°≈0.51，cos31°≈0.86）．
24．为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习．如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向（30+30）km处．学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是40km/h，第二组乘公交车，速度是35km/h．
（1）求学校到红色文化基地A的距离？
（2）哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）．
25．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在AC，AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，AE＝6，cosA＝．
（1）求CD的长；
（2）求tan∠DBC的值．
26．如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向，距离小岛80nmile的点A处，它沿着点A的南偏东15°方向航行．
（1）渔船航行多远与小岛B的距离最近？（结果保留根号）
（2）渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行40nmile到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问：救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少？（结果保留根号）
参考答案
1．解：连接CD，点D在格点上，如右图所示：
设每个小正方形的边长为a，
则CD＝＝a，
AC＝＝a，
AD＝＝2a，
∴CD2+AD2＝（a）2+（2a）2＝（a）2＝AC2，
∴△ACD是直角三角形，
∴sin∠BAC＝sin∠CAD＝＝＝，
故选：D．
2．解：由题意得：∠C＝30°，∠ADB＝60°，
∴∠DAC＝∠ADB﹣∠C＝30°，
∴∠DAC＝∠C，
∴AD＝DC＝10米，
在Rt△ADB中，sin∠ADB＝，
则AB＝AD sin∠ADB＝10×＝5（米），
故选：C．
3．解：如图作EH⊥CD于H，EF⊥AD于F．
在Rt△ECH中，∵EH：CH＝1：2.4，EC＝52m，
∴EH＝DF＝20m，CH＝48m，
∴EF＝DH＝CD﹣CH＝156﹣48＝108m，
在Rt△AEF中，∵∠AEF＝60°，
∴AF＝EF tan60°＝108，
∴AD＝AF+DF＝108+20≈207m，
在Rt△BCD中，∵BD：CD＝1：2.4，
∴BD＝65m，
∴AB＝AD﹣BD＝207﹣65＝142m，
故选：B．
4．解：过A作AD⊥BC于D，
∴DC＝1，AD＝3，
∴AC＝，
∴cos∠ACB＝，
故选：D．
5．解：如图，连接CD，过O作OF⊥CD于点F，延长FO，交AB于点E，
∵OA＝OB＝OC＝OD＝20cm，∠COD＝60°，
∴∠COF＝30°，
∴OF＝OC cos∠COF＝＝30（cm），
∴EF＝2OF＝60（cm），
即点A到地面（CD所在的平面）的距离是60cm．
故选：D．
6．解：过E作EN⊥AC于N，交AB于M，过B作BG⊥AC于G，BH⊥EN于H，如图所示：
则四边形BHNG是矩形，
∴HN＝BG，
在Rt△ABG中，∠BAG＝α，sin∠BAG＝，
∴BG＝AB sin∠BAG＝2sinα（m），
∴HN＝2sinα（m），
∵∠EBM＝∠ANM＝90°，∠BME＝∠AMN，
∴∠BEM＝∠MAN＝α，
在Rt△EHB中，∠BEM＝α，BE＝1m，
∵oos∠BEM＝，
∴EH＝BE cos∠BEM＝1×cosα＝cosα（m），
∴EN＝EH+HN＝（cosα+2sinα）m，
即木箱端点E距地面AC的高度为（cosα+2sinα）m，
故选：C．
7．解：连接BC，
∵AC2＝42+22＝20，
AB2＝32+42＝25，
BC2＝12+22＝5，
∴AC2+BC2＝AB2．
∴∠ACB＝90°．
∴sin∠BAC＝＝．
故选：B．
8．解：延长AD、BC，两线交于O，
在Rt△ABO中，∠B＝90°，tanA＝＝，AB＝3，
∴OB＝4，
∵BC＝2，
∴OC＝OB﹣BC＝4﹣2＝2，
在Rt△ABO中，∠B＝90°，AB＝3，OB＝4，
由勾股定理得：AO＝5，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ODC＝90°＝∠B，
∵∠O＝∠O，
∴△ODC∽△OBA，
∴＝，
∴＝，
解得：DC＝，
故选：D．
9．解：如图，取BC的中点D，连接AD，
由网格可得，AC＝AB＝＝2，
∴AD⊥BC，
Rt△ABD中，
∵AD＝＝3，
∴sin∠ABC＝＝＝．
故选：D．
10．解：∵∠C＝90°，AC＝4，cosA＝，
∴AB＝5，
∴BC＝＝＝3，
∵∠DBC＝∠A．
∴cos∠DBC＝cos∠A＝＝，
∴BD＝3×＝，
故答案为：．
11．解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，DN⊥AC于N，DM⊥BC于M．
∵CD平分∠ACB，DM⊥BC于M，DN⊥AC于点N，
∴DM＝DN．
∵，，
∴S△ACD：S△BCD＝AC：BC＝3：2．
∵AB＝AC，AE⊥BC，
∴BE＝CE＝．
∴CE：AC＝1：3．
∴cos∠ACB＝．
故答案为：．
12．解：如图，过A作AH⊥BC，交CB的延长线于点H，
在Rt△ACD中，
∵∠CAD＝30°，AD＝150m，
∴CD＝AD tan30°＝150×＝50（m），
∴AH＝CD＝50m．
在Rt△ABH中，
∵∠BAH＝30°，AH＝50m，
∴BH＝AH tan30°＝50×＝50（m），
∴BC＝AD﹣BH＝150﹣50＝100（m），
答：这栋楼的高度为100m．
故答案为：100．
13．解：（1）如图，过点B作BM⊥AE，BN⊥CE，垂足分别为M、N，
由题意可知，∠CBN＝45°，∠DAE＝53°，i＝1：，AB＝10米，AE＝21米．
∵i＝1：＝＝tan∠BAM，
∴∠BAM＝30°，
∴BM＝AB＝5（米），
即点B距水平地面AE的高度为5米；
（2）在Rt△ABM中，∠BAM＝30°，
∴BM＝AB＝5（米）＝NE，AM＝AB＝5（米），
∴ME＝AM+AE＝（5+21）米＝BN，
∵∠CBN＝45°，
∴CN＝BN＝ME＝（5+21）米，
∴CE＝CN+NE＝（5+26）米，
在Rt△ADE中，∠DAE＝53°，AE＝21米，
∴DE＝AE tan53°≈21×＝28（米），
∴CD＝CE﹣DE＝5+26﹣28＝5﹣2≈6.7（米），
即广告牌CD的高度约为6.7米．
14．解：设BC＝x米，则AC＝（x+5）米，
在Rt△BDC中，∠BDC＝45°，
∴DC＝BC＝x米，
在Rt△ADC中，tan∠ADC＝，即＝1.2，
解得：x＝25，
答：建筑物BC的高度为25米．
15．解：设OC＝x海里，
依题意得∠OAB＝30°，∠OBC＝∠BOC＝45°，作OC⊥AB，
∴BC＝OC＝x海里，AC＝x海里，
∵AC﹣BC＝10，
∴（﹣1）x＝10，
解得x＝＝5（+1），
答：船与小岛的距离是5（+1）海里．
16．解：过C作CD⊥AB于D，
则∠ACD＝59°，∠DCB＝45°，BD＝6m，
在Rt△BCD中，∵∠BDC＝90°，∠BCD＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BD＝CD＝6（m），
在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，∠ACD＝59°，
∴tan59°＝，
∴AD＝CD tan59°≈6×1.67≈10（m），
∴AB＝AD+BD＝10+6＝16（m），
答：旗杆AB的高约为16m．
17．解：在Rt△BCD中，BC＝DC tan30°＝12×＝4（m），
在Rt△ACD中，AC＝DC tan37°≈12×0.75＝9（m），
∴AB＝AC﹣BC＝（9﹣4）（m）．
答：广告牌AB的高度约为（9﹣4）m．
18．解：由已知得：∠ECA＝29.5°，∠FCB＝45°，CD＝80米，EF∥AB，CD⊥AB，
∴∠A＝∠ECA＝29.5°，∠B＝∠FCB＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BD＝CD＝80米，
在Rt△ACD中，∠CDA＝90°，tanA＝，
∴AD＝＝≈140.4（米），
∴AB＝AD+BD≈140.4+80≈220（米），
即建筑物A、B之间的距离约为220米．
19．解：在Rt△ABD中，tan∠BAD＝，
∴BD＝ADtan45°＝50×1＝50（m），
在Rt△ADC中，tan∠CAD＝，
∴CD＝ADtan60°＝50×＝50（m），
∴BC＝BD+CD＝（50+50）m，
答：这栋高楼的高度为（50+50）m．
20．解：过A点作AE⊥CD于E点，
由题意得，四边形ABDE为矩形，
∵∠DAE＝26.6°，BD＝30m，
∴AE＝BD＝30m，tan26.6°＝，
∴DE＝tan26.6° AE＝0.50×30＝15m，
∵∠CAE＝45°，
∴∠ACE＝45°，
∴AE＝EC，
∴CE＝30m，
∴CD＝CE+ED＝30+15＝45（m），
∴建筑物CD的高度是45m．
21．解：过点 D作 DE⊥AC 交 AC于点 E，DF⊥AB交 AB于点 F，
∵i＝1：3，CD＝10，
设 DE＝xm，则 CE＝3xm，
在 Rt△CED 中，x2+（3x）2＝102，
解得：x＝或x＝﹣（舍），
∴DE＝m，则CE＝3m，
∵∠BDF＝∠DBF＝45°，
∴BF＝DF，
设 BF＝DF＝m 米，则 AB＝（m+）米，AC＝（m﹣3）米，
在 Rt△CAB 中，，
解得：m≈29.9，
∴AB＝29.9+≈33.1（米），
答：塑像的高度约为 33.1米．
22．解：如图，过点A作AG⊥CD于G，设CD＝x，
∴四边形ABDG是矩形，
∴AG＝BD，GD＝AB，
∵∠CED＝53°，
∴DE＝，
∴AG＝BD＝+2，
∵∠CAG＝30°，
∴CG＝AG tan30°，即CD﹣GD＝AG tan30°，
∴，
解得：x≈20，
∴CF＝CD﹣DF＝20﹣8＝12（米），
答：雕像CF的高为12米．
23．解：设AD＝xm，
∵∠ABD＝45°，
∴BD＝AD＝xm，
∵∠ACD＝31°，BC＝60m，
∴tan31°＝＝≈0.60，
解得x＝90.0，
∴他家到公路l的距离AD的长度约90.0m．
24．解：（1）作BD⊥AC于D．
依题意得，
∠BAE＝45°，∠ABC＝105°，∠CAE＝15°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝45°．
在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠ACB＝45°，
∴∠CBD＝45°，
∴∠CBD＝∠DCB，
∴BD＝CD，
设BD＝xkm，则CD＝xkm，
在Rt△ABD中，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BD＝2xkm，tan30°＝，
∴＝，
∴AD＝x，
在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠DCB＝45°，
∴sin∠DCB＝＝，
∴BC＝x，
∵CD+AD＝30+30，
∴x+x＝30+30，
∴x＝30，
∴AB＝2x＝60（km）；
（2）第二组先到达目的地，
理由：∵BD＝30km，
∴BC＝x＝30km，
第一组用时：60÷40＝1.5（h）；第二组用时：30÷35＝（h），
∵＜1.5，
∴第二组先到达目的地，
答：第二组先到达目的地．
25．解：（1）在Rt△ADE中，∠AED＝90°，AE＝6，cosA＝，
∴AD＝＝10，
∴＝＝8．
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BC，
∴CD＝DE＝8；
（2）由（1）AD＝10，DC＝8，
∴AC＝AD+DC＝18，
在△ADE与△ABC中，
∵∠A＝∠A，∠AED＝∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，
∴，即＝，
∴BC＝24，
∴．
26．解：（1）过点B作BM⊥AC于点M，如图所示：
由题意，知∠BAM＝45°，则∠ABM＝45°．
在Rt△ABM中，∠BAM＝45°，AB＝80nmile，
∴△ABM是等腰直角三角形，
∴BM＝AM＝AB＝40（nmile）
答：渔船航行40nmile与小岛B的距离最近．
（2）∵BM＝40nmile，MC＝40nmile，
∴，
∴∠MBC＝60°，
∴∠CBG＝180°﹣60°﹣45°﹣30°＝45°，
在Rt△BCM中，∠MBC＝60°，
∴∠BCM＝30°，
∴BC＝2BM＝80（nmile），
答：救援队从B处出发沿着点B的南偏东45°方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是80nmile．
1．如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC等于（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在C处测得旗杆AB的顶端A的仰角为30°，向旗杆前进10米到达D处，在D处测得A的仰角为60°，则旗杆的高为（ ）米．
A．5+3 B．10 C．5 D．5+5
3．如图，垂直于地面的通信基地AB建在陡峭的山坡BC上，该山坡的坡度i＝1：2.4．小明为了测得通信基地AB的高度，他首先在C处测得山脚与通信基地AB的水平距离CD＝156米，然后沿着斜坡走了52米到达E处，他在E处测得通信基地顶端A的仰角为60°，则通信基地AB的高度约为（ ）（参考数据：≈1.414，≈1.732）
A．136米 B．142米 C．148米 D．87米
4．如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则cos∠ACB的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图1，是我们经常看到的一种折叠桌子，它是由下面的支架AD、BC与桌面构成，如图2，已知OA＝OB＝OC＝OD＝20cm，∠COD＝60°，则点A到地面（CD所在的平面）的距离是（ ）
A．30cm B．60cm C．40cm D．60cm
6．如图，一个长方体木箱沿斜面滑至如图位置时，AB＝2m，木箱高BE＝1m，斜面坡角为α，则木箱端点E距地面AC的高度表示为（ ）m．
A．+2sinα B．2cosα+sinα
C．cosα+2sinα D．tanα+2sinα
7．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，连接AB、AC，则sin∠BAC的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA＝，则CD的值为（ ）
A．2 B． C． D．
9．如图所示，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在交点处，则∠ABC的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A，若AC＝4，cosA＝，则BD的长度为 ．
11．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB，若S△ACD：S△BCD＝3：2，则cos∠ACB＝ ．
12．如图，热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋楼顶部的俯角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球A处与地面距离为150m，则这栋楼的高度是 m．
13．如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝10米，AE＝21米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
（1）求点B距水平地面AE的高度；
（2）求广告牌CD的高度．（结果精确到0.1米）
14．测量计算是日常生活中常见的问题，如图，建筑物BC的屋顶有一根旗杆AB，从地面上D点处观测旗杆顶点A的仰角为50°，观测旗杆底部B点的仰角为45°．若已知旗杆的高度AB＝5米，求建筑物BC的高度．（参考数据：sin50°≈0.8，tan50°≈1.2）
15．如图某船由西向东航行，在点A处测得小岛O在北偏东60°方向，船航行了10海里后到达点B．这时测得小岛O在北偏东45°方向，船继续航行到点C时，测得小岛O恰好在船的正北方，求此时船到小岛的距离．（结果保留根号）
16．如图，为了测量旗杆AB的高，一位学生在教学楼距地面6m高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为59°，旗杆底部B点的俯角为45°．求旗杆AB的高．（结果
精确到个位）[参考数据：sin59°＝0.86，cos59°＝0.52，tan59°＝1.67]
17．如图，楼顶上有一个广告牌AB，从与楼BC相距12米的D处测得广告牌顶部A的仰角为37°，测得广告牌底部B的仰角为30°，求广告牌AB的高度．（结果保留根号，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
18．如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为29.5°和45°，如果这时气球的高度CD为80米，且点A、D、B在同一直线上，求建筑物A、B之间的距离（结果精确到1米）．
[参考数据：sin29.5°≈0.49，cos29.5°≈0.87，tan29.5°≈0.57]
19．2021年9月16号，泸县发生地震，救援队及时达到现场参与救援，在救援中用热气球进行探测．如图，探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶部B的仰角（∠BAD）为45°，看这栋高楼底部C的俯角（∠CAD）为60°，热气球与高楼的水平距离AD为50m，求这栋高楼的高度（结果保留根号）．
20．如图，平地上两栋建筑物AB和CD相距30m，在建筑物AB的顶部测得建筑物CD底部的俯角为26.6°，测得建筑物CD顶部的仰角为45°．求建筑物CD的高度．（参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50）
21．大汉雄风坐落于河南省永城市芒砀山主峰，是为纪念刘邦在芒砀山斩蛇起义创建四百年大汉王朝而建，某数学兴趣小组想测量底座之上部分雕像AB的高度，如图在和雕塑底座上端水平的山坡C处测得雕塑顶端B的仰角为58.5°，沿山坡上行10米到达点D，测得雕塑顶端B的仰角为45°，已知山坡的坡度i＝1：3，且A，C在同一水平地面上，求塑像AB的高度．（测倾器高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：sin58.5°≈0.85，cos58.5°≈0.52，tan58.5°≈1.63，≈1.4，≈1.7，≈3.2．）
22．如图，大楼AB高10米，远处有一雕像（含底座）．某人在楼顶A测得雕像顶C点的仰角为30°，此人从楼底B向雕像水平方向前进2米到达点E，在E处测得C点的仰角为53°．已知雕像底座DF的高是8米，求雕像CF的高．（参考数据：sin53°＝，cos53°＝，tan53°＝，≈1.7，计算结果精确到1m．）
23．如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路．现新修一条路AC到公路l，小明测量出∠ACD＝31°，∠ABD＝45°，BC＝60m．请你帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度？（精确到0.1m；参考数据tan31°≈0.60，sin31°≈0.51，cos31°≈0.86）．
24．为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习．如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向（30+30）km处．学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是40km/h，第二组乘公交车，速度是35km/h．
（1）求学校到红色文化基地A的距离？
（2）哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）．
25．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在AC，AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，AE＝6，cosA＝．
（1）求CD的长；
（2）求tan∠DBC的值．
26．如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向，距离小岛80nmile的点A处，它沿着点A的南偏东15°方向航行．
（1）渔船航行多远与小岛B的距离最近？（结果保留根号）
（2）渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行40nmile到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问：救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少？（结果保留根号）
参考答案
1．解：连接CD，点D在格点上，如右图所示：
设每个小正方形的边长为a，
则CD＝＝a，
AC＝＝a，
AD＝＝2a，
∴CD2+AD2＝（a）2+（2a）2＝（a）2＝AC2，
∴△ACD是直角三角形，
∴sin∠BAC＝sin∠CAD＝＝＝，
故选：D．
2．解：由题意得：∠C＝30°，∠ADB＝60°，
∴∠DAC＝∠ADB﹣∠C＝30°，
∴∠DAC＝∠C，
∴AD＝DC＝10米，
在Rt△ADB中，sin∠ADB＝，
则AB＝AD sin∠ADB＝10×＝5（米），
故选：C．
3．解：如图作EH⊥CD于H，EF⊥AD于F．
在Rt△ECH中，∵EH：CH＝1：2.4，EC＝52m，
∴EH＝DF＝20m，CH＝48m，
∴EF＝DH＝CD﹣CH＝156﹣48＝108m，
在Rt△AEF中，∵∠AEF＝60°，
∴AF＝EF tan60°＝108，
∴AD＝AF+DF＝108+20≈207m，
在Rt△BCD中，∵BD：CD＝1：2.4，
∴BD＝65m，
∴AB＝AD﹣BD＝207﹣65＝142m，
故选：B．
4．解：过A作AD⊥BC于D，
∴DC＝1，AD＝3，
∴AC＝，
∴cos∠ACB＝，
故选：D．
5．解：如图，连接CD，过O作OF⊥CD于点F，延长FO，交AB于点E，
∵OA＝OB＝OC＝OD＝20cm，∠COD＝60°，
∴∠COF＝30°，
∴OF＝OC cos∠COF＝＝30（cm），
∴EF＝2OF＝60（cm），
即点A到地面（CD所在的平面）的距离是60cm．
故选：D．
6．解：过E作EN⊥AC于N，交AB于M，过B作BG⊥AC于G，BH⊥EN于H，如图所示：
则四边形BHNG是矩形，
∴HN＝BG，
在Rt△ABG中，∠BAG＝α，sin∠BAG＝，
∴BG＝AB sin∠BAG＝2sinα（m），
∴HN＝2sinα（m），
∵∠EBM＝∠ANM＝90°，∠BME＝∠AMN，
∴∠BEM＝∠MAN＝α，
在Rt△EHB中，∠BEM＝α，BE＝1m，
∵oos∠BEM＝，
∴EH＝BE cos∠BEM＝1×cosα＝cosα（m），
∴EN＝EH+HN＝（cosα+2sinα）m，
即木箱端点E距地面AC的高度为（cosα+2sinα）m，
故选：C．
7．解：连接BC，
∵AC2＝42+22＝20，
AB2＝32+42＝25，
BC2＝12+22＝5，
∴AC2+BC2＝AB2．
∴∠ACB＝90°．
∴sin∠BAC＝＝．
故选：B．
8．解：延长AD、BC，两线交于O，
在Rt△ABO中，∠B＝90°，tanA＝＝，AB＝3，
∴OB＝4，
∵BC＝2，
∴OC＝OB﹣BC＝4﹣2＝2，
在Rt△ABO中，∠B＝90°，AB＝3，OB＝4，
由勾股定理得：AO＝5，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ODC＝90°＝∠B，
∵∠O＝∠O，
∴△ODC∽△OBA，
∴＝，
∴＝，
解得：DC＝，
故选：D．
9．解：如图，取BC的中点D，连接AD，
由网格可得，AC＝AB＝＝2，
∴AD⊥BC，
Rt△ABD中，
∵AD＝＝3，
∴sin∠ABC＝＝＝．
故选：D．
10．解：∵∠C＝90°，AC＝4，cosA＝，
∴AB＝5，
∴BC＝＝＝3，
∵∠DBC＝∠A．
∴cos∠DBC＝cos∠A＝＝，
∴BD＝3×＝，
故答案为：．
11．解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，DN⊥AC于N，DM⊥BC于M．
∵CD平分∠ACB，DM⊥BC于M，DN⊥AC于点N，
∴DM＝DN．
∵，，
∴S△ACD：S△BCD＝AC：BC＝3：2．
∵AB＝AC，AE⊥BC，
∴BE＝CE＝．
∴CE：AC＝1：3．
∴cos∠ACB＝．
故答案为：．
12．解：如图，过A作AH⊥BC，交CB的延长线于点H，
在Rt△ACD中，
∵∠CAD＝30°，AD＝150m，
∴CD＝AD tan30°＝150×＝50（m），
∴AH＝CD＝50m．
在Rt△ABH中，
∵∠BAH＝30°，AH＝50m，
∴BH＝AH tan30°＝50×＝50（m），
∴BC＝AD﹣BH＝150﹣50＝100（m），
答：这栋楼的高度为100m．
故答案为：100．
13．解：（1）如图，过点B作BM⊥AE，BN⊥CE，垂足分别为M、N，
由题意可知，∠CBN＝45°，∠DAE＝53°，i＝1：，AB＝10米，AE＝21米．
∵i＝1：＝＝tan∠BAM，
∴∠BAM＝30°，
∴BM＝AB＝5（米），
即点B距水平地面AE的高度为5米；
（2）在Rt△ABM中，∠BAM＝30°，
∴BM＝AB＝5（米）＝NE，AM＝AB＝5（米），
∴ME＝AM+AE＝（5+21）米＝BN，
∵∠CBN＝45°，
∴CN＝BN＝ME＝（5+21）米，
∴CE＝CN+NE＝（5+26）米，
在Rt△ADE中，∠DAE＝53°，AE＝21米，
∴DE＝AE tan53°≈21×＝28（米），
∴CD＝CE﹣DE＝5+26﹣28＝5﹣2≈6.7（米），
即广告牌CD的高度约为6.7米．
14．解：设BC＝x米，则AC＝（x+5）米，
在Rt△BDC中，∠BDC＝45°，
∴DC＝BC＝x米，
在Rt△ADC中，tan∠ADC＝，即＝1.2，
解得：x＝25，
答：建筑物BC的高度为25米．
15．解：设OC＝x海里，
依题意得∠OAB＝30°，∠OBC＝∠BOC＝45°，作OC⊥AB，
∴BC＝OC＝x海里，AC＝x海里，
∵AC﹣BC＝10，
∴（﹣1）x＝10，
解得x＝＝5（+1），
答：船与小岛的距离是5（+1）海里．
16．解：过C作CD⊥AB于D，
则∠ACD＝59°，∠DCB＝45°，BD＝6m，
在Rt△BCD中，∵∠BDC＝90°，∠BCD＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BD＝CD＝6（m），
在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，∠ACD＝59°，
∴tan59°＝，
∴AD＝CD tan59°≈6×1.67≈10（m），
∴AB＝AD+BD＝10+6＝16（m），
答：旗杆AB的高约为16m．
17．解：在Rt△BCD中，BC＝DC tan30°＝12×＝4（m），
在Rt△ACD中，AC＝DC tan37°≈12×0.75＝9（m），
∴AB＝AC﹣BC＝（9﹣4）（m）．
答：广告牌AB的高度约为（9﹣4）m．
18．解：由已知得：∠ECA＝29.5°，∠FCB＝45°，CD＝80米，EF∥AB，CD⊥AB，
∴∠A＝∠ECA＝29.5°，∠B＝∠FCB＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BD＝CD＝80米，
在Rt△ACD中，∠CDA＝90°，tanA＝，
∴AD＝＝≈140.4（米），
∴AB＝AD+BD≈140.4+80≈220（米），
即建筑物A、B之间的距离约为220米．
19．解：在Rt△ABD中，tan∠BAD＝，
∴BD＝ADtan45°＝50×1＝50（m），
在Rt△ADC中，tan∠CAD＝，
∴CD＝ADtan60°＝50×＝50（m），
∴BC＝BD+CD＝（50+50）m，
答：这栋高楼的高度为（50+50）m．
20．解：过A点作AE⊥CD于E点，
由题意得，四边形ABDE为矩形，
∵∠DAE＝26.6°，BD＝30m，
∴AE＝BD＝30m，tan26.6°＝，
∴DE＝tan26.6° AE＝0.50×30＝15m，
∵∠CAE＝45°，
∴∠ACE＝45°，
∴AE＝EC，
∴CE＝30m，
∴CD＝CE+ED＝30+15＝45（m），
∴建筑物CD的高度是45m．
21．解：过点 D作 DE⊥AC 交 AC于点 E，DF⊥AB交 AB于点 F，
∵i＝1：3，CD＝10，
设 DE＝xm，则 CE＝3xm，
在 Rt△CED 中，x2+（3x）2＝102，
解得：x＝或x＝﹣（舍），
∴DE＝m，则CE＝3m，
∵∠BDF＝∠DBF＝45°，
∴BF＝DF，
设 BF＝DF＝m 米，则 AB＝（m+）米，AC＝（m﹣3）米，
在 Rt△CAB 中，，
解得：m≈29.9，
∴AB＝29.9+≈33.1（米），
答：塑像的高度约为 33.1米．
22．解：如图，过点A作AG⊥CD于G，设CD＝x，
∴四边形ABDG是矩形，
∴AG＝BD，GD＝AB，
∵∠CED＝53°，
∴DE＝，
∴AG＝BD＝+2，
∵∠CAG＝30°，
∴CG＝AG tan30°，即CD﹣GD＝AG tan30°，
∴，
解得：x≈20，
∴CF＝CD﹣DF＝20﹣8＝12（米），
答：雕像CF的高为12米．
23．解：设AD＝xm，
∵∠ABD＝45°，
∴BD＝AD＝xm，
∵∠ACD＝31°，BC＝60m，
∴tan31°＝＝≈0.60，
解得x＝90.0，
∴他家到公路l的距离AD的长度约90.0m．
24．解：（1）作BD⊥AC于D．
依题意得，
∠BAE＝45°，∠ABC＝105°，∠CAE＝15°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝45°．
在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠ACB＝45°，
∴∠CBD＝45°，
∴∠CBD＝∠DCB，
∴BD＝CD，
设BD＝xkm，则CD＝xkm，
在Rt△ABD中，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BD＝2xkm，tan30°＝，
∴＝，
∴AD＝x，
在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠DCB＝45°，
∴sin∠DCB＝＝，
∴BC＝x，
∵CD+AD＝30+30，
∴x+x＝30+30，
∴x＝30，
∴AB＝2x＝60（km）；
（2）第二组先到达目的地，
理由：∵BD＝30km，
∴BC＝x＝30km，
第一组用时：60÷40＝1.5（h）；第二组用时：30÷35＝（h），
∵＜1.5，
∴第二组先到达目的地，
答：第二组先到达目的地．
25．解：（1）在Rt△ADE中，∠AED＝90°，AE＝6，cosA＝，
∴AD＝＝10，
∴＝＝8．
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BC，
∴CD＝DE＝8；
（2）由（1）AD＝10，DC＝8，
∴AC＝AD+DC＝18，
在△ADE与△ABC中，
∵∠A＝∠A，∠AED＝∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，
∴，即＝，
∴BC＝24，
∴．
26．解：（1）过点B作BM⊥AC于点M，如图所示：
由题意，知∠BAM＝45°，则∠ABM＝45°．
在Rt△ABM中，∠BAM＝45°，AB＝80nmile，
∴△ABM是等腰直角三角形，
∴BM＝AM＝AB＝40（nmile）
答：渔船航行40nmile与小岛B的距离最近．
（2）∵BM＝40nmile，MC＝40nmile，
∴，
∴∠MBC＝60°，
∴∠CBG＝180°﹣60°﹣45°﹣30°＝45°，
在Rt△BCM中，∠MBC＝60°，
∴∠BCM＝30°，
∴BC＝2BM＝80（nmile），
答：救援队从B处出发沿着点B的南偏东45°方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是80nmile．