2021-2022学年北师大版九年级数学下 册第三章 圆选择题与填空题培优专练（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年北师大版九年级数学下 册第三章 圆选择题与填空题培优专练（Word版含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-04 23:33:18 | ||
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文档简介
北师大版九下第三章 圆选择题与填空题培优专练
一、单选题
1.（2021九上·哈尔滨月考）如图，四边形ABCD内接于 ，如果它的一个外角 ，那么 的度数为（ ）
A. 64° B. 128° C. 20° D. 116°
2.（2021九上·阳信期中）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=25°，则∠D等于（ ）
A. 20° B. 30° C. 40° D. 50°
3.（2021九上·鄂尔多斯期中）已知矩形ABCD的边AB=15，BC=20，以点B为圆心作圆，使A，C，D三点至少有一点在⊙B内，且至少有一点在⊙B外，则⊙B的半径r的取值范围是（ ）.
A. r＞15 B. 15＜r＜20 C. 15＜r＜25 D. 20＜r＜25
4.（2021九上·罗庄期中）如图， 的内切圆 与 分别相切于点D ， E ， F ， 连接 ， ， ， ， ，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
5.（2021九上·金东期中）如图，在半径为5的⊙ 中， ， 是互相垂直的两条弦，垂足为 ， ，则 的长为（ ）
A. 3 B. 4 C. D.
6.（2021九上·宁波期中）如图，已知直线y x﹣3与x轴、y轴分别交于 A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA、PB，则△PAB面积的最大值是（ ）
A. 8 B. 12 C. D.
7.（2021·沈丘模拟）引理：在 中，若 为 的中点，则 .（中线长公式，不用证明，可以直接应用）根据这个引理，解决下面的问题：如图，在矩形 中， ， ，点 在以 为直径的半圆上运动，则 的最小值是（ ）
A. B. 38 C. 40 D. 68
8.（2020·东胜模拟）如图，在圆⊙O内有折线OABC，其中OA＝4，BC＝10，∠A＝∠B＝60°，则AB的长为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
9.（2020·青山模拟）如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P，从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H。设△OPH的内心为I，当点P在弧AB上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为( )
A. B. C. D. π
10.（2020·温州模拟）如图，△ABC中，AC＝3，BC＝ ，∠ACB＝60°，过点A作BC的平行线l，P为直线l上一动点，⊙O为△APC的外接圆，直线BP交⊙O于E点，则AE的最小值为（ ）
A. -1 B. 7-4 C. D. 1
11.（2020·黄石模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=3， ，以点C为圆心作⊙O与直线BD相切，点P是⊙O上的一个动点，连接AP交BD于点T，则 的最大值是（ ）
A. B. C. D. 3
12.（2020·鼓楼模拟）如图，△ABC中，∠BAC＝45°，∠ABC＝60°，AB＝4，D是边BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB、AC于点E、F，则弦EF长度的最小值为（ ）
A. B. C. 2 D. 2
13.（2020九上·龙马潭期末）如图， 的直径 的长为 ，弦 长为 ， 的平分线交 于D，则 长为（ ）
A. 7 B. 7 C. 8 D. 9
14.（2019九上·江都月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A(13,0)直线y=kx-3k+4与 交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为( )
A. 22 B. 24 C. D.
15.（2019九上·鼓楼月考）如图，已知直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB．则△PAB面积的最大值是（ ）
A. 8 B. 12 C. D.
16.（2019九上·无锡月考）如图，AB是⊙o直径，M，N是 上两点，C是 上任一点，∠ACB角平分线交⊙o于点D，∠BAC的平分线交CD于点E，当点C从M运动到N时，C、E两点的运动路径长之比为( )
A. B. C. D.
17.（2019·武汉模拟）如图，⊙O内切于正方形ABCD，边AD，CD分别与⊙O切于点E，F，点M、N分别在线段DE，DF上，且MN与⊙O相切，若△MBN的面积为8，则⊙O的半径为（ ）
A. B. 2 C. D. 2
18.以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y=﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（ ）
A. 0≤b＜2 B. ﹣2 C. ﹣22 D. ﹣2 ＜b＜2
19.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为( )
A. 3 B. 1+ C. 1+3 D. 1+
20.如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF＝ ∠A，tan∠CBF＝ ， 则CF的长为
（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
21.（2021九上·无棣期中）如图，已知圆O为 的内切圆，切点分别为D、E、F，且 ， ， ，则圆O的半径为 ．
22.（2021九上·鹿城期中）如图， 为 的直径， 点 是弧 的中点， 过点 作 于点 ， 延长 交 于点 ， 若 ， 则 的半径长为
23.（2021九上·衢州期中）如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，∠AMN＝40°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为 .
24.（2021九上·贵州期中）如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB=90°，∠ACB的角平分线交⊙O于D。若AC=6，BD=5 ，则BC的长为 。
25.（2021九上·高港月考）如图，∠MON＝45°，一直角三角尺△ABC的两个顶点C、A分别在OM，ON上移动，若AC＝6，则点O到AC距离的最大值为 .
26.（2021九上·温州期中）如图，已知⊙O的内接四边形ABCD，AB是直径，点C是 的中点，连结AC，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E，过点D作DG⊥AB于点G，若△ABC的面积为5，△DEC的面积为1．
（1）△ACD的面积为 ；
（2）DG∶AB= ．
27.（2021·阜宁模拟）如图，在直角坐称系中，半径为1的⊙A圆心A的坐标为（﹣1，0），点P为直线y＝﹣ x+2上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是 .
28.（2021·岳阳模拟）如图， 内接于⊙O， 平分 交 边于点E，过点D作⊙O的切线，过点A作 于点F，设 ，⊙O的半径为R， 则下列结论正确的是 .（写出所有正确结论的序号）
① ；② ；③ ；④ .
29.（2020九上·嘉兴期中）如图，C、D是以AB为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦CD始终保持不变，M是弦CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P．若CD=3，AB=5，PM最大值是________．
30.（2020九上·麻章期中）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（4,a）且（a>2）半径为4，函数 的图像被⊙P截得的弦AB的长为 ，则a的值是 ．
31.（2020九上·武汉月考）如图， 为 的直径，C为 上一动点，将 绕点A逆时针旋转120°得 ，若 ，则 的最大值为 .
32.（2020·潮南模拟）如图，AB是半圆O的直径，且AB＝12，点C为半圆上的一点．将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆弧BC恰好过圆心O ， 则图中阴影部分的面积是________ ． （结果保留π）
33.（2020九上·长沙期末）如图， 是锐角 的外接圆， 是 的切线，切点为F， ，连结 交 于E， 的平分线 交 于D，连结 ．下列结论：① 平分 ；②连接 ，点F为 的外心；③ ；④若点M，N分别是 和 上的动点，则 的最小值是 ．其中一定正确的是________(把你认为正确结论的序号都填上)．
34.（2020九上·龙马潭期末）如图， 内接于⊙O， ，D是⊙O上与点B关于圆心O成中心对称的点，P是 边上一点，连结 ．已知 ， ，Q是线段 上一动点，连结 并延长交四边形 的一边于点R，且满足 ，则 的值为________．
35.（2019·瑞安模拟）如图，已知AB为⊙O的直径，点C，E在⊙O上，且sin∠ACE＝ ，点D为弧BE中点，连结DE，则 的值为________.
36.（2019九上·哈尔滨月考）如图，已知AB是半圆的直径，且AB=10，弦AC=6，将半圆沿过点A的直线折叠，使点C落在直径AB上的点C′，则折痕AD的长为________．
37.（2019九下·成都开学考）如图，在矩形 中， ， ，对角线 、 相交于点 ，现将一个直角三角板 的直角顶点与 重合，再绕着 点转动三角板，并过点 作 于点 ，连接 .在转动的过程中， 的最小值为________．
38.如图，AB是半圆O的直径，D是弧AB上一点，C是弧AD的中点，过点C作AB的垂线，交AB于E，与过点D的切线交于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC，关于下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心．其中正确结论是________（填序号）．
39.如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=8，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为 .
40.如图，已知A，B两点的坐标分别为（2 ，0），（0，10），M是△AOB外接圆⊙C上的一点，且∠AOM=30°，则点M的坐标为 ．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
【解析】【解答】∵四边形ABCD内接于
∴∠BAD+∠DCB=180°
∵∠DCE+∠DCB=180°
∴∠BAD=∠DCE=64°
∵∠BOD、∠BAD对着圆中同一段弧
∴∠BOD=2∠BAD=2×64°=128°
故答案为：B
【分析】先求出∠BAD+∠DCB=180°，再求出∠BAD=∠DCE=64°，最后计算求解即可。
2.【答案】 C
【解析】【解答】解：连接OC，如下图：
∵ ，
∴
又∵DC切⊙O于点C，OC为半径
∴
∴ 是直角三角形
∴
∴
故答案为：C
【分析】连接OC，由于AB是直径，可知 ， ， 推出 是直角三角形，再利用三角形外角性质求解即可。
3.【答案】 C
【解析】【解答】要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断．
当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．在直角△BCD中CD=AB=15，BC=20，则BD= = =25．由图可知15＜r＜25，
故答案为：C．
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断，当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
4.【答案】 C
【解析】【解答】解：连接OD ， 如图：
在 中， ， ， ，
由勾股定理，则
，
设半径为r ， 则 ，
∴ ，
∴四边形CEOF是正方形；
由切线长定理，则 ， ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
∴阴影部分的面积为： ；
故答案为：C ．
【分析】连接OD ， 设半径为r ， 则 ，得出 ，四边形CEOF是正方形；由切线长定理，则 ， ，列出方程解得出x的值即可得出答案。
5.【答案】 C
【解析】【解答】解：如图，连接 OA 过 作 垂足分别为 而
四边形 为矩形，
同理：
四边形 为正方形，
故答案为：C.
【分析】连接OA、OC，过O作OF⊥AB，OE⊥CD，垂足分别为F、E，则 四边形OEPF为矩形，由垂径定理可得AF=BF=4，结合勾股定理求出OF，同理可得OE，推出四边形OEPF为正方形，则FP=FO=3，然后由勾股定理可得OP的值.
6.【答案】 C
【解析】【解答】解：过C作CH⊥AB，延长HC交圆于P'，连接AC、P'B、P'A，
当x=0时，y=-3，当y=0时，x=4，
∴A（0，-3），B（4，0），
∴AB==5，
∵BC=OB+OC=3+1=4，
∴S△ACB=BC×OA=AB×CH，
∴CH== ，
∴HP'=CH+HP'=+1= ，
∴ △PAB面积的最大值=S△P'AB=×AB×HP'=×5×= .
故答案为：C.
【分析】过C作CH⊥AB，延长HC交圆于P'，连接AC、P'B、P'A， 则△PAB面积的最大值为S△P'AB ，
先求出直线AB与坐标轴交点的坐标，再利用勾股定理求出AB长，利用两点间坐标求出BC长，然后利用等积法求出CH长，则可求出HP'，最后计算△P'AB的面积即可.
7.【答案】 C
【解析】【解答】解：如图，设AD中点为E，半圆圆心为O，连接OE，交半圆于P，此时PE取最小值，
∵四边形ABCD是矩形， ， ，
∴AE=DE=4，OB=OC=OP=4，
∴CD=AB=OE=6，AD=BC=8，
∴PE=2，
∵点E为AD中点，
∴ =2PE2+2AE2 ，
∴ 的最小值为2PE2+2AE2=2×22+2×42=40，
故答案为：C.
【分析】设AD中点为E，半圆圆心为O，连接OE，交半圆于P，此时PE取最小值，由矩形的性质可得AE=DE，OB=OC=OP，于是由线段的构成PE=AB-OP可求得PE的值，由勾股定理可得PA2+PD2=2PE2+2AE2求解.
8.【答案】 C
【解析】【解答】延长AO交BC于点E，
∵
∴等边三角形ABE
过点O作OD BC于点D，在 中 ，
∴
设 ， ，
又根据垂径定理得 ，
∵BE=AE
∴BD+DE=AO+OE
即 ，解得 ，
∴AB=BE=5+1=6．
故答案为：C．
【分析】延长AO交BC于点E，过点O作OD BC于点D，由 ， 可得等边三角形ABE，设AB的长为x，由此可表示出OD、BD和DE的长；在 中 ，进而求的x的值。
9.【答案】 B
【解析】【解答】解：如图，连OI，PI，AI。
∵PH⊥OA
∴∠PHO=90°，
∴∠HOP+∠OPH=90°
又∵I为△OPH的内心
∴∠IOP=∠IOA=∠HOP，∠IPO=∠OPH
∴∠IOP+∠IPO=(∠HOP+∠OPH）=45°
∴∠PIO=180°-（∠IPO+∠IOP）=180°-45°=135°
又∵OP=OA，OI=OT，∠IOP=∠IOA
∴△OPI≌△OAI
∴∠AIO=∠PIO=135°
∴点I在以OA为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上
过A、I、O三点作⊙O′，连O′A，O′O，在优弧AO取点P，连PA，PO。
∴∠APO=180°-∠AIO=180°-135°=45°
∴∠AO′O=90°
∴O′O=OA=×2=
∴弧OA的长=.
∴内心I所经过的路径长为。
故答案为：B.
【分析】连OI，PI，AI，先利用三角形的内心的定义求出∠PIO=135°，然后易证△OPI≌△OAI，利用相似三角形的对应角相等得到∠AIO=∠PIO=135°，所以点I在以OA为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；过A、I、O三点作⊙O′，连O′A，O′O，在优弧AO取点P，连PA，PO，利用圆内接四边形的性质可得∠APO=45°，进而得∠AOO=90°，则可求出O′O，然后利用弧长公式计算即可。
10.【答案】 D
【解析】【解答】解：如图，连接CE.
∵AP∥BC，
∴∠PAC=∠ACB=60°，
∴∠CEP=∠CAP=60°，
∴∠BEC=120°，
∴点E在以M为圆心，MB为半径的 上运动，
∴ 中优弧 度数为240°，劣弧 度数为120°
∴△BOC是等腰三角形，∠BOC=120°，
∵∠BCM=30°，BC= .
∴MB=MC=4，
∴连接MA交 于E′，此时AE′的值最小.
∵∠ACB=60°，∠BCO=30°，
∴∠ACM=90°，
∴MA= = ，
∴AE的最小值为=5-4=1.
故答案为：D.
【分析】如图，连接CE.首先证明∠BEC=120°，由此推出点E在以M为圆心，MB为半径的 上运动，连接MA交 于E′，此时AE′的值最小.
11.【答案】 D
【解析】【解答】解：如图，过点A作AG⊥BD于G点，
∵∠BAD=90°，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点C到BD的距离为 ，
∵BD是圆的切线，
∴圆的半径为 ，
过点P作PE⊥BD于点E，
∴∠AGT=∠PET，
∵∠ATG=∠PTE，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
要使 最大，则 最大，即PE最大，
∵点P是圆上动点，BD是圆的切线，
∴PE最大为圆的直径，
即PE最大值为：3，
∴ 最大值为 ，
故答案为：D.
【分析】如图，过点A作AG⊥BD于G点，利用矩形的性质结合勾股定理求出BD，由此提高等面积法求得AG= ,从而得分析出圆的半径为 ,紧接着过点P作PE⊥BD于点E，提高证明 利用相似三角形性质得出 ，据此根据题意分析出要使 最大，则 最大，即PE最大，最后进一步分析求解即可.
12.【答案】 B
【解析】【解答】解：作AH⊥BC于H，OG⊥EF于G，连接OE、OF，如图，
∵∠EOF＝2∠EAF＝2×45°＝90°，OE＝OF，
而OE=OF，
∴EF＝ OE，
当OE的值最小时，EF的值最小，
此时AD最小，AD的最小值为AH的长，
在Rt△ABH中，
∵sin∠ABH==sin60°,
∴AH= ，
,∴OE的最小值为 ，
∴EF的最小值为 × ＝ .
故答案为：B.
【分析】作AH⊥BC于H，OG⊥EF于G，连接OE、OF，如图，利用圆周角定理得∠EOF=90°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到EF=2EG= OE，所以当⊙O的半径最小时，EF的值最小，此时AD最小，AD的最小值为AH的长，然后计算出AH的长就可得到EF的最小值.
13.【答案】 B
【解析】【解答】解：作DF⊥CA，垂足F在CA的延长线上，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD
∴DF=DG， ，
∴DA=DB，
∵∠AFD=∠BGD=90°，
∴△AFD≌△BGD，
∴AF=BG．
易证△CDF≌△CDG，
∴CF=CG，
∵AC=6，BC=8，
∴AF=1，
∴CF=7，
∵△CDF是等腰直角三角形，
∴CD=7 ，
故答案为：B．
【分析】作DF⊥CA，交CA的延长线于点F，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB．由CD平分∠ACB，根据角平分线的性质得出DF=DG，由HL证明△AFD≌△BGD，△CDF≌△CDG，得出CF=7，又△CDF是等腰直角三角形，从而求出CD=7 .
14.【答案】 B
【解析】【解答】根据题意可得直线经过定点D（3，4），则OD=5，当OD⊥BC时，BC取得最小值，根据垂径定理可得BC=24.
【分析】根据直线经过定点D（3，4）,求出最短的弦BC是过点D且该圆直径垂直的弦，再求出OD的长，再根据以原点O为圆心过点A(13,0 ），求出OB的长，然后利用勾股定理求出BD即可.
15.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A点的坐标为（4，0），B点的坐标为（0，﹣3），
，即OA=4，OB=3，
由勾股定理得：AB=5，
过C作CM⊥AB于M，连接AC，
则由三角形面积公式得： ×AB×CM= ×OA×OC+ ×OA×OB，
∴5×CM=4×1+3×4，
∴CM= ，
∴圆C上点到直线 的最大距离是 = ，
∴△PAB面积的最大值是 = ，
故答案为：C．
【分析】求出A、B的坐标，根据勾股定理求出AB，求出点C到AB的距离，即可求出圆C上点到AB的最大距离，根据面积公式求出即可．
16.【答案】 A
【解析】【解答】如图，连接EB,设
∵AB是直径
∵E是 的内心,
∴点E在以D为圆心DA为半径的圆上，运动轨迹是 ，点C的运动轨迹是
∵ ，设 ，则 ，
故答案为：A
【分析】如图，连接EB,设 ，易知点E在以D为圆心DA为半径的圆上，运动轨迹是 ，点C的运动轨迹是 ，由题意 ，设 ，则 ，利用弧长公式计算后即可解决问题.
17.【答案】 B
【解析】【解答】解：设⊙O与MN相切于点K，设正方形的边长为2a.
∵AD、CD、MN是切线，
∴AE＝DE＝DF＝CF＝a，MK＝ME，NK＝NF，设MK＝ME＝x，NK＝NF＝y，
在Rt△DMN中，∵MN＝x+y，DN＝a﹣y，DM＝a﹣x，
∴（x+y）2＝（a﹣y）2+（a﹣x）2 ，
∴ax+ay+xy＝a2 ，
∵S△BMN＝S正方形ABCD﹣S△ABM﹣S△DMN﹣S△BCN＝8，
∴4a2﹣ ×2a×（a+x）﹣ （a﹣x）（a﹣y）﹣ ×2a×（a+y）＝8，
∴ a2﹣ （ax+ay+xy）＝8，
∴a2＝8，
∴a＝2 ，
∴AB＝2a＝4 ，
∴⊙O的半径为2 ，
故答案为：B.
【分析】设⊙O与MN相切于点K，设正方形的边长为2a.因为AD、CD、MN是切线，可得AE=DE=DF=CF=a，MK=ME，NK=NF，设MK=ME=x，NK=NF=y，在Rt△DMN中，以为MN=x+y，DN=a-y，DM=a-x，看到（x+y）2=（a-y）2+（a-x）2 ， 推出ax+ay+xy=a2 ， 根据S△BMN=S正方形ABCD-S△ABM-S△DMN-S△BCN=8，构建方程求出a即可解决问题；
18.【答案】 D
【解析】【解答】解: 当直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图．
在y=﹣x+b中，令x=0时，y=b，则与y轴的交点是（0，b），
当y=0时，x=b，则A的交点是（b，0），
则OA=OB，即△OAB是等腰直角三角形．
连接圆心O和切点C．则OC=2．
则OB= OC=2 ．即b=2 ；
同理，当直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，b=﹣2 ．
则若直线y=﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是﹣2 ＜b＜2 ．
故答案为：D．
【分析】求出直线y=-x+b与圆相切，且函数经过的象限分别求出此时b的值，则相交时b的值在相切时的两个b的值之间.
19.【答案】 D
【解析】【解答】解：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H.
∵AQ=QP，
∴OQ⊥PA，
∴∠AQO=90°，
∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，
当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，
在Rt△OCH中，∵∠COH=60°，OC=2，
∴OH= OC=1，CH= ，
在Rt△CKH中，CK= = ，
∴CQ的最大值为1+ ，
故答案为：D.
【分析】如图，连接OQ，作CH⊥AB于H，根据垂径定理可得OQ⊥PA，即得∠AQO=90°，从而可判断点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，可得当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大.在Rt△OCH中,利用直角三角形的性质可求出OH、CH的长，在Rt△CKH中利用勾股定理求出CK的长，从而求出CQ的长.
20.【答案】 A
【解析】【解答】∵AB为直径，
∴AE⊥BC，
∵AB=AC，
∴∠EAB=BAC,=∠CBF,
EB=CE=CB，
∴∠CBF=∠EAB，tan∠EAB== ，
∴∠CBF+∠ABC=∠EAB+∠ABC=90°，
∴FB是⊙O的切线，
∴FB2=FD FA，
在RT△AEB中，AB=10，
∴EB= ，
∴CB=2 ， CE=，
∵CE CB=CD AC，AC=10，
∴CD=2，
∴AD=AC-CD=8，
设CF=x，则FD=x+2，FA=10+x，FB2=AF2-AB2=（10+x）2-102，
∴（10+x）2-102=（x+2）（10+x），
整理得：x= ，
∴CF= ，
答案为;A
【分析】连接AE，根据AB是直径，得出AE⊥BC，CE=EB，依据已知条件得出∠CBF=∠EAB，BF是圆的切线，进而得出BC的长，然后根据割线定理求得CD的长，最后根据切割线定理求得FC
二、填空题
21.【答案】 2
【解析】【解答】如图，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF
∵⊙O为 的内切圆，切点分别为D、E、F
∴OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，且OD=OE=OF
在Rt△ABC中，由勾股定理得
∴
∵
∴
即
∴OD=2
即⊙O的半径为2
故答案为：2
【分析】利用勾股求出AC，然后利用 ， 得到关于半径的方程，求解即可得出答案。
22.【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接OF.
∵DE⊥AB，
∴DE=EF， ，
∵点D是弧AC的中点
∴ ，
∴ ，
∴AC=DF=12，
∴EF= DF=6，设OA=OF=x，
在Rt△OEF中，则有x2=62+（x-3）2 ，
解得x= .
故答案为：.
【分析】连接OF，由垂径定理可得DE=EF， ， 根据点D是弧AC的中点可得 ， 推出 ， 根据等弧所对的弦相等得AC=DF=12，由垂径定理可得EF，设OA=OF=x，然后在Rt△OEF中，应用勾股定理求解即可.
23.【答案】
【解析】【解答】解：作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则P点就是所求作的点.
此时PA+PB最小，且等于AC的长.
连接OA，OC，OB，作OD⊥AC于D，
∵∠AMN＝40°，
∴∠AON＝80°，
∵B为弧AN的中点，
∴∠AOB＝∠NOB＝40°，
由对称可知，∠CON＝∠NOB＝40°，
∴∠AOC＝120°，
∵MN＝2
∴OA＝OC＝1，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∴OD＝ ，
，
AC＝2CD＝ .
故答案为： .
【分析】作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，此时PA+PB最小，且等于AC的长，连接OA，OC，OB，作OD⊥AC于D，由圆周角定理可得∠AON＝2∠AMN＝80°，根据中点的概念可得∠AOB＝∠NOB＝40°，由对称可知：∠CON＝∠NOB＝40°，则∠AOC＝120°，易得OA＝OC＝1，然后求出OD、CD，进而可得AC.
24.【答案】 8
【解析】【解答】解：如图，连接AD，
∵AB为直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∵CD为∠ACB的角平分线，
∴∠BCD=45°，
∴∠BAD=∠BCD=45°，
∴AB=BD= 5 ，
∴BC==8.
故答案为：8.
【分析】连接AD，由圆周角定理得出∠ACB=∠ADB=90°，然后由根据角平分线的定义求出∠BCD=45°，再由同弧所对的圆周角定理求出∠BAD=45°，则由等腰直角三角形的性质求出AB长，最后由勾股定理求BC长即可.
25.【答案】 3 +3
【解析】【解答】解：如图，作△AOC的外接圆⊙P，过点P作PQ⊥AC与Q，延长QP⊙P于O'，连接PA、PC.
当点O在圆周上运动到点O'，即点O与O'重合时，点O到AC距离最大.
∵∠MON＝45°，
∴∠CO'A＝45°，
∴∠CPA＝90°，
∵PQ⊥AC，
∴QA＝QC＝ AC＝3，
∴PQ＝ AC＝3，
PA＝ QA＝3 ，
OP＝AP＝3 ，
∴O'Q＝OP+PQ＝3 +3.
故答案为：3 +3.
【分析】作△AOC的外接圆⊙P，过点P作PQ⊥AC与Q，延长QP⊙P于O'，连接PA、PC；由题意知：当点O在圆周上运动到点O'，即点O与O'重合时，点O到AC距离最大。根据O'Q＝OP+PQ可求解.
26.【答案】 （1）3
（2）12:25
【解析】【解答】解：过点C作CF⊥AB于点F，
∵点C是弧DB的中点
∴弧CD=弧BC，
∴∠DAC=∠BAC，CD=BC
∴AC平分∠DAB，
∵CE⊥CD，
∴FC=CE，
在Rt△DEC和R△BFC中
∴Rt△DEC≌R△BFC（HL）
同理可证△AEC≌△ACF
∴S△DEC=S△BFC=1，S△AEC=S△ACF ，
∵S△ABC=S△ACF+S△BFC=5
∴S△AEC=S△ACF=5-1=4，
∴S△ADC=S△AEC-S△DEC=4-1=3.
故答案为：3.
（2）连接OC，BD交于点H，
∵
∴DA=3DE，
设DE=a，则DA=3a，
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB=∠EDH=90°=∠E，
∵点C是弧BD的中点，
∴OC⊥BD
∴∠DHC=90°，
∴四边形DEHC是矩形，
∴CH=DE=a，
OH是△ADB的中位线
∴
∴OC=CH+OH=a+=
∴AB=2OC=5a，
∴ ，
∵
∴5a·DG=3a·4a
解之：DG=2.4a
∴DG∶AB=2.4a：5a=12:25.
故答案为：12:25.
【分析】 （1）过点C作CF⊥AB于点F，利用弧的中点及等弧所对圆周角相等，可知AC平分∠DAB，CD=BC，利用角平分线的性质可得到FC=CE；利用HL可证得Rt△DEC≌R△BFC，△AEC≌△ACF，利用全等三角形的面积相等可推出S△DEC=S△BFC=1，S△AEC=S△ACF ， 从而可求出△AEC的面积及△ACD的面积.
（2）连接OC，BD交于点H，利用△CDE和△ADC的面积可证得DA=3DE，设DE=a，则DA=3a；利用直径所对圆周角是直角，可证得∠ADB=∠EDH=90°=∠E，利用垂径定理可证得∠DHC=90°，由此可推出四边形DEHC是矩形，可得到CH=a，利用三角形的中位线定理可求出OH的长，即可表示出圆的半径，再表示出圆的直径AB的长；再利用勾股定理求出BD的长，利用直角三角形的两个面积公式可表示出DG的长；然后求出DG∶AB的值.
27.【答案】 2
【解析】【解答】解：过点P作⊙A的切线，切点为Q，连接AP、AQ，设直线 与x、y轴的交点分别为B、C，如图所示：
∴∠AQP=90°，
令y=0时，则 ，解得 ，令x=0时，则y=2，
∴OC=2，OB=4，
∵半径为1的⊙A圆心A的坐标为（﹣1，0），
∴ ，
∴AB=5，
∴在Rt△PQA中， ，
∴当切线长PQ为最小时，则AP为最小，由此可得当AP与直线 垂直时AP取最小，连接AC，则由勾股定理可得 ，
∴ ，
∴AC⊥BC，
∴当点P与点C重合时，PQ取最小值，如图所示，
∵OA=AQ，AC=AC，∠AQP=∠AOP=90°，
∴△AQP≌△AOP（HL），
∴OP=PQ=2，
∴PQ的最小值为2；
故答案为2.
【分析】过点P作⊙A的切线，切点为Q，连接AP、AQ，设直线 与x、y轴的交点分别为B、C，可得∠AQP=90°，利用勾股定理可得 ， 可知当AP最小时，PQ最小，根垂线段最短，可知当AP⊥BC时，AP最小，此时当点P与点C重合时，证明Rt△AQP≌Rt△AOP,可得OP=PQ=2，据此即得结论.
28.【答案】 ①③④
【解析】【解答】解：①连接 ，如图，
∵ 平分 ，
∴ .
∴ ，
∴ .
∵ 为⊙O的切线，
∴ .
∴MN∥BC，所以①正确；
②∵
∴∠DBC=∠CAD.
∴ .
∴只有当 或∠BED=∠BAC时，
而上述的条件不具备，所以②错误；
③过A点作直径 ，连接BG，如图，
∵ 为直径，
∴ .
∵ ，
∴ .
∴ .
∵
.
∴ .
∴ .
. 所以③正确；
④过D点作 于P， 交AC的延长线于点Q，连接DC.如图，
∵ 平分 ，
∴ ， .
∴
∴ .
在 中， ，
∴ .
同理，在 中， .
在 和 中，
，
∴ .
∴ ，
即 .
∴ .
∴ .所以④正确.
故答案为：①③④.
【分析】连接OD，由角平分线的概念可得∠BAD=∠CAD，推出OD⊥BC，由切线的性质可得OD⊥MN，据此可判断①；由圆周角定理可得∠DBC=∠CAD，推出∠DBC=∠BAD，然后根据相似三角形的判定定理可判断②；过A点作直径AG，连接BG，由圆周角定理可得∠ABG=90°，由垂直的概念可得∠AFC=90°，证明△ABG∽△AFC，由相似三角形的性质可判断③；过D点作DP⊥AB于P， DQ⊥AC交AC的延长线于点Q，连接DC，易得∠BAD=∠QAD=α，DP=DQ，DB=DC，证明△DBP≌△DCQ，得到BP=CQ，即AB-AP=AQ-AC，据此判断④.
29.【答案】 2.5
【解析】【解答】解：当CD∥AB时，PM最长，连接OM，CO，
∵CD∥AB，CP⊥CD，
∴CP⊥AB
∵点M是CD的中点，OM过点O
∴OM⊥CD，
∴∠OMC=∠PCD=∠CPO=90°，
∴四边形CPOM是矩形，
∴PM=OC，
OC=AB=2.5
∴PM=2.5.
故答案为：2.5
【分析】当CD∥AB时，PM最长，连接OM，CO，利用垂径定理易证OM⊥CD，再证明∠OMC=∠PCD=∠CPO=90°，可推出四边形CPOM是矩形，利用矩形的对角线相等，可证得PM=OC，从而可求出PM的长。
30.【答案】
【解析】【解答】解：如图：过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．
∵PE⊥AB，AB=4 ，半径为4，
∴AE= AB=2 ，PA=4，
根据勾股定理得：PE= ，
∵点A在直线y=x上，∴∠AOC=45°，
∵∠DCO=90°，∴∠ODC=45°，
∴△OCD是等腰直角三角形，∴OC=CD=4，
∴∠PDE=∠ODC=45°，∴∠DPE=∠PDE=45°，
∴DE=PE=2，∴PD=2 ∵⊙P的圆心是（4，a），
∴a=PD+DC=4+2 ．
故答案为4+2
【分析】先求出AE= AB=2 ，PA=4，再求出PD=2 ， 最后计算求解即可。
31.【答案】
【解析】【解答】解：将△ABD绕点A顺时针旋转120°，则D与点C重合，B′是定点，
BD的最大值即B′C的最大值，当B′，O，C三点共线时，BD最大
过点B′作B′E⊥AB，交BA的延长线于点E
由题意可得A′B=AB=4，∠EAB′=60°
∴AE=2，B′E= ，OC=OB=2
在Rt△OEB′中，B′O=
∴B′D= B′O+OC= .
故答案为： .
【分析】将△ABD绕点A顺时针旋转120°，则D与点C重合，B′是定点，BD的最大值即B′C的最大值，过点B′作B′E⊥AB，交BA的延长线于点E，由题意可得A′B=AB=4，∠EAB′=60°，求出AE、B′E、OC的值，在Rt△OEB′中，应用勾股定理求出B′O，据此求解.
32.【答案】 6π
【解析】【解答】
做出辅助线，如图所示，在Rt三角形BOD中, OB=R=6,OD=3
所以∠OBD=30°，∠AOC=60°，
∴阴影部分面积对应的圆心角为60°，代入公式可得
【分析】根据直角三角形的性质可得出角的度数的关系，利用扇形面积公式可得出阴影部分面积。
33.【答案】
【解析】【解答】解：如图 ，连接 ，
∵ 是 的切线，
∴ ，∵
∴ ，且 为半径
∴ 垂直平分
∴
∴
∴ 平分 ，故 符合题意
点 的外心，故 符合题意；
如图 ，过点C作 交 的延长线与点G
，故 符合题意；
如图 ，作点M关于 的对称点 ，
点M与点 关于 对称，
当点N在线段 上，且 时， ，
且
∴ 的最小值为 ；故 符合题意．
故答案为： ．
【分析】如图1，连接 ，通过切线的性质证 ，进而由 ，即可由垂径定理得到F是 的中点，根据圆周角定理可得 ，可得 平分 ；由三角形的外角性质和同弧所对的圆周角相等可得 ，可得 ，可得点F为 得外心；如图 2 ，过点C作 交 的延长线与点G通过证明 ，可得 ；如图 3 ，作点M关于 的对称点 ，当点N在线段 上，且 时， ．
34.【答案】 1或
【解析】【解答】解：因为 内接于圆， ，D是⊙O上与点B关于圆心O成中心对称的点，
∴AB=BC=CD=AD,
是正方形
①点R在线段AD上，
∵AD∥BC，
∴∠ARB=∠PBR，∠RAQ=∠APB，
∵AP=BR，
∴△BAP≌ABR，
∴AR=BP，
在△AQR与△PQB中，
，
②点R在线段CD上，此时△ABP≌△BCR，
∴∠BAP=∠CBR．
∵∠CBR+∠ABR=90°，
∴∠BAP+∠ABR=90°，
∴BQ是直角△ABP斜边上的高，
∴QR=BR-BQ=5-2.4=2.6，
.
故答案为：1或 .
【分析】首先证明四边形ABCD为正方形，即可得到AD∥BC，根据题意，由R点的位置，判断得到答案即可。
35.【答案】
【解析】【解答】解：连接OD，BD，AD，AE，BE，
∴∠ACE＝∠ABE，
∵sin∠ACE＝ ，
∴sin∠ABE＝ ＝ ，
∴设AE＝ x，AB＝5x，
∴BE＝ ＝2 x，
∵点D为弧BE中点，
∴OD⊥BE，OD平分BE，
设OD，BE相交于H，
∴BH＝EH＝ x，
∴OH＝ ＝ x2 ，
∴DH＝ x2 ，
∵∠BAD＝∠DBH，∠ADB＝∠BHD＝90°，
∴△BDH∽△ABD，
∴ ，
∴ ＝ ＝ ，
∴BD2＝ x，
∴AD2＝ x，
∵点D为弧BE中点，
∴BD＝DE，
∴ ＝ ＝ ，
故答案为： .
【分析】连接OD，BD，AD，AE，BE，得到∠ACE＝∠ABE，求得sin∠ABE＝ ＝
， 设AE＝ x，AB＝5x，根据勾股定理得到BE＝ ＝2 x，根据垂径定理得到OD⊥BE，OD平分BE，设OD，BE相交于H，得到BH＝EH＝ x，根据勾股定理得到OH＝ ＝ x，求得DH＝ x，根据相似三角形的性质即可得到结论.
36.【答案】 ．
【解析】【解答】
设圆的圆心是O，连接OD，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F．
根据题意知，∵OF⊥AC，∴AF= AC=3，
∵∠CAD=∠BAD，∴ ，∴点D是弧BC的中点．∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD，
在△AOF和△OED中，∵∠OFA=∠OED，∠FAO=∠EDO，AO=DO，
∴△AOF≌△OED（AAS），∴OE=AF=3，
∵DO=5，∴DE=4，∴AD= ．
故答案为 ．
【分析】通过作辅助线，结合三角形全等的性质与判定，利用勾股定理求出线段的长度即可.
37.【答案】
【解析】【解答】解：∵∠OHD=90°，∴点H的运动轨迹为以OD为直径的圆上，
∵AB=4，BC=4 ， ∴AC=BD=8， ∴AO=OD=4，
设OD的中点为M，则圆M的半径为2，∴AM= ，
当A、H、M三点在同一条直线上时，AH最短，则AH= ．
【分析】首先根据∠OHD=90°得出点H的运动轨迹，根据直角三角形的勾股定理得出AO和OD的长度，设OD的中点为M，根据Rt△AOM的勾股定理得出AM的长度，从而得出最小值．
38.【答案】 ②③
【解析】【解答】∵在 中，AB是直径，点D是 上一点，点C是 的中点，
故①错误；
连接OD，
则OD⊥GD，∠OAD=∠ODA，
∴∠GPD=∠GDP；
∴GP=GD，故②正确；
∵弦CE⊥AB于点F，
∴A为 的中点,即
又∵C为 的中点，
∴∠CAP=∠ACP，
∴AP=CP.
∵AB为 的直径，
∴∠PCQ=∠PQC，
∴PC=PQ，
∴AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，
∴P为Rt△ACQ的外心，故③正确；
故答案为：②③.
【分析】①由等弧所对圆周角相等可得两角相等，但弧BD与弧CD不一定相等，故①错误；②连接OD，结合切线的定义及GE⊥AB即可利用等角的余角相等证得∠GPD=∠GDP，再利用等角对等边即可得证 GP=GD ；③证P为Rt△ACQ的外心即证点P到三角形三个顶点的距离相等，又因为∠ACB是直径AB所对的圆周角，故∠ACB=90° ，即三角形ACQ为直角三角形，故只需证点P为其斜边AQ的中点即可.
39.【答案】 8， ，
【解析】【解答】解：①当BA=BP时，
易得AB=BP=BC=8，即线段BC的长为8．
②当AB=AP时，如图1，延长AO交PB于点D，过点O作OE⊥AB于点E，则AD⊥PB，AE=AB=4，
∴BD=DP，
在Rt△AEO中，AE=4，AO=5，
∴OE=3，
易得△AOE∽△ABD，
∴= ，
∴BD= ，
∴BD=PD= ， 即PB= ，
∵AB=AP=8，
∴∠ABD=∠P，
∵∠PAC=∠ADB=90°，
∴△ABD∽△CPA，
∴= ，
∴CP= ，
∴BC=CP﹣BP=-=；
③当PA=PB时
如图2，连接PO并延长，交AB于点F，过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，连接OB，
则PF⊥AB，
∴AF=FB=4，
在Rt△OFB中，OB=5，FB=4，
∴OF=3，
∴FP=8，
易得△PFB∽△CGB，
∴== ，
设BG=t，则CG=2t，
易得∠PAF=∠ACG，
∵∠AFP=∠AGC=90°，
∴△APF∽△CAG，
∴= ，
∴= ， 解得t= ，
在Rt△BCG中，BC=t= ，
综上所述，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为8， ， ，
故答案为：8， ， ．
【分析】①当BA=BP时，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；
②当AB=AP时，如图1，延长AO交PB于点D，过点O作OE⊥AB于点E，易得△AOE∽△ABD，利用相似三角形的性质求得BD，PB，然后利用相似三角形的判定定理△ABD∽△CPA，代入数据得出结果；
③当PA=PB时，如图2，连接PO并延长，交AB于点F，过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，连接OB，则PF⊥AB，易得AF=FB=4，利用勾股定理得OF=3，FP=8，易得△PFB∽△CGB，利用相似三角形的性质=， 设BG=t，则CG=2t，利用相似三角形的判定定理得△APF∽△CAG，利用相似三角形的性质得比例关系解得t，在Rt△BCG中，得BC．
40.【答案】 （4 ，4）．
【解析】【解答】∵A，B两点的坐标分别为（2 ，0），（0，10），
∴OB=10，OA=2 ，
∴AB= =4 ，
∵∠AOB=90°，
∴AB是直径，CM=2 ，
∴Rt△AOB外接圆的圆心为AB中点，
∴C点坐标为（ ，5），
过点C作CF∥OA，过点M作ME⊥OA于E交CF于F，作CN⊥OE于N，如图所示：
则ON=AN= OA= ，
设ME=x，
∵∠AOM=30°，
∴OE= x
∴∠CFM=90°，
∴MF=5﹣x，CF= x﹣ ，CM=2 ，
在△CMF中，根据勾股定理得：（ x﹣ ）2+（5﹣x）2=（2 ）2 ，
解得：x=4或x=0（舍去），
∴OE= x=4
故答案为：（4 ，4）．
【分析】过点C作CF∥OA，过点M作ME⊥OA于E交CF于F，作CN⊥OE于N；由圆周角性质易得直径AB=2；A，B两点的坐标分别为（2 ，0），（0，10）结合AB的中点O利用中位线易得C点坐标为（ ，5），设ME=x，则利用前面所给条件可得MF=5﹣x，CF= x﹣ ，CM=2 ；在Rt△CFM中利用勾股定理可列方程（ x﹣ ）2+（5﹣x）2=（2 ）2 ， 解得ME=4，从而得到点M的坐标（4 ，4）。
一、单选题
1.（2021九上·哈尔滨月考）如图，四边形ABCD内接于 ，如果它的一个外角 ，那么 的度数为（ ）
A. 64° B. 128° C. 20° D. 116°
2.（2021九上·阳信期中）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=25°，则∠D等于（ ）
A. 20° B. 30° C. 40° D. 50°
3.（2021九上·鄂尔多斯期中）已知矩形ABCD的边AB=15，BC=20，以点B为圆心作圆，使A，C，D三点至少有一点在⊙B内，且至少有一点在⊙B外，则⊙B的半径r的取值范围是（ ）.
A. r＞15 B. 15＜r＜20 C. 15＜r＜25 D. 20＜r＜25
4.（2021九上·罗庄期中）如图， 的内切圆 与 分别相切于点D ， E ， F ， 连接 ， ， ， ， ，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
5.（2021九上·金东期中）如图，在半径为5的⊙ 中， ， 是互相垂直的两条弦，垂足为 ， ，则 的长为（ ）
A. 3 B. 4 C. D.
6.（2021九上·宁波期中）如图，已知直线y x﹣3与x轴、y轴分别交于 A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA、PB，则△PAB面积的最大值是（ ）
A. 8 B. 12 C. D.
7.（2021·沈丘模拟）引理：在 中，若 为 的中点，则 .（中线长公式，不用证明，可以直接应用）根据这个引理，解决下面的问题：如图，在矩形 中， ， ，点 在以 为直径的半圆上运动，则 的最小值是（ ）
A. B. 38 C. 40 D. 68
8.（2020·东胜模拟）如图，在圆⊙O内有折线OABC，其中OA＝4，BC＝10，∠A＝∠B＝60°，则AB的长为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
9.（2020·青山模拟）如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P，从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H。设△OPH的内心为I，当点P在弧AB上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为( )
A. B. C. D. π
10.（2020·温州模拟）如图，△ABC中，AC＝3，BC＝ ，∠ACB＝60°，过点A作BC的平行线l，P为直线l上一动点，⊙O为△APC的外接圆，直线BP交⊙O于E点，则AE的最小值为（ ）
A. -1 B. 7-4 C. D. 1
11.（2020·黄石模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=3， ，以点C为圆心作⊙O与直线BD相切，点P是⊙O上的一个动点，连接AP交BD于点T，则 的最大值是（ ）
A. B. C. D. 3
12.（2020·鼓楼模拟）如图，△ABC中，∠BAC＝45°，∠ABC＝60°，AB＝4，D是边BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB、AC于点E、F，则弦EF长度的最小值为（ ）
A. B. C. 2 D. 2
13.（2020九上·龙马潭期末）如图， 的直径 的长为 ，弦 长为 ， 的平分线交 于D，则 长为（ ）
A. 7 B. 7 C. 8 D. 9
14.（2019九上·江都月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A(13,0)直线y=kx-3k+4与 交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为( )
A. 22 B. 24 C. D.
15.（2019九上·鼓楼月考）如图，已知直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB．则△PAB面积的最大值是（ ）
A. 8 B. 12 C. D.
16.（2019九上·无锡月考）如图，AB是⊙o直径，M，N是 上两点，C是 上任一点，∠ACB角平分线交⊙o于点D，∠BAC的平分线交CD于点E，当点C从M运动到N时，C、E两点的运动路径长之比为( )
A. B. C. D.
17.（2019·武汉模拟）如图，⊙O内切于正方形ABCD，边AD，CD分别与⊙O切于点E，F，点M、N分别在线段DE，DF上，且MN与⊙O相切，若△MBN的面积为8，则⊙O的半径为（ ）
A. B. 2 C. D. 2
18.以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y=﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（ ）
A. 0≤b＜2 B. ﹣2 C. ﹣22 D. ﹣2 ＜b＜2
19.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为( )
A. 3 B. 1+ C. 1+3 D. 1+
20.如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF＝ ∠A，tan∠CBF＝ ， 则CF的长为
（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
21.（2021九上·无棣期中）如图，已知圆O为 的内切圆，切点分别为D、E、F，且 ， ， ，则圆O的半径为 ．
22.（2021九上·鹿城期中）如图， 为 的直径， 点 是弧 的中点， 过点 作 于点 ， 延长 交 于点 ， 若 ， 则 的半径长为
23.（2021九上·衢州期中）如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，∠AMN＝40°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为 .
24.（2021九上·贵州期中）如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB=90°，∠ACB的角平分线交⊙O于D。若AC=6，BD=5 ，则BC的长为 。
25.（2021九上·高港月考）如图，∠MON＝45°，一直角三角尺△ABC的两个顶点C、A分别在OM，ON上移动，若AC＝6，则点O到AC距离的最大值为 .
26.（2021九上·温州期中）如图，已知⊙O的内接四边形ABCD，AB是直径，点C是 的中点，连结AC，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E，过点D作DG⊥AB于点G，若△ABC的面积为5，△DEC的面积为1．
（1）△ACD的面积为 ；
（2）DG∶AB= ．
27.（2021·阜宁模拟）如图，在直角坐称系中，半径为1的⊙A圆心A的坐标为（﹣1，0），点P为直线y＝﹣ x+2上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是 .
28.（2021·岳阳模拟）如图， 内接于⊙O， 平分 交 边于点E，过点D作⊙O的切线，过点A作 于点F，设 ，⊙O的半径为R， 则下列结论正确的是 .（写出所有正确结论的序号）
① ；② ；③ ；④ .
29.（2020九上·嘉兴期中）如图，C、D是以AB为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦CD始终保持不变，M是弦CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P．若CD=3，AB=5，PM最大值是________．
30.（2020九上·麻章期中）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（4,a）且（a>2）半径为4，函数 的图像被⊙P截得的弦AB的长为 ，则a的值是 ．
31.（2020九上·武汉月考）如图， 为 的直径，C为 上一动点，将 绕点A逆时针旋转120°得 ，若 ，则 的最大值为 .
32.（2020·潮南模拟）如图，AB是半圆O的直径，且AB＝12，点C为半圆上的一点．将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆弧BC恰好过圆心O ， 则图中阴影部分的面积是________ ． （结果保留π）
33.（2020九上·长沙期末）如图， 是锐角 的外接圆， 是 的切线，切点为F， ，连结 交 于E， 的平分线 交 于D，连结 ．下列结论：① 平分 ；②连接 ，点F为 的外心；③ ；④若点M，N分别是 和 上的动点，则 的最小值是 ．其中一定正确的是________(把你认为正确结论的序号都填上)．
34.（2020九上·龙马潭期末）如图， 内接于⊙O， ，D是⊙O上与点B关于圆心O成中心对称的点，P是 边上一点，连结 ．已知 ， ，Q是线段 上一动点，连结 并延长交四边形 的一边于点R，且满足 ，则 的值为________．
35.（2019·瑞安模拟）如图，已知AB为⊙O的直径，点C，E在⊙O上，且sin∠ACE＝ ，点D为弧BE中点，连结DE，则 的值为________.
36.（2019九上·哈尔滨月考）如图，已知AB是半圆的直径，且AB=10，弦AC=6，将半圆沿过点A的直线折叠，使点C落在直径AB上的点C′，则折痕AD的长为________．
37.（2019九下·成都开学考）如图，在矩形 中， ， ，对角线 、 相交于点 ，现将一个直角三角板 的直角顶点与 重合，再绕着 点转动三角板，并过点 作 于点 ，连接 .在转动的过程中， 的最小值为________．
38.如图，AB是半圆O的直径，D是弧AB上一点，C是弧AD的中点，过点C作AB的垂线，交AB于E，与过点D的切线交于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC，关于下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心．其中正确结论是________（填序号）．
39.如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=8，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为 .
40.如图，已知A，B两点的坐标分别为（2 ，0），（0，10），M是△AOB外接圆⊙C上的一点，且∠AOM=30°，则点M的坐标为 ．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
【解析】【解答】∵四边形ABCD内接于
∴∠BAD+∠DCB=180°
∵∠DCE+∠DCB=180°
∴∠BAD=∠DCE=64°
∵∠BOD、∠BAD对着圆中同一段弧
∴∠BOD=2∠BAD=2×64°=128°
故答案为：B
【分析】先求出∠BAD+∠DCB=180°，再求出∠BAD=∠DCE=64°，最后计算求解即可。
2.【答案】 C
【解析】【解答】解：连接OC，如下图：
∵ ，
∴
又∵DC切⊙O于点C，OC为半径
∴
∴ 是直角三角形
∴
∴
故答案为：C
【分析】连接OC，由于AB是直径，可知 ， ， 推出 是直角三角形，再利用三角形外角性质求解即可。
3.【答案】 C
【解析】【解答】要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断．
当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．在直角△BCD中CD=AB=15，BC=20，则BD= = =25．由图可知15＜r＜25，
故答案为：C．
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断，当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
4.【答案】 C
【解析】【解答】解：连接OD ， 如图：
在 中， ， ， ，
由勾股定理，则
，
设半径为r ， 则 ，
∴ ，
∴四边形CEOF是正方形；
由切线长定理，则 ， ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
∴阴影部分的面积为： ；
故答案为：C ．
【分析】连接OD ， 设半径为r ， 则 ，得出 ，四边形CEOF是正方形；由切线长定理，则 ， ，列出方程解得出x的值即可得出答案。
5.【答案】 C
【解析】【解答】解：如图，连接 OA 过 作 垂足分别为 而
四边形 为矩形，
同理：
四边形 为正方形，
故答案为：C.
【分析】连接OA、OC，过O作OF⊥AB，OE⊥CD，垂足分别为F、E，则 四边形OEPF为矩形，由垂径定理可得AF=BF=4，结合勾股定理求出OF，同理可得OE，推出四边形OEPF为正方形，则FP=FO=3，然后由勾股定理可得OP的值.
6.【答案】 C
【解析】【解答】解：过C作CH⊥AB，延长HC交圆于P'，连接AC、P'B、P'A，
当x=0时，y=-3，当y=0时，x=4，
∴A（0，-3），B（4，0），
∴AB==5，
∵BC=OB+OC=3+1=4，
∴S△ACB=BC×OA=AB×CH，
∴CH== ，
∴HP'=CH+HP'=+1= ，
∴ △PAB面积的最大值=S△P'AB=×AB×HP'=×5×= .
故答案为：C.
【分析】过C作CH⊥AB，延长HC交圆于P'，连接AC、P'B、P'A， 则△PAB面积的最大值为S△P'AB ，
先求出直线AB与坐标轴交点的坐标，再利用勾股定理求出AB长，利用两点间坐标求出BC长，然后利用等积法求出CH长，则可求出HP'，最后计算△P'AB的面积即可.
7.【答案】 C
【解析】【解答】解：如图，设AD中点为E，半圆圆心为O，连接OE，交半圆于P，此时PE取最小值，
∵四边形ABCD是矩形， ， ，
∴AE=DE=4，OB=OC=OP=4，
∴CD=AB=OE=6，AD=BC=8，
∴PE=2，
∵点E为AD中点，
∴ =2PE2+2AE2 ，
∴ 的最小值为2PE2+2AE2=2×22+2×42=40，
故答案为：C.
【分析】设AD中点为E，半圆圆心为O，连接OE，交半圆于P，此时PE取最小值，由矩形的性质可得AE=DE，OB=OC=OP，于是由线段的构成PE=AB-OP可求得PE的值，由勾股定理可得PA2+PD2=2PE2+2AE2求解.
8.【答案】 C
【解析】【解答】延长AO交BC于点E，
∵
∴等边三角形ABE
过点O作OD BC于点D，在 中 ，
∴
设 ， ，
又根据垂径定理得 ，
∵BE=AE
∴BD+DE=AO+OE
即 ，解得 ，
∴AB=BE=5+1=6．
故答案为：C．
【分析】延长AO交BC于点E，过点O作OD BC于点D，由 ， 可得等边三角形ABE，设AB的长为x，由此可表示出OD、BD和DE的长；在 中 ，进而求的x的值。
9.【答案】 B
【解析】【解答】解：如图，连OI，PI，AI。
∵PH⊥OA
∴∠PHO=90°，
∴∠HOP+∠OPH=90°
又∵I为△OPH的内心
∴∠IOP=∠IOA=∠HOP，∠IPO=∠OPH
∴∠IOP+∠IPO=(∠HOP+∠OPH）=45°
∴∠PIO=180°-（∠IPO+∠IOP）=180°-45°=135°
又∵OP=OA，OI=OT，∠IOP=∠IOA
∴△OPI≌△OAI
∴∠AIO=∠PIO=135°
∴点I在以OA为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上
过A、I、O三点作⊙O′，连O′A，O′O，在优弧AO取点P，连PA，PO。
∴∠APO=180°-∠AIO=180°-135°=45°
∴∠AO′O=90°
∴O′O=OA=×2=
∴弧OA的长=.
∴内心I所经过的路径长为。
故答案为：B.
【分析】连OI，PI，AI，先利用三角形的内心的定义求出∠PIO=135°，然后易证△OPI≌△OAI，利用相似三角形的对应角相等得到∠AIO=∠PIO=135°，所以点I在以OA为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；过A、I、O三点作⊙O′，连O′A，O′O，在优弧AO取点P，连PA，PO，利用圆内接四边形的性质可得∠APO=45°，进而得∠AOO=90°，则可求出O′O，然后利用弧长公式计算即可。
10.【答案】 D
【解析】【解答】解：如图，连接CE.
∵AP∥BC，
∴∠PAC=∠ACB=60°，
∴∠CEP=∠CAP=60°，
∴∠BEC=120°，
∴点E在以M为圆心，MB为半径的 上运动，
∴ 中优弧 度数为240°，劣弧 度数为120°
∴△BOC是等腰三角形，∠BOC=120°，
∵∠BCM=30°，BC= .
∴MB=MC=4，
∴连接MA交 于E′，此时AE′的值最小.
∵∠ACB=60°，∠BCO=30°，
∴∠ACM=90°，
∴MA= = ，
∴AE的最小值为=5-4=1.
故答案为：D.
【分析】如图，连接CE.首先证明∠BEC=120°，由此推出点E在以M为圆心，MB为半径的 上运动，连接MA交 于E′，此时AE′的值最小.
11.【答案】 D
【解析】【解答】解：如图，过点A作AG⊥BD于G点，
∵∠BAD=90°，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点C到BD的距离为 ，
∵BD是圆的切线，
∴圆的半径为 ，
过点P作PE⊥BD于点E，
∴∠AGT=∠PET，
∵∠ATG=∠PTE，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
要使 最大，则 最大，即PE最大，
∵点P是圆上动点，BD是圆的切线，
∴PE最大为圆的直径，
即PE最大值为：3，
∴ 最大值为 ，
故答案为：D.
【分析】如图，过点A作AG⊥BD于G点，利用矩形的性质结合勾股定理求出BD，由此提高等面积法求得AG= ,从而得分析出圆的半径为 ,紧接着过点P作PE⊥BD于点E，提高证明 利用相似三角形性质得出 ，据此根据题意分析出要使 最大，则 最大，即PE最大，最后进一步分析求解即可.
12.【答案】 B
【解析】【解答】解：作AH⊥BC于H，OG⊥EF于G，连接OE、OF，如图，
∵∠EOF＝2∠EAF＝2×45°＝90°，OE＝OF，
而OE=OF，
∴EF＝ OE，
当OE的值最小时，EF的值最小，
此时AD最小，AD的最小值为AH的长，
在Rt△ABH中，
∵sin∠ABH==sin60°,
∴AH= ，
,∴OE的最小值为 ，
∴EF的最小值为 × ＝ .
故答案为：B.
【分析】作AH⊥BC于H，OG⊥EF于G，连接OE、OF，如图，利用圆周角定理得∠EOF=90°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到EF=2EG= OE，所以当⊙O的半径最小时，EF的值最小，此时AD最小，AD的最小值为AH的长，然后计算出AH的长就可得到EF的最小值.
13.【答案】 B
【解析】【解答】解：作DF⊥CA，垂足F在CA的延长线上，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD
∴DF=DG， ，
∴DA=DB，
∵∠AFD=∠BGD=90°，
∴△AFD≌△BGD，
∴AF=BG．
易证△CDF≌△CDG，
∴CF=CG，
∵AC=6，BC=8，
∴AF=1，
∴CF=7，
∵△CDF是等腰直角三角形，
∴CD=7 ，
故答案为：B．
【分析】作DF⊥CA，交CA的延长线于点F，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB．由CD平分∠ACB，根据角平分线的性质得出DF=DG，由HL证明△AFD≌△BGD，△CDF≌△CDG，得出CF=7，又△CDF是等腰直角三角形，从而求出CD=7 .
14.【答案】 B
【解析】【解答】根据题意可得直线经过定点D（3，4），则OD=5，当OD⊥BC时，BC取得最小值，根据垂径定理可得BC=24.
【分析】根据直线经过定点D（3，4）,求出最短的弦BC是过点D且该圆直径垂直的弦，再求出OD的长，再根据以原点O为圆心过点A(13,0 ），求出OB的长，然后利用勾股定理求出BD即可.
15.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A点的坐标为（4，0），B点的坐标为（0，﹣3），
，即OA=4，OB=3，
由勾股定理得：AB=5，
过C作CM⊥AB于M，连接AC，
则由三角形面积公式得： ×AB×CM= ×OA×OC+ ×OA×OB，
∴5×CM=4×1+3×4，
∴CM= ，
∴圆C上点到直线 的最大距离是 = ，
∴△PAB面积的最大值是 = ，
故答案为：C．
【分析】求出A、B的坐标，根据勾股定理求出AB，求出点C到AB的距离，即可求出圆C上点到AB的最大距离，根据面积公式求出即可．
16.【答案】 A
【解析】【解答】如图，连接EB,设
∵AB是直径
∵E是 的内心,
∴点E在以D为圆心DA为半径的圆上，运动轨迹是 ，点C的运动轨迹是
∵ ，设 ，则 ，
故答案为：A
【分析】如图，连接EB,设 ，易知点E在以D为圆心DA为半径的圆上，运动轨迹是 ，点C的运动轨迹是 ，由题意 ，设 ，则 ，利用弧长公式计算后即可解决问题.
17.【答案】 B
【解析】【解答】解：设⊙O与MN相切于点K，设正方形的边长为2a.
∵AD、CD、MN是切线，
∴AE＝DE＝DF＝CF＝a，MK＝ME，NK＝NF，设MK＝ME＝x，NK＝NF＝y，
在Rt△DMN中，∵MN＝x+y，DN＝a﹣y，DM＝a﹣x，
∴（x+y）2＝（a﹣y）2+（a﹣x）2 ，
∴ax+ay+xy＝a2 ，
∵S△BMN＝S正方形ABCD﹣S△ABM﹣S△DMN﹣S△BCN＝8，
∴4a2﹣ ×2a×（a+x）﹣ （a﹣x）（a﹣y）﹣ ×2a×（a+y）＝8，
∴ a2﹣ （ax+ay+xy）＝8，
∴a2＝8，
∴a＝2 ，
∴AB＝2a＝4 ，
∴⊙O的半径为2 ，
故答案为：B.
【分析】设⊙O与MN相切于点K，设正方形的边长为2a.因为AD、CD、MN是切线，可得AE=DE=DF=CF=a，MK=ME，NK=NF，设MK=ME=x，NK=NF=y，在Rt△DMN中，以为MN=x+y，DN=a-y，DM=a-x，看到（x+y）2=（a-y）2+（a-x）2 ， 推出ax+ay+xy=a2 ， 根据S△BMN=S正方形ABCD-S△ABM-S△DMN-S△BCN=8，构建方程求出a即可解决问题；
18.【答案】 D
【解析】【解答】解: 当直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图．
在y=﹣x+b中，令x=0时，y=b，则与y轴的交点是（0，b），
当y=0时，x=b，则A的交点是（b，0），
则OA=OB，即△OAB是等腰直角三角形．
连接圆心O和切点C．则OC=2．
则OB= OC=2 ．即b=2 ；
同理，当直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，b=﹣2 ．
则若直线y=﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是﹣2 ＜b＜2 ．
故答案为：D．
【分析】求出直线y=-x+b与圆相切，且函数经过的象限分别求出此时b的值，则相交时b的值在相切时的两个b的值之间.
19.【答案】 D
【解析】【解答】解：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H.
∵AQ=QP，
∴OQ⊥PA，
∴∠AQO=90°，
∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，
当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，
在Rt△OCH中，∵∠COH=60°，OC=2，
∴OH= OC=1，CH= ，
在Rt△CKH中，CK= = ，
∴CQ的最大值为1+ ，
故答案为：D.
【分析】如图，连接OQ，作CH⊥AB于H，根据垂径定理可得OQ⊥PA，即得∠AQO=90°，从而可判断点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，可得当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大.在Rt△OCH中,利用直角三角形的性质可求出OH、CH的长，在Rt△CKH中利用勾股定理求出CK的长，从而求出CQ的长.
20.【答案】 A
【解析】【解答】∵AB为直径，
∴AE⊥BC，
∵AB=AC，
∴∠EAB=BAC,=∠CBF,
EB=CE=CB，
∴∠CBF=∠EAB，tan∠EAB== ，
∴∠CBF+∠ABC=∠EAB+∠ABC=90°，
∴FB是⊙O的切线，
∴FB2=FD FA，
在RT△AEB中，AB=10，
∴EB= ，
∴CB=2 ， CE=，
∵CE CB=CD AC，AC=10，
∴CD=2，
∴AD=AC-CD=8，
设CF=x，则FD=x+2，FA=10+x，FB2=AF2-AB2=（10+x）2-102，
∴（10+x）2-102=（x+2）（10+x），
整理得：x= ，
∴CF= ，
答案为;A
【分析】连接AE，根据AB是直径，得出AE⊥BC，CE=EB，依据已知条件得出∠CBF=∠EAB，BF是圆的切线，进而得出BC的长，然后根据割线定理求得CD的长，最后根据切割线定理求得FC
二、填空题
21.【答案】 2
【解析】【解答】如图，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF
∵⊙O为 的内切圆，切点分别为D、E、F
∴OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，且OD=OE=OF
在Rt△ABC中，由勾股定理得
∴
∵
∴
即
∴OD=2
即⊙O的半径为2
故答案为：2
【分析】利用勾股求出AC，然后利用 ， 得到关于半径的方程，求解即可得出答案。
22.【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接OF.
∵DE⊥AB，
∴DE=EF， ，
∵点D是弧AC的中点
∴ ，
∴ ，
∴AC=DF=12，
∴EF= DF=6，设OA=OF=x，
在Rt△OEF中，则有x2=62+（x-3）2 ，
解得x= .
故答案为：.
【分析】连接OF，由垂径定理可得DE=EF， ， 根据点D是弧AC的中点可得 ， 推出 ， 根据等弧所对的弦相等得AC=DF=12，由垂径定理可得EF，设OA=OF=x，然后在Rt△OEF中，应用勾股定理求解即可.
23.【答案】
【解析】【解答】解：作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则P点就是所求作的点.
此时PA+PB最小，且等于AC的长.
连接OA，OC，OB，作OD⊥AC于D，
∵∠AMN＝40°，
∴∠AON＝80°，
∵B为弧AN的中点，
∴∠AOB＝∠NOB＝40°，
由对称可知，∠CON＝∠NOB＝40°，
∴∠AOC＝120°，
∵MN＝2
∴OA＝OC＝1，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∴OD＝ ，
，
AC＝2CD＝ .
故答案为： .
【分析】作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，此时PA+PB最小，且等于AC的长，连接OA，OC，OB，作OD⊥AC于D，由圆周角定理可得∠AON＝2∠AMN＝80°，根据中点的概念可得∠AOB＝∠NOB＝40°，由对称可知：∠CON＝∠NOB＝40°，则∠AOC＝120°，易得OA＝OC＝1，然后求出OD、CD，进而可得AC.
24.【答案】 8
【解析】【解答】解：如图，连接AD，
∵AB为直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∵CD为∠ACB的角平分线，
∴∠BCD=45°，
∴∠BAD=∠BCD=45°，
∴AB=BD= 5 ，
∴BC==8.
故答案为：8.
【分析】连接AD，由圆周角定理得出∠ACB=∠ADB=90°，然后由根据角平分线的定义求出∠BCD=45°，再由同弧所对的圆周角定理求出∠BAD=45°，则由等腰直角三角形的性质求出AB长，最后由勾股定理求BC长即可.
25.【答案】 3 +3
【解析】【解答】解：如图，作△AOC的外接圆⊙P，过点P作PQ⊥AC与Q，延长QP⊙P于O'，连接PA、PC.
当点O在圆周上运动到点O'，即点O与O'重合时，点O到AC距离最大.
∵∠MON＝45°，
∴∠CO'A＝45°，
∴∠CPA＝90°，
∵PQ⊥AC，
∴QA＝QC＝ AC＝3，
∴PQ＝ AC＝3，
PA＝ QA＝3 ，
OP＝AP＝3 ，
∴O'Q＝OP+PQ＝3 +3.
故答案为：3 +3.
【分析】作△AOC的外接圆⊙P，过点P作PQ⊥AC与Q，延长QP⊙P于O'，连接PA、PC；由题意知：当点O在圆周上运动到点O'，即点O与O'重合时，点O到AC距离最大。根据O'Q＝OP+PQ可求解.
26.【答案】 （1）3
（2）12:25
【解析】【解答】解：过点C作CF⊥AB于点F，
∵点C是弧DB的中点
∴弧CD=弧BC，
∴∠DAC=∠BAC，CD=BC
∴AC平分∠DAB，
∵CE⊥CD，
∴FC=CE，
在Rt△DEC和R△BFC中
∴Rt△DEC≌R△BFC（HL）
同理可证△AEC≌△ACF
∴S△DEC=S△BFC=1，S△AEC=S△ACF ，
∵S△ABC=S△ACF+S△BFC=5
∴S△AEC=S△ACF=5-1=4，
∴S△ADC=S△AEC-S△DEC=4-1=3.
故答案为：3.
（2）连接OC，BD交于点H，
∵
∴DA=3DE，
设DE=a，则DA=3a，
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB=∠EDH=90°=∠E，
∵点C是弧BD的中点，
∴OC⊥BD
∴∠DHC=90°，
∴四边形DEHC是矩形，
∴CH=DE=a，
OH是△ADB的中位线
∴
∴OC=CH+OH=a+=
∴AB=2OC=5a，
∴ ，
∵
∴5a·DG=3a·4a
解之：DG=2.4a
∴DG∶AB=2.4a：5a=12:25.
故答案为：12:25.
【分析】 （1）过点C作CF⊥AB于点F，利用弧的中点及等弧所对圆周角相等，可知AC平分∠DAB，CD=BC，利用角平分线的性质可得到FC=CE；利用HL可证得Rt△DEC≌R△BFC，△AEC≌△ACF，利用全等三角形的面积相等可推出S△DEC=S△BFC=1，S△AEC=S△ACF ， 从而可求出△AEC的面积及△ACD的面积.
（2）连接OC，BD交于点H，利用△CDE和△ADC的面积可证得DA=3DE，设DE=a，则DA=3a；利用直径所对圆周角是直角，可证得∠ADB=∠EDH=90°=∠E，利用垂径定理可证得∠DHC=90°，由此可推出四边形DEHC是矩形，可得到CH=a，利用三角形的中位线定理可求出OH的长，即可表示出圆的半径，再表示出圆的直径AB的长；再利用勾股定理求出BD的长，利用直角三角形的两个面积公式可表示出DG的长；然后求出DG∶AB的值.
27.【答案】 2
【解析】【解答】解：过点P作⊙A的切线，切点为Q，连接AP、AQ，设直线 与x、y轴的交点分别为B、C，如图所示：
∴∠AQP=90°，
令y=0时，则 ，解得 ，令x=0时，则y=2，
∴OC=2，OB=4，
∵半径为1的⊙A圆心A的坐标为（﹣1，0），
∴ ，
∴AB=5，
∴在Rt△PQA中， ，
∴当切线长PQ为最小时，则AP为最小，由此可得当AP与直线 垂直时AP取最小，连接AC，则由勾股定理可得 ，
∴ ，
∴AC⊥BC，
∴当点P与点C重合时，PQ取最小值，如图所示，
∵OA=AQ，AC=AC，∠AQP=∠AOP=90°，
∴△AQP≌△AOP（HL），
∴OP=PQ=2，
∴PQ的最小值为2；
故答案为2.
【分析】过点P作⊙A的切线，切点为Q，连接AP、AQ，设直线 与x、y轴的交点分别为B、C，可得∠AQP=90°，利用勾股定理可得 ， 可知当AP最小时，PQ最小，根垂线段最短，可知当AP⊥BC时，AP最小，此时当点P与点C重合时，证明Rt△AQP≌Rt△AOP,可得OP=PQ=2，据此即得结论.
28.【答案】 ①③④
【解析】【解答】解：①连接 ，如图，
∵ 平分 ，
∴ .
∴ ，
∴ .
∵ 为⊙O的切线，
∴ .
∴MN∥BC，所以①正确；
②∵
∴∠DBC=∠CAD.
∴ .
∴只有当 或∠BED=∠BAC时，
而上述的条件不具备，所以②错误；
③过A点作直径 ，连接BG，如图，
∵ 为直径，
∴ .
∵ ，
∴ .
∴ .
∵
.
∴ .
∴ .
. 所以③正确；
④过D点作 于P， 交AC的延长线于点Q，连接DC.如图，
∵ 平分 ，
∴ ， .
∴
∴ .
在 中， ，
∴ .
同理，在 中， .
在 和 中，
，
∴ .
∴ ，
即 .
∴ .
∴ .所以④正确.
故答案为：①③④.
【分析】连接OD，由角平分线的概念可得∠BAD=∠CAD，推出OD⊥BC，由切线的性质可得OD⊥MN，据此可判断①；由圆周角定理可得∠DBC=∠CAD，推出∠DBC=∠BAD，然后根据相似三角形的判定定理可判断②；过A点作直径AG，连接BG，由圆周角定理可得∠ABG=90°，由垂直的概念可得∠AFC=90°，证明△ABG∽△AFC，由相似三角形的性质可判断③；过D点作DP⊥AB于P， DQ⊥AC交AC的延长线于点Q，连接DC，易得∠BAD=∠QAD=α，DP=DQ，DB=DC，证明△DBP≌△DCQ，得到BP=CQ，即AB-AP=AQ-AC，据此判断④.
29.【答案】 2.5
【解析】【解答】解：当CD∥AB时，PM最长，连接OM，CO，
∵CD∥AB，CP⊥CD，
∴CP⊥AB
∵点M是CD的中点，OM过点O
∴OM⊥CD，
∴∠OMC=∠PCD=∠CPO=90°，
∴四边形CPOM是矩形，
∴PM=OC，
OC=AB=2.5
∴PM=2.5.
故答案为：2.5
【分析】当CD∥AB时，PM最长，连接OM，CO，利用垂径定理易证OM⊥CD，再证明∠OMC=∠PCD=∠CPO=90°，可推出四边形CPOM是矩形，利用矩形的对角线相等，可证得PM=OC，从而可求出PM的长。
30.【答案】
【解析】【解答】解：如图：过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．
∵PE⊥AB，AB=4 ，半径为4，
∴AE= AB=2 ，PA=4，
根据勾股定理得：PE= ，
∵点A在直线y=x上，∴∠AOC=45°，
∵∠DCO=90°，∴∠ODC=45°，
∴△OCD是等腰直角三角形，∴OC=CD=4，
∴∠PDE=∠ODC=45°，∴∠DPE=∠PDE=45°，
∴DE=PE=2，∴PD=2 ∵⊙P的圆心是（4，a），
∴a=PD+DC=4+2 ．
故答案为4+2
【分析】先求出AE= AB=2 ，PA=4，再求出PD=2 ， 最后计算求解即可。
31.【答案】
【解析】【解答】解：将△ABD绕点A顺时针旋转120°，则D与点C重合，B′是定点，
BD的最大值即B′C的最大值，当B′，O，C三点共线时，BD最大
过点B′作B′E⊥AB，交BA的延长线于点E
由题意可得A′B=AB=4，∠EAB′=60°
∴AE=2，B′E= ，OC=OB=2
在Rt△OEB′中，B′O=
∴B′D= B′O+OC= .
故答案为： .
【分析】将△ABD绕点A顺时针旋转120°，则D与点C重合，B′是定点，BD的最大值即B′C的最大值，过点B′作B′E⊥AB，交BA的延长线于点E，由题意可得A′B=AB=4，∠EAB′=60°，求出AE、B′E、OC的值，在Rt△OEB′中，应用勾股定理求出B′O，据此求解.
32.【答案】 6π
【解析】【解答】
做出辅助线，如图所示，在Rt三角形BOD中, OB=R=6,OD=3
所以∠OBD=30°，∠AOC=60°，
∴阴影部分面积对应的圆心角为60°，代入公式可得
【分析】根据直角三角形的性质可得出角的度数的关系，利用扇形面积公式可得出阴影部分面积。
33.【答案】
【解析】【解答】解：如图 ，连接 ，
∵ 是 的切线，
∴ ，∵
∴ ，且 为半径
∴ 垂直平分
∴
∴
∴ 平分 ，故 符合题意
点 的外心，故 符合题意；
如图 ，过点C作 交 的延长线与点G
，故 符合题意；
如图 ，作点M关于 的对称点 ，
点M与点 关于 对称，
当点N在线段 上，且 时， ，
且
∴ 的最小值为 ；故 符合题意．
故答案为： ．
【分析】如图1，连接 ，通过切线的性质证 ，进而由 ，即可由垂径定理得到F是 的中点，根据圆周角定理可得 ，可得 平分 ；由三角形的外角性质和同弧所对的圆周角相等可得 ，可得 ，可得点F为 得外心；如图 2 ，过点C作 交 的延长线与点G通过证明 ，可得 ；如图 3 ，作点M关于 的对称点 ，当点N在线段 上，且 时， ．
34.【答案】 1或
【解析】【解答】解：因为 内接于圆， ，D是⊙O上与点B关于圆心O成中心对称的点，
∴AB=BC=CD=AD,
是正方形
①点R在线段AD上，
∵AD∥BC，
∴∠ARB=∠PBR，∠RAQ=∠APB，
∵AP=BR，
∴△BAP≌ABR，
∴AR=BP，
在△AQR与△PQB中，
，
②点R在线段CD上，此时△ABP≌△BCR，
∴∠BAP=∠CBR．
∵∠CBR+∠ABR=90°，
∴∠BAP+∠ABR=90°，
∴BQ是直角△ABP斜边上的高，
∴QR=BR-BQ=5-2.4=2.6，
.
故答案为：1或 .
【分析】首先证明四边形ABCD为正方形，即可得到AD∥BC，根据题意，由R点的位置，判断得到答案即可。
35.【答案】
【解析】【解答】解：连接OD，BD，AD，AE，BE，
∴∠ACE＝∠ABE，
∵sin∠ACE＝ ，
∴sin∠ABE＝ ＝ ，
∴设AE＝ x，AB＝5x，
∴BE＝ ＝2 x，
∵点D为弧BE中点，
∴OD⊥BE，OD平分BE，
设OD，BE相交于H，
∴BH＝EH＝ x，
∴OH＝ ＝ x2 ，
∴DH＝ x2 ，
∵∠BAD＝∠DBH，∠ADB＝∠BHD＝90°，
∴△BDH∽△ABD，
∴ ，
∴ ＝ ＝ ，
∴BD2＝ x，
∴AD2＝ x，
∵点D为弧BE中点，
∴BD＝DE，
∴ ＝ ＝ ，
故答案为： .
【分析】连接OD，BD，AD，AE，BE，得到∠ACE＝∠ABE，求得sin∠ABE＝ ＝
， 设AE＝ x，AB＝5x，根据勾股定理得到BE＝ ＝2 x，根据垂径定理得到OD⊥BE，OD平分BE，设OD，BE相交于H，得到BH＝EH＝ x，根据勾股定理得到OH＝ ＝ x，求得DH＝ x，根据相似三角形的性质即可得到结论.
36.【答案】 ．
【解析】【解答】
设圆的圆心是O，连接OD，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F．
根据题意知，∵OF⊥AC，∴AF= AC=3，
∵∠CAD=∠BAD，∴ ，∴点D是弧BC的中点．∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD，
在△AOF和△OED中，∵∠OFA=∠OED，∠FAO=∠EDO，AO=DO，
∴△AOF≌△OED（AAS），∴OE=AF=3，
∵DO=5，∴DE=4，∴AD= ．
故答案为 ．
【分析】通过作辅助线，结合三角形全等的性质与判定，利用勾股定理求出线段的长度即可.
37.【答案】
【解析】【解答】解：∵∠OHD=90°，∴点H的运动轨迹为以OD为直径的圆上，
∵AB=4，BC=4 ， ∴AC=BD=8， ∴AO=OD=4，
设OD的中点为M，则圆M的半径为2，∴AM= ，
当A、H、M三点在同一条直线上时，AH最短，则AH= ．
【分析】首先根据∠OHD=90°得出点H的运动轨迹，根据直角三角形的勾股定理得出AO和OD的长度，设OD的中点为M，根据Rt△AOM的勾股定理得出AM的长度，从而得出最小值．
38.【答案】 ②③
【解析】【解答】∵在 中，AB是直径，点D是 上一点，点C是 的中点，
故①错误；
连接OD，
则OD⊥GD，∠OAD=∠ODA，
∴∠GPD=∠GDP；
∴GP=GD，故②正确；
∵弦CE⊥AB于点F，
∴A为 的中点,即
又∵C为 的中点，
∴∠CAP=∠ACP，
∴AP=CP.
∵AB为 的直径，
∴∠PCQ=∠PQC，
∴PC=PQ，
∴AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，
∴P为Rt△ACQ的外心，故③正确；
故答案为：②③.
【分析】①由等弧所对圆周角相等可得两角相等，但弧BD与弧CD不一定相等，故①错误；②连接OD，结合切线的定义及GE⊥AB即可利用等角的余角相等证得∠GPD=∠GDP，再利用等角对等边即可得证 GP=GD ；③证P为Rt△ACQ的外心即证点P到三角形三个顶点的距离相等，又因为∠ACB是直径AB所对的圆周角，故∠ACB=90° ，即三角形ACQ为直角三角形，故只需证点P为其斜边AQ的中点即可.
39.【答案】 8， ，
【解析】【解答】解：①当BA=BP时，
易得AB=BP=BC=8，即线段BC的长为8．
②当AB=AP时，如图1，延长AO交PB于点D，过点O作OE⊥AB于点E，则AD⊥PB，AE=AB=4，
∴BD=DP，
在Rt△AEO中，AE=4，AO=5，
∴OE=3，
易得△AOE∽△ABD，
∴= ，
∴BD= ，
∴BD=PD= ， 即PB= ，
∵AB=AP=8，
∴∠ABD=∠P，
∵∠PAC=∠ADB=90°，
∴△ABD∽△CPA，
∴= ，
∴CP= ，
∴BC=CP﹣BP=-=；
③当PA=PB时
如图2，连接PO并延长，交AB于点F，过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，连接OB，
则PF⊥AB，
∴AF=FB=4，
在Rt△OFB中，OB=5，FB=4，
∴OF=3，
∴FP=8，
易得△PFB∽△CGB，
∴== ，
设BG=t，则CG=2t，
易得∠PAF=∠ACG，
∵∠AFP=∠AGC=90°，
∴△APF∽△CAG，
∴= ，
∴= ， 解得t= ，
在Rt△BCG中，BC=t= ，
综上所述，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为8， ， ，
故答案为：8， ， ．
【分析】①当BA=BP时，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；
②当AB=AP时，如图1，延长AO交PB于点D，过点O作OE⊥AB于点E，易得△AOE∽△ABD，利用相似三角形的性质求得BD，PB，然后利用相似三角形的判定定理△ABD∽△CPA，代入数据得出结果；
③当PA=PB时，如图2，连接PO并延长，交AB于点F，过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，连接OB，则PF⊥AB，易得AF=FB=4，利用勾股定理得OF=3，FP=8，易得△PFB∽△CGB，利用相似三角形的性质=， 设BG=t，则CG=2t，利用相似三角形的判定定理得△APF∽△CAG，利用相似三角形的性质得比例关系解得t，在Rt△BCG中，得BC．
40.【答案】 （4 ，4）．
【解析】【解答】∵A，B两点的坐标分别为（2 ，0），（0，10），
∴OB=10，OA=2 ，
∴AB= =4 ，
∵∠AOB=90°，
∴AB是直径，CM=2 ，
∴Rt△AOB外接圆的圆心为AB中点，
∴C点坐标为（ ，5），
过点C作CF∥OA，过点M作ME⊥OA于E交CF于F，作CN⊥OE于N，如图所示：
则ON=AN= OA= ，
设ME=x，
∵∠AOM=30°，
∴OE= x
∴∠CFM=90°，
∴MF=5﹣x，CF= x﹣ ，CM=2 ，
在△CMF中，根据勾股定理得：（ x﹣ ）2+（5﹣x）2=（2 ）2 ，
解得：x=4或x=0（舍去），
∴OE= x=4
故答案为：（4 ，4）．
【分析】过点C作CF∥OA，过点M作ME⊥OA于E交CF于F，作CN⊥OE于N；由圆周角性质易得直径AB=2；A，B两点的坐标分别为（2 ，0），（0，10）结合AB的中点O利用中位线易得C点坐标为（ ，5），设ME=x，则利用前面所给条件可得MF=5﹣x，CF= x﹣ ，CM=2 ；在Rt△CFM中利用勾股定理可列方程（ x﹣ ）2+（5﹣x）2=（2 ）2 ， 解得ME=4，从而得到点M的坐标（4 ，4）。