广西“三新”学术联盟2021-2022学年高一（上）12月联考
数学试卷
答案与解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣3x＜0}，B＝{x|x≥1}，则A∩B＝（ ）
A．{x|1≤x＜3} B．{x|0＜x≤1} C．{x|x＞0} D．{x|x＜3}
【分析】求出集合A，利用交集定义能求出A∩B．
【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣3x＜0}＝{x|0＜x＜3}，
B＝{x|x≥1}，
∴A∩B＝{x|1≤x＜3}．
故选：A．
2．（5分）已知命题p： x＞0，2x＞1，则￢p为（ ）
A． x＞0，2x≤1 B． x＞0，2x≤1 C． x＞0，2x＞1 D． x＞0，2x≥1
【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题p： x＞0，2x＞1，则￢p为： x＞0，2x≤1．
故选：B．
3．（5分）已知函数，则f（f（﹣3））＝（ ）
A． B．1 C．2 D．
【分析】推导出f（﹣3）＝2，从而f[f（﹣3）]＝f（2），由此能求出结果．
【解答】解：∵函数，
∴f（﹣3）＝|﹣3+1|＝2，
f[f（﹣3）]＝f（2）＝．
故选：D．
4．（5分）设p：log2x＜1，q：x＜2，则p是q成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】先求出p中x的取值范围，再利用两集合间的包含关系判断充分条件和必要条件．
【解答】解：对于p：∵log2x＜1，∴0＜x＜2，
∵{x|0＜x＜2} {x|x＜2}，
∴p是q成立的充分不必要条件，
故选：A．
5．（5分）若幂函数f（x）＝（2m2﹣6m+5）x2m﹣3没有零点，则实数m的值为（ ）
A．1 B．1或2 C．2 D．0
【分析】由幂函数的性质可知2m2﹣6m+5＝1，求出m的值，结合函数没有零点即可判断m的值．
【解答】解：由题意可知2m2﹣6m+5＝1，
解得m＝1或2，
当m＝1时，f（x）＝x﹣1＝，没有零点，符合题意，
当m＝2时，f（x）＝x，存在零点x＝0，不符合题意，
所以m的值为1，
故选：A．
6．（5分）在同一个坐标系中，函数f（x）＝a﹣x与g（x）＝lga﹣lgx（a＞0且a≠1）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分类讨论a＞1和0＜a＜1，根据函数的单调性和特殊点求解即可．
【解答】解：①当a＞1时，函数y＝a﹣x 是减函数，图象过点（0，1），函数g（x）＝lga﹣lgx是减函数，∴BD错误，
②当0＜a＜1时，函数y＝a﹣x 是增函数，图象过点（0，1），函数g（x）＝lga﹣lgx是减函数，
图象与x轴交点的横坐标在（0，1）之间，∴A错误，C正确，
故选：C．
7．（5分）某企业的生产废水中某重金属对环境有污染，因此该企业研发了治理回收废水中该重金属的过滤装置，废水每通过一次该装置，可回收20%的该重金属．若当废水中该重金属含量低于最原始的5%时，至少需要经过该装置的次数为（ ）（参考数据：1g2＝0.301）
A．13 B．14 C．15 D．16
【分析】设至少需要经过该装置的次数为n，则0.8n＜5%，然后结合指数与对数的相互转化及对数的运算性质可求．
【解答】解：设至少需要经过该装置的次数为n，
则0.8n＜5%，
所以n＞log0.8＝＝≈13.4，
故n取14．
故选：B．
8．（5分）已知f（x+2）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）在[0，+∞）上单调递增，则不等式f（﹣2x+1+2）＞f（10）的解集为（ ）
A．{x|0＜x＜2} B．{x|0＜x＜1} C．{x|x＞2} D．{x|x＞3}
【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．
【解答】解：因为f（x+2）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）在[0，+∞）上单调递增，
所以f（x）的图象关于x＝2对称，且在[2，+∞）上单调递增，
由f（﹣2x+1+2）＞f（10）得|﹣2x+1+2﹣2|＞|10﹣2|，
整理得，2x+1＞8，
解得x＞2，
故选：C．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（5分）已知集合M＝{x|x2＝4}，N为自然数集，则下列结论正确的是（ ）
A．2∈M B．M＝{﹣2，2} C． M D．M N
【分析】先求出集合M，然后对应各个选项即可判断求解．
【解答】解：由已知可得集合M＝{2，﹣2}，故A，B正确，
根据空集的性质可得选项C正确，
因为集合N的元素为0和正整数，故D错误，
故选：ABC．
10．（5分）下列命题为假命题的是（ ）
A．若ac＞bc，则a＞b B．若a＞﹣2，则a+b＞b
C．若，则a＜b D．若，则a＜b
【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．
【解答】解：对于A，令c＝﹣1，则a＜b，故A为假命题，
对于B，令a＝﹣1，满足a＞﹣2，但a+b＜b，故B为假命题，
对于C，令a＝1，b＝﹣1，满足，但a＞b，故C为假命题，
对于D，∵，
∴，即a＜b，故D为真命题．
故选：ABC．
11．（5分）下列四个函数中定义域与值域相同的函数为（ ）
A．y＝3﹣x B．y＝2x﹣1（x＞0）
C．y＝x2+2x﹣10 D．
【分析】分别求出各选项中函数的定义域及值域即可判断．
【解答】解：y＝3﹣x的定义域和值域都为R，符合题意；
x＞0时，y＝2x﹣1，定义域与值域不同，不符合题意；
y＝x2+2x﹣10＝（x+1）2﹣11＞﹣11，定义域为R，不符合题意；
y＝定义域R，当x≤0时，y＝x≤0，当x＞0时，y＝＞0，
根据分段函数的性质可知，函数值域R，符合题意．
故选：AD．
12．（5分）已知函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x）
B．f（﹣3）＜f（2），g（﹣3）＜g（2）
C．f（2x）＝2f（x） g（x）
D．[f（x）]2﹣[g（x）]2＝﹣1
【分析】由指数的运算性质和奇偶性的定义可判断A；由f（x），g（x）的单调性可判断B；计算f（2x）﹣2f（x）g（x），可判断C；由指数的运算性质可判断D．
【解答】解：函数，，
可得f（﹣x）＝＝﹣f（x），g（﹣x）＝＝g（x），故A正确；
由f（x）在R上递增，g（x）在（0，+∞）上递增，可得f（﹣3）＜f（2），g（﹣3）＝g（3）＞g（2），故B错误；
f（2x）﹣2f（x）g（x）＝﹣2 ＝﹣＝0，即f（2x）＝2f（x）g（x），故C正确；
[f（x）]2﹣[g（x）]2＝﹣＝﹣1，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知函数f（x）＝log2（x+a），且，则实数a的值为 ．
【分析】利用对数函数的运算法则求解即可．
【解答】解：∵f（x）＝log2（x+a），且，
∴log2（+a）＝1，∴+a＝2，∴a＝，
故答案为：．
14．（5分）若a＞0，b＞0，a+2b＝1，则的最小值为 8 ．
【分析】由a+2b＝1化简＝++4，从而利用基本不等式求最值．
【解答】解：∵a+2b＝1，
∴＝（）（a+2b）
＝++4≥8，
当且仅当＝，即a＝，b＝时，等号成立，
故的最小值为8，
故答案为：8．
15．（5分）已知函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且 x0∈（﹣∞，0），使得f（x0）+f（﹣x0）＝0成立，请写出一个符合条件的函数f（x）的表达式 （答案不唯一） ．
【分析】可取反比例函数f（x）＝，检验满足条件．
【解答】解：可取f（x）＝，满足f（x）在（0，+∞）上为减函数，
当x0＝﹣1时，f（x0）+f（﹣x0）＝﹣1+1＝0成立．
故答案为：f（x）＝（答案不唯一）．
16．（5分）已知函数，则f（x）+f（2﹣x）＝ 2 ；＝ 9 ．
【分析】由对数的运算性质可得f（x）+f（2﹣x）的值；设s＝，然后利用倒序相加法求和即可．
【解答】解：函数，则f（x）+f（2﹣x）＝ln+ln
＝ln[ ]＝lne2＝2；
设s＝，则s＝f（）+f（）+...+f（），
上面两式相加可得2s＝[f（）+f（）]+...+[f（）+f（）]
＝2+...+2＝2×9＝18，即s＝9．
故答案为：2；9．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）设全集U＝{1，2，3，4}，M＝{x∈U|x2﹣5x+p＝0}，且 UM＝{1，4}，求实数p的值．
【分析】由已知求出集合M＝{2，3}，则方程x2﹣5x+p＝0的两根分别为2和3，再根据韦达定理即可求解．
【解答】解：因为集合U＝{1，2，3，4}，且 UM＝{1，4}，
所以M＝{x∈U|x2﹣5x+p＝0}＝{2，3}，
则方程x2﹣5x+p＝0的两根分别为2和3，
所以p＝2×3＝6，
故实数p的值为6．
18．（12分）已知函数（a、b∈R，且ab≠0），，且方程f（x）＝x有且仅有一个实数解．求函数f（x）的解析式．
【分析】根据题意，直接带入f（1），同时考虑f（x）＝x有且仅有一个实数解，可求出a．b值，即可得到答案．
【解答】解：∵，∴，即2a＝b+1，
又∵只有一个实数解，
∴bx2+（1﹣a）x＝0有且仅有一个实数解为0，
∴，
∴解得：a＝1，b＝1，
∴函数f（x）的解析式为．
19．（12分）已知函数f（x）＝log2（2x+1）．
（1）解方程f（x）＝log219；
（2）证明：f（x）在区间（﹣∞，+∞）上是增函数．
【分析】（1）结合已知及指数与对数的相互转化即可直接求解；
（2）先设x1＜x2，然后利用作差法比较f（x1）与f（x2）的大小即可判断．
【解答】解：（1）∵，
∴2x+1＝19，
∴2x＝18，
解得：x＝log218，
∴原方程的根为x＝log218．
（2）证明：任取x1＜x2，则：，
∵x1＜x2，∴，∴，，
∴f（x1）＜f（x2），即函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增．
20．（12分）设函数f（x）＝lg（x2﹣x﹣2）定义域的集合为A，B＝{x|0＜x＜3}．
（1）求集合A；
（2）设（ RA）∩B＝C，关于x的不等式2x+1+m＜0的解集为D，若x∈C是x∈D的充分条件，求实数m的取值范围．
【分析】（1）根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可．
（2）利用充分必要条件的定义列出不等式组求解即可．
【解答】解：（1）∵x2﹣x﹣2＞0，∴x＜﹣1或x＞2，∴A＝{x|x＜﹣1或x＞2}，
（2）∵ RA＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|0＜x＜3}，
∴C＝（ RA）∩B＝{x|0＜x≤2}，
∵x∈C是x∈D的充分条件，
，∴m＜﹣5，
∴实数m的取值范围为（﹣∞，﹣5）．
21．（12分）已知奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）对任意的x∈R，不等式f（x）≤2+3x﹣t恒成立，求实数t的最大值．
【分析】（1）利用奇函数的定义，列式求解即可；
（2）利用参变量分离法结合基本不等式求解最值，即可得到t的取值范围，从而得到答案．
【解答】解：（1）因为函数f（x）为奇函数，
所以f（﹣x）＝﹣f（x），
则对x∈R恒成立，
所以2a＝4，
解得a＝2；
（2）由（1）可得，，
因为对任意的x∈R，不等式f（x）≤2+3x﹣t恒成立，
所以对任意的x∈R，不等式恒成立，
又，
当且仅当x＝0时等号成立，
所以t≤3，
故实数t的最大值是3．
22．（12分）已知函数，x∈（0，+∞）．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞1的解集；
（2）若关于x的方程恰有两个相异实根，求实数a的取值范围．
【分析】（1）当a＝1时，，则不等式f（x）＞1为，即可得出答案．
（2）由在上有两个解，推出直线y＝a与的图象在上有两个交点，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵当a＝1时，，
∵f（x）＞1，
∴，
∴，解得：x＞0且x≠1，
∴不等式f（x）＞1的解集为{x|x＞0且x≠1}．
（2）∵在上有两个解，
即，
∴直线y＝a与的图象在上有两个交点，
设，则，，
，，
∴g（0）＝0，，
∴，
∴实数a的取值范围为．广西“三新”学术联盟2021-2022学年高一（上）12月联考
数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣3x＜0}，B＝{x|x≥1}，则A∩B＝（ ）
A．{x|1≤x＜3} B．{x|0＜x≤1} C．{x|x＞0} D．{x|x＜3}
2．（5分）已知命题p： x＞0，2x＞1，则￢p为（ ）
A． x＞0，2x≤1 B． x＞0，2x≤1 C． x＞0，2x＞1 D． x＞0，2x≥1
3．（5分）已知函数，则f（f（﹣3））＝（ ）
A． B．1 C．2 D．
4．（5分）设p：log2x＜1，q：x＜2，则p是q成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（5分）若幂函数f（x）＝（2m2﹣6m+5）x2m﹣3没有零点，则实数m的值为（ ）
A．1 B．1或2 C．2 D．0
6．（5分）在同一个坐标系中，函数f（x）＝a﹣x与g（x）＝lga﹣lgx（a＞0且a≠1）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．（5分）某企业的生产废水中某重金属对环境有污染，因此该企业研发了治理回收废水中该重金属的过滤装置，废水每通过一次该装置，可回收20%的该重金属．若当废水中该重金属含量低于最原始的5%时，至少需要经过该装置的次数为（ ）（参考数据：1g2＝0.301）
A．13 B．14 C．15 D．16
8．（5分）已知f（x+2）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）在[0，+∞）上单调递增，则不等式f（﹣2x+1+2）＞f（10）的解集为（ ）
A．{x|0＜x＜2} B．{x|0＜x＜1} C．{x|x＞2} D．{x|x＞3}
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（5分）已知集合M＝{x|x2＝4}，N为自然数集，则下列结论正确的是（ ）
A．2∈M B．M＝{﹣2，2} C． M D．M N
10．（5分）下列命题为假命题的是（ ）
A．若ac＞bc，则a＞b B．若a＞﹣2，则a+b＞b
C．若，则a＜b D．若，则a＜b
11．（5分）下列四个函数中定义域与值域相同的函数为（ ）
A．y＝3﹣x B．y＝2x﹣1（x＞0）
C．y＝x2+2x﹣10 D．
12．（5分）已知函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x）
B．f（﹣3）＜f（2），g（﹣3）＜g（2）
C．f（2x）＝2f（x） g（x）
D．[f（x）]2﹣[g（x）]2＝﹣1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知函数f（x）＝log2（x+a），且，则实数a的值为 ．
14．（5分）若a＞0，b＞0，a+2b＝1，则的最小值为 ．
15．（5分）已知函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且 x0∈（﹣∞，0），使得f（x0）+f（﹣x0）＝0成立，请写出一个符合条件的函数f（x）的表达式 ．
16．（5分）已知函数，则f（x）+f（2﹣x）＝ ；＝ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）设全集U＝{1，2，3，4}，M＝{x∈U|x2﹣5x+p＝0}，且 UM＝{1，4}，求实数p的值．
18．（12分）已知函数（a、b∈R，且ab≠0），，且方程f（x）＝x有且仅有一个实数解．求函数f（x）的解析式．
19．（12分）已知函数f（x）＝log2（2x+1）．
（1）解方程f（x）＝log219；
（2）证明：f（x）在区间（﹣∞，+∞）上是增函数．
20．（12分）设函数f（x）＝lg（x2﹣x﹣2）定义域的集合为A，B＝{x|0＜x＜3}．
（1）求集合A；
（2）设（ RA）∩B＝C，关于x的不等式2x+1+m＜0的解集为D，若x∈C是x∈D的充分条件，求实数m的取值范围．
21．（12分）已知奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）对任意的x∈R，不等式f（x）≤2+3x﹣t恒成立，求实数t的最大值．
22．（12分）已知函数，x∈（0，+∞）．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞1的解集；
（2）若关于x的方程恰有两个相异实根，求实数a的取值范围．
