河南省2021-2022学年高三上学期12月第五次联考文科数学试题（Word版含答案）

河南省2021-2022学年高三上学期12月第五次联考
数学（文科）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知点，，，，则向量与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知两个变量与的五组数据如下表所示，且关于的线性回归方程为，则（ ）
6.3 7.2 7.8 8.2 9.5
42 46 50 57
A．52 B．53 C．54 D．55
6．下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形．图（1）中阴影三角形的个数为1，记为，图（2）中阴影三角形的个数为3，记为，以此类推，，，…，数列构成等比数列．设的前项和为，若，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．如图，在三棱锥中，，，点，分别为，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，其图象关于直线对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知是定义域为R且周期为2的函数，当时，则（ ）
A． B． C． D．1
10．已知双曲线，过左焦点且斜率为的直线交的一条渐近线于点，且在第一象限，若（为坐标原点），则的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
11．设数列的前项和为，若，则（ ）
A． B．
C． D．满足的的最大值为2021
12．已知定义在R上的函数满足，且有，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．抛物线的焦点坐标为______．
14．已知实数，满足，则目标函数的最大值为______．
15．已知，则______．
16．如图所示的四边形是边长为的正方形，对角线，相交于点，将沿折起到的位置，使平面平面．
给出以下5个结论：①；②和都是等边三角形；③平面平面；④；⑤三棱锥表面的四个三角形中，面积最大的是和．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，．
（1）求角的大小；
（2）求的最小值．
18．（12分）
新高考取消文理分科，采用选科模式，这赋予了学生充分的自由选择权．新高考地区某校为了解本校高一年级将来高考选考物理的情况，随机选取了100名高一学生，将他们某次物理测试成绩（满分100分）按照，，，，分成5组，制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求图中的值并估计这100名学生本次物理测试成绩的中位数．
（2）根据调查，本次物理测试成绩不低于60分的学生，高考将选考物理科目；成绩低于60分的学生，高考将不选考物理科目．按分层抽样的方法从测试成绩在，的学生中选取5人，再从这5人中任意选取2人，求这2人中至少有1人高考选考物理科目的概率．
19．（12分）
如图所示的四棱锥的底面是一个等腰梯形，，且，是的中线，点是棱的中点．
（1）证明：平面．
（2）若平面平面，且，，求点到平面的距离．
20．（12分）
已知椭圆的离心率为，且椭圆经过点，过右焦点作两条互相垂直的弦和．
（1）求椭圆的方程；
（2）当四边形的面积取得最小值时，求弦所在直线的方程．
21．（12分）
已知函数．
（1）判断的单调性．
（2）证明：．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求和的直角坐标方程；
（2）若为曲线上任意一点，直线与轴、轴的交点分别为，，求面积的最大值．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）当时，，求实数的取值范围．
河南省2021-2022学年高三上学期12月第五次联考
数学参考答案（文科）
1．C【解析】本题考查集合的运算，考查数学运算的核心素养．
因为，，所以．
2．A【解析】本题考查复数的运算，考查数学运算的核心素养．
因为，所以解得故．
3．D【解析】本题考查实数大小的比较，考查数学运算的核心素养．
因为，，，所以．
4．C【解析】本题考查平面向量的夹角，考查数学运算的核心素养．
设与的夹角为，因为，，所以．
5．D【解析】本题考查统计的知识，考查数据分析的核心素养．
因为，所以，则．
6．B【解析】本题考查数列的通项公式与求和公式，考查数学运算的核心素养．
易知，，由，得，所以．
7．A【解析】本题考查异面直线所成的角，考查直观想象的核心素养．
如图，连接，取的中点，连接，，则，为异面直线，所成的角．由题意可知，，，所以
．
8．B【解析】本题考查三角函数的性质与恒等变换，考查数学运算的核心素养．
因为，
所以．因为函数的图象关于直线对称，所以
，所以，因为，所以当时，．
9．D【解析】本题考查函数的性质与求值，考查数学运算的核心素养．
因为的周期为2，所以，又所以
，，故．
10．C【解析】本题考查双曲线，考查直观想象、数学运算的核心素养．
联立方程组解得即．因为，所以
，化简得，所以双曲线的渐近线方程为．
11．C【解析】本题考查数列的通项公式与求和公式，考查逻辑推理的核心素养．
，故A错误；
因为，
所以，故B错误；
因为是单调递减数列，所以，故C正确；
因为单调递增，且，，所以满足的的最大值为2020，故D错误．
12．A【解析】本题考查导数在研究函数中的应用，考查逻辑推理的核心素养．
设，则，所以函数在R上单调递增．又，所以．因为等价于，即，所以，即所求不等式的解集为．
13．【解析】本题考查抛物线，考查数学运算的核心素养．
由，得，故抛物线的焦点坐标为．
14．3【解析】本题考查线性规划的知识，考查数学运算的核心素养．
画出可行域（图略）知，当直线过点时，取得最大值3．
15．5【解析】本题考查三角恒等变换，考查数学运算的核心素养．
因为，所以．
16．①②④【解析】本题考查立体几何中点、线、面的位置关系与体积，考查直观想象、数学运算的核心素养．
因为正方形的对角线互相垂直，所以，且，所以平面，所以，即①正确；因为正方形的边长是，所以，又平面平面，所以平面，所以，即和都是等边三角形，②正确；如图，取的中点，连接，，得，，所以就是二面角的平面角，而
，所以不是直角，即平面与平面不垂直，③错误；因为，所以④正确；因为，，所以三棱锥表面的四个三角形中，面积最大的是和，不是和，所以⑤错误．综上，可知①②④正确．
17．解：（1）因为，所以，
整理得，所以．又，所以．
（2）因为，，
所以，
故，即，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为4．
18．解：（1）由图可知，解得．
学生成绩在的频率为；学生成绩在的频率为．
设这100名学生本次物理测试成绩的中位数为，则，
解得，故估计这100名学生本次物理测试成绩的中位数为．
（2）由（1）可知，学生成绩在的频数为，学生成绩在的频数为．
按分层抽样的方法从中选取5人，则成绩在的学生被抽取人，分别记为，，成绩在的学生被抽取人，分别记为，，．
从中任意选取2人，有，，，，，，，，，这10种选法，
其中至少有1人高考选考物理科目的选法有，，，，，，，，这9种，所以这2人中至少有1人高考选考物理科目的概率．
19．（1）证明：如图，连接，．因为，分别是棱，的中点，所以，所以平面．
又，且，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以，从而平面．
又，所以平面平面．
又平面，所以平面．
（2）解：由（1）知平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离．
连接，．因为是棱的中点，且，所以，又平面平面，所以平面．
又四边形是一个等腰梯形，，且，所以，所以，，
．
设点到平面的距离为，因为，所以，
解得，即点到平面的距离为．
20．解：（1）由已知得，，，解得，，，
所以椭圆的方程为．
（2）当或中有一条直线垂直于轴时，不妨设轴，因为焦点的坐标为，所以直线的方程为，，，四边形的面积．
当的斜率存在且不为0时，设其斜率为，由（1）知，所以直线的方程为，与椭圆的方程联立并消去得．
设，，则，，
．
同理直线的方程为，与椭圆的方程联立并消去得．
设，，同理可得，
所以四边形的面积
，
设，则．
因为，所以，，所以，
故，当且仅当，即，时，四边形的面积取得最小值，此时直线的方程为或．
21．（1）解：因为，所以．
令，则．
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
故，即，则在R上单调递增，无单调递减区间．
（2）证明：．
令，则．
令，则．
显然在R上单调递增，且，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增．
故，即，在R上单调递增．
又，所以当时，，；当时，，；当时，．
综上所述，，即．
22．解：（1）将变形得，①将平方得，②
把①代入②，化简得．
因为直线的极坐标方程为，且，，所以直线的直角坐标方程为．
（2）因为直线的直角坐标方程为，所以直线与轴、轴的交点坐标分别为，，故．
设曲线的参数方程为（为参数，），
上的点到的距离．
当时，，
故面积的最大值为．
23．解：（1）当时，，即
当时，不成立；
当时，，故；
当时，恒成立，故．
综上所述，不等式的解集为．
（2）当时，等价于成立．
当，且时，，不合题意；
当时，的解集为，所以，故．
综上所述，实数的取值范围为．