河南省名校联盟2021-2022学年高三上学期12月月考理科数学试题（Word版含答案）

河南省名校联盟2021-2022学年高三上学期12月月考
理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知命题：，，则为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．已知复数满足，则（ ）
A． B．4 C． D．32
3．已知集合，，则下列集合为的子集的是（ ）
A． B． C． D．
4．某同学用一个半径为，圆心角为的扇形铁片卷成了一个简易的圆锥形状的容器（接缝处忽略不计），口朝上放在院子中间接雨水来测量降雨量（容器不漏），24h所收集的雨水的高度达到容器高度的一半，然后将这些雨水倒入底面半径为100mm的圆柱形量杯中，则量杯中水面高度为（ ）
A．37.5mm B．25mm C．15mm D．12.5mm
5．若，满足不等式组则的最大值为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
6．圆与曲线的公共点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．在直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，异面直线与所成的角的余弦值为，则该三棱柱的高为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
8．已知函数有两个不同的零点，，若，，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则（ ）
A．36 B．28 C．9 D．
9．已知人的血压在不断地变化，心脏每收缩和舒张一次构成一个心动周期，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压．已知某人某次测量自己的血压得到收缩压为126mmHg，舒张压为78mmHg，心动周期约为0.75s，假设他的血压关于时间近似满足函数式，当时，此人的血压在之间的时长约为（ ）
A．0.125s B．0.25s C．0.375s D．0.5s
10．已知抛物线的焦点为，为上一点，点，，设取最小值和最大值时对应的点分别为，，且，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
11．下列各组，的值满足的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
12．在四棱柱中，四边形是边长为2的菱形，，，，则下列结论中正确的个数为（ ）
①；②；③平面；④四棱柱的体积为．
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数为偶函数，且当时，，则的值可能为______．
14．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点，且线段的中点在的渐近线上，当点在的右支上运动时，的最小值为6，则双曲线的实轴长为______．
15．已知点，是上的两个点，，点为劣弧的中点，若，，则_____．
16．已知函数的图象在点处的切线方程为，则函数的零点个数为______．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）
如图所示，在圆内接四边形中，为对角线的中点，，，，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求．
18．（12分）
已知数列的前项和．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足，，求的前项和．
19．（12分）
如图所示，在四棱锥中，，，为等边三角形，，为棱的中点．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
20．（12分）
某地准备在山谷中建一座桥梁，桥梁及山谷的竖直截面图如图所示，谷底为点，为铅垂线（在桥梁上）．以为原点建立直角坐标系，左侧山体曲线的方程为，右侧山体曲线的方程为，其中，的单位均为m．现在谷底两侧建造平行于的桥墩和，其中在线段上，在线段上，且，．
（Ⅰ）求的长；
（Ⅱ）为了增加桥梁的结构强度，要在桥梁上的，之间找一点，修建两个支撑斜柱和，当最大时，求的长．（结果精确到0.1m，参考数据：）
21．（12分）
已知椭圆的离心率为，，是的左、右焦点，是上在第一象限内的一点，关于直线对称的点为，关于直线对称的点为．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）设，分别为的右顶点和上顶点，直线与椭圆相交于，两点，求四边形面积的取值范围．
22．（12分）
已知函数．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若函数与的图象有两个不同的公共点，求的取值范围．
河南省名校联盟2021-2022学年高三上学期12月月考
理科数学·答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．
1．D 2．C 3．A 4．D 5．C 6．C
7．C 8．B 9．B 10．A 11．D 12．A
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．3（形式的数均可） 14．2 15． 16．3
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．解析（Ⅰ）根据题意，，
两边平方得，即，
解得或（舍去），即．
（Ⅱ）由余弦定理可得，所以，
由题意知，所以，
所以．根据正弦定理得，
因此．
18．解析（Ⅰ）当时，，所以．
当时，由，可得，
所以，即，
所以是以1为首项，2为公比的等比数列．故．
（Ⅱ）根据题意，，
所以，
即是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以，即．
所以．
19．解析（Ⅰ）如图，设的中点为，连接，，则，，
因为，，所以平面平面．
由平面几何知识可得，，．
因为，，，所以，即，
又因为，所以平面．因此平面，所以．
（Ⅱ）因为平面，所以平面平面，取的中点为，连接，，
则，，．
以为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则所以令，则．
易知平面的一个法向量为．
设平面与平面所成的锐二面角为，
则．
20．解析（Ⅰ）对于曲线，令得，
对于曲线，令，得，
所以所在直线的方程为．
所以点，．
设，因为，
所以，解得或（舍去），
所以，即长50m．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，，设，
则，
所以．
令，
则，
当且仅当，即时取等号，
此时，即当最大时，的长约为9.4m．
21．解析（Ⅰ）的离心率为，即，解得．
由题意知，，
．
（Ⅱ）直线，的方程分别为，，
设，，其中，
由得，，
所以点，到的距离分别为，
．
又，所以四边形的面积为
，
当时，，则，所以，
即四边形面积的取值范围为．
22．解析（Ⅰ）由题意得，．
若，则，函数在上单调递增；
若，令，得，
则当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
（Ⅱ）函数与的图象有两个不同的公共点，
等价于方程，即有两个不同的实根．
由可得．
令，因为当时，，所以在上单调递增，
要使有两个不同的实根，则需有两个不同的实根．
令，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以．
若，则，没有零点；
若，则，当且仅当时取“=”，只有一个零点；
若，则，，．
令，则当时，，即在上单调递增，
所以，即．
故此时在上有一个零点，在上有一个零点，符合条件．
综上可知，实数的取值范围是．