湖南省部分校2021-2022学年高二上学期12月联考数学试题（Word版含答案）

湖南省部分校2021-2022学年高二上学期12月联考
数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一、二册占40%，选择性必修第一册至第二册4.2占60%．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1．设，则（ ）
A． B． C． D．
2．下列结论正确的是（ ）
A．，，为实数，且，则
B．，
C．若x满足，则
D．正数，满足，则
3．已知抛物线：，直线过点，且与抛物线有且只有一个公共点，则满足条件的直线的条数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．已知向量，满足，，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，给出下列四个命题：
①若，，则；
②若，，则；
③若，，则；
④若，，则．
其中真命题的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
6．数列中前项和满足，若是递增数列，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线的左焦点为，右焦点为，．为双曲线右支上一点，为坐标原点，满足，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
8．一个盒中装有大小相同的2个黑球，2个白球，从中任取一球，若是白球则取出来，若是黑球则放回盒中，直到把白球全部取出，则在此过程中恰有两次取到黑球的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，则下列判断正确的是（ ）
A．函数在上单调递增 B．函数的图象关于直线对称
C．函数在上单调递减 D．函数的图象关于点对称
10．已知直线：和圆：，下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过点 B．圆被轴截得的弦长为
C．当时，直线与圆相切 D．当时，直线与圆相交
11．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．平面
C．的面积与的面积相等
D．三棱锥的体积为定值
12．已知函数以下结论正确的是（ ）
A．
B．在上是增函数
C．若方程恰有3个实根，则
D．若函数在上有8个零点，则所有零点之和为10
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知是等差数列，若，则________．
14．若点和到直线的距离相等，则________．
15．被誉为“数学之神”的阿基米德（前287-前212），是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二．这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形、在平面直角坐标系中，已知直线：与抛物线：交于，两点，则弦与抛物线所围成的封闭图形的面积为________．
16．如图，在三棱柱中，底面，底面为直角三角形，，，，，是上一动点，则的最小值是________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
已知空间三点，，．
（1）已知点，且，求的值；
（2）求以，为邻边的平行四边形的面积．
18．（本小题满分12分）
已知等差数列满足，．
（1）求数列的通项公式及其前项和；
（2）记数列的前项和为，若，求的最小值．
19．（本小题满分12分）
为了了解学生参加体育活动的情况，某校对学生进行了随机抽样调查，其中一个问题是“你平均每天参加体育活动的时间是多少”，共有4个选项可供选择：（ ）
A．1.5小时以上 B．1~1.5小时 C．0.5~1小时 D．0.5小时以下
下图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息解答以下问题．
（1）求本次一共调查了多少名学生，并在图①中将选项对应的部分补充完整；
（2）采用分层抽样的方法在组和组中共抽取8人，求组，组各抽取的人数；
（3）在（2）中抽取的8人中采用简单随机抽样的方法抽取2人，求这2人中至少有1人来自组的概率．
20．（本小题满分12分）
如图，在三棱锥中，平面，，，，点为棱的中点．
（1）证明：平面．
（2）求二面角的余弦值．
21．（本小题满分12分）
已知直线：与圆：交于，两点．
（1）求直线所过定点的坐标．
（2）求的取值范围．
（3）若为坐标原点，直线，的斜率分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
22．（本小题满分12分）
已知点在椭圆：上，点为平面上一点，为坐标原点．
（1）当取最小值时，求椭圆的方程；
（2）对于（1）中的椭圆，为其上一点，若过点的直线与椭圆交于不同的两点和，且满足，求实数的取值范围．
湖南省部分校2021-2022学年高二上学期12月联考
数学试卷参考答案
一、单项选择题
1．C 2．D 3．B 4．B
5．D 6．B 7．B
8．A
【解答】依题意，取球次数为4，即前三次有两次取得黑球，一次取得白球，第四次取得白球．①若第一次取得白球，则在此过程中恰有两次取到黑球的概率，②若第二次取得白球，则在此过程中恰有两次取到黑球的概率，③若第三次取得白球，则在此过程中恰有两次取到黑球的概率，所以则在此过程中恰有两次取到黑球的概率．故选A．
二、多项选择题
9．ABD 10．ABC 11．ABD
12．ABC
【解答】，，，故，A正确．由的图象（图略）知在上单调递增，B正确．的图象与的图象有三个不同的交点，由图象知，C正确．与在上有8个不同的交点，由图象的对称性知，其零点之和为16，D错误．选ABC．
三、填空题
13．15
14．1
15．
【解答】直线：与抛物线：的交点坐标为和，可求得过，两点的切线的方程分别为和,其交点为，易知的面积为2，故弦与拋物线所围成的封闭图形的面积为．
16．
【解答】连接，沿将展开至与在同一个平面内的位置，如图所示，连接，则的长度就是所求的最小值．在三棱柱中，底面，底面为直角三角形，，，，，则，，，，，即，，所以．
由余弦定理可求得，故的最小值是．
四、解答题
17．（本小题满分10分）
【解答】（1）．
（2），，，，，
，
，．
所以以，为邻边的平行四边形的面积为．
18．（本小题满分12分）
【解答】（1）设等差数列的公差为．
依题意有解得
所以，．
（2）由（1）得，
所以．
因为,即，
所以．又，所以的最小值为100．
19．（本小题满分12分）
【解答】（1）由题图①知，选的人数为60，而图②显示，选的人数占总人数的30%，故本次调查的总人数为．由题图②知，选的人数占总人数的50%，因此其人数为．
图①补充如下所示：
（2）组6人，组2人．
（3）列举易求得答案为．
20．（本小题满分12分）
（1）证明：∵平面，，平面，∴，．
在中，∵，，，∴．
在中，由余弦定理可得，
∴，取正根得．
∵，点为的中点，∴．
又∵，，∴平面．
（2）以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，．
，，．
设为平面的一个法向量，
令，则，，得．
设为平面的一个法向量，
令，则，，得．
，
由图可知，二面角为钝角，所以其余弦值为．
21．（本小题满分12分）
【解答】（1）由直线：，
得，联立解得
∴直线恒过点．
（2）由圆：，知圆心，半径，
由，得，
∴当直线与圆相交时，的取值范围为．
（3）由（2）知直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立得,
∴，，
∴
．
由（1）可知，，则，
∴是定值，且定值为1．
22．（本小题满分12分）
【解答】（1）点在椭圆上，可得．
，
当且仅当时，等号成立．
由解得，．故椭圆的方程为．
（2）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，设点的坐标为，将直线方程代入椭圆方程得，
，所以．
设，，则，，
由，得
∵，∴代入椭圆方程得，
整理得，由，知，∴．