人教版八上高分笔记之导与练13.3.1.2等腰三角形的判定（原卷+答案）

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13.3.1等腰三角形
第2课时 等腰三角形的判定
知识要点：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角 也相等（简写成 ).
易错点睛：
在ΔABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：1：2，则ΔABC的形状是_________
【点睛】学生易填直角三角形而出错.
典例讲解：
如图，在ΔABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，且BE＝CF，BD＝CE.
（1）求证：ΔDEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
解题策略：证明两条线段相等，若两条线段在同一个三角形中，可转化为证明两个角相等，再利用等角对等边证明线段相等；若两条线段不在同一个三角形中，可通过证明三角形全等得出线段相等.
变式练习：
如图，在ΔABC中，∠ACB＝90°，点D在BC的延长线上，点E在边AB上，DE交AC于点F，AE＝EF.求证：ΔDEB为等腰三角形.
如图，在ΔABC中，点D，E分别在BC，AB上，BD＝BE，∠BAD＝∠BCE，AD与CE交于点F.
（1）求证：BA＝BC；（2）判断ΔAFC的形状，并说明理由．
当堂练习：
1.（1）在ΔABC中，若∠A＝∠B，AC＝2，则BC的长为 ;
（2）在ΔABC中，若∠A＝70°，∠C＝40°，BC＝3，则AC的长为_________
2．如图，AE平分∠BAC，DE//AB，若AD＝5，则DE的长为__________
3．如图，在ΔABC中，∠B＝∠C，点D，E都在边BC上，∠BAD＝∠CAE，若BD＝9，则CE的长为 __________
4．如图，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，BE＝BD，则图中的等腰三角形有_____个．
5．如图，在等腰ΔABC中，BD是ΔABC的角平分线，∠A＝36°，AB＝AC＝a，BC＝b，则CD的长为（ ）
A. B. C.a-b D.b-a
6．如图，D为ΔABC的边AB的延长线上一点，DF⊥AC于点F，交BC于点E，且BE＝BD．求证：AB＝BC．
7.如图，在ΔABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC交AD于点E，交AC于点F．求证：AE=AF.
如图，在ΔABC中，AB＝AC，D为BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证：AE＝AF．
9．如图，在ΔABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）若∠C＝42°，求∠BAD的度数；
（2）若点E在边AB上，EF//AC交AD的延长线于点F．求证：AC＝BE＋EF．
10．【经典题】如图，在ΔABC中，AB＝AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD＝CE，DE交BC于点F.求证：DF＝EF.
综合题探究
11．如图，在RtΔABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB上一点，BD＝BC，连接CD，过点C作CE⊥CD，CE＝CD，连接DE交CB于点F.
（1）求证：ΔADC≌ΔBDF；
（2）若点O为AB中点，求证：CF＝20D．
答案：
知识要点：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边 也相等（简写成 等角对等边 ).
易错点睛：
在ΔABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：1：2，则ΔABC的形状是 等腰直角三角形
【点睛】学生易填直角三角形而出错.
典例讲解：
例1、如图，在ΔABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，且BE＝CF，BD＝CE.
（1）求证：ΔDEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
解：（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．
在ΔDBE和ΔECF中，BE=CF, ∠B=∠C,BD=CE,
∴ΔDBE≌ΔECF(SAS).∴DE=EF.
∴DEF是等腰三角形.
（2）解：如图，由（1）知ΔDBE≌ΔECF，∴∠1＝∠2．
∵∠DEC=∠DEF+∠2=∠B+∠1,∴∠DEF=∠B.
∵∠A+∠B+∠C=180°,∠B=∠C,∠A=40°,
∴∠B=70°∴∠DEF=70°
解题策略：证明两条线段相等，若两条线段在同一个三角形中，可转化为证明两个角相等，再利用等角对等边证明线段相等；若两条线段不在同一个三角形中，可通过证明三角形全等得出线段相等.
变式练习：
1、如图，在ΔABC中，∠ACB＝90°，点D在BC的延长线上，点E在边AB上，DE交AC于点F，AE＝EF.求证：ΔDEB为等腰三角形.
证明：AE＝EF，∴∠A＝∠AFE.
∵∠AFE=∠DFC,∴∠A=∠DFC.
乂∠ACB＝∠FCD＝90°，
∴∠A+∠B=90°,∠D+∠DFC=90°.
∴∠D=∠B.
∴DE＝BE，即ΔDEB为等腰三角形.
2、如图，在ΔABC中，点D，E分别在BC，AB上，BD＝BE，∠BAD＝∠BCE，AD与CE交于点F.
（1）求证：BA＝BC；（2）判断ΔAFC的形状，并说明理由．
（1）证明：在ΔBAD和ΔBCE中，
∠BAD=∠BCE, ∠B=∠B, BD=BE,
∴ΔBAD≌ΔBCE(AAS)∴BA=BC.
（2）解：ΔAFC是等腰三角形．
理由如下：由（1）知BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA．
又∠BAD＝∠BCE，
∴∠BAC-∠BAD＝∠BCA-∠BCE.
∴∠FAC=∠FCA.
∵FA＝FC.
∴ΔAFC是等腰三角形.
当堂练习：
1.（1）在ΔABC中，若∠A＝∠B，AC＝2，则BC的长为 2 ;
（2）在ΔABC中，若∠A＝70°，∠C＝40°，BC＝3，则AC的长为 3
2．如图，AE平分∠BAC，DE//AB，若AD＝5，则DE的长为 5
3．如图，在ΔABC中，∠B＝∠C，点D，E都在边BC上，∠BAD＝∠CAE，若BD＝9，则CE的长为 9
4．如图，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，BE＝BD，则图中的等腰三角形有5个．
5．如图，在等腰ΔABC中，BD是ΔABC的角平分线，∠A＝36°，AB＝AC＝a，BC＝b，则CD的长为（ C ）
A. B. C.a-b D.b-a
6．如图，D为ΔABC的边AB的延长线上一点，DF⊥AC于点F，交BC于点E，且BE＝BD．求证：AB＝BC．
证明：证∠C＋∠D＝90°，∠A＋∠D＝90°即可．
7.如图，在ΔABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC交AD于点E，交AC于点F．求证：AE=AF.
证明：∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF．
∵∠BAC＝90°∴AD⊥BC，
∴∠ABF+∠AFB=∠CBF+∠BED=90°,
∴∠AFB=∠BED.
∵∠AEF=∠BED,
∴∠AFE=∠AEF,
∴AE=AF.
如图，在ΔABC中，AB＝AC，D为BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证：AE＝AF．
证明：方法一：证ΔBDE≌ΔCDF；
方法二：连接AD，证AD平分∠BAC，ΔADE≌ΔADF.
9．如图，在ΔABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）若∠C＝42°，求∠BAD的度数；
（2）若点E在边AB上，EF//AC交AD的延长线于点F．求证：AC＝BE＋EF．
解：（1）∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD=∠CAD,∠ADC=90°,
又∠C＝42°，∴∠BAD＝∠CAD＝90°-42°＝48°；
（2）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，∴∠BAD＝∠CAD，
∵EF//AC,∴∠F=∠CAD,∴∠BAD=∠F,∴AE=FE.
∴AC=AB=AE+BE=EF+BE.
10．【经典题】如图，在ΔABC中，AB＝AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD＝CE，DE交BC于点F.求证：DF＝EF.
证法一：过点D作DM//AC交BC于点M，证ΔDMF≌ΔECF；
证法二：过点E作EN//AB交BC的延长线于点N，证ΔDBF≌ΔENF；
证法三：过点D作DG⊥BC于点G，过点E作EM⊥BC于点M，证ΔBDG≌ΔCEM，ΔDGF≌ΔEMF.
综合题探究
11．如图，在RtΔABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB上一点，BD＝BC，连接CD，过点C作CE⊥CD，CE＝CD，连接DE交CB于点F.
（1）求证：ΔADC≌ΔBDF；
（2）若点O为AB中点，求证：CF＝20D．
证明：（1）略；
（2）法一，连接CO，过点D作DH⊥BC，垂足为H，
∵ΔADC≌ΔBFD，∴DC＝DF，又 DH⊥BC，∴CF＝2CH．易证ΔCDO≌ΔDCH，
∴CH=DO,∴CF=20D;
证法二，连接CO，在OB上截取OM＝OD，易证CO⊥AB，
∴CD＝CM，∵ΔADC≌ΔBFD，∴BF＝AD＝BM，又BD＝BC，∴CF＝DM＝2DO．
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