人教版数学八上高分笔记之导与练13.3.2.1等边三角形的性质和判定（原卷+答案）
文档属性
| 名称 | 人教版数学八上高分笔记之导与练13.3.2.1等边三角形的性质和判定（原卷+答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-04 10:12:12 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
13.3.2等边三角形
等边三角形的性质和判定
知识要点：
等边三角形的性质：（1）等边三角形的三个内角都 ，并且每一个内角都等于 ；（2）等边三角形是 图形，它有 对称轴．
2．等边三角形的判定：（1）三条边都 的三角形是等边三角形；（2）三个角都 的三角形是等边三角形；（3）有一个角是 的等腰三角形是等边三角形.
易错点睛：
如图，等边ΔABC的边长为6，点D为直线BC上一点，BD＝2，DE//AB交直线AC于点E，则DE的长为 _________
【点睛】点D可能在点B的右边，也可能在点B的左边.
典例讲解：
题型一、等边三角形性质与判定的应用
例1、如图，等边△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，E为AD上一点，以BE为一边且在BE下方作等边△BEF，连接CF.
求证：AE＝CF；(2)求∠ACF的度数．
解题策略：题目中出现等边三角形是注意三个性质的应用。
如图,在△MNP中,∠P=60°,MN=NP,MQ⊥PN,垂足为Q,延长MN至点G,使NG=NQ.若△MNP的周长为12,MQ=a,则△MGQ的周长是 ( )
A.8+2a B.8+a C.6+a D.6+2a
2、如图,在四边形ABCD中,AB=AD,AB⊥BC,AD⊥DC,∠BAD=60°,点M,N分别在AB,AD边上,MC=NC.求证:△AMN是等边三角形.
题型二、等边三角形中的动点问题
例2、如图,在△ABC中,AB=BC=AC=12 cm,现有两点M,N分别从点A,B同时出发,沿三角形的边运动.已知点M的速度为1 cm/s,点N的速度为2 cm/s.当点M第一次到达点C时,M,N同时停止运动.
(1)点M,N运动多长时间后,M,N两点恰好重合
(2)点M,N运动多长时间后,△AMN是等边三角形
解题策略：根据题干分类讨论，利用等边建立方程求解。
变式练习：
3、如图1，等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE.
(1)△DBC和△EAC会全等吗？请说说你的理由；
(2)试说明AE∥BC的理由；
(3)如图2，当图1中动点D运动到边BA的延长线上时，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想．
当堂练习：
如图，ΔABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，若AB＝4，则BD＝ ,∠BAD=______
2．如图，在ΔABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AB于点F，E．若ΔAEC是等边三角形，则∠B= ________
3．如图，P，Q是ΔABC的边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠BAC的大小是_________
4．如图，直线a，b分别经过等边三角形ABC的顶点A和C，且a//b，∠1＝42°，则∠2的度数为：_____
如图，在等边ΔABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD＝AE，AD与CE交于点F．
（1）求证：AD＝CE；（2）求∠DFC的度数．
6.如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置）．测得的相关数据为：∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，BC＝48m，则AC＝ m．
7.如图，ΔABC是等边三角形，D，E，F分别是AB，BC，CA边上一点，且AD＝BE＝CF．判断DEF的形状并证明你的结论.
8.如图，在ΔABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，DE//AB，AD＝3，CE＝5，则AC的长为（ B ）A.9 B.8 C.6 D.7
9.【经典题】如图，ZAOB＝60°，OA＝OB，C为线段OB上一点，以AC为边在右侧作等边ΔACD，连接BD．（1）求证：DB//OA；（2）探究AB，CB与BD之间的数量关系，说明理由．
10．【经典题】如图，在等边ΔABC中，DE//BC交AB于点D，交AC于点E，延长DE至点F，CG⊥DF于点G，且DG＝FG.
（1）求证：BD＝CE；（2）求证：EF＝BC．
11．（1）【问题背景】如图1，ΔABC为等边三角形，D为AB上一点，F为BC延长线上一点，AD＝CF，连接DF交AC于点E，为了探究DE与EF的数量关系，小明同学发现在AC上截取AM＝AD，连接DM，可以找到解题思路，请你直接写出DE与EF的数量关系.
（2）【变式应用】如图2，ΔABC为等边三角形，E为AC上一点，F为BC延长线上一点，AE＝CF，连接BE.求证：BE＝EF.
（3）【拓展创新】如图3，在ΔABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝80°，AD平分∠BAC，CD平分∠ACB．求证：AB＝CD.
答案：
知识要点：
等边三角形的性质：（1）等边三角形的三个内角都 相等，并且每一个内角都等于 60° ；（2）等边三角形是 轴对称 图形，它有 3条对称轴．
2．等边三角形的判定：（1）三条边都 相等 的三角形是等边三角形；（2）三个角都 相等 的三角形是等边三角形；（3）有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形.
易错点睛：
如图，等边ΔABC的边长为6，点D为直线BC上一点，BD＝2，DE//AB交直线AC于点E，则DE的长为4或8
【点睛】点D可能在点B的右边，也可能在点B的左边.
典例讲解：
题型一、等边三角形性质与判定的应用
例1、如图，等边△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，E为AD上一点，以BE为一边且在BE下方作等边△BEF，连接CF.
求证：AE＝CF；(2)求∠ACF的度数．
解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABE＋∠EBC＝60°.∵△BEF是等边三角形，
∴EB＝BF，∠CBF＋∠EBC＝60°.∴∠ABE＝∠CBF.在△ABE和△CBF中，，
∴△ABE≌△CBF(SAS)．∴AE＝CF.
(2)∵等边△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAE＝30°，∠ACB＝60°.∵△ABE≌△CBF，∴∠BCF＝∠BAE＝30°.∴∠ACF＝∠BCF＋∠ACB＝30°＋60°＝90°.
解题策略：题目中出现等边三角形是注意三个性质的应用。
1、如图,在△MNP中,∠P=60°,MN=NP,MQ⊥PN,垂足为Q,延长MN至点G,使NG=NQ.若△MNP的周长为12,MQ=a,则△MGQ的周长是 ( )D
A.8+2a B.8+a C.6+a D.6+2a
2、如图,在四边形ABCD中,AB=AD,AB⊥BC,AD⊥DC,∠BAD=60°,点M,N分别在AB,AD边上,MC=NC.求证:△AMN是等边三角形.
证明:如图,连接AC.∵AB⊥BC,AD⊥DC,∴∠B=∠D=90°.
在Rt△ABC与Rt△ADC中,
∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL).∴BC=DC.
在Rt△MBC与Rt△NDC中,
∴Rt△MBC≌Rt△NDC(HL).∴BM=DN.
∵AB=AD,∴AM=AN.
又∵∠BAD=60°,∴△AMN是等边三角形.
题型二、等边三角形中的动点问题
例2、如图,在△ABC中,AB=BC=AC=12 cm,现有两点M,N分别从点A,B同时出发,沿三角形的边运动.已知点M的速度为1 cm/s,点N的速度为2 cm/s.当点M第一次到达点C时,M,N同时停止运动.
(1)点M,N运动多长时间后,M,N两点恰好重合
(2)点M,N运动多长时间后,△AMN是等边三角形
解:(1)设点M,N运动x s后,M,N两点恰好重合.由题意,得x×1+12=2x,解得x=12.
∴点M,N运动12 s后,M,N两点恰好重合.
(2)设点M,N运动t s后,△AMN是等边三角形,如图.由题意,得AM=t×1=t(cm),AN=AB-BN=(12-2t)cm.∵△AMN是等边三角形,∴t=12-2t,解得t=4.
∴点M,N运动4 s后,△AMN是等边三角形.
解题策略：根据题干分类讨论，利用等边建立方程求解。
变式练习：
3、如图1，等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE.
(1)△DBC和△EAC会全等吗？请说说你的理由；
(2)试说明AE∥BC的理由；
(3)如图2，当图1中动点D运动到边BA的延长线上时，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想．
解：（1）△DBC和△EAC全等．
理由：∵∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，∴∠BCD＝60°－∠ACD，∠ACE＝60°－∠ACD，即∠BCD＝∠ACE.在△DBC和△EAC中，，∴△DBC≌△EAC(SAS)．
∵△DBC≌△EAC，∴∠EAC＝∠B＝60°.又∵∠ACB＝60°，∴∠EAC＝∠ACB.∴AE∥BC.(3)结论：AE∥BC.理由：∵△ABC、△EDC为等边三角形，∴BC＝AC，DC＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60.∴∠BCA＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，即∠BCD＝∠ACE.
在△DBC和△EAC中，，∴△DBC≌△EAC(SAS)．∴∠EAC＝∠B＝60°.又∵∠ACB＝60°，∴∠EAC＝∠ACB.∴AE∥BC.
当堂练习：
如图，ΔABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，若AB＝4，则BD＝ 2,∠BAD= 30°
2．如图，在ΔABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AB于点F，E．若ΔAEC是等边三角形，则∠B=30°
3．如图，P，Q是ΔABC的边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠BAC的大小是＿120°
4．如图，直线a，b分别经过等边三角形ABC的顶点A和C，且a//b，∠1＝42°，则∠2的度数为：_____1020
如图，在等边ΔABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD＝AE，AD与CE交于点F．
（1）求证：AD＝CE；（2）求∠DFC的度数．
解：（1）证明略；
(2)∠DFC=60°.
如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置）．测得的相关数据为：∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，BC＝48m，则AC＝48m．
如图，ΔABC是等边三角形，D，E，F分别是AB，BC，CA边上一点，且AD＝BE＝CF．判断DEF的形状并证明你的结论.
解：ΔDEF是等边三角形.
∵ΔABC为等边三角形，且AD＝BE，
∴AF=BD,∠A=∠B=60°,
∴ΔADF≌ΔBED(SAS).
同理证得ΔADF≌ΔCFE（SAS），
∴ΔADF≌ΔBED≌ΔCFE（SAS），∴DF＝ED＝EF，：∴ΔDEF是等边三角形.
如图，在ΔABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，DE//AB，AD＝3，CE＝5，则AC的长为（ B ）A.9 B.8 C.6 D.7
【经典题】如图，ZAOB＝60°，OA＝OB，C为线段OB上一点，以AC为边在右侧作等边ΔACD，连接BD．（1）求证：DB//OA；（2）探究AB，CB与BD之间的数量关系，说明理由．
证明：（1）易证ΔAOB为等边三角形，∴AB＝OA，∠OAB＝60°，易证ΔAOC≌ΔABD，
∴∠ABD＝∠AOB＝60°＝∠OAB，
∴BD//OA;
（2）CB＋BD＝AB，理由如下：ΔAOC≌ΔABD，∴BD＝OC，∴CB+BD=CB+OC=OB=AB.
10．【经典题】如图，在等边ΔABC中，DE//BC交AB于点D，交AC于点E，延长DE至点F，CG⊥DF于点G，且DG＝FG.
（1）求证：BD＝CE；（2）求证：EF＝BC．
证明：（1）易证ΔADE是等边三角形，∴AD＝AE，∵AB＝AC，∴BD＝CE；
（2）连接CD，∵CG⊥DF，DG＝FG，∴CF＝CD，
设∠F＝∠CDF＝x，
则∠BDC＝180°-∠ADC
＝180°-（60°＋x）=120°-x，
∠ECF=∠ECG+∠GCF=30°+(90°-x)=120°-x,
∴∠BDC=∠ECF,:.ΔBDC≌ΔECF,∴EF=BC.
11．（1）【问题背景】如图1，ΔABC为等边三角形，D为AB上一点，F为BC延长线上一点，AD＝CF，连接DF交AC于点E，为了探究DE与EF的数量关系，小明同学发现在AC上截取AM＝AD，连接DM，可以找到解题思路，请你直接写出DE与EF的数量关系.
（2）【变式应用】如图2，ΔABC为等边三角形，E为AC上一点，F为BC延长线上一点，AE＝CF，连接BE.求证：BE＝EF.
（3）【拓展创新】如图3，在ΔABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝80°，AD平分∠BAC，CD平分∠ACB．求证：AB＝CD.
解：（1）DE＝EF；
（2）在AB上截取AD＝AE，连接DE．
∵ΔABC为等边三角形，
∴∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC．
∵AD＝AE，∴ΔADE为等边三角形．∴DE＝AD＝AE，∠ADE＝60°
∵AE＝CF，AB＝AC，∠ACB=60°,
∴DE=CF,BD=CE,∠BDE=∠ECF=120°
∴ΔBDE≌ΔECF,∴BE=EF;
（3）证明：在BC上截取BE＝AB，连接AE．∵∠ABC＝60°，
∴ΔABE为等边三角形．
∴AB＝AE，∠BAE=60°.∵∠ABC=60°,∠BAC=80°,∴∠EAC=∠BAC-∠BAE=20°,∠ACB=40°. ：∵AD平分∠BAC，CD平分∠ACB，．
∴∠BAD＝∠CAD＝40°，∠ACD＝∠BCD＝20°．
∴∠DAC=∠ACB=40°,∠ACD=∠EAC=20°.
∵AC=CA,∴ΔACD≌ΔCAE, ∴CD=AE.∵AE=AB,∴AB=CD.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
13.3.2等边三角形
等边三角形的性质和判定
知识要点：
等边三角形的性质：（1）等边三角形的三个内角都 ，并且每一个内角都等于 ；（2）等边三角形是 图形，它有 对称轴．
2．等边三角形的判定：（1）三条边都 的三角形是等边三角形；（2）三个角都 的三角形是等边三角形；（3）有一个角是 的等腰三角形是等边三角形.
易错点睛：
如图，等边ΔABC的边长为6，点D为直线BC上一点，BD＝2，DE//AB交直线AC于点E，则DE的长为 _________
【点睛】点D可能在点B的右边，也可能在点B的左边.
典例讲解：
题型一、等边三角形性质与判定的应用
例1、如图，等边△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，E为AD上一点，以BE为一边且在BE下方作等边△BEF，连接CF.
求证：AE＝CF；(2)求∠ACF的度数．
解题策略：题目中出现等边三角形是注意三个性质的应用。
如图,在△MNP中,∠P=60°,MN=NP,MQ⊥PN,垂足为Q,延长MN至点G,使NG=NQ.若△MNP的周长为12,MQ=a,则△MGQ的周长是 ( )
A.8+2a B.8+a C.6+a D.6+2a
2、如图,在四边形ABCD中,AB=AD,AB⊥BC,AD⊥DC,∠BAD=60°,点M,N分别在AB,AD边上,MC=NC.求证:△AMN是等边三角形.
题型二、等边三角形中的动点问题
例2、如图,在△ABC中,AB=BC=AC=12 cm,现有两点M,N分别从点A,B同时出发,沿三角形的边运动.已知点M的速度为1 cm/s,点N的速度为2 cm/s.当点M第一次到达点C时,M,N同时停止运动.
(1)点M,N运动多长时间后,M,N两点恰好重合
(2)点M,N运动多长时间后,△AMN是等边三角形
解题策略：根据题干分类讨论，利用等边建立方程求解。
变式练习：
3、如图1，等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE.
(1)△DBC和△EAC会全等吗？请说说你的理由；
(2)试说明AE∥BC的理由；
(3)如图2，当图1中动点D运动到边BA的延长线上时，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想．
当堂练习：
如图，ΔABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，若AB＝4，则BD＝ ,∠BAD=______
2．如图，在ΔABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AB于点F，E．若ΔAEC是等边三角形，则∠B= ________
3．如图，P，Q是ΔABC的边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠BAC的大小是_________
4．如图，直线a，b分别经过等边三角形ABC的顶点A和C，且a//b，∠1＝42°，则∠2的度数为：_____
如图，在等边ΔABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD＝AE，AD与CE交于点F．
（1）求证：AD＝CE；（2）求∠DFC的度数．
6.如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置）．测得的相关数据为：∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，BC＝48m，则AC＝ m．
7.如图，ΔABC是等边三角形，D，E，F分别是AB，BC，CA边上一点，且AD＝BE＝CF．判断DEF的形状并证明你的结论.
8.如图，在ΔABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，DE//AB，AD＝3，CE＝5，则AC的长为（ B ）A.9 B.8 C.6 D.7
9.【经典题】如图，ZAOB＝60°，OA＝OB，C为线段OB上一点，以AC为边在右侧作等边ΔACD，连接BD．（1）求证：DB//OA；（2）探究AB，CB与BD之间的数量关系，说明理由．
10．【经典题】如图，在等边ΔABC中，DE//BC交AB于点D，交AC于点E，延长DE至点F，CG⊥DF于点G，且DG＝FG.
（1）求证：BD＝CE；（2）求证：EF＝BC．
11．（1）【问题背景】如图1，ΔABC为等边三角形，D为AB上一点，F为BC延长线上一点，AD＝CF，连接DF交AC于点E，为了探究DE与EF的数量关系，小明同学发现在AC上截取AM＝AD，连接DM，可以找到解题思路，请你直接写出DE与EF的数量关系.
（2）【变式应用】如图2，ΔABC为等边三角形，E为AC上一点，F为BC延长线上一点，AE＝CF，连接BE.求证：BE＝EF.
（3）【拓展创新】如图3，在ΔABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝80°，AD平分∠BAC，CD平分∠ACB．求证：AB＝CD.
答案：
知识要点：
等边三角形的性质：（1）等边三角形的三个内角都 相等，并且每一个内角都等于 60° ；（2）等边三角形是 轴对称 图形，它有 3条对称轴．
2．等边三角形的判定：（1）三条边都 相等 的三角形是等边三角形；（2）三个角都 相等 的三角形是等边三角形；（3）有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形.
易错点睛：
如图，等边ΔABC的边长为6，点D为直线BC上一点，BD＝2，DE//AB交直线AC于点E，则DE的长为4或8
【点睛】点D可能在点B的右边，也可能在点B的左边.
典例讲解：
题型一、等边三角形性质与判定的应用
例1、如图，等边△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，E为AD上一点，以BE为一边且在BE下方作等边△BEF，连接CF.
求证：AE＝CF；(2)求∠ACF的度数．
解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABE＋∠EBC＝60°.∵△BEF是等边三角形，
∴EB＝BF，∠CBF＋∠EBC＝60°.∴∠ABE＝∠CBF.在△ABE和△CBF中，，
∴△ABE≌△CBF(SAS)．∴AE＝CF.
(2)∵等边△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAE＝30°，∠ACB＝60°.∵△ABE≌△CBF，∴∠BCF＝∠BAE＝30°.∴∠ACF＝∠BCF＋∠ACB＝30°＋60°＝90°.
解题策略：题目中出现等边三角形是注意三个性质的应用。
1、如图,在△MNP中,∠P=60°,MN=NP,MQ⊥PN,垂足为Q,延长MN至点G,使NG=NQ.若△MNP的周长为12,MQ=a,则△MGQ的周长是 ( )D
A.8+2a B.8+a C.6+a D.6+2a
2、如图,在四边形ABCD中,AB=AD,AB⊥BC,AD⊥DC,∠BAD=60°,点M,N分别在AB,AD边上,MC=NC.求证:△AMN是等边三角形.
证明:如图,连接AC.∵AB⊥BC,AD⊥DC,∴∠B=∠D=90°.
在Rt△ABC与Rt△ADC中,
∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL).∴BC=DC.
在Rt△MBC与Rt△NDC中,
∴Rt△MBC≌Rt△NDC(HL).∴BM=DN.
∵AB=AD,∴AM=AN.
又∵∠BAD=60°,∴△AMN是等边三角形.
题型二、等边三角形中的动点问题
例2、如图,在△ABC中,AB=BC=AC=12 cm,现有两点M,N分别从点A,B同时出发,沿三角形的边运动.已知点M的速度为1 cm/s,点N的速度为2 cm/s.当点M第一次到达点C时,M,N同时停止运动.
(1)点M,N运动多长时间后,M,N两点恰好重合
(2)点M,N运动多长时间后,△AMN是等边三角形
解:(1)设点M,N运动x s后,M,N两点恰好重合.由题意,得x×1+12=2x,解得x=12.
∴点M,N运动12 s后,M,N两点恰好重合.
(2)设点M,N运动t s后,△AMN是等边三角形,如图.由题意,得AM=t×1=t(cm),AN=AB-BN=(12-2t)cm.∵△AMN是等边三角形,∴t=12-2t,解得t=4.
∴点M,N运动4 s后,△AMN是等边三角形.
解题策略：根据题干分类讨论，利用等边建立方程求解。
变式练习：
3、如图1，等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE.
(1)△DBC和△EAC会全等吗？请说说你的理由；
(2)试说明AE∥BC的理由；
(3)如图2，当图1中动点D运动到边BA的延长线上时，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想．
解：（1）△DBC和△EAC全等．
理由：∵∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，∴∠BCD＝60°－∠ACD，∠ACE＝60°－∠ACD，即∠BCD＝∠ACE.在△DBC和△EAC中，，∴△DBC≌△EAC(SAS)．
∵△DBC≌△EAC，∴∠EAC＝∠B＝60°.又∵∠ACB＝60°，∴∠EAC＝∠ACB.∴AE∥BC.(3)结论：AE∥BC.理由：∵△ABC、△EDC为等边三角形，∴BC＝AC，DC＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60.∴∠BCA＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，即∠BCD＝∠ACE.
在△DBC和△EAC中，，∴△DBC≌△EAC(SAS)．∴∠EAC＝∠B＝60°.又∵∠ACB＝60°，∴∠EAC＝∠ACB.∴AE∥BC.
当堂练习：
如图，ΔABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，若AB＝4，则BD＝ 2,∠BAD= 30°
2．如图，在ΔABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AB于点F，E．若ΔAEC是等边三角形，则∠B=30°
3．如图，P，Q是ΔABC的边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠BAC的大小是＿120°
4．如图，直线a，b分别经过等边三角形ABC的顶点A和C，且a//b，∠1＝42°，则∠2的度数为：_____1020
如图，在等边ΔABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD＝AE，AD与CE交于点F．
（1）求证：AD＝CE；（2）求∠DFC的度数．
解：（1）证明略；
(2)∠DFC=60°.
如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置）．测得的相关数据为：∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，BC＝48m，则AC＝48m．
如图，ΔABC是等边三角形，D，E，F分别是AB，BC，CA边上一点，且AD＝BE＝CF．判断DEF的形状并证明你的结论.
解：ΔDEF是等边三角形.
∵ΔABC为等边三角形，且AD＝BE，
∴AF=BD,∠A=∠B=60°,
∴ΔADF≌ΔBED(SAS).
同理证得ΔADF≌ΔCFE（SAS），
∴ΔADF≌ΔBED≌ΔCFE（SAS），∴DF＝ED＝EF，：∴ΔDEF是等边三角形.
如图，在ΔABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，DE//AB，AD＝3，CE＝5，则AC的长为（ B ）A.9 B.8 C.6 D.7
【经典题】如图，ZAOB＝60°，OA＝OB，C为线段OB上一点，以AC为边在右侧作等边ΔACD，连接BD．（1）求证：DB//OA；（2）探究AB，CB与BD之间的数量关系，说明理由．
证明：（1）易证ΔAOB为等边三角形，∴AB＝OA，∠OAB＝60°，易证ΔAOC≌ΔABD，
∴∠ABD＝∠AOB＝60°＝∠OAB，
∴BD//OA;
（2）CB＋BD＝AB，理由如下：ΔAOC≌ΔABD，∴BD＝OC，∴CB+BD=CB+OC=OB=AB.
10．【经典题】如图，在等边ΔABC中，DE//BC交AB于点D，交AC于点E，延长DE至点F，CG⊥DF于点G，且DG＝FG.
（1）求证：BD＝CE；（2）求证：EF＝BC．
证明：（1）易证ΔADE是等边三角形，∴AD＝AE，∵AB＝AC，∴BD＝CE；
（2）连接CD，∵CG⊥DF，DG＝FG，∴CF＝CD，
设∠F＝∠CDF＝x，
则∠BDC＝180°-∠ADC
＝180°-（60°＋x）=120°-x，
∠ECF=∠ECG+∠GCF=30°+(90°-x)=120°-x,
∴∠BDC=∠ECF,:.ΔBDC≌ΔECF,∴EF=BC.
11．（1）【问题背景】如图1，ΔABC为等边三角形，D为AB上一点，F为BC延长线上一点，AD＝CF，连接DF交AC于点E，为了探究DE与EF的数量关系，小明同学发现在AC上截取AM＝AD，连接DM，可以找到解题思路，请你直接写出DE与EF的数量关系.
（2）【变式应用】如图2，ΔABC为等边三角形，E为AC上一点，F为BC延长线上一点，AE＝CF，连接BE.求证：BE＝EF.
（3）【拓展创新】如图3，在ΔABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝80°，AD平分∠BAC，CD平分∠ACB．求证：AB＝CD.
解：（1）DE＝EF；
（2）在AB上截取AD＝AE，连接DE．
∵ΔABC为等边三角形，
∴∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC．
∵AD＝AE，∴ΔADE为等边三角形．∴DE＝AD＝AE，∠ADE＝60°
∵AE＝CF，AB＝AC，∠ACB=60°,
∴DE=CF,BD=CE,∠BDE=∠ECF=120°
∴ΔBDE≌ΔECF,∴BE=EF;
（3）证明：在BC上截取BE＝AB，连接AE．∵∠ABC＝60°，
∴ΔABE为等边三角形．
∴AB＝AE，∠BAE=60°.∵∠ABC=60°,∠BAC=80°,∴∠EAC=∠BAC-∠BAE=20°,∠ACB=40°. ：∵AD平分∠BAC，CD平分∠ACB，．
∴∠BAD＝∠CAD＝40°，∠ACD＝∠BCD＝20°．
∴∠DAC=∠ACB=40°,∠ACD=∠EAC=20°.
∵AC=CA,∴ΔACD≌ΔCAE, ∴CD=AE.∵AE=AB,∴AB=CD.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)