人教版数学八上高分笔记之导与练13.3.2.2含30°的直角三角形（原卷+答案）
文档属性
| 名称 | 人教版数学八上高分笔记之导与练13.3.2.2含30°的直角三角形（原卷+答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-04 10:13:10 | ||
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文档简介
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13.3.2等边三角形
第2课时 含30°角的直角三角形
知识要点：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的 _____
易错点睛：
已知ΔABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，AC＝2BD，则∠BAC＝__________
【点睛】易忽略图中ΔABC的顶角为钝角而漏解。
典例讲解：
题型一、含300直角三角形性质的应用
例1、某市在“旧城改造”中，计划在市内一块如图所示的三角形空地中种植草皮美化环境，已知这种草皮每平方米要80元，求买这种草皮至少需多少元．
解题策略：当图中含有30°时直接构造直角三角形求解。
变式练习：
1、如图,一架直升机上午8时从A地出发,以200千米/时的速度向正北方向飞行,9时到达B处.据机场导航站传来的信息,在C处有一座高山,因受天气影响,高山周围80千米能见度低,飞机飞行将会遇到危险.经测量,∠NAC=15°,∠NBC=30°.则该直升机继续向正北方向飞行有无危险
题型二、与线段有关的证明
例2、如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ＝3，PE＝1. (1)求证：BE＝AD； (2)求AD的长．
变式练习：
2、如图，等边△ABC的边长为8，D为AB边上一动点，过点D作DE⊥BC于点E，过点E作EF⊥AC于点F.
(1)若AD＝2，求AF的长；(2)当AD取何值时，DE＝EF
当堂练习：
在ΔABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝2．则AB的长为 _______
2．如图，在ΔABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝30°，BD＝2，则∠BCD＝ ______ ,BC=AD= _______
3．如图，在ΔABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD＝1，则BD＝ _____
4．如图，ΔABC是等边三角形，AD⊥AB交BC的延长线于点D．若AB＝2，则CD的长为 ___
5．如图，在ΔABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，AD平分∠BAC．若DE＝1，则BC的长是 _____
6．如图，在等边ΔABC中，点D，E分别在BC，AC上，DE//AB，EF⊥DE，交BC的延长线于点F，若CE＝2，求DF的长．
7．如图，在ΔABC中，AB＝AC，AD是ΔABC的中线，AF平分∠CAD，DF//AC．
（1）求证：AD＝DF；（2）若∠BAC＝120°，AB＝10，求DF的长．
8.在ΔABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝23，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，AE＝，则ΔEBD的面积为（ ）
A. B. C. D.
如图，ΔABC是等边三角形，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，CE＝CD，ED的延长线交AB于点F.
（1）求证：EF⊥AB；（2）求证：DE＝2DF．
10．【改编题】如图，在ΔABC中，∠C＝45°，∠ABC＝120°，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，AB的垂直平分线FH交AB于点F，交AC于点H.
直接写出∠A的度数是 （2）求的值.
11．如图，在RtΔABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝15°，AB的垂直平分线交BC于点D．
（1）若AC＝1，求BD的长；
（2）在AB的上方作∠ABE＝105°，且∠DEB＝30°，求的值.
答案：
知识要点：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的 一半
易错点睛：
已知ΔABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，AC＝2BD，则∠BAC＝30°或150°
【点睛】易忽略图中ΔABC的顶角为钝角而漏解。
典例讲解：
题型一、含300直角三角形性质的应用
例1、某市在“旧城改造”中，计划在市内一块如图所示的三角形空地中种植草皮美化环境，已知这种草皮每平方米要80元，求买这种草皮至少需多少元．
解：如图，过点C作CD⊥BA，交BA的延长线于点D.
∵∠BAC＝150°，∴∠DAC＝30°.
∵CD⊥BD，AC＝60 m，∴CD＝AC＝30 m.
又∵AB＝40 m，∴S△ABC＝AB·CD＝×40×30＝600(m2)．
∵这种草皮每平方米要80元，
∴买这种草皮至少需600×80＝48 000(元)．
解题策略：当图中含有30°时直接构造直角三角形求解。
变式练习：
1、如图,一架直升机上午8时从A地出发,以200千米/时的速度向正北方向飞行,9时到达B处.据机场导航站传来的信息,在C处有一座高山,因受天气影响,高山周围80千米能见度低,飞机飞行将会遇到危险.经测量,∠NAC=15°,∠NBC=30°.则该直升机继续向正北方向飞行有无危险
解:如图,过点C作CD⊥AB于点D.
∵∠NBC=30°,∴CD=BC.
∵∠NAC=15°,
∴∠ACB=15°.
∴AB=BC=200×(9-8)=200(千米).
∴CD=×200=100(千米)>80千米.
∴该直升机继续向正北方向飞行没有危险.
题型二、与线段有关的证明
例2、如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ＝3，PE＝1. (1)求证：BE＝AD； (2)求AD的长．
【点拨】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BP＝2PQ，再根据AD＝BE＝BP＋PE代入数据进行计算即可．
证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝CA，∠BAE＝∠C＝60°.
又∵AE＝CD，
∴△ABE≌△CAD.
∴BE＝AD.
（2）：由(1)知△ABE≌△CAD，∴∠ABE＝∠CAD.
∴∠BPD＝∠PAB＋∠ABE＝∠PAB＋∠CAD＝∠BAC＝60°.
又∵BQ⊥AD，∴∠PBQ＝30°.
∴BP＝2PQ＝6.∴BE＝BP＋PE＝6＋1＝7.
∴AD＝7.
变式练习：
2、如图，等边△ABC的边长为8，D为AB边上一动点，过点D作DE⊥BC于点E，过点E作EF⊥AC于点F.
(1)若AD＝2，求AF的长；(2)当AD取何值时，DE＝EF
解：（1）由题意知AB＝BC＝AC＝8，∠B＝∠A＝∠C＝60°.
∴BD＝AB－AD＝8－2＝6.
∵DE⊥BC，∴∠BDE＝90°－60°＝30°.
∴BE＝BD＝3.∴EC＝8－3＝5.
∵EF⊥AC，∴∠FEC＝90°－60°＝30°.
∴FC＝5×＝. ∴AF＝8－＝.
（2）：当DE＝EF时，易证△BDE≌△CEF，
∴BE＝CF，BD＝CE.
∵CF＝CE，∴BE＝CE.
又∵BE＋CE＝8，∴CE＝. ∴BD＝. ∴AD＝.
即当AD＝时，DE＝EF.
当堂练习：
在ΔABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝2．则AB的长为 4
2．如图，在ΔABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝30°，BD＝2，则∠BCD＝ 30° ,BC=AD= 6
3．如图，在ΔABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD＝1，则BD＝ 2
4．如图，ΔABC是等边三角形，AD⊥AB交BC的延长线于点D．若AB＝2，则CD的长为 2
5．如图，在ΔABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，AD平分∠BAC．若DE＝1，则BC的长是 3
6．如图，在等边ΔABC中，点D，E分别在BC，AC上，DE//AB，EF⊥DE，交BC的延长线于点F，若CE＝2，求DF的长．
解：易证ΔDCE为等边三角形，．∴F＝30°，∴DF＝2DE＝4．
7．如图，在ΔABC中，AB＝AC，AD是ΔABC的中线，AF平分∠CAD，DF//AC．
（1）求证：AD＝DF；（2）若∠BAC＝120°，AB＝10，求DF的长．
解：（1）证明：∵AF平分∠CAD，
∴∠DAF＝∠FAC．
∵DF//AC,∴∠F=∠FAC.∴∠DAF=∠F,∴AD=DF;
（2）∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴．∠B＝∠C＝30°
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC,.AD=AB=5.
∵AD=DF,∴DF=5.
8.在ΔABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝23，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，AE＝，则ΔEBD的面积为（ B ）
A. B. C. D.
如图，ΔABC是等边三角形，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，CE＝CD，ED的延长线交AB于点F.
（1）求证：EF⊥AB；（2）求证：DE＝2DF．
解：（1）∵ΔABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°．
∵CD=CE,∴∠E=∠CDE.
∵∠ACB=∠E+∠CDE, ∴∠E=∠CDE=30°∴∠ABC+∠E=90°,
∴∠BFE=90°∴EF⊥AB;
（2）过点D作DH⊥BC，垂足为H．
∵∠E＝30°，
∴DE＝2DH．
∵AB＝BC，D为AC的中点，
∴BD平分∠ABC．∵EF⊥AB，DH⊥BC，∴DF＝DH．
∵DE＝2DH，
∴DE＝2DF．
10．【改编题】如图，在ΔABC中，∠C＝45°，∠ABC＝120°，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，AB的垂直平分线FH交AB于点F，交AC于点H.
直接写出∠A的度数是 （2）求的值.
解：（1）15°；
（2）连接BE，BH，易证AH＝BH，∠BHE＝30°，CE＝BE，∠BEH＝90°，
∴BH=2BE,∴AH=2CE,..
11．如图，在RtΔABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝15°，AB的垂直平分线交BC于点D．
（1）若AC＝1，求BD的长；
（2）在AB的上方作∠ABE＝105°，且∠DEB＝30°，求的值.
解：（1）连接AD，易证AD＝DB，∠ADC＝30°，∴DB=AD=2AC=2;
（2）过点B作BFLDE，垂足为F，易得∠EDB＝30°＝∠E，∴BE=DB=AD.∵BF⊥DE,∴DE=2EF.
易证ΔEBF≌ΔDAC，∴EF＝CD，=2.
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13.3.2等边三角形
第2课时 含30°角的直角三角形
知识要点：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的 _____
易错点睛：
已知ΔABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，AC＝2BD，则∠BAC＝__________
【点睛】易忽略图中ΔABC的顶角为钝角而漏解。
典例讲解：
题型一、含300直角三角形性质的应用
例1、某市在“旧城改造”中，计划在市内一块如图所示的三角形空地中种植草皮美化环境，已知这种草皮每平方米要80元，求买这种草皮至少需多少元．
解题策略：当图中含有30°时直接构造直角三角形求解。
变式练习：
1、如图,一架直升机上午8时从A地出发,以200千米/时的速度向正北方向飞行,9时到达B处.据机场导航站传来的信息,在C处有一座高山,因受天气影响,高山周围80千米能见度低,飞机飞行将会遇到危险.经测量,∠NAC=15°,∠NBC=30°.则该直升机继续向正北方向飞行有无危险
题型二、与线段有关的证明
例2、如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ＝3，PE＝1. (1)求证：BE＝AD； (2)求AD的长．
变式练习：
2、如图，等边△ABC的边长为8，D为AB边上一动点，过点D作DE⊥BC于点E，过点E作EF⊥AC于点F.
(1)若AD＝2，求AF的长；(2)当AD取何值时，DE＝EF
当堂练习：
在ΔABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝2．则AB的长为 _______
2．如图，在ΔABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝30°，BD＝2，则∠BCD＝ ______ ,BC=AD= _______
3．如图，在ΔABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD＝1，则BD＝ _____
4．如图，ΔABC是等边三角形，AD⊥AB交BC的延长线于点D．若AB＝2，则CD的长为 ___
5．如图，在ΔABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，AD平分∠BAC．若DE＝1，则BC的长是 _____
6．如图，在等边ΔABC中，点D，E分别在BC，AC上，DE//AB，EF⊥DE，交BC的延长线于点F，若CE＝2，求DF的长．
7．如图，在ΔABC中，AB＝AC，AD是ΔABC的中线，AF平分∠CAD，DF//AC．
（1）求证：AD＝DF；（2）若∠BAC＝120°，AB＝10，求DF的长．
8.在ΔABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝23，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，AE＝，则ΔEBD的面积为（ ）
A. B. C. D.
如图，ΔABC是等边三角形，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，CE＝CD，ED的延长线交AB于点F.
（1）求证：EF⊥AB；（2）求证：DE＝2DF．
10．【改编题】如图，在ΔABC中，∠C＝45°，∠ABC＝120°，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，AB的垂直平分线FH交AB于点F，交AC于点H.
直接写出∠A的度数是 （2）求的值.
11．如图，在RtΔABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝15°，AB的垂直平分线交BC于点D．
（1）若AC＝1，求BD的长；
（2）在AB的上方作∠ABE＝105°，且∠DEB＝30°，求的值.
答案：
知识要点：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的 一半
易错点睛：
已知ΔABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，AC＝2BD，则∠BAC＝30°或150°
【点睛】易忽略图中ΔABC的顶角为钝角而漏解。
典例讲解：
题型一、含300直角三角形性质的应用
例1、某市在“旧城改造”中，计划在市内一块如图所示的三角形空地中种植草皮美化环境，已知这种草皮每平方米要80元，求买这种草皮至少需多少元．
解：如图，过点C作CD⊥BA，交BA的延长线于点D.
∵∠BAC＝150°，∴∠DAC＝30°.
∵CD⊥BD，AC＝60 m，∴CD＝AC＝30 m.
又∵AB＝40 m，∴S△ABC＝AB·CD＝×40×30＝600(m2)．
∵这种草皮每平方米要80元，
∴买这种草皮至少需600×80＝48 000(元)．
解题策略：当图中含有30°时直接构造直角三角形求解。
变式练习：
1、如图,一架直升机上午8时从A地出发,以200千米/时的速度向正北方向飞行,9时到达B处.据机场导航站传来的信息,在C处有一座高山,因受天气影响,高山周围80千米能见度低,飞机飞行将会遇到危险.经测量,∠NAC=15°,∠NBC=30°.则该直升机继续向正北方向飞行有无危险
解:如图,过点C作CD⊥AB于点D.
∵∠NBC=30°,∴CD=BC.
∵∠NAC=15°,
∴∠ACB=15°.
∴AB=BC=200×(9-8)=200(千米).
∴CD=×200=100(千米)>80千米.
∴该直升机继续向正北方向飞行没有危险.
题型二、与线段有关的证明
例2、如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ＝3，PE＝1. (1)求证：BE＝AD； (2)求AD的长．
【点拨】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BP＝2PQ，再根据AD＝BE＝BP＋PE代入数据进行计算即可．
证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝CA，∠BAE＝∠C＝60°.
又∵AE＝CD，
∴△ABE≌△CAD.
∴BE＝AD.
（2）：由(1)知△ABE≌△CAD，∴∠ABE＝∠CAD.
∴∠BPD＝∠PAB＋∠ABE＝∠PAB＋∠CAD＝∠BAC＝60°.
又∵BQ⊥AD，∴∠PBQ＝30°.
∴BP＝2PQ＝6.∴BE＝BP＋PE＝6＋1＝7.
∴AD＝7.
变式练习：
2、如图，等边△ABC的边长为8，D为AB边上一动点，过点D作DE⊥BC于点E，过点E作EF⊥AC于点F.
(1)若AD＝2，求AF的长；(2)当AD取何值时，DE＝EF
解：（1）由题意知AB＝BC＝AC＝8，∠B＝∠A＝∠C＝60°.
∴BD＝AB－AD＝8－2＝6.
∵DE⊥BC，∴∠BDE＝90°－60°＝30°.
∴BE＝BD＝3.∴EC＝8－3＝5.
∵EF⊥AC，∴∠FEC＝90°－60°＝30°.
∴FC＝5×＝. ∴AF＝8－＝.
（2）：当DE＝EF时，易证△BDE≌△CEF，
∴BE＝CF，BD＝CE.
∵CF＝CE，∴BE＝CE.
又∵BE＋CE＝8，∴CE＝. ∴BD＝. ∴AD＝.
即当AD＝时，DE＝EF.
当堂练习：
在ΔABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝2．则AB的长为 4
2．如图，在ΔABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝30°，BD＝2，则∠BCD＝ 30° ,BC=AD= 6
3．如图，在ΔABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD＝1，则BD＝ 2
4．如图，ΔABC是等边三角形，AD⊥AB交BC的延长线于点D．若AB＝2，则CD的长为 2
5．如图，在ΔABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，AD平分∠BAC．若DE＝1，则BC的长是 3
6．如图，在等边ΔABC中，点D，E分别在BC，AC上，DE//AB，EF⊥DE，交BC的延长线于点F，若CE＝2，求DF的长．
解：易证ΔDCE为等边三角形，．∴F＝30°，∴DF＝2DE＝4．
7．如图，在ΔABC中，AB＝AC，AD是ΔABC的中线，AF平分∠CAD，DF//AC．
（1）求证：AD＝DF；（2）若∠BAC＝120°，AB＝10，求DF的长．
解：（1）证明：∵AF平分∠CAD，
∴∠DAF＝∠FAC．
∵DF//AC,∴∠F=∠FAC.∴∠DAF=∠F,∴AD=DF;
（2）∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴．∠B＝∠C＝30°
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC,.AD=AB=5.
∵AD=DF,∴DF=5.
8.在ΔABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝23，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，AE＝，则ΔEBD的面积为（ B ）
A. B. C. D.
如图，ΔABC是等边三角形，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，CE＝CD，ED的延长线交AB于点F.
（1）求证：EF⊥AB；（2）求证：DE＝2DF．
解：（1）∵ΔABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°．
∵CD=CE,∴∠E=∠CDE.
∵∠ACB=∠E+∠CDE, ∴∠E=∠CDE=30°∴∠ABC+∠E=90°,
∴∠BFE=90°∴EF⊥AB;
（2）过点D作DH⊥BC，垂足为H．
∵∠E＝30°，
∴DE＝2DH．
∵AB＝BC，D为AC的中点，
∴BD平分∠ABC．∵EF⊥AB，DH⊥BC，∴DF＝DH．
∵DE＝2DH，
∴DE＝2DF．
10．【改编题】如图，在ΔABC中，∠C＝45°，∠ABC＝120°，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，AB的垂直平分线FH交AB于点F，交AC于点H.
直接写出∠A的度数是 （2）求的值.
解：（1）15°；
（2）连接BE，BH，易证AH＝BH，∠BHE＝30°，CE＝BE，∠BEH＝90°，
∴BH=2BE,∴AH=2CE,..
11．如图，在RtΔABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝15°，AB的垂直平分线交BC于点D．
（1）若AC＝1，求BD的长；
（2）在AB的上方作∠ABE＝105°，且∠DEB＝30°，求的值.
解：（1）连接AD，易证AD＝DB，∠ADC＝30°，∴DB=AD=2AC=2;
（2）过点B作BFLDE，垂足为F，易得∠EDB＝30°＝∠E，∴BE=DB=AD.∵BF⊥DE,∴DE=2EF.
易证ΔEBF≌ΔDAC，∴EF＝CD，=2.
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