2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册5.6函数y=Asin(ωx φ)讲义

5.6 函数
知识点一 对函数图象的影响
1、对函数的图象的影响
简记为：左加右减“。这种变换属于平移变换，只改变图象的位置，不改变其大小，可表示为
2、对函数的图象的影响
3、A（A＞0)对函数的图象的影响
在纵坐标伸长或缩短的过程中，横坐标未发生变化，其图象变化可以表示为
知识点二 由的图象到的图象的变换过程
由的图象到的图象的变换过程可由两种方式表示，其一为先平移后伸缩，其二为先伸缩后平移，具体过程如下：
知识点三 画函数的简图
1. 图象变换
利用对函数的图象的影响，通过“平移”“伸缩”等得到图象。
2. 用“五点法”作图
找五个关键点，分别为使y能取得最小值、最大值的点和曲线与x轴的交点,其步骤为：
先确定周期，在一个周期内作出图象；
(2) 令，X分别取，求出对应的x值，列表如下：
0
x
0 A 0 －A 0
【提示】
利用“五点法”作图时，将看成一个整体，使分别取，然后求出相应的x，y的值，便找到了“五点”。
知识点四 函数（）中各量的物理意义
A为振幅，它表示做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；而表示做简谐运动的物体往复运动一次所需的时间. 简谐运动的频率则为，它表示做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数. 称为相位，当x＝0时的相位为，称为初相.
【拓展】
因此函数到的图象的变换途径为相位变换 → 周期变换 → 振幅变换（或周期变换 → 相位变换 → 振幅变换）。
知识点五 函数（）的性质
定义域
值域
周期
奇偶性 当，时为奇函数
当，时为偶函数
当，时为非奇非偶函数
对称轴 直线（）
求法：令可求
对称中心 对称中心：，
求法：令可求
单调性 令，可求单调递增区间
令，可求单调递减区间
【提示】当，时，为奇函数；
当，时，为偶函数.
[经典考法]
考点一 利用“五点法”作图
【例1】已知函数.
(1) 用“五点法”画出它的图象；
(2) 求出它的振幅、周期及初相.
用“五点法”作函数的图象，实质是利用函数的三个零点、两个最值点，画出该函数一个周期内的图象.作函数的图象时，关健是列表，特别是给定区间作图问题，首先确定该区间端点处的函数值，然后确定两个端点之间的最值点、零点.
考点二 函数图象的变换
【例2】 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位. B. 向右平移个单位. C. 向左平移个单位. D. 向左平移个单位.
【例3】将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为 ( )
A． B． C． D．
奇函教的图象向左(右)平移个单位长度，变换后的函数为偶函数.
【例4】（2021·全国·高三月考）若把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，则得到函数的图象.若把的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ）
A． B． C． D．
【针对训练】
1．要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin4x的图象(　　)
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
2．将函数y＝sin向左平移个单位，可得到函数图象是(　　)
A．y＝sin2x B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin
3．已知函数y＝sin＋，该函数的图象可由y＝sinx，x∈R的图象经过怎样的变换得到？
考点三 确定函数解析式
【例5 】函数的最小值为，其图象上相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值是，图象过点，求函数的解析式.
【方法技巧】
确定函数y＝Asinωx＋φ的解析式的关键是φ的确定，常用方法有：
（1）代入法：把图象上的一个已知点代入此时A，ω已知或代入图象与x轴的交点求解此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上.
（2）五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口.“五点”的ωx＋φ的值具体如下：,“第一点”即图象上升时与x轴的交点为ωx＋φ＝0；,“第二点”即图象的“峰点”为ωx＋φ＝；,“第三点”即图象下降时与x轴的交点为ωx＋φ＝π；,“第四点”即图象的“谷点”为ωx＋φ＝；,“第五点”为ωx＋φ＝2π.
【例6】 图是函数的图象，求其函数解析式.
【例7】已知函数的图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）首先将函数的图象上每一点横坐标缩短为原来的，然后将所得函数图象向右平移个单位，最后再向上平移个单位得到函数的图象，求函数在内的值域.
【针对训练】
4．如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，求此函数的解析式．
5．某函数部分图象如图所示，它的函数的解析式可能是(　　)
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝－cos
考点四 函数的性质的应用
【例8】已知函数的图象的一条对称轴是直线 .
⑴求；⑵求函数的单调区间.
【例9】 已知函数的周期为，且图象上一个最低点为
⑴求的解析式；⑵当时，求的最值.
【例10】已知函数的图象关于点对称，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期是 B．是偶函数 C．在上单调递增
D．先将图象上各点的横坐标压缩为原来的，再将所得的函数图象向左平移个单位长度，得到函数的图象
【例11】已知函数．
（1）求函数的最小正周期； （2）求在上的值域；
（3）将的图象向右平移得到函数的图象，若，探究在上是否存在零点．
【课后作业】
1．将函数的图象向右平移，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称 B．函数的最小正周期为
C．函数的图象关于直线对称 D．函数在区间上单调递增
2．已知函数f(x)＝2cos(3x－)，下面结论错误的是( )
A．函数的最小正周期为 B．函数图像关于(－，0)中心对称
C．函数图像关于直线x＝对称
D．将y＝2cos3x图像上的所有点向右平移，可得到函数y＝f(x)的图像
3．将函数的图象向左平移个单位长度，再将得到的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，最后得到函数，则（ ）
A． B．
C． D．
4．函数，的部分图象如图M-1-1所示，要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
5．函数，（其中，，） 其图象如图所示，为了得到的图象，可以将的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
6．已知函数的最小正周期为，且它的图象关于直线对称，则下列说法正确的个数为（ ）
①将的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象；
②的图象经过点； ③的图象的一个对称中心是；
④在上是减函数；
A． B． C． D．
7．将函数y=sin(2x+（0的图像向左平移个单位后，得到的函数恰好为偶函数，则__________
8．若把函数图像上各点向右平移个单位，再把它们的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标也缩短到原来的一半，则所得的曲线对应的函数解析式为______．
9．已知函数，将的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，所得图象对应的函数为，若的图象过原点，且，则___________.
10．函数的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）先将函数图象上所有点向右平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的单调递增区间．
11．（2020·广东揭东·高一期末）已知函数，（其中，，的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且函数图象与直线y=3相切.对于任意，都有
（1）求的解析式；
（2）先把函数的图象向左平移个单位长度，然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求函数的递减区间.
12．（2021·广西河池·高一月考）已知函数的部分图象如图所示．
（1）求的解析式．
（2）将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求不等式的解集．
5.6 函数y=Asin(ωx+ψ)
考点一 利用“五点法”作图
【例1】解：(1) 令，列表如下:
X 0
x
y 0 2 0 －2 0
描点连线如图.
(2) 由图象，知A＝2，.
令x＝0，得.
所以它的振幅为2，周期为，初相为.
考点二 函数图象的变换
【例2】解析：因为而
所以的图象向右平移个单位长度可得到的图象.答案：B
【例3】解析：向左平移个单位长度得
若为偶函数，则 令，得 .答案B。
【例4】【详解】.将的图象纵坐标不变，横坐标缩短至原来的得到的图象，故，将的图象向右平移个单位长度得到.故选：B
【针对训练】
1．【解析】　由y＝sin＝sin4得，只需将y＝sin4x的图象向右平移个单位即可
故选B.
2．【解析】　将函数y＝sin向左平移个单位，得y＝sin＝sin
故选C.
3．【解析】　解法一：步骤：①把函数y＝sinx的图象向左平移个单位长度，可以得到函数y＝sin的图象；
②把函数y＝sin的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可以得到函数y＝sin的图象；
③把函数y＝sin的图象上各点的纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，可以得到函数y＝sin(2x＋)的图象；
④再把得到的函数y＝sin的图象向上平移个单位长度，就能得到函数y＝sin＋的图象．
解法二：步骤：①把函数y＝sinx的图象上各点的横坐标缩短到原来的，而纵坐标不变，得到函数y＝sin2x的图象；
②把函数y＝sin2x的图象向左平移个单位长度，可以得到函数y＝sin的图象；
③把函数y＝sin的图象上各点的纵坐标缩短到原来的，而横坐标不变，可以得到函数y＝sin的图象；
④再把得到的函数y＝sin的图象向上平移个单位长度，就能得到函数y＝sin＋的图象．
考点三 确定函数解析式
【例5 】解：因为，所以.又因为,所以因为函数的最小值为，所以.设函数的解析式 将点代入解析式，得，所以或.又因为 ，所以. 所以函数的解析式为.
【例6】解：方法1（最值点法）：
由函数图象，得，所以，将点代入，得，所以.所以，因为，所以，从而所求函数解析式是.
方法2（待定系数法）：
由图象，知，由图象过点，根据五点作图法的原理（ 可视为“五点法”中的第二点和第四点），有解得 ，从而所求函数解析式是.
【例7】【答案】（1）（2）
（1）解：由图象得，，所以，由，所以，，，
（2）解：将函数的图象上每一点横坐标缩短为原来的，得到，再将向右平移个单位得到，最后再向上平移个单位得到，即
当时，所以，所以，
【针对训练】
4．【解析】解法一：由图象知A＝3，T＝－＝π，∴ω＝＝2，∴y＝3sin(2x＋φ)．
∵点在函数图象上，且是上升趋势的零点，∴－×2＋φ＝2kπ，得φ＝＋2kπ(k∈Z)．
∵|φ|<，∴φ＝，∴y＝3sin.
解法二：待定系数法
由图象知A＝3.∵图象过点和，且由图象的上升及下降趋势，
可得解得∴y＝3sin.
解法三：图象变换法 由A＝3，T＝π，点在图象上，可知函数图象由y＝3sin2x向左平移个单位长度而得，所以y＝3sin2，即y＝3sin.
5．【解析】＝－＝，于是＝，即ω＝，排除A、D.不妨令该函数解析式为
y＝Asin(ωx＋φ)，由题图知A＝1，
于是·＋φ＝2kπ＋π(k∈Z)，所以φ＝2kπ＋(k∈Z)，所以φ可以是，故选C.
考点四 函数的性质的应用
【例8】解：⑴令，则，令，则，即 ，因为，所以可令，得
⑵由⑴知，令 ，
得，所以函数的单调递增区间为，令，得.所以函数的单调递减区间为
【例9】解：⑴由周期得.又因为函数的图象上的一个最低点为，所以，且有即，所以.故.又因为，所以. 所以函数的解析式为
⑵因为，所以.又因为正弦函数在上单调递增，， 所以当，即时，函数取得最小值1；当，即时，函数取得最大值
【例10】【答案】C
【详解】由题意可得，解得，则，从而的最小正周期，故A错误；
因为，所以不是偶函数：故B错误；令，解得，当时，，因为，所以在上单调递增，故C正确；
将图象上各点的横坐标压缩为原来的，得到，则，故D错误.
【例11】【答案】（1）；（2）；（3）存在.
（1） ，
所以函数的最小正周期；
（2）由（1）知，由，得，所以，
所以，所以，即函数在上的值域为；
（3）易知，所以，，
因为，，，
所以在上存在零点．
课后作业
1．【答案】D 【详解】由题意得：，当时，，故不是对称中心，故A选项错误；，B选项错误；当时，，故是的对称中心，故C选项错误；当时，，此时单调递增，故函数在区间上单调递增，D选项正确
2．【答案】C 【详解】A：y＝Acos(ωx＋φ)＋B的最小正周期为，∴f(x)的最小正周期T＝，A正确；
B：f(－)＝2cos[3×(－)－]＝0，所以(－，0)是f(x)的中心对称，B正确；
C：f()＝0，所以f(x)关于(，0)中心对称，C错误；
D：将y＝2cos3x图像上的所有点向右平移变为y＝2cos3(x－)＝2cos(3x－)，D正确﹒
3．【答案】A 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象的解析式为，再将横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到，
4．【答案】C 【详解】由函数的部分图象，可得．
由，，可得，∴，
故可将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象．
5．【答案】B 【详解】由函数图象可知：，函数过两点，设的最小正周期为，因为，所以有，而，因此，
即，因为，所以，因为，
所以，即，因此，
而，
而，因此该函数向右平移个单位长度得到函数的图象，
6．【答案】C 【详解】由最小正周期为，得；由为对称轴，得，，故取1，，所以．
①的图象向右平移个单位长度后，得，错误；
②，正确；③，正确； ④，错误；
7．【答案】 【详解】由题意，是一个偶函数，∴则，又 ,∴
8．【详解】由题意，函数图像上各点向右平移个单位后，函数解析式为，函数的横坐标在缩短到原来的一半，纵坐标也缩短到原来的一半后，函数解析式为.
9．【答案】
【详解】由题意可得，
因为函数的图象过原点，则，可得，
因为，则，则，所以，，可得，所以，，因此，.
10．【答案】（1）（2）和
（1）由函数图象知，，，，
，，，又，，．
（2），故，
由，，得，．
，的单调递增区间为和．
11．【答案】（1）（2）
（1）因为函数，（其中）的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，所以，所以，即，解得：；又的图象与直线y=3相切，所以A=3；因为对于任意，都有，所以
又，解得，所以.
（2）先把函数的图象向左平移个单位长度，得到，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，所以.要求函数的递减区间，只需，解得：，所以函数的递减区间为.
12．【答案】（1）；（2）
（1）设该函数的最小正周期为，因为，所以，因此有：
，函数图象过点，
，即
，函数图象过点，所以，因此；
（2）将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，因此得到，再向右平移个单位长度，因此得到：，
，
所以不等式的解集为：.