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18.2.1 矩 形（1）教案
课题 18.2.1 矩 形（1） 单元 第18单元 学科 数学 年级 八年级（下）
学习目标 1.认识矩形,理解并运用矩形的性质定理计算或证明. 2.掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,会用它解决求线段长或线段倍分关系的问题.
重点 矩形性质定理的运用.
难点 利用矩形的性质定理进行证明和计算.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题教师拿一个活动的平行四边形教具,轻轻拉动一个点,不管怎么拉,它还是一个平行四边形吗 为什么 (演示拉动过程如图所示) 再次演示平行四边形的移动过程,当移动到一个角是直角时停止,让学生观察这是什么图形(小学学过的长方形),引出本课题.1.矩形的定义矩形是一个特殊的平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质.由于矩形有一个角是直角，自然也增加了一些特殊的性质.我们仍然可以从边、角和对角线等方面进行研究.探究矩形的性质：观察 测量 猜想 证明.猜想1 矩形的四个角都是直角.猜想2 矩形的对角线相等.2.矩形的性质猜想1 矩形的四个角都是直角.已知：如图，四边形ABCD是矩形.求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°.证明：∵ 四边形ABCD是矩形，不妨设∠B=90°，∴ ∠A=∠C，∠D=∠B=90°，AD∥BC.∴ ∠A+∠B=180°.∴ ∠A=180°-∠B=90°.∴ ∠C=∠A=90°.∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°.猜想2 矩形的对角线相等.已知：如图，四边形ABCD是矩形.求证：AC=BD.证明：∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AB=CD，∠ABC=∠DCB=90°.∵ BC=CB，∴ △ABC≌△DCB.∴ AC=BD. 思考自议复习平行四边形的定义及其性质.引出矩形的定义。 认识矩形,理解并运用矩形的性质定理计算或证明.
讲授新课 提炼概念归纳矩形的性质：矩形的对边平行且相等； 矩形的四个角都是直角； 矩形的对角线相等且互相平分.三、典例精讲例1.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°,AB=4.求矩形对角线的长. 解:∵四边形ABCD是矩形, ∴AC与BD相等且互相平分, ∴OA=OB. 又∠AOB=60°, ∴△AOB是等边三角形. ∴OA=AB=4. ∴AC=BD=2OA=8.4.探究直角三角形的性质： 在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，观察Rt△ABC.在Rt△ABC中，BO是斜边AC上的中线，它的长度与斜边AC有什么关系吗？直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.5.探究矩形的轴对称性：矩形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？归纳：矩形是一个轴对称图形，它有2条对称轴.对称轴是对边中点连线所在的直线. 利用矩形的性质定理进行证明和计算. 掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,会用它解决求线段长或线段倍分关系的问题.
课堂检测 四、巩固训练1、下列说法错误的是（ ）． （A）矩形的对角线互相平分 （B）有一个角是直角的四边形是矩形（C）矩形的对角线相等 （D）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形B2.如图，矩形ABCD的对角线AB,CD相较于点O,∠AOB=60°,若矩形的对角线长为4，则AD的长是_____________3.如图，在△ABC中，D，E，F，分别是BC、AC、AB边的中点，AH⊥BC于H，FD=8㎝，则HE＝ _____________ 8㎝4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边上的中线，若CD＝BC，则∠A＝_____．解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边上的中线，∴BD＝CD．又∵CD＝BC，∴CD＝BC＝BD，∴△BCD是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠A＝90°﹣∠B＝30°．5.已知：如图，矩形 ABCD，AD长8 cm ，对角线比 AB边长4 cm．求 AD的长及A到BD的距离AE的长．
课堂小结 师生归纳小结:图形定义性质边角对角线平行四边形有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形对边平行且相等对角相等、邻角互补对角线互相平分矩形有一个角是直角的平行四边形叫做矩形对边平行且相等四个角都是直角对角线相等且互相平分
D
B
C
A
O
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人教版 八年级下
18.2.1 矩 形（1）
新知导入
情境引入
生活中常见的长方形
想一想，图中的长方形
与平行四边形之间有什么联系吗？
合作学习
2.在推动平行四边形的变化过程中，你有没有
发现一种熟悉的、更特殊的图形？
1. 我们都知道三角形具有稳定性，
平行四边形是否也具有稳定性？
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
有一个直角
平行四边形
矩形
矩形是一种特殊的平行四边形。
思考: 作为特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？
1：矩形的四个角都是直角．
2：矩形的对角线相等．
A
B
C
D
3：矩形是轴对称图形。
如右图，四边形ABCD是矩形,∠B=90°，
求证： ∠A=∠B =∠C =∠D=90°。
A
B
Ｄ
Ｃ
证明：
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B =∠D，∠C =∠A，AB∥DC
∴∠B +∠C =180°
又∵∠B = 90°
∴∠C = 90°
∴ ∠A = ∠B =∠C =∠D = 90°
矩形的四个角都是直角
如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与DB相交于点O.
求证：AC=DB.
A
B
Ｄ
Ｃ
O
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°
在△ABC和△DCB中,
∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=CB
∴△ABC≌△DCB（SAS）.
∴AC=DB.
矩形的对角线相等
提炼概念
理一理 矩形的所有性质：
B
C
D
A
从边看
从角看
从对角线看
从对称性看
对边分别平行且相等
对角相等，邻角互补，四个角都是直角
对角线相等且互相平分。
是轴对称图形
直角三角形斜边中线
A
B
Ｃ
O
如图，一张矩形纸片，沿着对角线AC剪去一部分，在Rt△ABC中，BO是斜边AC上的中线，思考：AC与BO之间的关系？并尝试证明？
A
B
Ｄ
Ｃ
O
即：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
A
B
Ｃ
O
D
典例精讲
例1 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，
且∠AOB=60°，AB=4 cm．求矩形对角线的长．
A
B
C
D
O
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB（ ）
又∠AOB= 60°，
∴△OAB是 三角形.
∴OA= .
∴AC=BD=2 = .
等边
AB=4
AB
2×4＝8
矩形对角线相等且互相平分
归纳概念
一个角是直角
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
矩形
平行四边形
性质定理1 矩形的四个角都是直角
性质定理2 矩形的对角线相等★
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半★
矩形的定义及性质
课堂练习
1、下列说法错误的是（ ）．
（A）矩形的对角线互相平分
（B）有一个角是直角的四边形是矩形
（C）矩形的对角线相等
（D）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
B
2.如图，矩形ABCD的对角线AB,CD相较于点O,∠AOB=60°,
若矩形的对角线长为4，则AD的长是_____________
┓
H
E
F
D
C
B
A
3.如图，在△ABC中，D，E，F，分别是BC、AC、AB边的中点，AH⊥BC于H，FD=8㎝，则HE＝
8㎝
4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边上的中线，若CD＝BC，则∠A＝_____．
解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边上的中线，∴BD＝CD．
又∵CD＝BC，∴CD＝BC＝BD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝30°．
5、已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对线,AC,BD相交于点O,∠AOD=1200,AB=2.5cm.求矩形对角线的长.
解:
∵四边形ABCD是矩形,
∴BD=2AB=2×2.5=5(cm).
∴AC=BD,且
∵∠DAB=900,
∵∠AOD=1200,
D
B
C
A
O
∴∠ODA=∠OAD=
课堂总结
作业布置
教材课后配套作业题。
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18.2.1 矩 形（1）学案
课题 18.2.1 矩 形（1） 单元 第18单元 学科 数学 年级 八年级下册
学习目标 1.认识矩形,理解并运用矩形的性质定理计算或证明. 2.掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,会用它解决求线段长或线段倍分关系的问题.
重点 矩形性质定理的运用.
难点 利用矩形的性质定理进行证明和计算.
教学过程
导入新课 【引入思考】1、我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质，同样对于平行四边形来说有特殊情况即特殊的平行四边形，也这堂课我们就来研究一种恃殊的平行四边形2动手操作得出概念：.（1）动手用木棒拼成一个平行四边形观察每个内角是什么角？ 。 （ 2）试着改变平行四边形的形状，使一个内角为90度，这时这个平行四边形就是 。 （3）通过操作得出概念，矩形定义：有一个角是 的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)．由此可见，矩形是特殊的 它具有平行四边形的所有性质，矩形是生活中非常常见的图形，你能举出一些例子来吗？（4）四边形、平行四边形、矩形的关系：3、探索矩形的性质： （1）矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？（2）观察图形猜想：①矩形的四个角都 ②矩形的对角线 ． ③对称性：矩形是 图形（3）证明猜想探究矩形的性质：观察 测量 猜想 证明.猜想1 矩形的四个角都是直角.猜想2 矩形的对角线相等.归纳矩形的性质边 角 对角线对称性矩 形
新知讲解 提炼概念归纳矩形的性质：矩形的对边平行且相等； 矩形的四个角都是直角； 矩形的对角线相等且互相平分.典例精讲 例1 已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形对角线的长．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，由性质2有AO=BO=CO=DO=AC=BD．因此得到直角三角形的一个结论：直角三角形斜边上的中线等于 证明这个结论：已知，Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的中线，求证：CD=AB得出：直角三角形的性质： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。在Rt三角形ABC中 ∵∠ABC=90° BO是AC边的中线
课堂练习 巩固训练1、下列说法错误的是（ ）． （A）矩形的对角线互相平分 （B）有一个角是直角的四边形是矩形（C）矩形的对角线相等 （D）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形2.如图，矩形ABCD的对角线AB,CD相较于点O,∠AOB=60°,若矩形的对角线长为4，则AD的长是_____________3.如图，在△ABC中，D，E，F，分别是BC、AC、AB边的中点，AH⊥BC于H，FD=8㎝，则HE＝ _____________ 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边上的中线，若CD＝BC，则∠A＝_____．5.已知：如图，矩形 ABCD，AD长8 cm ，对角线比 AB边长4 cm．求 AD的长及A到BD的距离AE的长．答案引入思考猜想1 矩形的四个角都是直角.已知：如图，四边形ABCD是矩形.求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°.证明：∵ 四边形ABCD是矩形，不妨设∠B=90°，∴ ∠A=∠C，∠D=∠B=90°，AD∥BC.∴ ∠A+∠B=180°.∴ ∠A=180°-∠B=90°.∴ ∠C=∠A=90°.∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°.猜想2 矩形的对角线相等.已知：如图，四边形ABCD是矩形.求证：AC=BD.证明：∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AB=CD，∠ABC=∠DCB=90°.∵ BC=CB，∴ △ABC≌△DCB.∴ AC=BD.提炼概念典例精讲 例1 解:∵四边形ABCD是矩形, ∴AC与BD相等且互相平分, ∴OA=OB. 又∠AOB=60°, ∴△AOB是等边三角形. ∴OA=AB=4. ∴AC=BD=2OA=8.得出：直角三角形的性质： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。在Rt三角形ABC中 ∵∠ABC=90° BO是AC边的中线 巩固训练B2.3.8㎝4.如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边上的中线，∴BD＝CD．又∵CD＝BC，∴CD＝BC＝BD，∴△BCD是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠A＝90°﹣∠B＝30°．5.
课堂小结 小 师生归纳小结:图形定义性质边角对角线平行四边形有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形对边平行且相等对角相等、邻角互补对角线互相平分矩形有一个角是直角的平行四边形叫做矩形对边平行且相等四个角都是直角对角线相等且互相平分
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