沪科版数学七年级上册 1.2 数轴、相反数和绝对值 教案

数轴、相反数和绝对值
【课时安排】
3课时
【第一课时】
【教学目标】
1．了解数轴的概念，如何画数轴，知道如何在数轴上表示有理数，能说出数轴上表示有理数的点所表示的数，知道任何一个有理数在数轴都有唯一的点与之对应。
2．通过现实生活中的例子，从直观认识到理性认识，从而建立数轴概念；通过学习，初步体会对应的思想、数形结合的思想。
【教学重难点】
重点：理解数形结合的数学方法，掌握数轴画法和用数轴上的点表示有理数。
难点：正确理解有理数和数轴上的点的对应关系。
【教学过程】
一、创设情景，导入新课
（一）问题：让机器人在一条直路上做走步取物试验。根据指令：它由O处出发，向西走3m到达A处，拿取物品，然后，返回O处将物品放入蓝中，在向东走2m到达B处取物。
1．在下面的直线上画出A、B两处的位置。
2．把向东走记作“＋”，向西走记作“－”，在上面的直线上标出与A、B相对应的数。
（二）问题：观察温度计，在温度计上有刻度，刻度上有度数，根据温度计的液面的不同位置就可以读出不同的数，从而得到所测的温度。在0上10个刻度，表示10℃；在0下5个刻度，表示－5℃。
温度计可以看作表示正数、0、负数的直线吗？它和刚才那个的图有什么共同点，有什么不同点？
教师：由上述两问题我们得到什么启发？你能用一条直线上的点表示有理数吗？与温度计类似，我们也可以在一条直线上画出刻度，标上读数，用直线上的点表示正数、负数和零。
具体方法如下（边说边画）：
1．画一条水平的直线，在这条直线上任取一点作为原点（通常取适中的位置，如果所需的都是正数，也可偏向左边）用这点表示0（相当于温度计上的0℃）；
2．规定直线上从原点向右为正方向箭头所指的方向，那么从原点向左为负方向相当于温度计上0℃以上为正，0℃以下为负；
3．选取适当的长度作为单位长度，在直线上，从原点向右，每隔一个长度单位取一点，依次表示为1，2，3，……从原点向左，每隔一个长度单位取一点，依次表示为－1，－2，－3，……
提问：我们能不能用这条直线表示任何有理数？
在此基础上，给出数轴的定义，即：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
进而提问学生：在数轴上，已知一点P表示数－5，如果数轴上的原点不选在原来位置，而改选在另一位置，那么P对应的数是否还是－5？如果单位长度改变呢？如果直线的正方向改变呢？
通过上述提问，向学生指出：数轴的三要素——原点、正方向和单位长度，缺一不可。
二、应用迁移，巩固提高
（一）读数轴上的点所表示的数
例：指出下面数轴上A，B，C，D，E各点分别表示什么数。
解析：点C在原点表示O，点A在原点左边距离原点2个单位长度，表示－2。同理，点B表示－3.5。点D在原点右边距离原点2个单位长度，表示2。
（二）将有理数用数轴上的点表示
例：画一个数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点：
＋4，－，，－1.25，－4
最后引导学生得出结论：正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，零用原点表示。
（三）变式题
1．下列图形是数轴的是（ ）
2．数轴上一动点A表示的数为－2，现在Ａ点向右移动2个单位长度到B，在向右移动3个单位长度到C。（1）在数轴上标出A，B，C三点表示的数；（2）点C向哪个方向移动多少个单位长度又回到A点？
3．在数轴上与表示－1的点的距离为2个单位长度的点有几个？请你在数轴上表示出来，它们分别表示什么数？
三、总结反思，拓展升华
指导学生阅读教材后指出：数轴是非常重要的数学工具，它使数和直线上的点建立了对应关系，它揭示了数和形之间的内在联系，为我们研究问题提供了新的方法。
本节课要求同学们能掌握数轴的三要素，正确地画出数轴，在此还要提醒同学们，所有的有理数都可用数轴上的点来表示，但是反过来不成立，即数轴上的点并不是都表示有理数，至于数轴上的哪些点不能表示有理数，这个问题以后再研究。
【第二课时】
【教学目标】
1．使学生理解相反数的意义；
2．给出一个数能求出它的相反数；
3．会根据相反数的意义简化一个有理数的符号；
4．体验数行结合思想。
【教学重难点】
重点：相反数的概念。
难点：相反数在数轴上表示的点的特征和双重符号的简化。
【教学过程】
一、创设情景，导入新课
（一）问题：首先，画一条数轴，然后在数轴上标出下列各点：2与－3，4与－4，与－请同学们观察：
1．上述这三对数有什么特点？
2．表示这三对数的数轴上的点有什么特点？
3．请你再写出同样的几对点来？
显然：
1．上面的这三对数中，每一对数，只有符号不同。
2．这三对数所对应的点中每一组中的两个点，一个在原点的左边，一个在原点的右边，而且离开原点的距离相同。
3．我们还规定：0的相反数是0。
说明：
（1）只有符号不同的两个数叫做互为相反数，如－1999与1999互为相反数。
（2）从数轴上看，位于原点两旁，且与原点距离相等的两点所表示的两个数叫做互为相反数。如4与－4是互为相反数。
（3）0的相反数是0，也只有0的相反数是它的本身。
（4）相反数是表示两个数的相互关系，不能单独存在。
（二）相反数的表示
在一个数的前面添上“－”号就成为原数的相反数。若表示一个有理数，则的相反数表示为－，在一个数的前面添上“+”号仍与原数相联系同。例如，＋7=7，特别地，＋0=0，－0=0。
（三）相反数的特性
若、互为相反数，则；反之若，则、互为相反数。
二、应用迁移，巩固提高
（一）例：分别写出下列各数的相反数：
解：3的相反数是－3；－7的相反数是7；－2.1的相反数是2.1；的相反数是；的相反数是；0的相反数是0；20的相反数是－20。
可以看出：一个正数的相反数是一个负数，而一个负数的相反数是一个正数。
（二）判断相反数
1．例：指出下列各对数中哪几对互为相反数？
（1）+（－3）与－3 （2）+（+8）与8
（3）－（+3）与3 （4）－（－7）与－7
2．由上面的这个例题可以看出：在一个数前面添上“－”号，用这个新数表示原来那个数的相反数；在一个数的前面添上“+”号，表示这个数本身。
（三）多重符号化简
1．相反数的意义是简化多重符号的依据。如－（－1）是－1的相反数，而－1的相反数为+1，所以－（－1）＝＋1＝1。
2．多重符号化简的结果是由“－”号的个数决定的。如果“－”号是奇数个，则结果为负；如果是偶然数个，则结果为正。可简写为“奇负偶正”。
由此可见，化简一个数就是把多重符号化成单一符号，若结果是“+”号，一般省略不写。
3．例：简化下列各数的符号：
（1）－（+7）；
（2）+（－5）；
（3）－（－3.1）；
（4）－[+（－2）]；
（5）－[－（－6）]
解：
三、总结反思，拓展升华
我们这节课学习了相反数，归纳如下：
（一）________________的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数。
（二）＋表示求的_____________，－表示的_____________。
【第三课时】
【教学目标】
1．借助数轴初步理解绝对值的概念，熟悉绝对值符号，理解绝对值的几何意义和作用；
2．给一个数，能求它的绝对值。
3．在绝对值概念形成过程中，渗透数形结合等思想方法，并注意培养学生的思维能力。
【教学重难点】
重点：绝对值的几何意义，代数定义的导出。
难点：负数的绝对值是它的相反数。
【教学过程】
一、创设情境，复习导入
问题：在练习本上画一个数轴，并标出表示－6，，0及它们的相反数的点。
学生活动：一个学生板演，其他学生在练习本上画。
教法说明：绝对值的学习是以相反数为基础的，在学生动手画数轴的同时，把相反数的知识进行复习，同时也为绝对值概念的引入奠定了基础，这里老师不包办代替，让学生自己练习。
二、探索新知，导入新课
（一）师：同学们做得非常好！－6与6是相反数，它们只有符号不同，它们什么相同呢？
学生活动：思考讨论，很难得出答案。
师：在数轴上标出到原点距离是6个单位长度的点。
学生活动：一个学生板演，其他学生在练习本上做。
师：显然A点（表示6的点）到原点的距离是6，B点（表示－6的点）到原点距离是6个单位长吗？
学生活动：产生疑问，讨论。
师：＋6与－6虽然符号不同，但表示这两个数的点到原点的距离都是6，是相同的。我们把这个距离叫＋6与－6的绝对值。
教法说明：针对“互为相反数的两数只有符号不同”提出问题：“它们什么相同呢？”在学生头脑中产生疑问，激发了学生探索知识的欲望，但这时学生很难回答出此问题，这时教师注意引导再提出要求：“找到原点距离是6个单位长度的点”这时学生就有了一个攀登的台阶，自然而然地想到表示＋6，－6的点到原点的距离相同，从而引出了绝对值的概念，这样一环紧扣一环，时而紧张时而轻松，不知不觉学生已获得了知识。
（二）师：－6的绝对值是表示－6的点到原点的距离，－6的绝对值是6；
6的绝对值是表示6的点到原点的距离，6的绝对值是6。
提出问题：
1．－3的绝对值表示什么？
2．的绝对值呢？
3．的绝对值呢？
学生活动：第1、2题根据教师的引导学生口答，第3题讨论后口答。
（三）绝对值的概念：一个数的绝对值是数轴上表示数的点到原点的距离。
数的绝对值是||。
1．教法说明：由－6，6，－3，这些特殊的数的绝对值引出数的绝对值，逐层铺垫，由学生得出绝对值的几何意义，既理解了一个数的绝对值的含义也训练了学生口头表达能力，突破了难点。
如下图所示：在数轴上表示－5的点与原点的距离是5，即－5的绝对值是5，记作|－5|=5。同样，，表示0的点与原点的距离是0，所以|0|=0。
2．下面咱们根据绝对值的定义，来看一组题目：
观察上面这三组题目会发现：（1）组中要求绝对值的数全是正数，而求出的绝对值也是正数，恰恰是它本身，而（2）组中0的绝对值是0，（3）组中要求绝对值的数全是负数，而求得的绝对值全都是正数，因而全都是其相反数，
3．由此可以得到：
（1）一个正数的绝对值是它本身。
（2）一个负数的绝对值是它的相反数。
（3）0的绝对值是0。
（四）因为正数可用a>0来表示，负数可用a<0来表示，所以上述三条可改写成：
1．如果a>0，那么|a|=a，（2）如果a<0，那么|a|=－a，（3）如果a=0，那么|a|=0。
上面这几个式子可合并写成：
由上面的几个式子可以看出，不论a取何值，它的绝对值总是正数或0（通常也称为非负数），即对任意有理数a而言，总有：。
2．这是一条非常重要的性质，这里的“非负”就是“不是负数”，而有可能是正数或者是0。
上面的这几个式子还告诉咱们怎样求一个数的绝对值：
（1）如果求一个正数的绝对值，根据法则，就直接写出结果即可。
（2）如果求一个负数的绝对值，根据法则，就需要找它的相反数。
（3）而就“0”而言，它的绝对值就是它本身。
三、应用迁移，巩固提高
根据上面的这些法则来看例子：
（一）求下列各数的绝对值：
解：
（二）化简：
解：
（三）回答下列问题：
1．绝对值是12的数有几个？是什么？
2．绝对值是0的数有几个？是什么？
3．有没有绝对值是－3的数？为什么？
答：
1．绝对值是12的数有两个：+12和－12。因为绝对值是代表数a表示的点到原点的距离，而在数轴上，到原点距离为12的点共有两个，它们是+12和－12。
2．绝对值是0的数仅有一个，因为只有0的绝对值才是零。
3．没有。因为根据绝对值的意义可知：不论a取值为何数，它的绝对值总是正数或0，而没有负数。因而没有绝对值为－3的数。
（四）设a、b是有理数，判断下列语句是否正确，并简要说明理由，若不正确，也可举出反例。
1．若a=b，则|a|=|b|；
2．若|a|=|b|，则a=b。
解：
1．正确。因为两个数若是相等，则表示它到原点的距离相等，因而|a|=|b|。
2．不正确。因为绝对值相等的两个数，它们不仅可以相等，而且还可以互为相反数，比如|3|=|－3|，但3≠－3。因而原语句错误。
（五）数轴上与原点距离小于3的且表示整数的点有多少个？
绝对值小于2的整数有多少个？它们是什么？
解：先观察数轴：
经过观察，发现：在数轴上与原点距离小于3的点有无数个，但是表示整数的点却只有－2，－1，0，1，2这样5个，而绝对值小于2的整数则有3个，它们分别是0，1，－1。
1 / 9