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第八单元 数学广角——数与形
课题
第二课时 数与形（2）
课型
新授课
内容分析
本节课引导学生通过数与形之间的对应关系，解决一些比较抽象的、复杂的、不好解释的问题。抽象的问题具体化，复杂的问题简单化，从而起到优化解题途径的目的。
课时目标
知识与能力
在学习过程中引导学生探索研究数与形之间的联系，寻找规律，发现规律，学会利用图形来解决一些有关数的问题。
过程与方法
让学生经历猜想与验证的过程，体会数形结合、归纳推理、极限等基本数学思想。
情感态度价值观
在学习过程中渗透数形结合的思想，获得成功的学习体验。
教学重难点
教学重点
探索数与形之间的联系，寻找规律，并利用图形来解决有关数的问题。
教学难点
让学生经历探索规律及验证规律的过程。
教学准备
课件
教学媒体选择
PPT
教学活动
提问，师生讨论
教学过程
一、直接导入，揭示课题
师：同学们，上节课我们探究了图形中隐藏的数的规律，今天我们继续研究有关数与图形之间的联系。［板书课题：数与形（2）］
【设计意图】直奔主题，简洁明了，有利于学生清楚本节课学习的内容和方向。
二、探索发现，学习新知
1.教师与学生比赛算题。
师：上节课计算竞赛，老师赢了，本节课，我还想跟你们比赛，你们还敢挑战吗？（敢！）
师：你们知道+等于多少吗？()那++等于多少呢？
学生尝试计算，教师直接给出答案。
师：只要按照这个分子是1，分母依次扩大到2倍的规律写下去，不管有多少个分数相加，我都能立马算出结果。
师：有的同学不相信是吗？咱们试试就知道。为了方便，我请我们班计算最快的同学跟我一起算，看看结果是否相同。谁来出题？
学生出题，师生竞赛。
学生会按照以上算式中的规律，出以下题：
···
在学生出题后，教师都能立刻算出结果，并且是正确的，学生感到很惊奇。
师：知道我为什么算得那么快吗？因为我有一件神秘的法宝，你们想知道吗？
【设计意图】一方面，教师通过与学生比赛计算速度，且每次教师胜利，使学生产生好奇心，再通过幽默的语言，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣和求知欲；另一方面，为接下来学习例题做好铺垫。
2.借助正方形探究计算方法。
教师边说边用课件出示一个正方形。
师：让我们来把这个正方形变一变，聪明的同学们一定能看明白是怎么回事了。
（1）进行演示讲解。
①演示+。
师：用一个正方形表示“1”，先取它的一半就是正方形的（涂红），再取剩下部分的一半就是正方形的（涂黄）。师：想一想，正方形中表示+的涂色部分与空白部分和整个正方形之间有什么关系呢？（涂色部分等于“1”减去空白部分）空白部分占正方形的几分之几？（）那么涂色部分还可以怎么算呢？（1-）也就是说+=1-。
②继续演示++。
师：谁知道除了通分，还可以怎么算？
根据学生回答，板书++=1-。
③演示+++。
师：那么计算+++就可以得到什么？+++=1-
（2）初步发现规律。
师：看到这儿，你发现什么规律了吗？
学生发现，从开始，后面分数的分母依次是前一个分数分母的2倍，把这些分数加起来，和等于1减去最后一个分数。
(3)总结规律。
师小结：按照这样的规律往下加，不管加到几分之一，只要用1减去这个几分之一就可以得到答案了。
师：这个法宝怎么样？谁来说说它好在哪里？你学会了吗？
(4)尝试练习。
课件出示习题。
···
【设计意图】将复杂的数量运算转化为简单的图形面积计算，转繁为简，化难为易，引导学生探索数与图形的联系，让学生体会到数形结合、归纳推理的数学思想方法。
3.知识提升，探索发现。
(1)感受极限思想。
课件出示教科书P107例2。
师：刚才我们已经从一直加到了，如果我继续加，加到，得数等于多少？()再接着加，一直加到，得数等于多少？()随着不断继续加，你发现得数越来越大，无数个这样的数相加，和会是多少呢？这时候你心中有没有一个大胆的猜想？
猜想：这样一直加下去，得数会不会就等于1了？
师：想象一下，如果我们在刚才加的过程中在正方形上不断涂色，那空白部分的面积会发生怎样的变化？涂色部分的面积呢？
空白部分的面积会越来越小，涂色部分的面积会越来越大。
师：一直往下加，和的得数越来越接近什么数？最终得数是1吗？你有什么方法来验证？
学生提出用圆和线段来帮助验证，若没有学生提出，教师自己提出。
(2)利用线段图直观感受相加之和等于“1”。
师：教科书上有两幅图，我们一起来看看。（课件出示P108扇形图和线段图）
师：你能看懂这两幅图的意思吗？请你想一想，然后告诉大家你的想法。
学生会推导出：这些分数不断加下去，总和就是1。
师：他们的想法对吗？
同学们利用直观图，并结合算式，看出了++++++…的值越来越接近1。其实，当次数趋于无限时，这些分数的和就是1。
教师根据学生的回答进行板书。
【设计意图】利用数与形的结合，让学生直观体会极限的数学思想，并让学生经历猜想得数等于“1”，到数形结合证明得数等于“1”的过程，激发学生的学习兴趣，培养学生探索新知的精神。
三、巩固练习,综合应用
1.课件展示教科书P110“练习二十二”第4题。
（1）学生小组合作，研讨解答。
本题渗透着比例思想，对于学生来说，有一定的难度，教师要适当提示。
（2）展示交流。
师：这道题跟我们以前学习的行程问题相同吗？需要知道速度和时间吗？
引导学生发现狗的速度是人的速度的2倍，用比例的知识解答。
2.课件展示教科书P110“练习二十二”第5题。
（1）学生仔细读图，尝试解答。
（2）展示交流。
师：这几个图中哪个是描述妈妈的行程的？你是怎么知道的？
学生可能根据整幅图进行判断，也可能只根据其中的一段进行判断。
3.课件展示教科书P111“练习二十二”第6题。
（1）全班读题，学生独立思考，尝试解答。
（2）指名回答，要求学生说出解题思路。
（3）根据学生回答情况，连线（课件动态演示）。
（4）结合连线图得出：小刚一共下了2盘，分别和小林、小强下的。
【设计意图】让学生进一步体会数形结合的直观性和变难为易的特点。
4.课件展示教科书P111“练习二十二”第7题。
（1）学生独立在教科书上接着写。
（2）全班交流，集体订正。5.课件展示教科书P111“练习二十二”第8*题。
（1）学生看图思考。
（2）师生交流。
师：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2吗？说说你是怎么知道的。
学生会说这个大正方形的面积有两种不同的算法，两种算法的结果是相等的。
四、课堂小结
师：这节课你们有什么收获？
师小结：在解决数学问题时，常用数与形结合的方式来思考，这样既利用了形的直观，又利用了数的细微。因此，数与形有着十分密切的联系。我们在今后解决数学问题时，要合理地把数与形结合起来考虑。
板书设计
数与形（2）
++++++…=1
作业设计
完成本节课习题。
教学反思
本节课学生对于++++++…这个算式的结果等于1不好理解，学生一直争论“它只是越来越接近1，结果离1还是有那么一点点距离。”于是教师通过课件演示，出示一个圆和一条线段，根据分数的意义表示出这些分数，使学生直观地看到最终的结果是“1”，另外还有反推的方法。但这个结果是教师强加给学生的，还有些学生不是很理解。由此也可以看出，小学生对于“极限”思想还是难以接受，还需要进一步渗透。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共15张PPT)
数 学
人教版 六年级上
第八单元 数学广角——数与形
第2课时 数与形（2）
课堂目标
寻找规律，发现规律，学会利用图形来解决一些有关数的问题。
新知探究
+ =
+ + =
3
4
7
8
+ + + =
+ + + + =
+ + + + + =
+ + + + + + =
15
16
31
32
63
64
127
128
+ =
3
4
=1-
1
4
+ + =
7
8
1
8
1
4
1
2
=1-
1
8
=1-
1
16
+ + + =
15
16
1
8
1
4
1
2
1
16
新知探究
计算 + + + + + +···。
你能发现什么规律？
从第二个数开始，每个数是前一个数的 。
2
1
新知探究
计算 + + + + + +···。
我一个一个加下去看看，
答案好像有点规律。
1
2
＋
1
4
＝
3
4
3
4
＋
1
8
＝
7
8
＋
1
16
7
8
＝
15
16
1
32
＋
＝
31
32
15
16
加下去，等号右边的分数
越来越接近于1。
新知探究
计算 + + + + + +···。
可以画个图帮助思考。用一个圆或一条线段来表示“1” 。
从图上可以看出，这些分数不断加下去，总和就是1。
+ + + + + +···=
1
8
1
4
1
2
1
16
1
32
1
64
1
新知探究
巩固练习
1. 一条马路长 200 m，小亮和他的小狗分别以均匀的速度同时从马
路的起点出发。当小亮走到这条马路一半的时候，小狗已经到达
马路的终点。然后小狗返回与小亮相向而行，遇到小亮以后再跑
向终点，到达终点以后再与小亮相向而行······直到小亮到达终点。
小狗从出发开始，一共跑了多少米？
起点
（200÷1）×2=400（m）
答：一共跑了400m。
2. 小兰和爸爸、妈妈一起步行到离家 800 m 远的公园健身中心，用
时 20 分钟。妈妈到了健身中心后直接返回家里，还是用了 20 分
钟。小兰和爸爸一起在健身中心锻炼了 10 分钟。然后，小兰跑步
回到家中，用了 5 分钟，而爸爸是走回家中，用了 15 分钟。下
面几个图哪个是描述妈妈离家的时间和离家距离的关系？哪个是
描述爸爸的？哪个是描述小兰的？
小兰
妈妈
爸爸
巩固练习
3. 小林、小强、小芳、小兵和小刚 5 人进行象棋比赛，每 2 人之间
都要下一盘。小林已经下了4盘，小强下了3盘，小芳下了 2 盘，
小兵下了 1 盘。请问：小刚一共下了几盘？分别和谁下的？
用连线的方法试试。
答：小刚一共下了2盘，分别和小林、小强下的。
小刚
小林
小强
小芳
小兵
1
4
3
2
巩固练习
4. 我国宋代数学家杨辉在公元1261 年撰写了《详解九章算法》，杨
辉在这本著作中画了一个由数构成的三角形图，我们把它称为
“杨辉三角”。你能发现右面与“杨辉三角”图对应的数字三角形
表中各数之间的关系吗？你能按照发现的规律把这个三角形表继
续写下去吗？试试看。
每个数字是上一行的左右两个数字之和。
继续写下去，下一行是：1 6 15 20 15 6 1 。
巩固练习
课堂小结
运用数形结合的方法，不仅可以帮助理解计算方法，还可以探索数学规律，借此进行计算，从而解决问题。
课后作业
完成本节课习题。
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