2022年广东省合格性考试数学仿真模拟题（一）（word版含解析）

2022年广东合格性考试数学仿真模拟题（一）
一、选择题（本题共有15小题，每小题6分，满分90分）
1．若集合M＝{－1，1}，N＝{－2，1，0}，则M∩N＝(　　)
A．{0，－1} B．{0} C．{1} D．{－1，1}
2．已知f(x)、g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝(　　)
A．－3 B．－1 C．1 D．3
3．函数f(x)＝的定义域是(　　)
A. B. C. D．(－∞，＋∞)
4．已知向量a＝(1，x)，b＝(－1，x)，若2a－b与b垂直，则|a|＝(　　)
A. B. C．4 D．2
5．直线x＋y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，则弦AB的长度等于(　　)
A．2 B．2 C. D．1
6．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是(　　)
A．a>b>－b>－a B．a>－b>－a>b
C．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b
7．已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝(　　)
A．7 B．5 C．－5 D．－7
8．函数y＝2cos2－1的是(　　)
A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为2π的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数 D．最小正周期为2π的偶函数
9．当x＞0时，下列不等式正确的是(　　)
A．x＋≥4 B．x＋≤4 C．x＋≥8 D．x＋≤8
10．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝(　　)
A. B. C．2 D．3
11．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为(　　)
A. B. C. D.
12．已知，是不重合直线，，，是不重合平面，则下列说法：
①若、，则；②、，则；
③若、，则；④若、，则．正确的是　　
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
13．某公司生产了一批新产品10000件，现从这些产品中随机抽取200件，测量这些产品的一项质量指标值，测量结果得如图频率分布直方图，估计该公司的这批新产品的这项质量指标值不低于95的件数为　　
A．340 B．670 C．3400 D．6700
14．从装有除颜色外完全相同的2个黑球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是　　
A．至少有1个白球，都是黑球 B．至少有1个白球，至少有1个黑球
C．恰有1个白球，恰有2个白球 D．至少有1个白球，都是白球
15．长方体的长、宽、高分别为，，1，且其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为　　
A． B． C． D．
二、填空题
16．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为________．
17．某次体检，6位同学的身高(单位：米)分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77则这组数据的中位数是________米．
18．若点A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)三点共线，则a的值为________．
19．《九章算术》一书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第二十日所织尺数为________．
答案卡
班级________ 姓名__________ 成绩_____________
一、选择题(每小题6分，满分90分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
选项
二、填空题(每小题6分，满分24分)
16.___________________ 17.___________________
18.___________________ 19.___________________
解答题（本题共3小题，每小题12分，满分36分，解答须写出文字说明，证明过程和验算步骤）
20．在锐角△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，且a＝2csin A.
(1)求角C的大小；（6分）
(2)若a＝2，且△ABC的面积为，求c的值．（6分）
21．已知四棱锥P ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，E是PA的中点．
(1) 求证：PC∥平面EBD；（4分）
(2) 求证：平面PBC⊥平面PCD. （4分）
(3) 若AD=PD=2，求三棱锥C-BDE的体积。（4分）
22．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量（单位：千克）与销售价格（单位：元千克）满足关系式，其中，为常数．已知销售价格为6元千克时，每日可售出该商品220千克．
（1）求的值；（4分）
（2）若该商品的进价为4元千克，试确定销售价格的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出利润的最大值．（8分）
参考答案
一、选择题（本题共有15小题，每小题6分，满分90分）
1．若集合M＝{－1，1}，N＝{－2，1，0}，则M∩N＝(　　)
A．{0，－1} B．{0} C．{1} D．{－1，1}
解析：M∩N＝{1}，故选C.答案：C
2．已知f(x)、g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝(　　)
A．－3 B．－1 C．1 D．3
解析：本题考查函数的奇偶性．令x＝－1可得f(－1)－g(－1)＝1 f(1)＋g(1)＝1，故选C.答案：C
3．函数f(x)＝的定义域是(　　)
A. B. C. D．(－∞，＋∞)
解析：由2x＋1≥0，解得x≥－，故选B.答案：B
4．已知向量a＝(1，x)，b＝(－1，x)，若2a－b与b垂直，则|a|＝(　　)
A. B. C．4 D．2
解析：(2a－b)·b＝(3，x)·(－1，x)＝x2－3＝0，
∴x＝±，∴|a|＝2.答案：D
5．直线x＋y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，则弦AB的长度等于(　　)
A．2 B．2 C. D．1
解析：利用平面几何中圆心距、半径、半弦长的关系求解．
∵圆心到直线x＋y－2＝0的距离d＝＝1，半径r＝2，∴弦长|AB|＝2＝2＝2.答案：B
6．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是(　　)
A．a>b>－b>－a B．a>－b>－a>b
C．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b
解析：∵a＋b>0，b<0，∴a>－b>0.∴－a<0，b>－a.
∴－a7．已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝(　　)
A．7 B．5 C．－5 D．－7
解析：法一利用等比数列的通项公式求解．由题意得
∴或∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.答案：D
8．函数y＝2cos2－1的是(　　)
A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为2π的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数 D．最小正周期为2π的偶函数
解析：因为y＝2cos2－1＝
cos 2＝sin 2x，所以T＝＝π，且为奇函数，故选A.答案：A
9．当x＞0时，下列不等式正确的是(　　)
A．x＋≥4 B．x＋≤4 C．x＋≥8 D．x＋≤8
解析：由均值不等式可知，当x＞0时，x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时取“＝”，故选A.答案：A
10．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝(　　)
A. B. C．2 D．3
解析：由余弦定理得cos A＝＝＝，∴b＝3，答案选D.答案：D
11．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为(　　)
A. B. C. D.
解析：从5人中选2人共有10种选法，其中有甲的有4种选法，所以概率为＝.答案：B
12．已知，是不重合直线，，，是不重合平面，则下列说法：
①若、，则；②、，则；
③若、，则；④若、，则．
正确的是　　
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
【解答】解：由，是不重合直线，，，是不重合平面，知：
对于①，若、，则与相交或平行，故①错误；
对于②，若、，则由线面垂直的性质定理得，故②正确；
对于③，若、，则由面面平行的判定定理得，故③正确；
对于④，若、，则或，故④错误．故选：．
13．某公司生产了一批新产品10000件，现从这些产品中随机抽取200件，测量这些产品的一项质量指标值，测量结果得如图频率分布直方图，估计该公司的这批新产品的这项质量指标值不低于95的件数为　　
A．340 B．670 C．3400 D．6700
【解答】解：由频率分布直方图得：
该公司的这批新产品的这项质量指标值不低于95的频率为：，
该公司的这批新产品的这项质量指标值不低于95的件数为：．故选：．
14．从装有除颜色外完全相同的2个黑球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是　　
A．至少有1个白球，都是黑球
B．至少有1个白球，至少有1个黑球
C．恰有1个白球，恰有2个白球
D．至少有1个白球，都是白球
【解答】解：从装有除颜色外完全相同的2个黑球和2个白球的口袋内任取2个球，
对于，至少有1个白球，都是黑球是对立事件，故错误；
对于，至少有1个白球，至少有1个黑球能同时发生，不是互斥事件，故错误；
对于，恰有1个白球，恰有2个白球是互斥而不对立事件，故正确；
对于，至少有1个白球，都是白球能同时发生，不是互斥事件，故错误．故选：．
15．长方体的长、宽、高分别为，，1，且其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为　　
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，长方体的的8个顶点都在同一球面上，则长方体的对角线的长就是球的直径，而长方体的长、宽、高分别为，，1，则长方体的对角线长，
即球的半径，故球的表面积，故选：．
二、填空题
16．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为________．
解析：由题意知，青年职工人数∶中年职工人数∶老年职工人数＝350∶250∶150＝7∶5∶3.由样本中青年职工为7人得样本容量为15.答案：15
17．某次体检，6位同学的身高(单位：米)分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77则这组数据的中位数是________米．
解析：由小到大排列为1.69，1.72，1.75, 1.77，1.78, 1.80.中位数是＝1.76.答案：1.76
18．若点A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)三点共线，则a的值为________．
解析：∵A，B，C三点共线，∴＝，∴a＝4.答案：4
19．《九章算术》一书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第二十日所织尺数为________．
【解答】解：由题意可知，每日所织数量构成等差数列，且，，
设公差为，由，得，
，由，得，，则，．
三、解答题
20．在锐角△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，且a＝2csin A.
(1)求角C的大小；（6分）
(2)若a＝2，且△ABC的面积为，求c的值．（6分）
解：(1)由正弦定理得sin A＝2sin Csin A，
因为A，C是锐角，所以sin C＝，故C＝60°.
(2)因为S＝absin C＝，所以b＝3.
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋9－2×3＝7，所以c＝.
21．已知四棱锥P ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，E是PA的中点．
(1) 求证：PC∥平面EBD；（4分）
(2) 求证：平面PBC⊥平面PCD. （4分）
(3) 若AD=PD=2，求三棱锥C-BDE的体积。（4分）
证明：(1)连接AC交BD与O，连接EO，
∵E，O分别为PA，AC的中点，∴EO∥PC.
∵PC 平面EBD，EO 平面EBD，∴PC∥平面EBD.
(2)∵PD⊥平面ABCD
BC 平面ABCD∴PD⊥BC
∵ABCD为正方形∴BC⊥CD
又∵PD∩CD＝D∴BC⊥平面PCD
∵BC 平面PBC∴平面PBC⊥平面PCD.
（3）略解：
22．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量（单位：千克）与销售价格（单位：元千克）满足关系式，其中，为常数．已知销售价格为6元千克时，每日可售出该商品220千克．
（1）求的值；（4分）
（2）若该商品的进价为4元千克，试确定销售价格的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出利润的最大值．（8分）
【解答】解：（1）由题意时，，带入，可得；
（2）利润进价，
总利润；
中，当时，总利润取得最大值为：440
故得销售价格为6时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，其最大值为440元
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