一元二次方程
图片预览
文档简介
《一元二次方程》教学设计
【课标解读】
《数学课程标准》指出，我们的教学应注重让学生在实际的背景中理解基本的数量关系和变化规律，注重学生经历从实际问题中建立数学模型的过程，加强内容之间的联系，并能介绍相关的代数问题的几何背景。能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是是刻画现实世界的一个有效的数学模型
【教材分析】
一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位，是继一元一次方程、二元一次方程组、分式方程之后进行的进一步学习。通过一元二次方程的学习，可以对已学过的实数、一元一次方程、二次根式等知识加以巩固，同时又是今后学习可化为一元二次方程的其它高次方程、一元二次不等式、二次函数等知识的基础。本节课是一元二次方程概念的引入，是通过丰富的实例，让学生建立一元二次方程的模型，并通过观察，归纳出一元二次方程的概念。
【教学目标和教学重点】
（一）教学目标
1．在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。
2．知道一元二次方程的定义，熟练地把一元二次方程整理成一般形式ax2+bx+c=o（a≠0）
3．通过探究实际问题来培养学生的归纳、分析、解决问题的能力。
4．在学习过程中逐步养成主动探索、敢于实践、勇于发现、合作交流的精神.
（二）教学重点和难点：
1.教学重点：一元二次方程的概念及一般形式
2.教学难点：①由实际问题列出一元二次方程
②一元二次方程的定义及一般形式
【学情分析】
初三学生是在学习了一元一次方程、二元一次方程和分式方程的基础上进行本节的学习。这些有关方程的基础知识对本节课的新方程的学习有很重要的铺垫作用。尤其是与其最相近的一元一次方程，学生很熟悉它的定义及一般形式，这也最直接地影响到本节课内容的探究及学习。同时本节课也综合运用了一系列的例如猜想、合作探究、归纳总结等方法，由于初三的学生平时已经积累了解定的学习技能技巧、学习方法等，这也为本节课的探究学习做好了充分的准备。
【评价设计】
板块一完成教学目标1
板块二完成教学目标2
板块一、板块二完成教学目标3
板块一、二、三、四完成教学目标4
由于课堂教学是一个动态过程，学生的思维又常常受到课堂气氛或突发事件的影响，为了达到最佳的教学效果，我将"教学反应"型评价和"教学反馈"型评价相结合，一方面根据课堂实施状况和学生反馈的信息而作出一种即时性评价，并顺势从教学内部进行调节；另一方面根据课堂环节，反馈目标达成度，了解学生掌握知识的程度.
【教学过程】
板块一：创设情境，发现探索
<环节呈现>请思考完成下列问题，并在班内交流
问题1：小颖种了一株树苗，开始时树苗高为40厘米，栽种后每周长高约15厘米，大约几周后树苗长高到1米？如果设x周后树苗长高到1米,可得方程_________________
问题2：你能找到五个连续的整数，使前面三个数的平方和等于后面两个数的平方和吗？
如果设中间的一个数为x,那么，根据题意可得到方程____________
问题3：一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米。如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端滑动多少米？如果设梯子底端滑动x米，可得方程，___________
问题4：有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000 kg和15000 kg。已知第一块试验‘田每公顷的产量比第二块少3000 kg，分别求这两块试验田每公顷的产量。如果设第一块试验田每公顷的产量为kg，那么第二块试验田每公顷的产量是________kg。根据题意，可得方程___________________
问题5：轮船在顺水中航行20千米与逆水航行10千米所用时间相同，水流速度为2.5千米/小时，求轮船的静水速度。如果设轮船在静水中的速度是x千米/小时, 可得方程_________________
问题6：小明同学看中一件运动衣按8折销售的售价为80元，这件衣服的原价是多少元？
如果设原价为x元，可得方程_________________
<教师活动>教师创设问题情境，转化成操作性强的具体任务，学生在完成具体任务的过程中，通过思考、交流，逐步体会教学内容。
<学生活动>独立完成，班内交流
<设计意图>引导学生探究一元二次方程的概念，并体会方程是刻画现实世界的一个有效的模型。
本环节完成目标：1．在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。
板块二：合作探究，获取新知
<环节呈现>
<一>请给所得出的方程进行适当的分类，并说明理由
1.40+15x=100
2.(x-1)2+(x-2)2+x2=(x+1)2+(x+2)2
3.72+(6-x)2=102
4.900/x=1500/(x+300)
5.20/x+2.5=10/(x-2.5)
6.80℅x=80
你是怎么样进行分类的，这样做的理由是什么？谁还有不同的方法，同样说说理由。
<二>下面这些方程是一元二次方程吗？它们有哪些区别与联系？你能写出它们的一般形式吗？
1.2x2-3（x+7）=0
2.7x2+12x=-6x
3.x2=6
4.5x2=0
5.2x2+3x=2(x2-1)
<教师活动>注意引导学生进行分类探究，逐步让二元一次方程浮现在学生面前。在探究过程中抓住学生的思维方向及时引导，及时评价，充分调动学生的积极性，激发学生的求知欲望。
<学生活动>请学生代表到黑板写下自己列出的方程，然后以小组为单位进行分类归纳。充分强化交流，让学生在充分的说理中能逐步理清关系，探索出一元二次方程的定义。
<设计意图>不以教师为主体，而以学生的自主探究、自主发现为载体，通过反复的讨论、说理，完成知识在探索中的提升过程。例题除用来巩固知识之外，进一步强调化为一般形式对于判断一元二次方程的重要性。
<本环节完成目标>：一元二次方程的定义及一般形式。
板块三：运用新知 体验成功
环节呈现：通过刚才的学习，我们知道了什么叫做一元二次方程，及一元二次方程的相关知识，让例题引路。
例1.判断下列议程是不是关于x的一元二次方程，如果是，写出它的二次项、一次项和常数项：
⑴3x(x+2)=4(x-1)+7
⑵(2x+3)2=(x+1)(4x-1)
例2.k为何值时，关于x的方程（k-2)x2+2(k+1)+2k-1=0是一元二次方程？
思考后面的问题，并与其它同学交流
1. 将一元二次方程(x-2)(2x+1)=3x2-5化为一般形式_______ , 其中二次项系数 _______,一次项系数_________ ，常数项__________
2. 当m________时,方程mx2-3x=2x2-mx+2 是一元二次方程.
当m_______时,方程(㎡-4) x2-(m+2)x-3=0是一元一次方程.
3．下列方程（1）2x2－3=0 （2）xy-x2=1 （3）2y2－3y＋1=0
（4）ay2＋2y＋c=0 （5）（x＋1）（x－3）=x2＋5 （6）x－x2=0
其中，是一元二次方程的有_______________。
4.m为何值时，关于x的方程是关于x的一元二次方程
<教师活动>先出示例题，借助例题对所学的定义及一般形式进行应用练习。再由教师在大屏幕上显示问题,由学生经过思考,给出符合条件的答案,全体学生进行判断是否正确。对于学生感到困难的题目进行适当的板演。时间充足的话，可考虑让学生相互出题，以更加灵活的方式进行巩固训练。
<学生活动>学生独立完成，组内讨论，班内交流。
<设计意图>此题设置的目的在于进一步加深学生对一般形式的理解
板块四：归纳小结 拓展提高
1.通过这节课的学习你学会了哪些知识？
2.在学习的过程中你运用了哪些方法？
3.在确定一元二次方程的项及系数时应注意哪些问题？
根据本节课的学习来完成下列题目：
<教师活动>小结时，教师应重点关注：学生是否能抓住本节课的重点，是否掌握一些基本方法。如果学生不能完整总结，教师要加以引导，因为这节课学生所使用和收获的方法与知识同样重要。在进行知识和方法的总结的同时，要对学生在本节课的表现给予合理的评价，进行情感上的交流和鼓励。
<学生活动>学生反思本节课中学到的知识，总结活动中的经验，通过小结达到整体提高的新效果
<设计意图>小结反思中，不同学生有不同的体会，要尊重学生的个体差异，激发学生主动参与意识，.为每个学生都创造了数学活动中获得活动经验的机会。
板块五：布置作业 分层落实
必做题：
1、列方程化成一般形式,且指出其二次项,一次项和常数项
(1)2x(x-5)=3-x??????????? (2)? (2x-1)(x+5)=6x
2、当m取何值时，方程 是关于x的一元二次方程？
3、判断下列关于x的方程是否是一元二次方程：
? (?a.b.c ?为有理数)
选做题：
若方程x2m+n +xm-n +3=0是关于x的一元二次方程，求m,n的值。
<设计意图>分层次布置作业，尊重学生的个体差异，激发学生学习积极性。
【板书设计】
一元二次方程
1.一元二次方程定义： 2.一元二次方程一般形式： 3.练习：
（学生板演列出的方程 ） 1.2x2-3（x+7）=0
1.40+15x=100 2.7x2+12x=-6x
2.(x-1)2+(x-2)2+x2=(x+1)2+(x+2)2 3.x2=6
3.72+(6-x)2=102 4.5x2=0
4.900/x=1500/(x+300) 5.2x2+3x=2(x2-1)
5.20/x+2.5=10/(x-2.5)
6.80℅x=80
【课标解读】
《数学课程标准》指出，我们的教学应注重让学生在实际的背景中理解基本的数量关系和变化规律，注重学生经历从实际问题中建立数学模型的过程，加强内容之间的联系，并能介绍相关的代数问题的几何背景。能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是是刻画现实世界的一个有效的数学模型
【教材分析】
一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位，是继一元一次方程、二元一次方程组、分式方程之后进行的进一步学习。通过一元二次方程的学习，可以对已学过的实数、一元一次方程、二次根式等知识加以巩固，同时又是今后学习可化为一元二次方程的其它高次方程、一元二次不等式、二次函数等知识的基础。本节课是一元二次方程概念的引入，是通过丰富的实例，让学生建立一元二次方程的模型，并通过观察，归纳出一元二次方程的概念。
【教学目标和教学重点】
（一）教学目标
1．在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。
2．知道一元二次方程的定义，熟练地把一元二次方程整理成一般形式ax2+bx+c=o（a≠0）
3．通过探究实际问题来培养学生的归纳、分析、解决问题的能力。
4．在学习过程中逐步养成主动探索、敢于实践、勇于发现、合作交流的精神.
（二）教学重点和难点：
1.教学重点：一元二次方程的概念及一般形式
2.教学难点：①由实际问题列出一元二次方程
②一元二次方程的定义及一般形式
【学情分析】
初三学生是在学习了一元一次方程、二元一次方程和分式方程的基础上进行本节的学习。这些有关方程的基础知识对本节课的新方程的学习有很重要的铺垫作用。尤其是与其最相近的一元一次方程，学生很熟悉它的定义及一般形式，这也最直接地影响到本节课内容的探究及学习。同时本节课也综合运用了一系列的例如猜想、合作探究、归纳总结等方法，由于初三的学生平时已经积累了解定的学习技能技巧、学习方法等，这也为本节课的探究学习做好了充分的准备。
【评价设计】
板块一完成教学目标1
板块二完成教学目标2
板块一、板块二完成教学目标3
板块一、二、三、四完成教学目标4
由于课堂教学是一个动态过程，学生的思维又常常受到课堂气氛或突发事件的影响，为了达到最佳的教学效果，我将"教学反应"型评价和"教学反馈"型评价相结合，一方面根据课堂实施状况和学生反馈的信息而作出一种即时性评价，并顺势从教学内部进行调节；另一方面根据课堂环节，反馈目标达成度，了解学生掌握知识的程度.
【教学过程】
板块一：创设情境，发现探索
<环节呈现>请思考完成下列问题，并在班内交流
问题1：小颖种了一株树苗，开始时树苗高为40厘米，栽种后每周长高约15厘米，大约几周后树苗长高到1米？如果设x周后树苗长高到1米,可得方程_________________
问题2：你能找到五个连续的整数，使前面三个数的平方和等于后面两个数的平方和吗？
如果设中间的一个数为x,那么，根据题意可得到方程____________
问题3：一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米。如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端滑动多少米？如果设梯子底端滑动x米，可得方程，___________
问题4：有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000 kg和15000 kg。已知第一块试验‘田每公顷的产量比第二块少3000 kg，分别求这两块试验田每公顷的产量。如果设第一块试验田每公顷的产量为kg，那么第二块试验田每公顷的产量是________kg。根据题意，可得方程___________________
问题5：轮船在顺水中航行20千米与逆水航行10千米所用时间相同，水流速度为2.5千米/小时，求轮船的静水速度。如果设轮船在静水中的速度是x千米/小时, 可得方程_________________
问题6：小明同学看中一件运动衣按8折销售的售价为80元，这件衣服的原价是多少元？
如果设原价为x元，可得方程_________________
<教师活动>教师创设问题情境，转化成操作性强的具体任务，学生在完成具体任务的过程中，通过思考、交流，逐步体会教学内容。
<学生活动>独立完成，班内交流
<设计意图>引导学生探究一元二次方程的概念，并体会方程是刻画现实世界的一个有效的模型。
本环节完成目标：1．在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。
板块二：合作探究，获取新知
<环节呈现>
<一>请给所得出的方程进行适当的分类，并说明理由
1.40+15x=100
2.(x-1)2+(x-2)2+x2=(x+1)2+(x+2)2
3.72+(6-x)2=102
4.900/x=1500/(x+300)
5.20/x+2.5=10/(x-2.5)
6.80℅x=80
你是怎么样进行分类的，这样做的理由是什么？谁还有不同的方法，同样说说理由。
<二>下面这些方程是一元二次方程吗？它们有哪些区别与联系？你能写出它们的一般形式吗？
1.2x2-3（x+7）=0
2.7x2+12x=-6x
3.x2=6
4.5x2=0
5.2x2+3x=2(x2-1)
<教师活动>注意引导学生进行分类探究，逐步让二元一次方程浮现在学生面前。在探究过程中抓住学生的思维方向及时引导，及时评价，充分调动学生的积极性，激发学生的求知欲望。
<学生活动>请学生代表到黑板写下自己列出的方程，然后以小组为单位进行分类归纳。充分强化交流，让学生在充分的说理中能逐步理清关系，探索出一元二次方程的定义。
<设计意图>不以教师为主体，而以学生的自主探究、自主发现为载体，通过反复的讨论、说理，完成知识在探索中的提升过程。例题除用来巩固知识之外，进一步强调化为一般形式对于判断一元二次方程的重要性。
<本环节完成目标>：一元二次方程的定义及一般形式。
板块三：运用新知 体验成功
环节呈现：通过刚才的学习，我们知道了什么叫做一元二次方程，及一元二次方程的相关知识，让例题引路。
例1.判断下列议程是不是关于x的一元二次方程，如果是，写出它的二次项、一次项和常数项：
⑴3x(x+2)=4(x-1)+7
⑵(2x+3)2=(x+1)(4x-1)
例2.k为何值时，关于x的方程（k-2)x2+2(k+1)+2k-1=0是一元二次方程？
思考后面的问题，并与其它同学交流
1. 将一元二次方程(x-2)(2x+1)=3x2-5化为一般形式_______ , 其中二次项系数 _______,一次项系数_________ ，常数项__________
2. 当m________时,方程mx2-3x=2x2-mx+2 是一元二次方程.
当m_______时,方程(㎡-4) x2-(m+2)x-3=0是一元一次方程.
3．下列方程（1）2x2－3=0 （2）xy-x2=1 （3）2y2－3y＋1=0
（4）ay2＋2y＋c=0 （5）（x＋1）（x－3）=x2＋5 （6）x－x2=0
其中，是一元二次方程的有_______________。
4.m为何值时，关于x的方程是关于x的一元二次方程
<教师活动>先出示例题，借助例题对所学的定义及一般形式进行应用练习。再由教师在大屏幕上显示问题,由学生经过思考,给出符合条件的答案,全体学生进行判断是否正确。对于学生感到困难的题目进行适当的板演。时间充足的话，可考虑让学生相互出题，以更加灵活的方式进行巩固训练。
<学生活动>学生独立完成，组内讨论，班内交流。
<设计意图>此题设置的目的在于进一步加深学生对一般形式的理解
板块四：归纳小结 拓展提高
1.通过这节课的学习你学会了哪些知识？
2.在学习的过程中你运用了哪些方法？
3.在确定一元二次方程的项及系数时应注意哪些问题？
根据本节课的学习来完成下列题目：
<教师活动>小结时，教师应重点关注：学生是否能抓住本节课的重点，是否掌握一些基本方法。如果学生不能完整总结，教师要加以引导，因为这节课学生所使用和收获的方法与知识同样重要。在进行知识和方法的总结的同时，要对学生在本节课的表现给予合理的评价，进行情感上的交流和鼓励。
<学生活动>学生反思本节课中学到的知识，总结活动中的经验，通过小结达到整体提高的新效果
<设计意图>小结反思中，不同学生有不同的体会，要尊重学生的个体差异，激发学生主动参与意识，.为每个学生都创造了数学活动中获得活动经验的机会。
板块五：布置作业 分层落实
必做题：
1、列方程化成一般形式,且指出其二次项,一次项和常数项
(1)2x(x-5)=3-x??????????? (2)? (2x-1)(x+5)=6x
2、当m取何值时，方程 是关于x的一元二次方程？
3、判断下列关于x的方程是否是一元二次方程：
? (?a.b.c ?为有理数)
选做题：
若方程x2m+n +xm-n +3=0是关于x的一元二次方程，求m,n的值。
<设计意图>分层次布置作业，尊重学生的个体差异，激发学生学习积极性。
【板书设计】
一元二次方程
1.一元二次方程定义： 2.一元二次方程一般形式： 3.练习：
（学生板演列出的方程 ） 1.2x2-3（x+7）=0
1.40+15x=100 2.7x2+12x=-6x
2.(x-1)2+(x-2)2+x2=(x+1)2+(x+2)2 3.x2=6
3.72+(6-x)2=102 4.5x2=0
4.900/x=1500/(x+300) 5.2x2+3x=2(x2-1)
5.20/x+2.5=10/(x-2.5)
6.80℅x=80