期中考试复习：导数的应用与积分
图片预览
文档简介
期中考试复习三：导数的应用与积分20121022
基础梳理
1．函数的最值
假设函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条________________的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得________与___________若函数在(a，b)内是__________，该函数的最值必在___________取得．
2．定积分的概念
(1)定积分的定义和相关概念
在f(x)dx中，_____分别叫做积分下限与积分上限，区间______叫做积分区间，_______叫做被积函数，______叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．
(2)定积分的几何意义
①当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分f(x)dx的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(图1中阴影部分)．
②一般情况下，定积分f(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a、x＝b之间的曲边梯形面积的代数和(图2中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．
(3)定积分的基本性质
①kf(x)dx＝_______．②[f1(x)±f2(x)]dx＝________________.③f(x)dx＝________________．
3．微积分基本定理
如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝______________，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．
为了方便，常把F(b)－F(a)记成_______，即f(x)dx＝________＝F(b)－F(a)．
思考1 若积分变量为t，则f(x)dx与f(t)dt是否相等？
课前热身
1．函数f(x)＝x3－3x(－1A．有最大值，但无最小值 B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，也无最小值 D．无最大值，但有最小值
2．设f(x)＝，则 的值是( )
A. B. C.+ D.＋
3．如图，函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是( )
A．1 B.
C. D．2
4．函数f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值是__________，最小值是________．
5．圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S，则它的底面半径为________时，才能使饮料罐的体积最大．
考点突破
例1（2009陕西文）已知函数．
求的单调区间；
若在处取得极值，直线y=m与的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．
例2 （2010辽宁理）已知函数/．
（I）讨论函数/的单调性；
（II）设/.如果对任意/，≥，求/的取值范围．
例3 (2010年东城二模理)已知函数/．
(Ⅰ) 若函数/在/上为单调增函数，求/的取值范围；
(Ⅱ) 设/，/，且/，求证：/．
例4 已知函数，
（Ⅰ）若，求函数的极值；
（Ⅱ）设函数，求函数的单调区间；
(Ⅲ)若在（）上存在一点，使得成立，求的取值范围.
基础梳理
1．函数的最值
假设函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条________________的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得________与___________若函数在(a，b)内是__________，该函数的最值必在___________取得．
2．定积分的概念
(1)定积分的定义和相关概念
在f(x)dx中，_____分别叫做积分下限与积分上限，区间______叫做积分区间，_______叫做被积函数，______叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．
(2)定积分的几何意义
①当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分f(x)dx的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(图1中阴影部分)．
②一般情况下，定积分f(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a、x＝b之间的曲边梯形面积的代数和(图2中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．
(3)定积分的基本性质
①kf(x)dx＝_______．②[f1(x)±f2(x)]dx＝________________.③f(x)dx＝________________．
3．微积分基本定理
如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝______________，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．
为了方便，常把F(b)－F(a)记成_______，即f(x)dx＝________＝F(b)－F(a)．
思考1 若积分变量为t，则f(x)dx与f(t)dt是否相等？
课前热身
1．函数f(x)＝x3－3x(－1
C．无最大值，也无最小值 D．无最大值，但有最小值
2．设f(x)＝，则 的值是( )
A. B. C.+ D.＋
3．如图，函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是( )
A．1 B.
C. D．2
4．函数f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值是__________，最小值是________．
5．圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S，则它的底面半径为________时，才能使饮料罐的体积最大．
考点突破
例1（2009陕西文）已知函数．
求的单调区间；
若在处取得极值，直线y=m与的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．
例2 （2010辽宁理）已知函数/．
（I）讨论函数/的单调性；
（II）设/.如果对任意/，≥，求/的取值范围．
例3 (2010年东城二模理)已知函数/．
(Ⅰ) 若函数/在/上为单调增函数，求/的取值范围；
(Ⅱ) 设/，/，且/，求证：/．
例4 已知函数，
（Ⅰ）若，求函数的极值；
（Ⅱ）设函数，求函数的单调区间；
(Ⅲ)若在（）上存在一点，使得成立，求的取值范围.