教A版（2019）必修第二册《第七章 复数》2021年单元测试卷（word版含解析）

教A版（2019）必修第二册《第七章 复数》2021年单元测试卷
一、【跟踪训练】
1．已知复数z＝3+4i，那么的虚部是　 　．
2．已知（2x﹣y）+i＝2﹣（3﹣y）i，其中x、y∈R　 　．
3．若复数z＝（m+1）+（2﹣m）i（m∈R）是纯虚数，则m＝　 　．
4．已知复数z满足：i+＝0（i为虚数单位），则|z|＝　 　．
5．已知复数z满足z （1﹣i）＝1+i（i为虚数单位），则|z|＝　 　．
6．已知i是虚数单位，复数z＝，则z＝　 　．
7．若复数z＝（a，b∈R）在复平面内对应的点为（，﹣），则a﹣b＝　 　．
8．已知复数z的共轭复数为，若（其中i为虚数单位），则|z|＝　 　．
9．已知复数z的虚部为1，且|z|＝2，则z在复平面内所对应的点Z到虚轴的距离为 　 　．
10．已知复数z＝，则在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
11．已知a∈R，i是虚数单位，若（1﹣i）（1+ai）＝2（　　）
A．1 B． C．3 D．
12．复数z＝在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
13．已知复数z＝，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
14．以下四种说法正确的是（　　）
A．
B．复数z＝3﹣2i的虚部为﹣2i
C．若z＝（1+i）2，则复平面内对应的点位于第二象限
D．复平面内，实数轴上的点对应的复数是实数
15．已知复数（i为虚数单位），则下列说法错误的是（　　）
A．z的实部为2 B．z的虚部为1 C． D．
16．设有下面四个命题：
A．若复数z满足∈R，则z∈R；
B．若复数z满足z2∈R，则z∈R；
C．若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝；
D．若复数z∈R，则∈R．
其中正确的命题是（　　）
A．A B．B C．C D．D
17．下列命题正确的（　　）
A．若复数z＝（1﹣i）（2﹣i），则
B．若z1＝2﹣i，z2＝1﹣3i，则复数z1﹣z2的虚部是2i
C．若|z﹣1|＝2，则|z﹣1﹣3i|的最小值为1
D．已知k∈R，若关于x的方程x2+（k+2i）x+2+ki＝0有实数根，则实根必为
18．复数z＝2+i的虚部为　 　．
19．设复数z1，z2满足z1z2+2i z1﹣2i z2+1＝0．
（1）若z1，z2满足，求z1，z2；
（2）若z1，z2是实系数一元二次方程的两个虚根，求实数p的值；
（3）若，是否存在常数k，使得等式|z2﹣4i|＝k恒成立，若存在，试求出k
20．已知i为虚数单位，复数z＝2+ai（a∈R），且（1+2i） z为纯虚数．
（1）求z及；
（2）若，求ω的模．
21．已知复数．
（1）当a∈（﹣2，2）时，求的取值范围；
（2）是否存在实数a，使得z2＜0，若存在，求出a的值，说明理由．
22．如图，在复平面内，复数z对应的点为A．
（Ⅰ）写出复数z及|z|的值；
（Ⅱ）若z1＝，求z1，并在复平面内标出z1对应的点B．
23．已知z1，z2是实系数一元二次方程的两个虚数根，且z1，z2满足方程2z1+（1﹣i）z2＝3+5i．
（1）求z1和z2；
（2）写出一个以z1和z2为根的实系数一元二次方程．
教A版（2019）必修第二册《第七章 复数》2021年单元测试卷
参考答案与试题解析
一、【跟踪训练】
1．已知复数z＝3+4i，那么的虚部是　﹣4　．
【分析】由题意利用复数的基本概念，得出结论．
【解答】解：∵复数z＝3+4i，那么，则z的虚部为﹣6，
故答案为：﹣4．
2．已知（2x﹣y）+i＝2﹣（3﹣y）i，其中x、y∈R　3　．
【分析】根据已知条件，结合复数相等性准则，即可求解．
【解答】解：∵（2x﹣y）+i＝2﹣（8﹣y）i，
∴，解得，
故x＝3．
故答案为：3．
3．若复数z＝（m+1）+（2﹣m）i（m∈R）是纯虚数，则m＝　﹣1　．
【分析】直接利用复数的定义的应用求出结果．
【解答】解：复数z＝（m+1）+（2﹣m）i（m∈R）是纯虚数，
则m+7＝0，
解得m＝﹣1．
故答案为：﹣6．
4．已知复数z满足：i+＝0（i为虚数单位），则|z|＝　　．
【分析】根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．
【解答】解：∵i+＝0，
∴＝，
∴z＝﹣1﹣5i，
∴．
故答案为：．
5．已知复数z满足z （1﹣i）＝1+i（i为虚数单位），则|z|＝　1　．
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．
【解答】解：由z （1﹣i）＝1+i，
得z＝＝＝i，
∴|z|＝6．
故答案为1．
6．已知i是虚数单位，复数z＝，则z＝　　．
【分析】利用复数模的运算性质求解即可．
【解答】解：因为z＝，
所以z＝
故答案为：．
7．若复数z＝（a，b∈R）在复平面内对应的点为（，﹣），则a﹣b＝　2　．
【分析】根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何含义，即可求解．
【解答】解：∵z＝＝，
又∵z在复平面内对应的点为（，﹣），
∴，解得a＝1或a＝0（舍去），b＝﹣6．
∴a﹣b＝2．
故答案为：2．
8．已知复数z的共轭复数为，若（其中i为虚数单位），则|z|＝　5　．
【分析】根据复数的基本运算法则进行化简即可．
【解答】解：因为，
所以＝＝﹣4﹣3i．
故答案为：5．
9．已知复数z的虚部为1，且|z|＝2，则z在复平面内所对应的点Z到虚轴的距离为 　　．
【分析】由题意设z＝a+i（a∈R），再由|z|＝2求解a值得答案．
【解答】解：设z＝a+i（a∈R），
由|z|＝2，得，解得a＝．
∴z在复平面内所对应的点Z到虚轴的距离为|a|＝．
故答案为：．
10．已知复数z＝，则在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】首先利用复数的除法运算化简，求出在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．
【解答】解：∵z＝＝＝﹣i，
∴＝+i，
∴在复平面内对应的点为．
∴在复平面内对应的点位于第一象限．
故选：A．
11．已知a∈R，i是虚数单位，若（1﹣i）（1+ai）＝2（　　）
A．1 B． C．3 D．
【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，然后利用复数相等的条件求得a值．
【解答】解：由（1﹣i）（1+ai）＝2，
得（1+a）+（a﹣1）i＝4，
∴，解得a＝1．
故选：A．
12．复数z＝在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】化简复数z，求出z在复平面内对应的点所在的象限即可．
【解答】解：z＝＝＝＝﹣i，
故复数对应的点在第四象限，
故选：D．
13．已知复数z＝，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据复数的运算性质以及共轭复数求出答案即可．
【解答】解：复数，
则＝﹣i，
所以在复平面内对应的点位于第四象限，
故选：D．
14．以下四种说法正确的是（　　）
A．
B．复数z＝3﹣2i的虚部为﹣2i
C．若z＝（1+i）2，则复平面内对应的点位于第二象限
D．复平面内，实数轴上的点对应的复数是实数
【分析】根据已知条件，结合复数的乘法运算法则，以及共轭复数的概念和几何含义，即可求解．
【解答】解：＝，故A选项正确，
复数z＝4﹣2i的虚部为﹣2，故B选项错误，
∵z＝（2+i）2＝2i，
∴，
∴复平面内对应的点（0，故C选项错误，
∵复平面内，实数轴上对应的点的纵坐标为0，
∴复平面内，实数轴上的点对应的复数是实数．
故选：AD．
15．已知复数（i为虚数单位），则下列说法错误的是（　　）
A．z的实部为2 B．z的虚部为1 C． D．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z，然后逐一核对四个选项得答案．
【解答】解：＝＝＝＝7+i．
所以z＝1+i，z的实部为1，|z|＝＝．
观察选项，A、C选项符合题意．
故选：AC．
16．设有下面四个命题：
A．若复数z满足∈R，则z∈R；
B．若复数z满足z2∈R，则z∈R；
C．若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝；
D．若复数z∈R，则∈R．
其中正确的命题是（　　）
A．A B．B C．C D．D
【分析】根据复数的基本概念和基本运算判断即可．
【解答】解：对于A，复数z满足，则z＝，所以A对；
对于B，当z＝i时，z2＝﹣1∈R，但z R；
对于C，当z7＝i，z2＝2i，z3z2＝﹣2∈R，但z2≠，所以C错；
对于D，令z＝a+bi∈R，于是，所以D对．
故选：AD．
17．下列命题正确的（　　）
A．若复数z＝（1﹣i）（2﹣i），则
B．若z1＝2﹣i，z2＝1﹣3i，则复数z1﹣z2的虚部是2i
C．若|z﹣1|＝2，则|z﹣1﹣3i|的最小值为1
D．已知k∈R，若关于x的方程x2+（k+2i）x+2+ki＝0有实数根，则实根必为
【分析】根据复数模运算公式可判断A；根据复数减法运算可判断B；根据复数几何意义可判断C；
设x为实数，结合x2+（k+2i）x+2+ki＝0，进行计算，可判断D．
【解答】解：z＝（1﹣i）（2﹣i）＝3﹣3i，则，∴A对；
若z1＝8﹣i，z2＝1﹣6i，则复数z1﹣z2＝5+2i，其虚部是2；
由|z﹣2|＝2，可知复数z对应点在以A（1，
|z﹣4﹣3i|＝|z﹣（1+6i）|表示圆A上的点到点B（1，3）的距离，
∴则|z﹣4﹣3i|的最小值为AB﹣2＝﹣4＝3﹣2＝7；
设x为实数，由x2+（k+2i）x+8+ki＝0．可得，∴D错．
故选：AC．
18．复数z＝2+i的虚部为　1　．
【分析】直接由复数的基本概念得答案．
【解答】解：由复数的基本概念知：
复数z＝2+i的虚部为1．
故答案为：5．
19．设复数z1，z2满足z1z2+2i z1﹣2i z2+1＝0．
（1）若z1，z2满足，求z1，z2；
（2）若z1，z2是实系数一元二次方程的两个虚根，求实数p的值；
（3）若，是否存在常数k，使得等式|z2﹣4i|＝k恒成立，若存在，试求出k
【分析】(1)设z1＝a+bi（a,b∈R），由得到z2＝a﹣（b+2）i，从而代入z1z2+2i z1﹣2i z2+1＝0化简求解；
(2)由题意设z1＝+bi，则z2＝﹣bi，从而得到2+b2＝p，p+2i 2bi+1＝0,从而解得；
(3)由题意设z1＝a+bi（a,b∈R），则a2+b2＝3，化简得z2﹣4i＝﹣4i＝﹣，从而代入求模即可．
【解答】解：(1)设z1＝a+bi（a,b∈R）2＝a﹣（b+5）i，
∵z1z2+5i z1﹣2i z4+1＝0，
∴（a+bi）（a﹣（b+4）i）+2i(a+bi)﹣2i(a﹣（b+4）i)+1＝0，
∴a5+b(b+2)+1﹣8b﹣4﹣2ai＝3，
∴a2+b(b+2)+4﹣4b﹣4＝3，2a＝0，
解得，a＝6，
故z1＝3i，z5＝﹣5i或z1＝﹣i，z2＝﹣i．
(2)∵z1，z2是实系数一元二次方程的两个虚根,
∴z1+z2＝3，z1z5＝p，
设z1＝+bi6＝﹣bi，
由题意得，2+b2＝p，p+2i 2bi+3＝0,
解得,b＝1,p＝11；
故p＝4或p＝11．
(3)设z1＝a+bi（a,b∈R）2+b6＝3，
由z1z4+2i z1﹣7i z2+1＝7得，
z2﹣4i＝﹣4i＝﹣，
∴|z7﹣4i|＝|﹣|
＝|3i| ||＝3
＝4＝7；
故k＝3．
20．已知i为虚数单位，复数z＝2+ai（a∈R），且（1+2i） z为纯虚数．
（1）求z及；
（2）若，求ω的模．
【分析】（1）先化简（1+2i） z，再利用纯虚数的定义求出a的值，从而得到z及．
（2）先利用复数的四则运算求出ω，再利用复数模长的定义求解．
【解答】解：（1）（1+2i） z＝（3+2i）（2+ai）＝（2﹣2a）+（a+4）i，
∵（4+2i） z为纯虚数，
∴，解得a＝1，
∴z＝2+i，＝4﹣i．
（2）＝＝＝，
∴ω的模为＝．
21．已知复数．
（1）当a∈（﹣2，2）时，求的取值范围；
（2）是否存在实数a，使得z2＜0，若存在，求出a的值，说明理由．
【分析】（1）利用复数模的定义求出关于a的表达式，然后利用二次函数的性质求解取值范围即可；
（2）由题意分析可得，z是纯虚数，利用纯虚数的定义列出关于a的关系，求解即可．
【解答】解：（1）因为a∈（﹣2，2），
所以＝，
所以的取值范围为；
（2）因为z2＜5，所以z是纯虚数，
所以，方程组无解，
故不存在实数a，使得z2＜0．
22．如图，在复平面内，复数z对应的点为A．
（Ⅰ）写出复数z及|z|的值；
（Ⅱ）若z1＝，求z1，并在复平面内标出z1对应的点B．
【分析】（Ⅰ）由图可知z＝1+2i，再由复数模的计算公式求|z|；
（Ⅱ）利用复数代数形式的乘除运算求z1，得到B的坐标，即可在复平面内标出对应的点．
【解答】解：（Ⅰ）由图可知，z＝1+2i；
（Ⅱ）∵z1＝，∴，
即z1对应的点B为（2，﹣4）．
如图：
23．已知z1，z2是实系数一元二次方程的两个虚数根，且z1，z2满足方程2z1+（1﹣i）z2＝3+5i．
（1）求z1和z2；
（2）写出一个以z1和z2为根的实系数一元二次方程．
【分析】（1）根据题意设z1＝a+bi，z2＝a﹣bi，代入2z1+（1﹣i）z2＝3+5i，得到关于a，b的方程，再求出a，b，即可可解决此问题．
（2）利用根与系数关系，即可解决此问题．
【解答】解：（1）根据题意，设z1＝a+bi，z2＝a﹣bi，代入4z1+（1﹣i）z7＝3+5i中，
得6a+2bi+（1﹣i）（a﹣bi）＝2+5i，整理得3a﹣b+（b﹣a）i＝3+5i，
∴，解得，
∴z1＝4+3i，z2＝4﹣7i；
（2）∵z1+z2＝5+9i+4﹣7i＝8；z1 z2＝（4+9i）（8﹣9i）＝97，
∴以z1和z4为根的实系数一元二次方程为x2﹣8x+97＝8．
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