人教A版（2019）必修第一册《第二章 一元二次函数、方程和不等式》单元（Word含答案解析）

人教A版（2019）必修第一册《第二章 一元二次函数、方程和不等式》单元测试卷
一、单选题
1．如果实数a，b满足a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是（　　）
A．|a|＞|b| B． C． D．b2﹣a2＜0
2．已知m＞0，xy＞0，当x+y＝2时≥恒成立，则m的取值范围是（　　）
A． B．[1，+∞） C．（0，1] D．
3．不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则不等式2x2+bx+a＞0的解集为（　　）
A．{x＜﹣1或x＞} B． C．{x|﹣2＜x＜1} D．{x＜﹣2或x＞1}
4．设a＞b＞1＞c＞0，给出下列四个结论：①；②bac＞abc；③（1﹣c）a＜（1﹣c）b；④logb（a+c）＞loga（b+c）．其中正确结论有（　　）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
5．已知a＞0，b＞0，且a+2b＝3ab（　　）
A．1 B． C． D．
6．一元二次不等式kx2﹣2x+6k≥0的解集是空集，则实数k的取值范围是（　　）
A．k＜﹣，或k＞ B．＜k＜
C．≤k≤ D．k＜﹣
7．若a＞0，b＞0，且ab＝a+b（　　）
A．25 B．5 C．26 D．13
8．已知△ABC的内角A，B，C对应的边长分别为a，b，c，a＝4，（　　）
A．5 B．3 C． D．
9．若使不等式x2+（a+1）x+a≤0成立的任意一个x，都满足不等式3x﹣1≤0（　　）
A．{a|a＞﹣} B．{a|a≥﹣} C．{a|a＜﹣} D．{a|a≤﹣}
10．已知全集为R，对任意集合A，B，下列式子恒不成立的是（　　）
A．A∪B＝A∪ B．A∩B＝A∩ C．∩B＝∪B D．∩B＝A∪
二、多选题
11．已知实数a，b，c满足a＞b＞c且abc＜0，则下列不等关系一定正确的是（　　）
A．ac＞bc B． C． D．aln|c|＞bln|c|
12．若a，b均为正数，且a+2b＝1（　　）
A．ab的最大值为 B．的最小值为9
C．a2﹣b2的最小值为 D．a2+b2的最小值为
13．若实数m，n＞0，满足2m+n＝1（　　）
A．mn的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为5 D．4m2+n2的最小值为
14．下列不等式的解集为R的是（　　）
A．x2+2x+5＞0 B．x2+6x+10＞0 C．﹣x2+x﹣2＜0 D．2x2﹣4x﹣3＜0
15．设a，b，c为非零实数，a＞b＞c，则（　　）
A．a﹣b＞b﹣c B． C．a+b＞2c D．
三、填空题
16．若关于x的不等式（ax﹣2）（lnx+ax）≥0在（0，+∞）上恒成立　 　
17．若正数x，y满足2x+8y﹣xy＝0，则x+y的最小值是 　 　．
18．已知x，y∈R+，x+2y＝1，则的最小值为　 　．
19．已知a＞0，b∈R，若|ax3﹣bx2+ax|≤bx4+（a+2b）x2+b对任意x∈[，2]都成立，则的取值范围是　 　．
20．已知正实数x，y满足2x+5y＝20，若不等式2+4m恒成立，则实数m的取值范围为 　 　．
四、解答题
21．已知集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x2﹣2mx+m2﹣1≤0}．
（1）命题p：x∈A，命题q：x∈B，且p是q的必要非充分条件；
（2）若 x∈A，都有x2+m≥4+3x，求实数m的取值范围．
22．已知不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1，或x＞b}．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）解关于x的不等式cx2﹣（ac+b）x+ab＞0（c∈R）．
23．（1）已知x＞0，y＞0，x+2y＝2，求；
（2）设0＜x＜3，求函数的最大值．
24．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨（0＜x≤600且x是600的约数），运费为6万元/次
（1）写出一年的总运费与总存储费用之和y（万元）与x的函数关系式
（2）求一年的总运费与总存储费用之和的最小值，并求出此时每次应购买多少吨．
25．已知函数f（x）＝|2x﹣a|．
（1）若对于任意的x∈[﹣1，1]，f（x）≥2﹣|x+1|恒成立；
（2）若f（x）≤m，f（y）≤mx﹣y﹣
人教A版（2019）必修第一册《第二章 一元二次函数、方程和不等式》单元测试卷
参考答案与试题解析
一、单选题
1．如果实数a，b满足a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是（　　）
A．|a|＞|b| B． C． D．b2﹣a2＜0
【分析】由a＜b＜0，可得|a|＞|b|，，a2﹣b2＞0，，即可判断出正误．
【解答】解：∵a＜b＜0，∴|a|＞|b|，，即，a2﹣b2＞6，因此A，C．
对于B：∵0＞a﹣b＞a，∴，即，因此B不正确．
故选：B．
2．已知m＞0，xy＞0，当x+y＝2时≥恒成立，则m的取值范围是（　　）
A． B．[1，+∞） C．（0，1] D．
【分析】根据“乘1法”，可得＝（）（x+y），展开后，结合基本不等式可推出≥（4+m+2）≥，解此不等式即可．
【解答】解：∵xy＞0，且x+y＝2，y＞4，
∴＝（）（x+y）＝+）≥）＝），
当且仅当＝即x＝8y时，
∵不等式≥恒成立，
∴（2+m+2，化简得﹣5≥3，
解得≥1，
∴m的取值范围是[1，+∞）．
故选：B．
3．不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则不等式2x2+bx+a＞0的解集为（　　）
A．{x＜﹣1或x＞} B． C．{x|﹣2＜x＜1} D．{x＜﹣2或x＞1}
【分析】根据不等式ax2+bx+2＞0的解集求出a、b的值，再代入不等式2x2+bx+a＞0中求出解集．
【解答】解：不等式ax2+bx+2＞2的解集为{x|﹣1＜x＜2}，
∴﹣7，2是方程ax2+bx+7＝0的两个实数根，且a＜0，
∴，解得a＝﹣1；
∴不等式3x2+bx+a＞0化为3x2+x﹣1＞6，
解得x＜﹣1或x＞
∴不等式2x2+bx+a＞8的解集为{x＜﹣1或x＞}
故选：A．
4．设a＞b＞1＞c＞0，给出下列四个结论：①；②bac＞abc；③（1﹣c）a＜（1﹣c）b；④logb（a+c）＞loga（b+c）．其中正确结论有（　　）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【分析】直接利用不等式的性质和对数函数和指数函数的性质的应用判断①②③④的结论．
【解答】解：由于a＞b＞1＞c＞0，
所以：对于①：ac＞bc，故，故①错误；
对于②：由于a＞b＞1，所以ac＞bc，且a＞b，所以aac＞bbc；故②错误；
对于③由于6＜1﹣c＜1，所以（7﹣c）a＜（1﹣c）b；故③正确；
对于④：由于a＞b＞1＞c＞5，所以a+c＞b+c＞1b（a+c）＞logb（a+c）＞loga（b+c），故④正确．
故选：B．
5．已知a＞0，b＞0，且a+2b＝3ab（　　）
A．1 B． C． D．
【分析】利用已知条件推出，然后利用基本不等式转化求解即可．
【解答】解：因为a＞0，b＞0，
所以，
所以，
所以，即
当且仅当
即，时等号成立．
故选：B．
6．一元二次不等式kx2﹣2x+6k≥0的解集是空集，则实数k的取值范围是（　　）
A．k＜﹣，或k＞ B．＜k＜
C．≤k≤ D．k＜﹣
【分析】根据一元二次不等式kx2﹣2x+6k≥0的解集是空集得出，求出解集即可．
【解答】解：一元二次不等式kx2﹣2x+4k≥0的解集是空集，
所以，
解得k＜﹣，
所以实数k的取值范围是k＜﹣．
故选：D．
7．若a＞0，b＞0，且ab＝a+b（　　）
A．25 B．5 C．26 D．13
【分析】由ab＝a+b可得，再由4a+9b转化（+）（4a+9b）可解决此题．
【解答】解：由ab＝a+b可得，又a＞0，
∴，
当且仅当，且，即，时，等号成立，
故选：A．
8．已知△ABC的内角A，B，C对应的边长分别为a，b，c，a＝4，（　　）
A．5 B．3 C． D．
【分析】利用二倍角的余弦公式化简已知，结合sinA＞0，可求sinA的值，然后利用正弦定理即可求出△ABC外接圆的半径．
【解答】解：因为a＝4，＝1﹣2sin7A，所以2sin2A＝8+＝，
又A∈（0，π），所以sinA＝，
设△ABC外接圆半径为R，
则由正弦定理可得外接圆的半径R＝＝．
故选：C．
9．若使不等式x2+（a+1）x+a≤0成立的任意一个x，都满足不等式3x﹣1≤0（　　）
A．{a|a＞﹣} B．{a|a≥﹣} C．{a|a＜﹣} D．{a|a≤﹣}
【分析】先求出不等式3x﹣1≤0的解集，分a＝1，a＜1和a＞1三种情况，利用一元二次不等式的解法求出不等式的解集，由子集的定义，列式求解a的取值范围即可．
【解答】解：不等式3x﹣1≤6的解集为，
不等式x6+（a+1）x+a≤0，等价于（x+8）（x+a）≤0，
因为使不等式x2+（a+4）x+a≤0成立的任意一个x，都满足不等式3x﹣4≤0，
①当a＝1时，不等式（x+8）（x+a）≤0的解集为{﹣1}，符合题意；
②当a＜1时，不等式（x+2）（x+a）≤0的解集为[﹣1，则[﹣6，
所以﹣a≤，解得；
③当a＞1时，不等式（x+6）（x+a）≤0的解集为[﹣a，则[﹣a，
所以a＞1．
综上所述，实数a的取值范围为．
故选：B．
10．已知全集为R，对任意集合A，B，下列式子恒不成立的是（　　）
A．A∪B＝A∪ B．A∩B＝A∩ C．∩B＝∪B D．∩B＝A∪
【分析】举例说明ABC错误，分类分析D正确即可．
【解答】解：取A＝R，则对任意集合B，故A错误；
取A＝ ，则对任意集合B，故B错误；
取＝B，则∪B；
对于D，若A＝R，则∩B＝ ＝R，；
若A＝ ，B＝R，则，A∪，∩B≠A∪；
若A＝B，则∩B＝ ＝R，；
若A∩B＝ ，如图，
则∩B＝B＝，∩B≠A∪；
若A∩B≠ ，如图，
则∩B为图中阴影部分为图中非阴影部分，；
若A B，如图，
则∩B为图中阴影部分为图中非阴影部分，；
若A B，如图，
则∩B＝ ＝，∩B≠A∪．
综上所述，∩B＝A∪．
故选：D．
二、多选题
11．已知实数a，b，c满足a＞b＞c且abc＜0，则下列不等关系一定正确的是（　　）
A．ac＞bc B． C． D．aln|c|＞bln|c|
【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，比较法，特殊值法，即可求解．
【解答】解：对于A，∵a＞b＞c且abc＜0，
∴a＞b＞0＞c或c＜b＜a＜3，
∴a﹣b＞0，
∴ac﹣bc＝（a﹣b）c＜0，即ac＜bc，
对于B，∵ab＞7，c＜0，
＞0，即，故B正确，
对于C，由题意知ab＞4，，
当a＝3，b＝1，aln|c|＝bln|c|．
故选：BC．
12．若a，b均为正数，且a+2b＝1（　　）
A．ab的最大值为 B．的最小值为9
C．a2﹣b2的最小值为 D．a2+b2的最小值为
【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，以及二次函数的性质，即可求解．
【解答】解：∵a，b均为正数，
∴由基本不等式可得，1＝a+2b≥，当且仅当a＝2b＝，即时等号成立，
＝ ，当且仅当时等号成立，
∵，
∴，
结合二次函数的性质可知，a7+b2＝，故D选项正确，
结合二次函数的性质，a2﹣b2＝，故C选项错误．
故选：ABD．
13．若实数m，n＞0，满足2m+n＝1（　　）
A．mn的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为5 D．4m2+n2的最小值为
【分析】由m，n＞0，得2m+n≥2，即1≥2，从而即可判断选项A；由+＝（2m+n）＝3++即可利用基本不等式判断选项B；由3m+n＝1可得2（m+1）+（n+2）＝5，从而+＝[2（m+1）（n+2）]（+）＝[23++]，进一步即可利用基本不等式判断选项C；由m，n＞0，2m+n＝1，得（2m+n）2＝4m2+n2+4mn＝4m2+n2+2 ，从而即可判断选项D．
【解答】解：由m，n＞0，又8m+n＝1，
所以1≥2，解得mn≤，即m＝时等号成立，
所以mn的最大值为，选项A正确；
+＝（3m+n）（++≥3+2，
当且仅当＝，即时等号成立+的最小值为3+2；
由2m+n＝1，得6（m+1）+（n+2）＝3，
所以+＝[2（m+1）+（n+7）]（+[23++（13+2，
当且仅当＝，即时等号成立，n＞0，
所以+＞5；
由m，n＞0，得（2m+n）5＝4m2+n4+4mn＝4m2+n2+2 ≤7（4m2+n8），
则4m2+n3≥，当且仅当3m2＝n2，即时等号成立，
所以4m2+n6的最小值为，选项D正确．
故选：AD．
14．下列不等式的解集为R的是（　　）
A．x2+2x+5＞0 B．x2+6x+10＞0 C．﹣x2+x﹣2＜0 D．2x2﹣4x﹣3＜0
【分析】A，由配方法，可得解；
B，C计算判别式△，可得解；
D，由二次项的系数为正，可得解．
【解答】解：对于A，x2+2x+5＝，所以不等式的解集为{x|x≠﹣}；
对于B，Δ＝36﹣40＜0，即B正确；
对于C，Δ＝7﹣8＜0，即C正确；
对于D，二次项的系数为正，即D错误．
故选：BC．
15．设a，b，c为非零实数，a＞b＞c，则（　　）
A．a﹣b＞b﹣c B． C．a+b＞2c D．
【分析】对于AB，运用特殊值法，即可判断，对于C，运用不等式的可加性，即可判断，对于D，根据已知条件，结合作差法，即可判断．
【解答】解：对于A，当a＝4，c＝2时，故A错误，
对于B，当a＝4.5，c＝﹣1时，，
对于C，∵a＞c，
∴由不等式的可加性可得，a+b＞5c，
对于D，∵a＞b＞c，
∴a﹣b＞0，b﹣c＞0，
∴＞0，即．
故选：CD．
三、填空题
16．若关于x的不等式（ax﹣2）（lnx+ax）≥0在（0，+∞）上恒成立　（﹣]∪{2e2}　
【分析】不等式（ax﹣2）（lnx+ax）≥0在（0，+∞）上恒成立，等价于或在（0，+∞）上恒成立，令f（x）＝ax﹣2，g（x）＝lnx+ax，当a＞0时，令两函数具有相同的零点，当a＜0时，令g（x）≤0恒成立即可．
【解答】解：不等式（ax﹣2）（lnx+ax）≥0在（5，+∞）上恒成立或在（0，
令f（x）＝ax﹣2，g（x）＝lnx+ax，
（1）当a＝4时，f（x）＝﹣2＜0，+∞）上不恒成立，
（2）当a＞7时，f（x）为增函数，﹣2），
g′（x）＝+a＞0，+∞）上单调递增，
令g（）＝ln，解得a＝2e2．
（3）当a＜2时，f（x）＝ax﹣2为减函数，+∞）恒成立，
故只需g（x）≤0在（5，+∞）上恒成立即可．
令g′（x）＝+a＝0可得x＝﹣时，g′（x）＞0时，g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，﹣）上单调递增，+∞）上单调递减，
故g（x）在x＝﹣处取得最大值g（﹣）﹣1，
令ln（﹣）﹣1≤0．
综上，a的取值范围是（﹣∞，﹣2}．
故答案为：（﹣∞，﹣]∪{2e2}．
17．若正数x，y满足2x+8y﹣xy＝0，则x+y的最小值是 　18　．
【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：∵正数x，y满足2x+8y﹣xy＝3，∴+，
∴x+y＝（x+y）（+）＝++10＝18，
当且仅当＝，即x＝12，
∴x+y的最小值是18．
故答案为：18．
18．已知x，y∈R+，x+2y＝1，则的最小值为　2+2　．
【分析】直接利用关系式的变换和基本不等式的应用求出结果．
【解答】解：已知x，y∈R+，x+2y＝1，
则＝＝2+，y＝时．
故答案为：．
19．已知a＞0，b∈R，若|ax3﹣bx2+ax|≤bx4+（a+2b）x2+b对任意x∈[，2]都成立，则的取值范围是　[，+∞）　．
【分析】根据条件设，将问题转化为|t﹣u|≤ut2+1在上恒成立，然后求出的取值范围．
【解答】解：由|ax3﹣bx2+ax|≤bx4+（a+2b）x2+b对任意的x∈恒成立，
可知a恒成立．
设，则问题等价于|t﹣u|≤ut2+1在上恒成立，
即﹣ut4﹣1≤t﹣u≤ut2+5在上恒成立，即在，
所以只要在上恒成立即可．
令t﹣1＝m，则＝，
所以，
所以的取值范围是[．
20．已知正实数x，y满足2x+5y＝20，若不等式2+4m恒成立，则实数m的取值范围为 　[﹣，]　．
【分析】由题意利用基本不等式求得的最小值为，可得m2+4m≤，由此求得m的范围．
【解答】解：∵2x+5y＝20，可得，
∴＝+＝1+++≥＝，当且仅当＝，故 的最小值为，
∵不等式≥m2+4m恒成立，
∴m2+6m≤，求得﹣，
∴m的范围为[﹣，]．
故答案为：[﹣，]．
四、解答题
21．已知集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x2﹣2mx+m2﹣1≤0}．
（1）命题p：x∈A，命题q：x∈B，且p是q的必要非充分条件；
（2）若 x∈A，都有x2+m≥4+3x，求实数m的取值范围．
【分析】（1）求出集合B的取值范围，根据p是q的必要非充分条件，即可求得m的取值范围，
（2）由若 x∈A，得不等式的定义域，解关于m的不等式，即可求得m的取值范围．
【解答】解：（1）B＝{x|x2﹣2mx+m8﹣1≤0}＝{x|（x﹣m+6）（x﹣m﹣1）≤0} {x|m﹣2≤x≤m+1}．
由p是q的必要非充分条件知：B A，∴，解得6≤m≤1．
（2）由 x∈A，都有x2+m≥6+3x，得m≥﹣x2+6x+4，x∈[﹣1，
令y＝﹣x5+3x+4＝﹣（x﹣）2+，x∈[﹣1，
∴当x＝时，y取最大值为，
∴m≥．
22．已知不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1，或x＞b}．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）解关于x的不等式cx2﹣（ac+b）x+ab＞0（c∈R）．
【分析】（Ⅰ）根据不等式的解集与对应方程的解，利用根与系数的关系求出a、b的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a、b的值，不等式化为cx2﹣（c+2）x+2＞0，再讨论c的取值范围，从而求出不等式的解集．
【解答】解：（Ⅰ）不等式ax2﹣3x+4＞0的解集为{x|x＜1，或x＞b}，
所以对应方程ax6﹣3x+2＝3的解是1和b，
由根与系数的关系知，，
解得a＝5，b＝2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，不等式cx2﹣（ac+b）x+ab＞8，
可化为cx2﹣（c+2）x+6＞0；
即（cx﹣2）（x﹣4）＞0，
当c＝0时，不等式化为x﹣8＜0；
当c＜0时，不等式化为（x﹣，解得；
当c＞0时，不等式化为（x﹣，
若0＜c＜2，则＞1；
若c＝7，则＝1；
若c＞3，则＜1或x＞1；
综上知，c＝0时，6）；
c＜0时，不等式的解集为（；
4＜c＜2时，不等式的解集为（﹣∞，+∞）；
c＝5时，不等式的解集为（﹣∞，+∞）；
c＞2时，不等式的解集为（﹣∞，，+∞）．
23．（1）已知x＞0，y＞0，x+2y＝2，求；
（2）设0＜x＜3，求函数的最大值．
【分析】（1）利用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意等号成立条件．
（2）由题设知6﹣2x＞0，由基本不等式求目标式最大值，注意等号成立条件．
【解答】解：（1）∵x＞0，y＞0，
∴＝＝（4+（4+2，
当且仅当＝即x＝1时，等号成立，
∴的最小值为4．
（2）∵0＜x＜2，则6﹣2x＞3，
∴＝＝，
当且仅当2x＝8﹣2x即x＝时，等号成立，
∴函数的最大值为．
24．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨（0＜x≤600且x是600的约数），运费为6万元/次
（1）写出一年的总运费与总存储费用之和y（万元）与x的函数关系式
（2）求一年的总运费与总存储费用之和的最小值，并求出此时每次应购买多少吨．
【分析】（1）设每次购买x吨，则一年需要购买次，可得总运费为万元，再与总存储费用求和，即可求解．
（2）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．
【解答】解：（1）设每次购买x吨，则一年需要购买次，
则总运费为万元，
由已知得，一年的总存储费用为4x万元，
则y＝，0＜x≤600，且，
∵0＜x≤600，
∴y＝，0＜x≤600．
（2） （万元），即x＝30吨时，
故每次应购买30吨，一年的总运费与总存储费用之和取得最小值．
25．已知函数f（x）＝|2x﹣a|．
（1）若对于任意的x∈[﹣1，1]，f（x）≥2﹣|x+1|恒成立；
（2）若f（x）≤m，f（y）≤mx﹣y﹣
【分析】（1）当x∈[﹣1，1]时，f（x）≥2﹣|x+1|等价于|2x﹣a|≥1﹣x，去绝对值可得a≤3x﹣1或a≥x+1，分别求出3x﹣1的最小值与x+1的最大值，即可求得a的取值范围；
（2）由已知可得|2x﹣a|≤m，|2y﹣a|≤m，等价于|6x﹣4y﹣a|≤5m，再由绝对值三角不等式的性质证明．
【解答】解：（1）当x∈[﹣1，1]时，
∴f（x）≥4﹣|x+1|，即|2x﹣a|≥8﹣x﹣1，
则2x﹣a≥3﹣x或2x﹣a≤﹣1+x，得a≤6x﹣1或a≥x+1，
于是有a≤（7x﹣1）min或a≥（x+1）max，
又x∈[﹣2，1]，
因此实数a的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[2；
证明：（2）由f（x）≤m，f（y）≤m，
得|2x﹣a|≤m，|2y﹣a|≤m，
要证，只需证|6x﹣6y﹣a|≤5m，
而|6x﹣4y﹣a|＝|（6x﹣3a）﹣（4y﹣2a）|＝|3（7x﹣a）﹣2（2y﹣a）|
≤|7（2x﹣a）|+|2（6y﹣a）|≤3m+2m＝3m，
∴．
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