苏教版（2019）选择性必修第一册《第2章 圆与方程》2021年单元测试卷（Word含解析）
文档属性
| 名称 | 苏教版（2019）选择性必修第一册《第2章 圆与方程》2021年单元测试卷（Word含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 276.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-04 16:23:37 | ||
图片预览
文档简介
苏教版（2019）选择性必修第一册《第2章 圆与方程》2021年单元测试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若方程x2+y2+2x+4y+m＝0表示的曲线是圆，则m的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，20） B．（﹣∞，5） C．（5，+∞） D．（20，+∞）
2．圆心在x轴上，半径为2，且过点（1，2）（ ）
A．（x﹣1）2+y2＝4 B．（x﹣2）2+y2＝4
C．x2+（y﹣1）2＝4 D．（x﹣1）2+（y﹣4）2＝4
3．已知圆的方程为x2+y2﹣6x＝0，过点（1，2）的该圆的所有弦中（ ）
A． B．1 C．2 D．4
4．圆C：x2+y2＝4关于直线l：x+y﹣1＝0对称的圆的方程为（ ）
A．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4 B．（x+1）2+（y+1）2＝4
C．（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4 D．（x+2）2+（y+2）2＝4
5．已知定点P（﹣2，0）和直线l：（1+3λ）x+（1+2λ）（λ∈R），则点P到直线l的距离的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．2
6．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2﹣4y＝0所截得的弦长为（ ）
A．2 B．2 C． D．
7．在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y＝（x＞0），A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为（ ）
A． B．a＝± C．a＝3或a＝﹣1 D．a＝或a＝﹣1
8．圆C1：x2+y2＝1与圆C2：x2+y2+4x+3y﹣1＝0的位置关系为（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．内含
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9．设有一组圆 k：（x﹣k）2+（y﹣k）2＝4（k∈R），下列命题正确的是（ ）
A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上
B．所有圆 k均不经过点（3，0）
C．经过点（2，2）的圆 k有且只有一个
D．所有圆的面积均为4π
10．已知圆O1的方程为x2+y2＝1，圆O2的方程为（x+a）2+y2＝4，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么实数a的值可以为（ ）
A．1 B．﹣1 C．3 D．5
11．圆O1：x2+y2﹣2x＝0和圆O2：x2+y2+2x﹣8y＝0的交点为A，B，则有（ ）
A．公共弦AB所在直线方程为x﹣2y＝0
B．线段AB中垂线方程为2x+y﹣2＝0
C．公共弦AB的长为
D．P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为
12．已知圆C：x2+y2＝r2（r＞1），P为直线l：y＝x+b上的动点，则下列结论正确的为（ ）
A．当b＝2r时，l与C可能相交
B．若Q为C上的动点，且PQ的最小值为r，则
C．若b＝3r，则C上恰有2个点到l的距离为2r
D．若，且圆P的半径为r﹣1，则圆P与C不可能内切
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过抛物线y2＝8x的焦点，且与直线y＝x相切于坐标原点O，则圆C的标准方程为 ．
14．已知实数x，y满足方程x2+y2﹣4x+1＝0，则的最小值为 ．
15．已知直线l：y＝x+m被圆C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣1＝0截得的弦长等于该圆的半径，则实数m＝ ．
16．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x﹣2）2+y2＝4，点A是直线x﹣y+2＝0上的一个动点，直线AP，Q两点，则线段PQ长的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．求经过A（0，﹣1）和直线x+y＝1相切，且圆心在直线y＝﹣2x上的圆的方程．
18．在直角坐标系xOy中，动点M到定点的距离比到y轴的距离大．
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）当x≥0时，记动点M的轨迹为曲线C，过原点且斜率大于零的直线l交曲线C于点P（异于原点O）（x﹣1）2+y2＝1的切线交C于另一点Q，证明：|kOP﹣kOQ|为定值．
19．已知三点O（0.0），A（1，﹣2），B（1，2），M（x，y）为曲线C上任意一点，满足＝．
（1）求曲线C的方程；
（2）已知点p（1，2），R，S为曲线C上的不同两点，且PR⊥PS，D为垂足，证明：存在定点Q
20．已知圆C：x2+y2﹣8y+12＝0，直线l：ax+y+2a＝0，
（1）当a为何值时，直线l与圆C相切．
（2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且|AB|＝2时，求直线l的方程．
21．已知实数x，y满足（x+2）2+（y﹣1）2＝1．
（1）求的最大值和最小值；
（2）求y﹣x的最大值和最小值；
（3）x2+y2的最大值和最小值．
22．已知圆的方程为x2+y2+ax+2y+a2＝0，一定点为A（1，2），要使过定点A（1，2），求a的取值范围．
苏教版（2019）选择性必修第一册《第2章 圆与方程》2021年单元测试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若方程x2+y2+2x+4y+m＝0表示的曲线是圆，则m的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，20） B．（﹣∞，5） C．（5，+∞） D．（20，+∞）
【分析】根据表示圆的一般方程中，D2+E2﹣4F＞0，列不等式求出m的取值范围．
【解答】解：方程x2+y2+7x+4y+m＝0表示的曲线是圆，
52+44﹣4m＞0，解得m＜6，
所以m的取值范围是（﹣∞，5）．
故选：B．
2．圆心在x轴上，半径为2，且过点（1，2）（ ）
A．（x﹣1）2+y2＝4 B．（x﹣2）2+y2＝4
C．x2+（y﹣1）2＝4 D．（x﹣1）2+（y﹣4）2＝4
【分析】求出圆心坐标，即可写出圆的标准方程即可．
【解答】解：设圆心坐标为（a，0）2+8＝4，∴a＝1，
∴圆的标准方程为（x﹣4）2+y2＝4．
故选：A．
3．已知圆的方程为x2+y2﹣6x＝0，过点（1，2）的该圆的所有弦中（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【分析】化圆的一般方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，如何利用垂径定理求得答案．
【解答】解：由x2+y2﹣6x＝0，得（x﹣3）4+y2＝9，∴圆心坐标为（2，半径为3．
如图：当过点P（1，6）的直线与连接P与圆心的直线垂直时，
则最短弦长为．
故选：C．
4．圆C：x2+y2＝4关于直线l：x+y﹣1＝0对称的圆的方程为（ ）
A．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4 B．（x+1）2+（y+1）2＝4
C．（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4 D．（x+2）2+（y+2）2＝4
【分析】求出圆C的圆心C（0，0）关于直线l的对称点C′，即可得出答案．
【解答】解：圆C的圆心为C（0，0），8），
故关于l的对称圆的圆心为C′（1，1），
故选：A．
5．已知定点P（﹣2，0）和直线l：（1+3λ）x+（1+2λ）（λ∈R），则点P到直线l的距离的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．2
【分析】直线l：（1+3λ）x+（1+2λ）y﹣（2+5λ）＝0，化为：x+y﹣2+λ（3x+2y﹣5）＝0，令，可得直线l经过定点Q（1，1），可得点P到直线l的距离d的最大值为|PQ|．
【解答】解：直线l：（1+3λ）x+（4+2λ）y﹣（2+4λ）＝0，化为：x+y﹣2+λ（3x+2y﹣5）＝5，
令，解得x＝y＝1，
因此直线l经过定点Q（1，8），
∴点P到直线l的距离d的最大值为|PQ|＝＝，
故选：B．
6．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2﹣4y＝0所截得的弦长为（ ）
A．2 B．2 C． D．
【分析】先由题意求得直线方程，再由圆的方程得到圆心和半径，再求得圆心到直线的距离，即可求解．
【解答】解：根据题意：直线方程为：y＝x，
∵圆x2+y4﹣4y＝0，
∴圆心为：（6，2），
圆心到直线的距离为：d＝1，
∴弦长为3＝5，
故选：A．
7．在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y＝（x＞0），A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为（ ）
A． B．a＝± C．a＝3或a＝﹣1 D．a＝或a＝﹣1
【分析】先利用两点间距离公式表示出|PA|，然后利用换元法将|PA|转化为一个二次函数类型的函数求最值问题，取最小值2时得到关于a的方程，求解即可．
【解答】解：设P（x，），则
＝．
令
∴
令f（t）＝t2﹣2at+6a2﹣2，t≥5．
该函数对称轴t＝a
①a≤2时，f（t）递增min＝f（2）＝2a5﹣4a+2＝7
解得a＝﹣1或3（舍）
②①a＞5时，f（t）min＝f（a）＝a2﹣2＝6
解得a＝或（舍）．
综上，a的取值为﹣1或．
故选：D．
8．圆C1：x2+y2＝1与圆C2：x2+y2+4x+3y﹣1＝0的位置关系为（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．内含
【分析】先求出两个圆的圆心和半径，然后求出两圆心之间的距离，与两圆的半径比较即可．
【解答】解：圆C1：x2+y3＝1，则圆心C1（8，0），r1＝8，
圆C2：x2+y7+4x+3y﹣5＝0化为标准方程为，
则圆心C2（﹣2，﹣），，
因为，
则，
所以两圆相交．
故选：A．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9．设有一组圆 k：（x﹣k）2+（y﹣k）2＝4（k∈R），下列命题正确的是（ ）
A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上
B．所有圆 k均不经过点（3，0）
C．经过点（2，2）的圆 k有且只有一个
D．所有圆的面积均为4π
【分析】根据题意，分析圆 k的圆心与半径，由此分析选项，即可得答案．
【解答】解：根据题意，圆 k：（x﹣k）2+（y﹣k）2＝6（k∈R），其圆心为（k，半径为2；
依次分析选项：
对于A，圆心为（k，其圆心在直线y＝x上；
对于B，圆 k：（x﹣k）2+（y﹣k）8＝4，
将（3，2）代入圆的方程可得（3﹣k）2+（8﹣k）2＝4，
化简得7k2﹣6k+6＝0，Δ＝36﹣40＝﹣4＜4，B正确；
对于C，将（22+（2﹣k）2＝4，解得k＝6±；
对于D，由圆的方程可知该圆的半径为2，故D正确．
故选：ABD．
10．已知圆O1的方程为x2+y2＝1，圆O2的方程为（x+a）2+y2＝4，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么实数a的值可以为（ ）
A．1 B．﹣1 C．3 D．5
【分析】两个圆有且只有一个公共点，两个圆内切或外切，分别求出a，即可得出结论．
【解答】解：圆O1的方程为x2+y3＝1，圆心（0，半径为3，
圆O2的方程为（x+a）2+y3＝4，圆心（﹣a，半径为2，
∵两个圆有且只有一个公共点，
∴两个圆内切或外切，
内切时，|a|＝6﹣1＝1，|a|＝2+1＝3，
∴实数a的取值集合是{4，﹣1，3．
故选：ABC．
11．圆O1：x2+y2﹣2x＝0和圆O2：x2+y2+2x﹣8y＝0的交点为A，B，则有（ ）
A．公共弦AB所在直线方程为x﹣2y＝0
B．线段AB中垂线方程为2x+y﹣2＝0
C．公共弦AB的长为
D．P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为
【分析】直接把两圆的方程作差判断A；利用直线方程的点斜式写出线段AB的中垂线方程判断B；求出公共弦长判断C；由O1到AB的距离加上O1的半径判断D．
【解答】解：对于A，由x2+y2﹣7x＝0与x2+y3+2x﹣8y＝4，两式作差可得4x﹣8y＝5，
∴公共弦AB所在直线方程为x﹣2y＝0，故A正确；
对于B，圆O7：x2+y2﹣5x＝0的圆心为（1，8），x2+y2+7x﹣8y＝0的圆心（﹣6，4），2），
kAB＝，
∴AB的中垂线的斜率为﹣2，可得AB的中垂线方程为y﹣8＝﹣2×（x﹣0），故B正确；
对于C，圆心O6到直线x﹣2y＝0的距离d＝，半径为r＝1，
则|AB|＝7＝，故C错误；
对于D，P为圆O1上一动点，圆心O6到直线x﹣y＝0的距离为，半径r＝1，
则P到直线AB的距离的最大值为1+，故D正确．
故选：ABD．
12．已知圆C：x2+y2＝r2（r＞1），P为直线l：y＝x+b上的动点，则下列结论正确的为（ ）
A．当b＝2r时，l与C可能相交
B．若Q为C上的动点，且PQ的最小值为r，则
C．若b＝3r，则C上恰有2个点到l的距离为2r
D．若，且圆P的半径为r﹣1，则圆P与C不可能内切
【分析】由题意首先考查各个选项中圆心到直线的距离，从而确定直线与圆的位置关系，然后考查所给的选项是否正确即可．
【解答】解：对于选项A，圆心（0，则直线与圆相离；
对于选项B，很明显直线与圆相离，0）到直线x﹣y+b＝7的距离为：，
由题意可得：，∴，选项B正确；
对于选项C，圆心（0，则直线与圆相离，
圆上的点到直线的距离的取值范围为：，
注意到，故C上恰有2个点到l的距离为4r，
选项C正确；
对于选项D，圆心（0 的距离为：，
则直线与圆相离，选项D正确；
故选：BCD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过抛物线y2＝8x的焦点，且与直线y＝x相切于坐标原点O，则圆C的标准方程为 （x﹣1）2+（y+1）2＝2 ．
【分析】求出抛物线的焦点，结合直线与圆相切的性质求出圆心和半径即可．
【解答】解：抛物线y2＝8x的焦点为（2，0），
∵圆与直线y＝x相切于坐标原点O，
∴圆心在直线y＝﹣x上，
∵圆过原点O以及（2，4）点，
即圆心横坐标为1，纵坐标为﹣1，
即圆心为（6，﹣1），
则圆的标准方程为（x﹣8）2+（y+1）8＝2，
故答案为：（x﹣1）2+（y+1）2＝6．
14．已知实数x，y满足方程x2+y2﹣4x+1＝0，则的最小值为 ﹣ ．
【分析】整理方程可知，方程表示以点（2，0）为圆心，以为半径的圆，设＝k，进而根据圆心（2，0）到y＝kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值．
【解答】解：方程x2+y2﹣5x+1＝0表示以点（2，0）为圆心，以．
设＝k，由圆心（2，斜率取得最大，
由＝，解得k5＝3．
∴kmax＝，kmin＝﹣，
故答案为：﹣．
15．已知直线l：y＝x+m被圆C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣1＝0截得的弦长等于该圆的半径，则实数m＝ 2或﹣4 ．
【分析】化圆的方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，写出圆心到直线的距离，利用垂径定理求弦长，结合已知列式求得m值．
【解答】解：由x2+y2﹣4x﹣2y﹣1＝8，得（x﹣2）2+（y﹣4）2＝6，
则圆心C（3，1），
C到直线y＝x+m的距离d＝，
∴直线y＝x+m被圆C截得的写出为，
整理得（m+1）5＝9，解得m＝2或﹣4．
故答案为：2或﹣4．
16．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x﹣2）2+y2＝4，点A是直线x﹣y+2＝0上的一个动点，直线AP，Q两点，则线段PQ长的取值范围是 ．
【分析】求出圆C的圆心和半径，设AC＝x，求出x的取值范围，利用圆的切线的几何意义，表示出PQ的长，利用函数的性质求解取值范围即可．
【解答】解：如图所示，由圆的方程可知，0），设AC＝x，
则x≥，
因为AP，AQ为圆C的切线，
则CP⊥AP，CQ⊥AQ，
所以AP＝AQ＝，
因为AC是PQ的垂直平分线，
则PQ＝，
因为，
则，
所以，
则线段PQ长的取值范围为．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．求经过A（0，﹣1）和直线x+y＝1相切，且圆心在直线y＝﹣2x上的圆的方程．
【分析】根据圆心在直线y＝﹣2x上，设出圆心坐标和半径，写出圆的标准方程，把点A的坐标代入圆的方程得到一个关系式，由点到直线的距离公式表示圆心到直线x+y＝1的距离，让距离等于圆的半径列出另一个关系式，两者联立即可求出圆心坐标和半径，把圆心坐标和半径代入即可写出圆的标准方程．
【解答】解：因为圆心在直线y＝﹣2x上，设圆心坐标为（a
设圆的方程为（x﹣a）2+（y+2a）2＝r2（8分）
圆经过点A（0，﹣1）和直线x+y＝8相切，
所以有（7分）
解得，a＝1或a＝，
所以圆的方程为（x﹣1）3+（y+2）2＝7或（x﹣）8+（y+）4＝．（14分）
18．在直角坐标系xOy中，动点M到定点的距离比到y轴的距离大．
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）当x≥0时，记动点M的轨迹为曲线C，过原点且斜率大于零的直线l交曲线C于点P（异于原点O）（x﹣1）2+y2＝1的切线交C于另一点Q，证明：|kOP﹣kOQ|为定值．
【分析】（1）设M（x，y），由两点的距离公式和点到直线的距离公式，化简可得所求轨迹方程；
（2）方法一、分别讨论直线PQ的斜率不存在时，求得P，Q的坐标和k1，k2，可得所求值；当直线PQ的斜率存在时，设方程为y＝mx+b，由直线和圆相切的条件，以及联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简可得定值；
方法二、可设PQ的方程为x＝my+t（t≠0），由直线和圆相切的条件，以及联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简可得定值．
【解答】解：（1）设M（x，y），
由题意可得，
两边平方可得：，
当x≥7时，化简可得y2＝2x（x≥4），
当x＜0时，y＝0，
所以曲线M的轨迹方程为y8＝2x（x≥0）和y＝8（x＜0）；
（2）证法1：设直线OP、OQ的斜率分别是k3，k2，
当直线PQ的斜率不存在时，其方程为x＝2，
解得P（2，2），﹣2），k5＝1，k2＝﹣2，则|k1﹣k2|＝7．
当直线PQ的斜率存在时，设方程为y＝mx+b，b≠0，
因为直线PQ与圆O'相切，所以2+4mb＝1．
联立方程组得到二次方程m2x2+7（bm﹣1）x+b2＝7，
设P（x1，y1），Q（x8，y2），x1x5≠0，
由根与系数关系可知，，
又，，
则＝
＝．
综上可知|k4﹣k2|为定值2．
证法7：设直线OP、OQ的斜率分别是k1，k2，
由题意可知直线PQ的斜率不能为3，故可设PQ的方程为x＝my+t（t≠0）．
因为直线PQ与圆相切，所以2＝t2﹣2t．
联立方程组得到一元二次方程y2﹣4my﹣2t＝0，
设P（x6，y1），Q（x2，y5），x1x2≠2，
由根与系数关系可知y1+y2＝7m，y1y2＝﹣3t，则，
又，，
则
＝．
即|k6﹣k2|为定值2．
19．已知三点O（0.0），A（1，﹣2），B（1，2），M（x，y）为曲线C上任意一点，满足＝．
（1）求曲线C的方程；
（2）已知点p（1，2），R，S为曲线C上的不同两点，且PR⊥PS，D为垂足，证明：存在定点Q
【分析】（1）利用已知条件，结合向量的模以及向量的数量积，化简求解即可．
（2）验证直线RS⊥y轴，则直线RS与曲线C只有一个交点，不合题意，设直线RS的方程为x＝my+n，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，结合向量垂直，推出n＝2m+5，得到直线RS的方程为x＝m（y+2）+5，吗直线过定点M（5，﹣2），说明，且△PDM是以PM为斜边的直角三角形，
然后推出结论．
【解答】解：（1），…………………………（1分）
可得，∴………………………………………（2分）
由题可得，化简得，y2＝2x
所以曲线C方程为y2＝4x……………………………………………（3分）
（2）证明：若直线RS⊥y轴，则直线RS与曲线C只有一个交点 …………（5分）
设直线RS的方程为x＝my+n，联立2﹣4my﹣8n＝0
则Δ＝16m2+16n＞8，可得m2+n＞0
设R（x2，y1），S（x2，y3），则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣2n…………………………（6分）
同理……………………………………（7分）
因为PR⊥PS，所以
所以（y4﹣2）（y2﹣5）[（y1+2）（y7+2）+16]＝0…………………………………（5分）
点P（1，2）在曲线C上6≠2且y2≠6
所以（y1+2）（y8+2）+16＝y1y5+2（y1+y7）+20＝﹣4n+8m+20＝6
所以n＝2m+5……………………………………………………………（2分）
所以直线RS的方程为x＝m（y+2）+5，因此直线过定点M（6
所以，且△PDM是以PM为斜边的直角三角形，
所以PM中点Q（8，0）满足，……………………（11分）
所以存在Q（5，0）使|DQ|为定值．
20．已知圆C：x2+y2﹣8y+12＝0，直线l：ax+y+2a＝0，
（1）当a为何值时，直线l与圆C相切．
（2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且|AB|＝2时，求直线l的方程．
【分析】（1）圆C的圆心C（0，4）半径r＝2，由直线l：ax+y+2a＝0与圆相切，利用点到直线距离公式列出方程，能求出a的值．
（2）直线l与圆C相交于A、B两点，且|AB|＝2时，d＝＝，再由圆心到直线的距离d＝，列出方程，求出a，由此能求出直线方程．
【解答】（12分）解：（1）设圆心到直线的距离为d，
圆C：x2+y2﹣4y+12＝0的圆心C（0，7）半径r＝，﹣﹣﹣﹣﹣﹣7分
∵直线l：ax+y+2a＝0与圆相切，
∴d＝＝2．﹣﹣﹣5分
（2）∵圆心到直线的距离d＝，
直线l与圆C相交于A、B两点时，d＝＝
∴d＝＝，解得a＝﹣7或a＝﹣1．
∴所求直线为2x﹣y+14＝0或x﹣y+2＝6．﹣﹣﹣﹣﹣﹣12分
21．已知实数x，y满足（x+2）2+（y﹣1）2＝1．
（1）求的最大值和最小值；
（2）求y﹣x的最大值和最小值；
（3）x2+y2的最大值和最小值．
【分析】（1）利用的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，＝k，即y＝kx，求出直线y＝kx与圆相切时，k的值，即可确定斜率k取最大值或最小值；
（2）y﹣x可看作是直线y＝x+b在y轴上的截距，当直线y＝x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值．
（3）由圆的参数方程得∴，0≤θ＜2π，由此利用三角函数的性质能求出x2+y2的最大值和最小值．
【解答】解：（1）原方程表示以（﹣2，1）为圆心，的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，
所以设＝k
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值＝1
所以的最大值为0．
（2）y﹣x可看作是直线y＝x+b在y轴上的截距，当直线y＝x+b与圆相切时，
此时＝1，所以y﹣x的最大值为．
（3）解：∵实数x，y满足（x+2）2+（y﹣8）2＝1，
∴，0≤θ＜7π，
∴x2+y2＝（﹣6+cosθ）2+（1+sinθ）4
＝﹣4cosθ+2sinθ+7
＝2cos（θ+φ）+7．
∴当cos（θ+φ）＝1时，x2+y8取最大值6+2，当cos（θ+φ）＝﹣1时，x2+y3取最小值6﹣2．
22．已知圆的方程为x2+y2+ax+2y+a2＝0，一定点为A（1，2），要使过定点A（1，2），求a的取值范围．
【分析】圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，过定点A（1，2）作圆的切线有两条，点A必在圆外，推出不等式，然后解答不等式即可．
【解答】解：将圆的方程配方得（x+）2+（y+7）2＝，圆心C的坐标为（﹣，半径r＝，
条件是4﹣8a2＞0，过点A（7，则点A必在圆外，即＞．
化简得a2+a+2＞0．
由4﹣4a2＞0，a8+a+9＞0，
解之得﹣＜a＜，
a∈R．
∴﹣＜a＜．
故a的取值范围是（﹣，）．
第1页（共1页）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若方程x2+y2+2x+4y+m＝0表示的曲线是圆，则m的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，20） B．（﹣∞，5） C．（5，+∞） D．（20，+∞）
2．圆心在x轴上，半径为2，且过点（1，2）（ ）
A．（x﹣1）2+y2＝4 B．（x﹣2）2+y2＝4
C．x2+（y﹣1）2＝4 D．（x﹣1）2+（y﹣4）2＝4
3．已知圆的方程为x2+y2﹣6x＝0，过点（1，2）的该圆的所有弦中（ ）
A． B．1 C．2 D．4
4．圆C：x2+y2＝4关于直线l：x+y﹣1＝0对称的圆的方程为（ ）
A．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4 B．（x+1）2+（y+1）2＝4
C．（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4 D．（x+2）2+（y+2）2＝4
5．已知定点P（﹣2，0）和直线l：（1+3λ）x+（1+2λ）（λ∈R），则点P到直线l的距离的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．2
6．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2﹣4y＝0所截得的弦长为（ ）
A．2 B．2 C． D．
7．在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y＝（x＞0），A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为（ ）
A． B．a＝± C．a＝3或a＝﹣1 D．a＝或a＝﹣1
8．圆C1：x2+y2＝1与圆C2：x2+y2+4x+3y﹣1＝0的位置关系为（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．内含
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9．设有一组圆 k：（x﹣k）2+（y﹣k）2＝4（k∈R），下列命题正确的是（ ）
A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上
B．所有圆 k均不经过点（3，0）
C．经过点（2，2）的圆 k有且只有一个
D．所有圆的面积均为4π
10．已知圆O1的方程为x2+y2＝1，圆O2的方程为（x+a）2+y2＝4，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么实数a的值可以为（ ）
A．1 B．﹣1 C．3 D．5
11．圆O1：x2+y2﹣2x＝0和圆O2：x2+y2+2x﹣8y＝0的交点为A，B，则有（ ）
A．公共弦AB所在直线方程为x﹣2y＝0
B．线段AB中垂线方程为2x+y﹣2＝0
C．公共弦AB的长为
D．P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为
12．已知圆C：x2+y2＝r2（r＞1），P为直线l：y＝x+b上的动点，则下列结论正确的为（ ）
A．当b＝2r时，l与C可能相交
B．若Q为C上的动点，且PQ的最小值为r，则
C．若b＝3r，则C上恰有2个点到l的距离为2r
D．若，且圆P的半径为r﹣1，则圆P与C不可能内切
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过抛物线y2＝8x的焦点，且与直线y＝x相切于坐标原点O，则圆C的标准方程为 ．
14．已知实数x，y满足方程x2+y2﹣4x+1＝0，则的最小值为 ．
15．已知直线l：y＝x+m被圆C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣1＝0截得的弦长等于该圆的半径，则实数m＝ ．
16．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x﹣2）2+y2＝4，点A是直线x﹣y+2＝0上的一个动点，直线AP，Q两点，则线段PQ长的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．求经过A（0，﹣1）和直线x+y＝1相切，且圆心在直线y＝﹣2x上的圆的方程．
18．在直角坐标系xOy中，动点M到定点的距离比到y轴的距离大．
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）当x≥0时，记动点M的轨迹为曲线C，过原点且斜率大于零的直线l交曲线C于点P（异于原点O）（x﹣1）2+y2＝1的切线交C于另一点Q，证明：|kOP﹣kOQ|为定值．
19．已知三点O（0.0），A（1，﹣2），B（1，2），M（x，y）为曲线C上任意一点，满足＝．
（1）求曲线C的方程；
（2）已知点p（1，2），R，S为曲线C上的不同两点，且PR⊥PS，D为垂足，证明：存在定点Q
20．已知圆C：x2+y2﹣8y+12＝0，直线l：ax+y+2a＝0，
（1）当a为何值时，直线l与圆C相切．
（2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且|AB|＝2时，求直线l的方程．
21．已知实数x，y满足（x+2）2+（y﹣1）2＝1．
（1）求的最大值和最小值；
（2）求y﹣x的最大值和最小值；
（3）x2+y2的最大值和最小值．
22．已知圆的方程为x2+y2+ax+2y+a2＝0，一定点为A（1，2），要使过定点A（1，2），求a的取值范围．
苏教版（2019）选择性必修第一册《第2章 圆与方程》2021年单元测试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若方程x2+y2+2x+4y+m＝0表示的曲线是圆，则m的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，20） B．（﹣∞，5） C．（5，+∞） D．（20，+∞）
【分析】根据表示圆的一般方程中，D2+E2﹣4F＞0，列不等式求出m的取值范围．
【解答】解：方程x2+y2+7x+4y+m＝0表示的曲线是圆，
52+44﹣4m＞0，解得m＜6，
所以m的取值范围是（﹣∞，5）．
故选：B．
2．圆心在x轴上，半径为2，且过点（1，2）（ ）
A．（x﹣1）2+y2＝4 B．（x﹣2）2+y2＝4
C．x2+（y﹣1）2＝4 D．（x﹣1）2+（y﹣4）2＝4
【分析】求出圆心坐标，即可写出圆的标准方程即可．
【解答】解：设圆心坐标为（a，0）2+8＝4，∴a＝1，
∴圆的标准方程为（x﹣4）2+y2＝4．
故选：A．
3．已知圆的方程为x2+y2﹣6x＝0，过点（1，2）的该圆的所有弦中（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【分析】化圆的一般方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，如何利用垂径定理求得答案．
【解答】解：由x2+y2﹣6x＝0，得（x﹣3）4+y2＝9，∴圆心坐标为（2，半径为3．
如图：当过点P（1，6）的直线与连接P与圆心的直线垂直时，
则最短弦长为．
故选：C．
4．圆C：x2+y2＝4关于直线l：x+y﹣1＝0对称的圆的方程为（ ）
A．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4 B．（x+1）2+（y+1）2＝4
C．（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4 D．（x+2）2+（y+2）2＝4
【分析】求出圆C的圆心C（0，0）关于直线l的对称点C′，即可得出答案．
【解答】解：圆C的圆心为C（0，0），8），
故关于l的对称圆的圆心为C′（1，1），
故选：A．
5．已知定点P（﹣2，0）和直线l：（1+3λ）x+（1+2λ）（λ∈R），则点P到直线l的距离的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．2
【分析】直线l：（1+3λ）x+（1+2λ）y﹣（2+5λ）＝0，化为：x+y﹣2+λ（3x+2y﹣5）＝0，令，可得直线l经过定点Q（1，1），可得点P到直线l的距离d的最大值为|PQ|．
【解答】解：直线l：（1+3λ）x+（4+2λ）y﹣（2+4λ）＝0，化为：x+y﹣2+λ（3x+2y﹣5）＝5，
令，解得x＝y＝1，
因此直线l经过定点Q（1，8），
∴点P到直线l的距离d的最大值为|PQ|＝＝，
故选：B．
6．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2﹣4y＝0所截得的弦长为（ ）
A．2 B．2 C． D．
【分析】先由题意求得直线方程，再由圆的方程得到圆心和半径，再求得圆心到直线的距离，即可求解．
【解答】解：根据题意：直线方程为：y＝x，
∵圆x2+y4﹣4y＝0，
∴圆心为：（6，2），
圆心到直线的距离为：d＝1，
∴弦长为3＝5，
故选：A．
7．在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y＝（x＞0），A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为（ ）
A． B．a＝± C．a＝3或a＝﹣1 D．a＝或a＝﹣1
【分析】先利用两点间距离公式表示出|PA|，然后利用换元法将|PA|转化为一个二次函数类型的函数求最值问题，取最小值2时得到关于a的方程，求解即可．
【解答】解：设P（x，），则
＝．
令
∴
令f（t）＝t2﹣2at+6a2﹣2，t≥5．
该函数对称轴t＝a
①a≤2时，f（t）递增min＝f（2）＝2a5﹣4a+2＝7
解得a＝﹣1或3（舍）
②①a＞5时，f（t）min＝f（a）＝a2﹣2＝6
解得a＝或（舍）．
综上，a的取值为﹣1或．
故选：D．
8．圆C1：x2+y2＝1与圆C2：x2+y2+4x+3y﹣1＝0的位置关系为（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．内含
【分析】先求出两个圆的圆心和半径，然后求出两圆心之间的距离，与两圆的半径比较即可．
【解答】解：圆C1：x2+y3＝1，则圆心C1（8，0），r1＝8，
圆C2：x2+y7+4x+3y﹣5＝0化为标准方程为，
则圆心C2（﹣2，﹣），，
因为，
则，
所以两圆相交．
故选：A．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9．设有一组圆 k：（x﹣k）2+（y﹣k）2＝4（k∈R），下列命题正确的是（ ）
A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上
B．所有圆 k均不经过点（3，0）
C．经过点（2，2）的圆 k有且只有一个
D．所有圆的面积均为4π
【分析】根据题意，分析圆 k的圆心与半径，由此分析选项，即可得答案．
【解答】解：根据题意，圆 k：（x﹣k）2+（y﹣k）2＝6（k∈R），其圆心为（k，半径为2；
依次分析选项：
对于A，圆心为（k，其圆心在直线y＝x上；
对于B，圆 k：（x﹣k）2+（y﹣k）8＝4，
将（3，2）代入圆的方程可得（3﹣k）2+（8﹣k）2＝4，
化简得7k2﹣6k+6＝0，Δ＝36﹣40＝﹣4＜4，B正确；
对于C，将（22+（2﹣k）2＝4，解得k＝6±；
对于D，由圆的方程可知该圆的半径为2，故D正确．
故选：ABD．
10．已知圆O1的方程为x2+y2＝1，圆O2的方程为（x+a）2+y2＝4，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么实数a的值可以为（ ）
A．1 B．﹣1 C．3 D．5
【分析】两个圆有且只有一个公共点，两个圆内切或外切，分别求出a，即可得出结论．
【解答】解：圆O1的方程为x2+y3＝1，圆心（0，半径为3，
圆O2的方程为（x+a）2+y3＝4，圆心（﹣a，半径为2，
∵两个圆有且只有一个公共点，
∴两个圆内切或外切，
内切时，|a|＝6﹣1＝1，|a|＝2+1＝3，
∴实数a的取值集合是{4，﹣1，3．
故选：ABC．
11．圆O1：x2+y2﹣2x＝0和圆O2：x2+y2+2x﹣8y＝0的交点为A，B，则有（ ）
A．公共弦AB所在直线方程为x﹣2y＝0
B．线段AB中垂线方程为2x+y﹣2＝0
C．公共弦AB的长为
D．P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为
【分析】直接把两圆的方程作差判断A；利用直线方程的点斜式写出线段AB的中垂线方程判断B；求出公共弦长判断C；由O1到AB的距离加上O1的半径判断D．
【解答】解：对于A，由x2+y2﹣7x＝0与x2+y3+2x﹣8y＝4，两式作差可得4x﹣8y＝5，
∴公共弦AB所在直线方程为x﹣2y＝0，故A正确；
对于B，圆O7：x2+y2﹣5x＝0的圆心为（1，8），x2+y2+7x﹣8y＝0的圆心（﹣6，4），2），
kAB＝，
∴AB的中垂线的斜率为﹣2，可得AB的中垂线方程为y﹣8＝﹣2×（x﹣0），故B正确；
对于C，圆心O6到直线x﹣2y＝0的距离d＝，半径为r＝1，
则|AB|＝7＝，故C错误；
对于D，P为圆O1上一动点，圆心O6到直线x﹣y＝0的距离为，半径r＝1，
则P到直线AB的距离的最大值为1+，故D正确．
故选：ABD．
12．已知圆C：x2+y2＝r2（r＞1），P为直线l：y＝x+b上的动点，则下列结论正确的为（ ）
A．当b＝2r时，l与C可能相交
B．若Q为C上的动点，且PQ的最小值为r，则
C．若b＝3r，则C上恰有2个点到l的距离为2r
D．若，且圆P的半径为r﹣1，则圆P与C不可能内切
【分析】由题意首先考查各个选项中圆心到直线的距离，从而确定直线与圆的位置关系，然后考查所给的选项是否正确即可．
【解答】解：对于选项A，圆心（0，则直线与圆相离；
对于选项B，很明显直线与圆相离，0）到直线x﹣y+b＝7的距离为：，
由题意可得：，∴，选项B正确；
对于选项C，圆心（0，则直线与圆相离，
圆上的点到直线的距离的取值范围为：，
注意到，故C上恰有2个点到l的距离为4r，
选项C正确；
对于选项D，圆心（0 的距离为：，
则直线与圆相离，选项D正确；
故选：BCD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过抛物线y2＝8x的焦点，且与直线y＝x相切于坐标原点O，则圆C的标准方程为 （x﹣1）2+（y+1）2＝2 ．
【分析】求出抛物线的焦点，结合直线与圆相切的性质求出圆心和半径即可．
【解答】解：抛物线y2＝8x的焦点为（2，0），
∵圆与直线y＝x相切于坐标原点O，
∴圆心在直线y＝﹣x上，
∵圆过原点O以及（2，4）点，
即圆心横坐标为1，纵坐标为﹣1，
即圆心为（6，﹣1），
则圆的标准方程为（x﹣8）2+（y+1）8＝2，
故答案为：（x﹣1）2+（y+1）2＝6．
14．已知实数x，y满足方程x2+y2﹣4x+1＝0，则的最小值为 ﹣ ．
【分析】整理方程可知，方程表示以点（2，0）为圆心，以为半径的圆，设＝k，进而根据圆心（2，0）到y＝kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值．
【解答】解：方程x2+y2﹣5x+1＝0表示以点（2，0）为圆心，以．
设＝k，由圆心（2，斜率取得最大，
由＝，解得k5＝3．
∴kmax＝，kmin＝﹣，
故答案为：﹣．
15．已知直线l：y＝x+m被圆C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣1＝0截得的弦长等于该圆的半径，则实数m＝ 2或﹣4 ．
【分析】化圆的方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，写出圆心到直线的距离，利用垂径定理求弦长，结合已知列式求得m值．
【解答】解：由x2+y2﹣4x﹣2y﹣1＝8，得（x﹣2）2+（y﹣4）2＝6，
则圆心C（3，1），
C到直线y＝x+m的距离d＝，
∴直线y＝x+m被圆C截得的写出为，
整理得（m+1）5＝9，解得m＝2或﹣4．
故答案为：2或﹣4．
16．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x﹣2）2+y2＝4，点A是直线x﹣y+2＝0上的一个动点，直线AP，Q两点，则线段PQ长的取值范围是 ．
【分析】求出圆C的圆心和半径，设AC＝x，求出x的取值范围，利用圆的切线的几何意义，表示出PQ的长，利用函数的性质求解取值范围即可．
【解答】解：如图所示，由圆的方程可知，0），设AC＝x，
则x≥，
因为AP，AQ为圆C的切线，
则CP⊥AP，CQ⊥AQ，
所以AP＝AQ＝，
因为AC是PQ的垂直平分线，
则PQ＝，
因为，
则，
所以，
则线段PQ长的取值范围为．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．求经过A（0，﹣1）和直线x+y＝1相切，且圆心在直线y＝﹣2x上的圆的方程．
【分析】根据圆心在直线y＝﹣2x上，设出圆心坐标和半径，写出圆的标准方程，把点A的坐标代入圆的方程得到一个关系式，由点到直线的距离公式表示圆心到直线x+y＝1的距离，让距离等于圆的半径列出另一个关系式，两者联立即可求出圆心坐标和半径，把圆心坐标和半径代入即可写出圆的标准方程．
【解答】解：因为圆心在直线y＝﹣2x上，设圆心坐标为（a
设圆的方程为（x﹣a）2+（y+2a）2＝r2（8分）
圆经过点A（0，﹣1）和直线x+y＝8相切，
所以有（7分）
解得，a＝1或a＝，
所以圆的方程为（x﹣1）3+（y+2）2＝7或（x﹣）8+（y+）4＝．（14分）
18．在直角坐标系xOy中，动点M到定点的距离比到y轴的距离大．
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）当x≥0时，记动点M的轨迹为曲线C，过原点且斜率大于零的直线l交曲线C于点P（异于原点O）（x﹣1）2+y2＝1的切线交C于另一点Q，证明：|kOP﹣kOQ|为定值．
【分析】（1）设M（x，y），由两点的距离公式和点到直线的距离公式，化简可得所求轨迹方程；
（2）方法一、分别讨论直线PQ的斜率不存在时，求得P，Q的坐标和k1，k2，可得所求值；当直线PQ的斜率存在时，设方程为y＝mx+b，由直线和圆相切的条件，以及联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简可得定值；
方法二、可设PQ的方程为x＝my+t（t≠0），由直线和圆相切的条件，以及联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简可得定值．
【解答】解：（1）设M（x，y），
由题意可得，
两边平方可得：，
当x≥7时，化简可得y2＝2x（x≥4），
当x＜0时，y＝0，
所以曲线M的轨迹方程为y8＝2x（x≥0）和y＝8（x＜0）；
（2）证法1：设直线OP、OQ的斜率分别是k3，k2，
当直线PQ的斜率不存在时，其方程为x＝2，
解得P（2，2），﹣2），k5＝1，k2＝﹣2，则|k1﹣k2|＝7．
当直线PQ的斜率存在时，设方程为y＝mx+b，b≠0，
因为直线PQ与圆O'相切，所以2+4mb＝1．
联立方程组得到二次方程m2x2+7（bm﹣1）x+b2＝7，
设P（x1，y1），Q（x8，y2），x1x5≠0，
由根与系数关系可知，，
又，，
则＝
＝．
综上可知|k4﹣k2|为定值2．
证法7：设直线OP、OQ的斜率分别是k1，k2，
由题意可知直线PQ的斜率不能为3，故可设PQ的方程为x＝my+t（t≠0）．
因为直线PQ与圆相切，所以2＝t2﹣2t．
联立方程组得到一元二次方程y2﹣4my﹣2t＝0，
设P（x6，y1），Q（x2，y5），x1x2≠2，
由根与系数关系可知y1+y2＝7m，y1y2＝﹣3t，则，
又，，
则
＝．
即|k6﹣k2|为定值2．
19．已知三点O（0.0），A（1，﹣2），B（1，2），M（x，y）为曲线C上任意一点，满足＝．
（1）求曲线C的方程；
（2）已知点p（1，2），R，S为曲线C上的不同两点，且PR⊥PS，D为垂足，证明：存在定点Q
【分析】（1）利用已知条件，结合向量的模以及向量的数量积，化简求解即可．
（2）验证直线RS⊥y轴，则直线RS与曲线C只有一个交点，不合题意，设直线RS的方程为x＝my+n，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，结合向量垂直，推出n＝2m+5，得到直线RS的方程为x＝m（y+2）+5，吗直线过定点M（5，﹣2），说明，且△PDM是以PM为斜边的直角三角形，
然后推出结论．
【解答】解：（1），…………………………（1分）
可得，∴………………………………………（2分）
由题可得，化简得，y2＝2x
所以曲线C方程为y2＝4x……………………………………………（3分）
（2）证明：若直线RS⊥y轴，则直线RS与曲线C只有一个交点 …………（5分）
设直线RS的方程为x＝my+n，联立2﹣4my﹣8n＝0
则Δ＝16m2+16n＞8，可得m2+n＞0
设R（x2，y1），S（x2，y3），则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣2n…………………………（6分）
同理……………………………………（7分）
因为PR⊥PS，所以
所以（y4﹣2）（y2﹣5）[（y1+2）（y7+2）+16]＝0…………………………………（5分）
点P（1，2）在曲线C上6≠2且y2≠6
所以（y1+2）（y8+2）+16＝y1y5+2（y1+y7）+20＝﹣4n+8m+20＝6
所以n＝2m+5……………………………………………………………（2分）
所以直线RS的方程为x＝m（y+2）+5，因此直线过定点M（6
所以，且△PDM是以PM为斜边的直角三角形，
所以PM中点Q（8，0）满足，……………………（11分）
所以存在Q（5，0）使|DQ|为定值．
20．已知圆C：x2+y2﹣8y+12＝0，直线l：ax+y+2a＝0，
（1）当a为何值时，直线l与圆C相切．
（2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且|AB|＝2时，求直线l的方程．
【分析】（1）圆C的圆心C（0，4）半径r＝2，由直线l：ax+y+2a＝0与圆相切，利用点到直线距离公式列出方程，能求出a的值．
（2）直线l与圆C相交于A、B两点，且|AB|＝2时，d＝＝，再由圆心到直线的距离d＝，列出方程，求出a，由此能求出直线方程．
【解答】（12分）解：（1）设圆心到直线的距离为d，
圆C：x2+y2﹣4y+12＝0的圆心C（0，7）半径r＝，﹣﹣﹣﹣﹣﹣7分
∵直线l：ax+y+2a＝0与圆相切，
∴d＝＝2．﹣﹣﹣5分
（2）∵圆心到直线的距离d＝，
直线l与圆C相交于A、B两点时，d＝＝
∴d＝＝，解得a＝﹣7或a＝﹣1．
∴所求直线为2x﹣y+14＝0或x﹣y+2＝6．﹣﹣﹣﹣﹣﹣12分
21．已知实数x，y满足（x+2）2+（y﹣1）2＝1．
（1）求的最大值和最小值；
（2）求y﹣x的最大值和最小值；
（3）x2+y2的最大值和最小值．
【分析】（1）利用的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，＝k，即y＝kx，求出直线y＝kx与圆相切时，k的值，即可确定斜率k取最大值或最小值；
（2）y﹣x可看作是直线y＝x+b在y轴上的截距，当直线y＝x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值．
（3）由圆的参数方程得∴，0≤θ＜2π，由此利用三角函数的性质能求出x2+y2的最大值和最小值．
【解答】解：（1）原方程表示以（﹣2，1）为圆心，的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，
所以设＝k
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值＝1
所以的最大值为0．
（2）y﹣x可看作是直线y＝x+b在y轴上的截距，当直线y＝x+b与圆相切时，
此时＝1，所以y﹣x的最大值为．
（3）解：∵实数x，y满足（x+2）2+（y﹣8）2＝1，
∴，0≤θ＜7π，
∴x2+y2＝（﹣6+cosθ）2+（1+sinθ）4
＝﹣4cosθ+2sinθ+7
＝2cos（θ+φ）+7．
∴当cos（θ+φ）＝1时，x2+y8取最大值6+2，当cos（θ+φ）＝﹣1时，x2+y3取最小值6﹣2．
22．已知圆的方程为x2+y2+ax+2y+a2＝0，一定点为A（1，2），要使过定点A（1，2），求a的取值范围．
【分析】圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，过定点A（1，2）作圆的切线有两条，点A必在圆外，推出不等式，然后解答不等式即可．
【解答】解：将圆的方程配方得（x+）2+（y+7）2＝，圆心C的坐标为（﹣，半径r＝，
条件是4﹣8a2＞0，过点A（7，则点A必在圆外，即＞．
化简得a2+a+2＞0．
由4﹣4a2＞0，a8+a+9＞0，
解之得﹣＜a＜，
a∈R．
∴﹣＜a＜．
故a的取值范围是（﹣，）．
第1页（共1页）