苏教版（2019）选择性必修第一册《第2章 圆与方程》单元测试卷（Word含解析）
文档属性
| 名称 | 苏教版（2019）选择性必修第一册《第2章 圆与方程》单元测试卷（Word含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 255.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-04 16:27:03 | ||
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文档简介
苏教版（2019）选择性必修第一册《第2章 圆与方程》单元测试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知圆的一条直径的端点分别是A（0，0），B（2，4），则此圆的方程是（ ）
A．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5 B．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25
C．（x﹣5）2+y2＝5 D．（x﹣5）2+y2＝25
2．圆C：（x﹣1）2+y2＝4被直线y＝kx﹣1截得的最短弦长为（ ）
A． B． C． D．
3．圆心为（1，2）且过原点的圆的方程是（ ）
A．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2 B．（x+1）2+（y+2）2＝2
C．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5 D．（x+1）2+（y+2）2＝5
4．已知圆C1：x2+y2﹣kx﹣2y＝0和圆C2：x2+y2﹣2ky﹣2＝0相交，则圆C1和圆C2的公共弦所在的直线恒过的定点为（ ）
A．（2，2） B．（2，1） C．（1，2） D．（1，1）
5．“”是“直线l：y＝kx与圆C：（x﹣2）2+y2＝3相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知圆O1：（x﹣1）2+（y+2）2＝9，圆O2：（x+2）2+（y+1）2＝16，则这两个圆的位置关系为（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内含
7．设直线l：3x+4y+m＝0，圆C：x2+y2﹣4x+2＝0，若在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在点M，则m的取值范围为（ ）
A．[﹣16，4] B．[﹣18，4]
C．[﹣6﹣5，﹣6+5] D．
8．已知定直线l的方程为y﹣1＝k（x﹣2）（k＜0），点Q是直线l上的动点，过点Q作圆C：（x﹣1）2+（y+2）2＝1的一条切线，M是切点，C是圆心，则此时直线l上的动点E与圆C上动点F的距离|EF|的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．过点P（4，1）作圆C：（x﹣2）2+（y+3）2＝4的切线，则切线方程可以为（ ）
A．3x﹣4y﹣8＝0 B．x＝4 C．3x+4y﹣8＝0 D．y＝4
10．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O过点A（3，4）、B、C、且＝，则（ ）
A．直线BC的斜率为 B．∠AOC＝60°
C．△ABC的面积 D．点B、C在同一象限内
11．已知点P（2，4），若过点Q（4，0）的直线l交圆C：（x﹣6）2+y2＝9于A，B两点，R是圆C上动点，则（ ）
A．|AB|的最小值为2
B．P到l的距离的最大值为2
C．的最小值为12﹣2
D．|PR|的最大值为4+3
12．下列命题中是真命题的是（ ）
A．的最小值为2
B．当a＞0，b＞0时，
C．若a2+b2＝2，则a+b的最大值为2
D．若正数a，b满足a+b＝2，则的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．圆C的圆心为（2，﹣1），且圆C与直线3x﹣4y﹣5＝0相切，则圆C的方程为 ．
14．两圆相交于两点（1，5）和（a，3），两圆的圆心在直线x﹣y+b＝0上，则a+b＝ ．
15．已知圆心为（1，m）的圆与x轴相切，且与直线x﹣2y＝0相交于A，若|AB|＝4，则实数m＝ ．
16．已知动点A，B分别在圆C1：x2+（y﹣2）2＝1和圆C2：（x﹣4）2+y2＝4上，动点P在直线x+y+1＝0上，则|PA|+|PB|的最小值是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知圆M：x2+y2﹣2y﹣4＝0与圆N：x2+y2﹣4x+2y＝0．
（1）求证：两圆相交；
（2）求两圆公共弦所在的直线方程及公共弦长；
（3）在平面上找一点P，过点P引两圆的切线并使它们的长都等于1，求点P的坐标．
18．已知圆 C：（x+1）2+（y﹣2）2＝9，直线l：kx﹣y﹣k+3＝0．
（1）直线l一定经过哪一点；
（2）若直线l平分圆C，求k的值；
（3）若直线l与圆C相交于A，B，求弦长AB的最小值及此时直线的方程．
19．已知圆C的圆心在直线x﹣2y＝0上，且与y轴相切于点（0，1）．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若圆C与直线l：x﹣y+m＝0交于A，B两点，_____
从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：
条件①：∠ACB＝120°；
条件②：|AB|＝2．
20．已知圆，圆．
（1）求两圆公共弦所在直线的方程；
（2）直线l过点（4，﹣4）与圆C1相交于A，B两点，且，求直线l的方程．
21．已知定圆Q：x2+y2﹣2x﹣15＝0，动圆M和已知圆内切，且过点P（﹣1，0），
（1）求圆心M的轨迹及其方程；
（2）试确定m的范围，使得所求方程的曲线C上有两个不同的点关于直线l：y＝4x+m对称．
22．已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0．
（Ⅰ）若过点A（0，5）的直线l与圆C相切，求直线l的斜率；
（Ⅱ）从圆C外一点P向该圆引一条切线，切点为M，若|PM|＝|PA|
苏教版（2019）选择性必修第一册《第2章 圆与方程》单元测试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知圆的一条直径的端点分别是A（0，0），B（2，4），则此圆的方程是（ ）
A．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5 B．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25
C．（x﹣5）2+y2＝5 D．（x﹣5）2+y2＝25
【分析】根据题意，由直径端点的坐标分析圆的圆心坐标以及半径，代入圆的标准方程分析可得答案．
【解答】解：根据题意，圆的一条直径的端点分别是A（0，B（2，
则圆的圆心为AB的中点，即圆心的坐标为（5；
圆的半径r＝|AB|＝×＝，
则要求圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣6）2＝5；
故选：A．
2．圆C：（x﹣1）2+y2＝4被直线y＝kx﹣1截得的最短弦长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由直线系方程可得直线所过定点P的坐标，求得|CP|，再由勾股定理求最短弦长．
【解答】解：直线y＝kx﹣1过定点P（0，﹣8），0），
当直线CP与弦垂直时，弦长最短，
∵，
∴最短弦长为，
故选：B．
3．圆心为（1，2）且过原点的圆的方程是（ ）
A．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2 B．（x+1）2+（y+2）2＝2
C．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5 D．（x+1）2+（y+2）2＝5
【分析】由题意求出圆的半径，代入圆的标准方程得答案．
【解答】解：由题意可知，圆的半径为r＝．
∴圆心为（3，2）且过原点的圆的方程是（x﹣1）4+（y﹣2）2＝3．
故选：C．
4．已知圆C1：x2+y2﹣kx﹣2y＝0和圆C2：x2+y2﹣2ky﹣2＝0相交，则圆C1和圆C2的公共弦所在的直线恒过的定点为（ ）
A．（2，2） B．（2，1） C．（1，2） D．（1，1）
【分析】根据题意，联立两个圆的方程可得两圆公共弦所在的直线方程，由此分析可得答案．
【解答】解：根据题意，圆C1：x2+y6﹣kx﹣2y＝0和圆C5：x2+y2﹣6ky﹣2＝0相交，
则，
则圆C7和圆C2的公共弦所在的直线为kx﹣2ky+3y﹣2＝0，变形可得k（x﹣7y）＝2（y﹣1），
则有，则有，8），
故选：B．
5．“”是“直线l：y＝kx与圆C：（x﹣2）2+y2＝3相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据题意“直线l：y＝kx与圆C：（x﹣2）2+y2＝3相交”，可得圆心C（2，0）到直线l：y＝kx的距离小于等于半径，由此求得k的范围，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：由题意可得圆C：（x﹣2）2+y4＝3，圆心C（2，
根据题意“直线l：y＝kx与圆C：（x﹣2）2+y6＝3相交”，
可得圆的圆心到直线l：y＝kx的距离小于半径，
即，解得k∈（﹣，）．
故由“”可推出“直线l：y＝kx与圆C：（x﹣2）6+y2＝3相交”，
由“直线l：y＝kx与圆C：（x﹣8）2+y2＝6相交”不能推出“”，
故“”是“直线l：y＝kx与圆C：（x﹣8）2+y2＝7相交”的充分不必要条件，
故选：A．
6．已知圆O1：（x﹣1）2+（y+2）2＝9，圆O2：（x+2）2+（y+1）2＝16，则这两个圆的位置关系为（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内含
【分析】根据题意，求出两个圆的圆心和半径，据此求出两圆的圆心距，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，圆O1：（x﹣1）4+（y+2）2＝2，圆心O1（1，﹣5），
圆O2：（x+2）5+（y+1）2＝16，圆心O6（﹣2，﹣1），
圆心距|O4O2|＝，有4﹣3＜，
则两圆相交；
故选：C．
7．设直线l：3x+4y+m＝0，圆C：x2+y2﹣4x+2＝0，若在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在点M，则m的取值范围为（ ）
A．[﹣16，4] B．[﹣18，4]
C．[﹣6﹣5，﹣6+5] D．
【分析】由切线的对称性和圆的知识将问题转化为C（2，0）到直线l的距离小于等于2，再由点到直线的距离公式得到关于a的不等式求解．
【解答】解：直线l：3x+4y+m＝3上任意一点M0，点P，Q是圆C上两点，
当PM0，QM3分别与圆C相切时，∠PM0Q最大，
当M0运动到与圆心C之间的距离最小时，即CM2⊥l时，∠PM0Q最大，
圆C：x2+y3﹣4x+2＝3的圆心坐标C（2，0），
由点到直线距离公式，得圆心到直线的距离，
当∠PM2Q≥90°时，，解得﹣16≤m≤4，
∴m的取值范围为[﹣16，4]．
故选：A．
8．已知定直线l的方程为y﹣1＝k（x﹣2）（k＜0），点Q是直线l上的动点，过点Q作圆C：（x﹣1）2+（y+2）2＝1的一条切线，M是切点，C是圆心，则此时直线l上的动点E与圆C上动点F的距离|EF|的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【分析】由题意可得直线l的方程为kx﹣y+1﹣2k＝0，再求出圆C的圆心坐标与半径，由△QMC面积的最小值为求得|CQ|＝3，再由点到直线的距离公式求解k，可得直线l的方程，进一步求得直线l上的动点E与圆C上动点F的距离|EF|的最小值．
【解答】解：由题意可得直线l的方程为kx﹣y+1﹣2k＝6，
圆C的圆心C（1，﹣2），
如图：
，
又|QM|＝，∴当|CQ|取最小值时，
此时CQ⊥l，可得|QM|＝5，
则3＝，解得k＝﹣，
则直线l的方程为3x+4y﹣10＝4，
则直线l上的动点E与圆C上动点F的距离|EF|的最小值为．
故选：B．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．过点P（4，1）作圆C：（x﹣2）2+（y+3）2＝4的切线，则切线方程可以为（ ）
A．3x﹣4y﹣8＝0 B．x＝4 C．3x+4y﹣8＝0 D．y＝4
【分析】求出圆的圆心与半径，利用圆心到直线的距离等于半径即可判断正确选项．
【解答】解：圆C：（x﹣2）2+（y+2）2＝4的圆心坐标（3，﹣3），
显然直线x＝4与圆相切，又因为（8＝2，
所以3x﹣2y﹣8＝0与圆相切．
故选：AB．
10．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O过点A（3，4）、B、C、且＝，则（ ）
A．直线BC的斜率为 B．∠AOC＝60°
C．△ABC的面积 D．点B、C在同一象限内
【分析】求出OA所在直线的斜率判断A；证明四边形OBCA为菱形，结合|OC|＝5可得∠AOC＝60°；直接求出三角形ABC的面积判断C；求出BC所在直线方程，根据直线在两坐标轴上的截距判断D．
【解答】解：如图，
∵A（3，4），∴，而＝，
∴直线BC的斜率为，故A错误；
由题意可知，，
又＝，∴四边形OBCA为菱形，
又，∴∠AOC＝60°；
＝，故C错误；
设BC所在直线方程为y＝，即5x﹣3y+3b＝5．
∵|BC|＝5，∴O到BC的距离为，即，
解得b＝．
当b＝时，由y＝，可得x＝，则B；
当b＝﹣时，由y＝，可得x＝，则B．
∴点B、C在同一象限内．
故选：BD．
11．已知点P（2，4），若过点Q（4，0）的直线l交圆C：（x﹣6）2+y2＝9于A，B两点，R是圆C上动点，则（ ）
A．|AB|的最小值为2
B．P到l的距离的最大值为2
C．的最小值为12﹣2
D．|PR|的最大值为4+3
【分析】由题意画出图形，分别求出|AB|的最小值及P到l的距离的最大值判断A与B；设R（6+3cosθ，3sinθ），写出数量积，利用三角函数求最值判断C；求出P到圆心的距离，加上半径判断D．
【解答】解：如图，当直线l与x轴垂直时，且最小值为；
当直线l与PQ垂直时，P到l的距离有最大值，故B正确；
设R（6+7cosθ，3sinθ），则，
∴，则的最小值为；
当P，C，R三点共线时，且最大值为．
故选：ABD．
12．下列命题中是真命题的是（ ）
A．的最小值为2
B．当a＞0，b＞0时，
C．若a2+b2＝2，则a+b的最大值为2
D．若正数a，b满足a+b＝2，则的最小值为
【分析】可令t＝（t），结合对勾函数的单调性可判断A；由基本不等式计算可得最小值，可判断B；运用不等式a+b≤2，计算可判断C；由（4a+2）+（4b+8）＝18，结合乘1法和基本不等式可判断D．
【解答】解：对于A，令t＝），y＝+在[，可得ymin＝+＝，此时x＝0；
对于B，a＞6，++6+2＝8，故B正确；
对于C，若a2+b2＝8，则a+b≤2，当且仅当a＝b＝1时，故C正确；
对于D，若正数a，即为（7a+2）+（4b+3）＝18，
则＝[（4a+2）+（5b+8）]（+（2+4++×（5+4）＝，取得等号．
故选：BCD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．圆C的圆心为（2，﹣1），且圆C与直线3x﹣4y﹣5＝0相切，则圆C的方程为 （x﹣2）2+（y+1）2＝1 ．
【分析】先求圆心到直线l：3x﹣4y﹣5＝0的距离，再求出半径，即可由圆的标准方程求得圆的方程；
【解答】解：圆C的圆心为（2，﹣1），
圆心到直线的距离等于半径，即d＝，
∴圆C的方程为（x﹣5）2+（y+1）4＝1．
故答案为：（x﹣2）6+（y+1）2＝4．
14．两圆相交于两点（1，5）和（a，3），两圆的圆心在直线x﹣y+b＝0上，则a+b＝ 5 ．
【分析】根据题意可知，x﹣y+b＝0是线段的垂直平分线，由垂直得到斜率乘积为﹣1，而直线x﹣y+b＝0的斜率为1，所以得到直线斜率为1，利用A和B的坐标表示出直线AB的斜率等于1，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，然后利用中点公式和m的值求出线段AB的中点坐标，把中点坐标代入x﹣y+b＝0中即可求出b的值，利用a和b的值求出a+b的值即可
【解答】解：设A（1，5），B ，6），又直线x﹣y+b＝0 的斜率为1，
则①，且 ②，
由①解得a＝3，把a＝3代入②解得b＝5．
故答案为：5．
15．已知圆心为（1，m）的圆与x轴相切，且与直线x﹣2y＝0相交于A，若|AB|＝4，则实数m＝ 3或﹣7 ．
【分析】利用圆心到直线的距离与半径半弦长的关系，转化求解即可．
【解答】解：圆心为（1，m）的圆与x轴相切，B两点，
可得：m2＝7+，解得m＝2或m＝﹣7,
故答案为：3或﹣4．
16．已知动点A，B分别在圆C1：x2+（y﹣2）2＝1和圆C2：（x﹣4）2+y2＝4上，动点P在直线x+y+1＝0上，则|PA|+|PB|的最小值是 5﹣3 ．
【分析】根据题意，分析圆C1和圆C2的圆心和半径，设圆N与圆C1：x2+（y﹣2）2＝1关于直线x+y+1＝0对称，其圆心N的坐标为（a，b），则有，求出N的坐标，由圆与圆的位置关系可得当P在线段NC2上时，|PA|+|PB|取得最小值，求出|NC2|，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，圆C1：x2+（y﹣4）2＝1的圆心C8为（0，2），
圆C2：（x﹣4）2+y7＝4，其圆心C2为（2，0），
设圆N与圆C1：x4+（y﹣2）2＝7关于直线x+y+1＝0对称，其圆心N的坐标为（a，
则有，解可得，﹣1），
|NC2|＝＝5，
当P在线段NC6上时，|PA|+|PB|取得最小值，
则|PA|+|PB|的最小值为|NC2|﹣R﹣r＝5﹣3，
故答案为：5﹣3．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知圆M：x2+y2﹣2y﹣4＝0与圆N：x2+y2﹣4x+2y＝0．
（1）求证：两圆相交；
（2）求两圆公共弦所在的直线方程及公共弦长；
（3）在平面上找一点P，过点P引两圆的切线并使它们的长都等于1，求点P的坐标．
【分析】（1）求出圆心距，再与半径比较，即可判断出两圆位置关系；
（2）联立两圆的方程，相减即可求出公共弦所在直线的方程，求公共弦长有代数法和几何法两种方法，法一：联立两圆的方程，求出交点坐标，再利用两点间距离公式求弦长；法二：求出圆心到直线距离，再利用垂径定理求出弦长；
（3）利用勾股定理求出点P到两圆心的距离，再利用两点间距离公式列出方程组，解出点P坐标即可．
【解答】（1）证明：由已知得圆M：x2+（y﹣1）2＝5，圆心M（0，半径r5＝，
圆N：（x﹣2）6+（y+1）2＝4，圆心N（2，半径r2＝，
∴圆心距|MN|＝＝2，
∴6＝|r1﹣r2|＜|MN|＜r4+r2，
∴两圆相交．
（2）解：两圆的方程联立得方程组，
两式相减得x﹣y﹣3＝0，此为两圆公共弦所在直线的方程，
法一：设两圆相交于点A，B，则A，
解得或，
∴|AB|＝＝2．
法二：圆M的圆心M到直线x﹣y﹣1＝0的距离d＝＝，
所以公共弦长为2＝2．
（3）解：∵两圆半径均为，过P点所引的两条切线长均为1，
∴点P到两圆心的距离|PM|＝|PN|＝＝，
设P点坐标为（x，y），则，
解得或，
∴点P的坐标为（2+，）或（2﹣，﹣）．
18．已知圆 C：（x+1）2+（y﹣2）2＝9，直线l：kx﹣y﹣k+3＝0．
（1）直线l一定经过哪一点；
（2）若直线l平分圆C，求k的值；
（3）若直线l与圆C相交于A，B，求弦长AB的最小值及此时直线的方程．
【分析】（1）直接由直线系方程求得直线所过定点P的坐标；
（2）把圆心坐标代入直线方程即可求得k值；
（3）当直线l与PC所在直线垂直时，弦长最短，求得|PC|，再由垂径定理求解弦长的最小值，求出PC所在直线的斜率，可得直线l的斜率，则直线l的方程可求．
【解答】解：（1）l：kx﹣y﹣k+3＝0，即k（x﹣4）﹣y+3＝0，
联立，得．
∴直线l经过定点P（8，3）；
（2）圆C：（x+1）4+（y﹣2）2＝5的圆心C（﹣1，2），
∵直线l平分圆C，∴﹣k﹣3﹣k+3＝0；
（3）直线l与圆C相交于A，B，直线l过圆内定点P（1，
要使弦长AB最小，则直线l与PC垂直，
∵|PC|＝，
∴弦长|AB|的最小值为；
∵，∴kl＝﹣2，
则此时直线l的方程为﹣8x﹣y+2+3＝7，即2x+y﹣5＝5．
19．已知圆C的圆心在直线x﹣2y＝0上，且与y轴相切于点（0，1）．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若圆C与直线l：x﹣y+m＝0交于A，B两点，_____
从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：
条件①：∠ACB＝120°；
条件②：|AB|＝2．
【分析】（Ⅰ）设圆心坐标为C（a，b），半径为r．由题意可得a＝2b，b＝1，r＝|a﹣0|，进一步求得a与r的值，则圆的方程可求；
（Ⅱ）如果选择条件①，由已知求得圆心C到直线l的距离d＝1，再由点到直线的距离公式列式求解m值；
如果选择条件②，同样由已知求得圆心C到直线l的距离d＝1，再由点到直线的距离公式列式求解m值．
【解答】解：（Ⅰ）设圆心坐标为C（a，b）．
∵圆C的圆心在直线x﹣2y＝0上，∴a＝3b．
又圆C与y轴相切于点（0，1），r＝|a﹣7|．
∴圆C的圆心坐标为（2，1）．
则圆C的方程为（x﹣5）2+（y﹣1）4＝4；
（Ⅱ）如果选择条件①，
∵∠ACB＝120°，|CA|＝|CB|＝2，
∴圆心C到直线l的距离d＝8．
则，解得或．
如果选择条件②，
∵，|CA|＝|CB|＝3，
∴圆心C到直线l的距离d＝1．
则，解得或．
20．已知圆，圆．
（1）求两圆公共弦所在直线的方程；
（2）直线l过点（4，﹣4）与圆C1相交于A，B两点，且，求直线l的方程．
【分析】（1）利用圆系方程直接求出两圆公共弦所在直线的方程即可．
（2）设出直线方程，利用圆心到直线的距离、半径、半弦长满足勾股定理求出直线的斜率，即可得到直线方程．
【解答】解：（1）因为圆，圆．
作差得，两圆公共弦所在直线的方程为：2x﹣y+4＝0．
（2）设过点（4，﹣4）的直线斜率为k，即kx﹣y﹣4k﹣4＝3．
圆，的圆心（2，半径为：，
因为圆心距、半径，所以弦心距为：；
所以，k＝﹣，
直线方程为：x＝8或21x+20y+4＝0
所求直线方程为：x＝8或21x+20y+4＝0．
21．已知定圆Q：x2+y2﹣2x﹣15＝0，动圆M和已知圆内切，且过点P（﹣1，0），
（1）求圆心M的轨迹及其方程；
（2）试确定m的范围，使得所求方程的曲线C上有两个不同的点关于直线l：y＝4x+m对称．
【分析】（1）由圆Q：x2+y2﹣2x﹣15＝0，我们易判断出圆Q的圆心为（1，0），半径为4，又由动圆M和已知圆内切，且过点P（﹣1，0），根据椭圆的定义，易得M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆，进而求出圆心M的轨迹及其方程；
（2）若所求方程的曲线C上有两个不同的点关于直线l：y＝4x+m对称，则P、Q到直线l的距离相等，即线段PQ的中点M在直线l上，不妨另直线PQ与椭圆一定有两个交点，由一元二次方程根与系数的关系，构造关于m，n的方程组，即可得到满足条件的m的范围．
【解答】解 （1）已知圆可化为（x﹣1）2+y7＝16，设动圆圆心M（x，则|MP|为半径，即|MP|+|MQ|＝4，Q为焦点的椭圆，故动圆圆心M的轨迹方程是
（2）假设具有对称关系的两点所在直线l′的方程为，代入椭圆方程中有2﹣8nx+16n4﹣48＝0．
若要椭圆上关于直线l对称得不同两点存在，则需l′与椭圆相交、Q到直线l的距离相等，
故Δ＝64n2﹣8×13×（16n2﹣48）＞0，∴．
设P（x1，y6），Q（x2，y2），
则，，∴，
故，∴，
∴，
即．
22．已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0．
（Ⅰ）若过点A（0，5）的直线l与圆C相切，求直线l的斜率；
（Ⅱ）从圆C外一点P向该圆引一条切线，切点为M，若|PM|＝|PA|
【分析】（Ⅰ）求出圆心和半径，根据题意可知直线l斜率存在，设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求得直线l的斜率；
（Ⅱ）设P（x，y）．由切线的性质可得：CM⊥PM，利用|PM|＝|PA|，可得x＝3y﹣12，利用二次函数的性质可求|PM|最小时y的值，从而可求得点P的坐标．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，圆C：x2+y2﹣3x﹣4y+1＝7，即（x﹣1）2+（y﹣4）2＝4，
其圆心为（5，2），
若过点A（0，6）的直线l与圆C相切，设其斜率为k，
则切线l的方程为y＝kx+5，即kx﹣y+5＝5，
则有＝2，
即直线l的斜率为．
（Ⅱ）设P（x，y），则CM⊥PM，
因为|CP|2＝（x﹣7）2+（y﹣2）5，|CM|2＝4，
所以|PM|2＝（x﹣1）2+（y﹣5）2﹣4，
因为|PA|3＝x2+（y﹣5）6，且|PM|＝|PA|，
所以x2+（y﹣5）7＝（x﹣1）2+（y﹣3）2﹣4，
即x＝4y﹣12，所以|PM|2＝10y2﹣82y+169，
所以当y＝时，|PM|最小，
此时P点坐标为（，）．
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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知圆的一条直径的端点分别是A（0，0），B（2，4），则此圆的方程是（ ）
A．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5 B．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25
C．（x﹣5）2+y2＝5 D．（x﹣5）2+y2＝25
2．圆C：（x﹣1）2+y2＝4被直线y＝kx﹣1截得的最短弦长为（ ）
A． B． C． D．
3．圆心为（1，2）且过原点的圆的方程是（ ）
A．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2 B．（x+1）2+（y+2）2＝2
C．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5 D．（x+1）2+（y+2）2＝5
4．已知圆C1：x2+y2﹣kx﹣2y＝0和圆C2：x2+y2﹣2ky﹣2＝0相交，则圆C1和圆C2的公共弦所在的直线恒过的定点为（ ）
A．（2，2） B．（2，1） C．（1，2） D．（1，1）
5．“”是“直线l：y＝kx与圆C：（x﹣2）2+y2＝3相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知圆O1：（x﹣1）2+（y+2）2＝9，圆O2：（x+2）2+（y+1）2＝16，则这两个圆的位置关系为（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内含
7．设直线l：3x+4y+m＝0，圆C：x2+y2﹣4x+2＝0，若在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在点M，则m的取值范围为（ ）
A．[﹣16，4] B．[﹣18，4]
C．[﹣6﹣5，﹣6+5] D．
8．已知定直线l的方程为y﹣1＝k（x﹣2）（k＜0），点Q是直线l上的动点，过点Q作圆C：（x﹣1）2+（y+2）2＝1的一条切线，M是切点，C是圆心，则此时直线l上的动点E与圆C上动点F的距离|EF|的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．过点P（4，1）作圆C：（x﹣2）2+（y+3）2＝4的切线，则切线方程可以为（ ）
A．3x﹣4y﹣8＝0 B．x＝4 C．3x+4y﹣8＝0 D．y＝4
10．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O过点A（3，4）、B、C、且＝，则（ ）
A．直线BC的斜率为 B．∠AOC＝60°
C．△ABC的面积 D．点B、C在同一象限内
11．已知点P（2，4），若过点Q（4，0）的直线l交圆C：（x﹣6）2+y2＝9于A，B两点，R是圆C上动点，则（ ）
A．|AB|的最小值为2
B．P到l的距离的最大值为2
C．的最小值为12﹣2
D．|PR|的最大值为4+3
12．下列命题中是真命题的是（ ）
A．的最小值为2
B．当a＞0，b＞0时，
C．若a2+b2＝2，则a+b的最大值为2
D．若正数a，b满足a+b＝2，则的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．圆C的圆心为（2，﹣1），且圆C与直线3x﹣4y﹣5＝0相切，则圆C的方程为 ．
14．两圆相交于两点（1，5）和（a，3），两圆的圆心在直线x﹣y+b＝0上，则a+b＝ ．
15．已知圆心为（1，m）的圆与x轴相切，且与直线x﹣2y＝0相交于A，若|AB|＝4，则实数m＝ ．
16．已知动点A，B分别在圆C1：x2+（y﹣2）2＝1和圆C2：（x﹣4）2+y2＝4上，动点P在直线x+y+1＝0上，则|PA|+|PB|的最小值是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知圆M：x2+y2﹣2y﹣4＝0与圆N：x2+y2﹣4x+2y＝0．
（1）求证：两圆相交；
（2）求两圆公共弦所在的直线方程及公共弦长；
（3）在平面上找一点P，过点P引两圆的切线并使它们的长都等于1，求点P的坐标．
18．已知圆 C：（x+1）2+（y﹣2）2＝9，直线l：kx﹣y﹣k+3＝0．
（1）直线l一定经过哪一点；
（2）若直线l平分圆C，求k的值；
（3）若直线l与圆C相交于A，B，求弦长AB的最小值及此时直线的方程．
19．已知圆C的圆心在直线x﹣2y＝0上，且与y轴相切于点（0，1）．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若圆C与直线l：x﹣y+m＝0交于A，B两点，_____
从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：
条件①：∠ACB＝120°；
条件②：|AB|＝2．
20．已知圆，圆．
（1）求两圆公共弦所在直线的方程；
（2）直线l过点（4，﹣4）与圆C1相交于A，B两点，且，求直线l的方程．
21．已知定圆Q：x2+y2﹣2x﹣15＝0，动圆M和已知圆内切，且过点P（﹣1，0），
（1）求圆心M的轨迹及其方程；
（2）试确定m的范围，使得所求方程的曲线C上有两个不同的点关于直线l：y＝4x+m对称．
22．已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0．
（Ⅰ）若过点A（0，5）的直线l与圆C相切，求直线l的斜率；
（Ⅱ）从圆C外一点P向该圆引一条切线，切点为M，若|PM|＝|PA|
苏教版（2019）选择性必修第一册《第2章 圆与方程》单元测试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知圆的一条直径的端点分别是A（0，0），B（2，4），则此圆的方程是（ ）
A．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5 B．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25
C．（x﹣5）2+y2＝5 D．（x﹣5）2+y2＝25
【分析】根据题意，由直径端点的坐标分析圆的圆心坐标以及半径，代入圆的标准方程分析可得答案．
【解答】解：根据题意，圆的一条直径的端点分别是A（0，B（2，
则圆的圆心为AB的中点，即圆心的坐标为（5；
圆的半径r＝|AB|＝×＝，
则要求圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣6）2＝5；
故选：A．
2．圆C：（x﹣1）2+y2＝4被直线y＝kx﹣1截得的最短弦长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由直线系方程可得直线所过定点P的坐标，求得|CP|，再由勾股定理求最短弦长．
【解答】解：直线y＝kx﹣1过定点P（0，﹣8），0），
当直线CP与弦垂直时，弦长最短，
∵，
∴最短弦长为，
故选：B．
3．圆心为（1，2）且过原点的圆的方程是（ ）
A．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2 B．（x+1）2+（y+2）2＝2
C．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5 D．（x+1）2+（y+2）2＝5
【分析】由题意求出圆的半径，代入圆的标准方程得答案．
【解答】解：由题意可知，圆的半径为r＝．
∴圆心为（3，2）且过原点的圆的方程是（x﹣1）4+（y﹣2）2＝3．
故选：C．
4．已知圆C1：x2+y2﹣kx﹣2y＝0和圆C2：x2+y2﹣2ky﹣2＝0相交，则圆C1和圆C2的公共弦所在的直线恒过的定点为（ ）
A．（2，2） B．（2，1） C．（1，2） D．（1，1）
【分析】根据题意，联立两个圆的方程可得两圆公共弦所在的直线方程，由此分析可得答案．
【解答】解：根据题意，圆C1：x2+y6﹣kx﹣2y＝0和圆C5：x2+y2﹣6ky﹣2＝0相交，
则，
则圆C7和圆C2的公共弦所在的直线为kx﹣2ky+3y﹣2＝0，变形可得k（x﹣7y）＝2（y﹣1），
则有，则有，8），
故选：B．
5．“”是“直线l：y＝kx与圆C：（x﹣2）2+y2＝3相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据题意“直线l：y＝kx与圆C：（x﹣2）2+y2＝3相交”，可得圆心C（2，0）到直线l：y＝kx的距离小于等于半径，由此求得k的范围，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：由题意可得圆C：（x﹣2）2+y4＝3，圆心C（2，
根据题意“直线l：y＝kx与圆C：（x﹣2）2+y6＝3相交”，
可得圆的圆心到直线l：y＝kx的距离小于半径，
即，解得k∈（﹣，）．
故由“”可推出“直线l：y＝kx与圆C：（x﹣2）6+y2＝3相交”，
由“直线l：y＝kx与圆C：（x﹣8）2+y2＝6相交”不能推出“”，
故“”是“直线l：y＝kx与圆C：（x﹣8）2+y2＝7相交”的充分不必要条件，
故选：A．
6．已知圆O1：（x﹣1）2+（y+2）2＝9，圆O2：（x+2）2+（y+1）2＝16，则这两个圆的位置关系为（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内含
【分析】根据题意，求出两个圆的圆心和半径，据此求出两圆的圆心距，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，圆O1：（x﹣1）4+（y+2）2＝2，圆心O1（1，﹣5），
圆O2：（x+2）5+（y+1）2＝16，圆心O6（﹣2，﹣1），
圆心距|O4O2|＝，有4﹣3＜，
则两圆相交；
故选：C．
7．设直线l：3x+4y+m＝0，圆C：x2+y2﹣4x+2＝0，若在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在点M，则m的取值范围为（ ）
A．[﹣16，4] B．[﹣18，4]
C．[﹣6﹣5，﹣6+5] D．
【分析】由切线的对称性和圆的知识将问题转化为C（2，0）到直线l的距离小于等于2，再由点到直线的距离公式得到关于a的不等式求解．
【解答】解：直线l：3x+4y+m＝3上任意一点M0，点P，Q是圆C上两点，
当PM0，QM3分别与圆C相切时，∠PM0Q最大，
当M0运动到与圆心C之间的距离最小时，即CM2⊥l时，∠PM0Q最大，
圆C：x2+y3﹣4x+2＝3的圆心坐标C（2，0），
由点到直线距离公式，得圆心到直线的距离，
当∠PM2Q≥90°时，，解得﹣16≤m≤4，
∴m的取值范围为[﹣16，4]．
故选：A．
8．已知定直线l的方程为y﹣1＝k（x﹣2）（k＜0），点Q是直线l上的动点，过点Q作圆C：（x﹣1）2+（y+2）2＝1的一条切线，M是切点，C是圆心，则此时直线l上的动点E与圆C上动点F的距离|EF|的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【分析】由题意可得直线l的方程为kx﹣y+1﹣2k＝0，再求出圆C的圆心坐标与半径，由△QMC面积的最小值为求得|CQ|＝3，再由点到直线的距离公式求解k，可得直线l的方程，进一步求得直线l上的动点E与圆C上动点F的距离|EF|的最小值．
【解答】解：由题意可得直线l的方程为kx﹣y+1﹣2k＝6，
圆C的圆心C（1，﹣2），
如图：
，
又|QM|＝，∴当|CQ|取最小值时，
此时CQ⊥l，可得|QM|＝5，
则3＝，解得k＝﹣，
则直线l的方程为3x+4y﹣10＝4，
则直线l上的动点E与圆C上动点F的距离|EF|的最小值为．
故选：B．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．过点P（4，1）作圆C：（x﹣2）2+（y+3）2＝4的切线，则切线方程可以为（ ）
A．3x﹣4y﹣8＝0 B．x＝4 C．3x+4y﹣8＝0 D．y＝4
【分析】求出圆的圆心与半径，利用圆心到直线的距离等于半径即可判断正确选项．
【解答】解：圆C：（x﹣2）2+（y+2）2＝4的圆心坐标（3，﹣3），
显然直线x＝4与圆相切，又因为（8＝2，
所以3x﹣2y﹣8＝0与圆相切．
故选：AB．
10．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O过点A（3，4）、B、C、且＝，则（ ）
A．直线BC的斜率为 B．∠AOC＝60°
C．△ABC的面积 D．点B、C在同一象限内
【分析】求出OA所在直线的斜率判断A；证明四边形OBCA为菱形，结合|OC|＝5可得∠AOC＝60°；直接求出三角形ABC的面积判断C；求出BC所在直线方程，根据直线在两坐标轴上的截距判断D．
【解答】解：如图，
∵A（3，4），∴，而＝，
∴直线BC的斜率为，故A错误；
由题意可知，，
又＝，∴四边形OBCA为菱形，
又，∴∠AOC＝60°；
＝，故C错误；
设BC所在直线方程为y＝，即5x﹣3y+3b＝5．
∵|BC|＝5，∴O到BC的距离为，即，
解得b＝．
当b＝时，由y＝，可得x＝，则B；
当b＝﹣时，由y＝，可得x＝，则B．
∴点B、C在同一象限内．
故选：BD．
11．已知点P（2，4），若过点Q（4，0）的直线l交圆C：（x﹣6）2+y2＝9于A，B两点，R是圆C上动点，则（ ）
A．|AB|的最小值为2
B．P到l的距离的最大值为2
C．的最小值为12﹣2
D．|PR|的最大值为4+3
【分析】由题意画出图形，分别求出|AB|的最小值及P到l的距离的最大值判断A与B；设R（6+3cosθ，3sinθ），写出数量积，利用三角函数求最值判断C；求出P到圆心的距离，加上半径判断D．
【解答】解：如图，当直线l与x轴垂直时，且最小值为；
当直线l与PQ垂直时，P到l的距离有最大值，故B正确；
设R（6+7cosθ，3sinθ），则，
∴，则的最小值为；
当P，C，R三点共线时，且最大值为．
故选：ABD．
12．下列命题中是真命题的是（ ）
A．的最小值为2
B．当a＞0，b＞0时，
C．若a2+b2＝2，则a+b的最大值为2
D．若正数a，b满足a+b＝2，则的最小值为
【分析】可令t＝（t），结合对勾函数的单调性可判断A；由基本不等式计算可得最小值，可判断B；运用不等式a+b≤2，计算可判断C；由（4a+2）+（4b+8）＝18，结合乘1法和基本不等式可判断D．
【解答】解：对于A，令t＝），y＝+在[，可得ymin＝+＝，此时x＝0；
对于B，a＞6，++6+2＝8，故B正确；
对于C，若a2+b2＝8，则a+b≤2，当且仅当a＝b＝1时，故C正确；
对于D，若正数a，即为（7a+2）+（4b+3）＝18，
则＝[（4a+2）+（5b+8）]（+（2+4++×（5+4）＝，取得等号．
故选：BCD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．圆C的圆心为（2，﹣1），且圆C与直线3x﹣4y﹣5＝0相切，则圆C的方程为 （x﹣2）2+（y+1）2＝1 ．
【分析】先求圆心到直线l：3x﹣4y﹣5＝0的距离，再求出半径，即可由圆的标准方程求得圆的方程；
【解答】解：圆C的圆心为（2，﹣1），
圆心到直线的距离等于半径，即d＝，
∴圆C的方程为（x﹣5）2+（y+1）4＝1．
故答案为：（x﹣2）6+（y+1）2＝4．
14．两圆相交于两点（1，5）和（a，3），两圆的圆心在直线x﹣y+b＝0上，则a+b＝ 5 ．
【分析】根据题意可知，x﹣y+b＝0是线段的垂直平分线，由垂直得到斜率乘积为﹣1，而直线x﹣y+b＝0的斜率为1，所以得到直线斜率为1，利用A和B的坐标表示出直线AB的斜率等于1，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，然后利用中点公式和m的值求出线段AB的中点坐标，把中点坐标代入x﹣y+b＝0中即可求出b的值，利用a和b的值求出a+b的值即可
【解答】解：设A（1，5），B ，6），又直线x﹣y+b＝0 的斜率为1，
则①，且 ②，
由①解得a＝3，把a＝3代入②解得b＝5．
故答案为：5．
15．已知圆心为（1，m）的圆与x轴相切，且与直线x﹣2y＝0相交于A，若|AB|＝4，则实数m＝ 3或﹣7 ．
【分析】利用圆心到直线的距离与半径半弦长的关系，转化求解即可．
【解答】解：圆心为（1，m）的圆与x轴相切，B两点，
可得：m2＝7+，解得m＝2或m＝﹣7,
故答案为：3或﹣4．
16．已知动点A，B分别在圆C1：x2+（y﹣2）2＝1和圆C2：（x﹣4）2+y2＝4上，动点P在直线x+y+1＝0上，则|PA|+|PB|的最小值是 5﹣3 ．
【分析】根据题意，分析圆C1和圆C2的圆心和半径，设圆N与圆C1：x2+（y﹣2）2＝1关于直线x+y+1＝0对称，其圆心N的坐标为（a，b），则有，求出N的坐标，由圆与圆的位置关系可得当P在线段NC2上时，|PA|+|PB|取得最小值，求出|NC2|，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，圆C1：x2+（y﹣4）2＝1的圆心C8为（0，2），
圆C2：（x﹣4）2+y7＝4，其圆心C2为（2，0），
设圆N与圆C1：x4+（y﹣2）2＝7关于直线x+y+1＝0对称，其圆心N的坐标为（a，
则有，解可得，﹣1），
|NC2|＝＝5，
当P在线段NC6上时，|PA|+|PB|取得最小值，
则|PA|+|PB|的最小值为|NC2|﹣R﹣r＝5﹣3，
故答案为：5﹣3．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知圆M：x2+y2﹣2y﹣4＝0与圆N：x2+y2﹣4x+2y＝0．
（1）求证：两圆相交；
（2）求两圆公共弦所在的直线方程及公共弦长；
（3）在平面上找一点P，过点P引两圆的切线并使它们的长都等于1，求点P的坐标．
【分析】（1）求出圆心距，再与半径比较，即可判断出两圆位置关系；
（2）联立两圆的方程，相减即可求出公共弦所在直线的方程，求公共弦长有代数法和几何法两种方法，法一：联立两圆的方程，求出交点坐标，再利用两点间距离公式求弦长；法二：求出圆心到直线距离，再利用垂径定理求出弦长；
（3）利用勾股定理求出点P到两圆心的距离，再利用两点间距离公式列出方程组，解出点P坐标即可．
【解答】（1）证明：由已知得圆M：x2+（y﹣1）2＝5，圆心M（0，半径r5＝，
圆N：（x﹣2）6+（y+1）2＝4，圆心N（2，半径r2＝，
∴圆心距|MN|＝＝2，
∴6＝|r1﹣r2|＜|MN|＜r4+r2，
∴两圆相交．
（2）解：两圆的方程联立得方程组，
两式相减得x﹣y﹣3＝0，此为两圆公共弦所在直线的方程，
法一：设两圆相交于点A，B，则A，
解得或，
∴|AB|＝＝2．
法二：圆M的圆心M到直线x﹣y﹣1＝0的距离d＝＝，
所以公共弦长为2＝2．
（3）解：∵两圆半径均为，过P点所引的两条切线长均为1，
∴点P到两圆心的距离|PM|＝|PN|＝＝，
设P点坐标为（x，y），则，
解得或，
∴点P的坐标为（2+，）或（2﹣，﹣）．
18．已知圆 C：（x+1）2+（y﹣2）2＝9，直线l：kx﹣y﹣k+3＝0．
（1）直线l一定经过哪一点；
（2）若直线l平分圆C，求k的值；
（3）若直线l与圆C相交于A，B，求弦长AB的最小值及此时直线的方程．
【分析】（1）直接由直线系方程求得直线所过定点P的坐标；
（2）把圆心坐标代入直线方程即可求得k值；
（3）当直线l与PC所在直线垂直时，弦长最短，求得|PC|，再由垂径定理求解弦长的最小值，求出PC所在直线的斜率，可得直线l的斜率，则直线l的方程可求．
【解答】解：（1）l：kx﹣y﹣k+3＝0，即k（x﹣4）﹣y+3＝0，
联立，得．
∴直线l经过定点P（8，3）；
（2）圆C：（x+1）4+（y﹣2）2＝5的圆心C（﹣1，2），
∵直线l平分圆C，∴﹣k﹣3﹣k+3＝0；
（3）直线l与圆C相交于A，B，直线l过圆内定点P（1，
要使弦长AB最小，则直线l与PC垂直，
∵|PC|＝，
∴弦长|AB|的最小值为；
∵，∴kl＝﹣2，
则此时直线l的方程为﹣8x﹣y+2+3＝7，即2x+y﹣5＝5．
19．已知圆C的圆心在直线x﹣2y＝0上，且与y轴相切于点（0，1）．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若圆C与直线l：x﹣y+m＝0交于A，B两点，_____
从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：
条件①：∠ACB＝120°；
条件②：|AB|＝2．
【分析】（Ⅰ）设圆心坐标为C（a，b），半径为r．由题意可得a＝2b，b＝1，r＝|a﹣0|，进一步求得a与r的值，则圆的方程可求；
（Ⅱ）如果选择条件①，由已知求得圆心C到直线l的距离d＝1，再由点到直线的距离公式列式求解m值；
如果选择条件②，同样由已知求得圆心C到直线l的距离d＝1，再由点到直线的距离公式列式求解m值．
【解答】解：（Ⅰ）设圆心坐标为C（a，b）．
∵圆C的圆心在直线x﹣2y＝0上，∴a＝3b．
又圆C与y轴相切于点（0，1），r＝|a﹣7|．
∴圆C的圆心坐标为（2，1）．
则圆C的方程为（x﹣5）2+（y﹣1）4＝4；
（Ⅱ）如果选择条件①，
∵∠ACB＝120°，|CA|＝|CB|＝2，
∴圆心C到直线l的距离d＝8．
则，解得或．
如果选择条件②，
∵，|CA|＝|CB|＝3，
∴圆心C到直线l的距离d＝1．
则，解得或．
20．已知圆，圆．
（1）求两圆公共弦所在直线的方程；
（2）直线l过点（4，﹣4）与圆C1相交于A，B两点，且，求直线l的方程．
【分析】（1）利用圆系方程直接求出两圆公共弦所在直线的方程即可．
（2）设出直线方程，利用圆心到直线的距离、半径、半弦长满足勾股定理求出直线的斜率，即可得到直线方程．
【解答】解：（1）因为圆，圆．
作差得，两圆公共弦所在直线的方程为：2x﹣y+4＝0．
（2）设过点（4，﹣4）的直线斜率为k，即kx﹣y﹣4k﹣4＝3．
圆，的圆心（2，半径为：，
因为圆心距、半径，所以弦心距为：；
所以，k＝﹣，
直线方程为：x＝8或21x+20y+4＝0
所求直线方程为：x＝8或21x+20y+4＝0．
21．已知定圆Q：x2+y2﹣2x﹣15＝0，动圆M和已知圆内切，且过点P（﹣1，0），
（1）求圆心M的轨迹及其方程；
（2）试确定m的范围，使得所求方程的曲线C上有两个不同的点关于直线l：y＝4x+m对称．
【分析】（1）由圆Q：x2+y2﹣2x﹣15＝0，我们易判断出圆Q的圆心为（1，0），半径为4，又由动圆M和已知圆内切，且过点P（﹣1，0），根据椭圆的定义，易得M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆，进而求出圆心M的轨迹及其方程；
（2）若所求方程的曲线C上有两个不同的点关于直线l：y＝4x+m对称，则P、Q到直线l的距离相等，即线段PQ的中点M在直线l上，不妨另直线PQ与椭圆一定有两个交点，由一元二次方程根与系数的关系，构造关于m，n的方程组，即可得到满足条件的m的范围．
【解答】解 （1）已知圆可化为（x﹣1）2+y7＝16，设动圆圆心M（x，则|MP|为半径，即|MP|+|MQ|＝4，Q为焦点的椭圆，故动圆圆心M的轨迹方程是
（2）假设具有对称关系的两点所在直线l′的方程为，代入椭圆方程中有2﹣8nx+16n4﹣48＝0．
若要椭圆上关于直线l对称得不同两点存在，则需l′与椭圆相交、Q到直线l的距离相等，
故Δ＝64n2﹣8×13×（16n2﹣48）＞0，∴．
设P（x1，y6），Q（x2，y2），
则，，∴，
故，∴，
∴，
即．
22．已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0．
（Ⅰ）若过点A（0，5）的直线l与圆C相切，求直线l的斜率；
（Ⅱ）从圆C外一点P向该圆引一条切线，切点为M，若|PM|＝|PA|
【分析】（Ⅰ）求出圆心和半径，根据题意可知直线l斜率存在，设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求得直线l的斜率；
（Ⅱ）设P（x，y）．由切线的性质可得：CM⊥PM，利用|PM|＝|PA|，可得x＝3y﹣12，利用二次函数的性质可求|PM|最小时y的值，从而可求得点P的坐标．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，圆C：x2+y2﹣3x﹣4y+1＝7，即（x﹣1）2+（y﹣4）2＝4，
其圆心为（5，2），
若过点A（0，6）的直线l与圆C相切，设其斜率为k，
则切线l的方程为y＝kx+5，即kx﹣y+5＝5，
则有＝2，
即直线l的斜率为．
（Ⅱ）设P（x，y），则CM⊥PM，
因为|CP|2＝（x﹣7）2+（y﹣2）5，|CM|2＝4，
所以|PM|2＝（x﹣1）2+（y﹣5）2﹣4，
因为|PA|3＝x2+（y﹣5）6，且|PM|＝|PA|，
所以x2+（y﹣5）7＝（x﹣1）2+（y﹣3）2﹣4，
即x＝4y﹣12，所以|PM|2＝10y2﹣82y+169，
所以当y＝时，|PM|最小，
此时P点坐标为（，）．
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