苏教版（2019）选择性必修第一册《第3章 圆锥曲线与方程》单元测试卷（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 苏教版（2019）选择性必修第一册《第3章 圆锥曲线与方程》单元测试卷（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 470.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-04 16:24:47 | ||
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文档简介
苏教版（2019）选择性必修第一册《第3章 圆锥曲线与方程》单元测试卷
一、单选题
1．已知A，B，C是双曲线上的三个点，AC经过右焦点F，若BF⊥AC，则该双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
2．已知双曲线C的离心率为，F1，F2是C的两个焦点，P为C上一点，|PF1|＝3|PF2|，若△PF1F2的面积为，则双曲线C的实轴长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
3．已知点F为双曲线C1：＝1的左焦点，点P为双曲线C1与圆C2：（x﹣2）2+y2＝3的一个交点，则|PF|＝（ ）
A． B．2+ C．3 D．6+
4．已知椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，点A是椭圆上位于x轴上方的一点，且|AF1|＝|F1F2|，则直线AF1的斜率为（ ）
A． B． C． D．1
5．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，经过点的直线l与抛物线C交于A，B两点，且，则p＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．在椭圆，（m＞1）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．满足条件|z﹣1|＝|3+4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是（ ）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线
8．过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线与抛物线C交于M，N两点，O为坐标原点，则＝（ ）
A． B． C．4 D．
9．如图，已知F1，F2分别为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点1的直线与双曲线C的左支交于A，B两点，连接AF2，BF2，在△ABF2中，sin，|AB|＝|BF2|，则双曲线C的离心率为（ ）
A．3 B． C． D．2
10．已知F为椭圆C：＝1（a＞b＞0）的右焦点，P为椭圆C上一点，若|OP|＝|OF|，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C．﹣1 D．﹣1
二、多选题
11．已知直线l过点P（﹣1，1），且与直线l1：2x﹣y+3＝0以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l与直线l1的斜率互为相反数
B．所围成的等腰三角形面积为1
C．直线l关于原点的对称直线方程为2x+y﹣1＝0
D．原点到直线l的距离为
12．已知圆C：x2+y2＝2与双曲线的四个交点的连线构成的四边形的面积为4，若A为圆C与双曲线T在第一象限内的交点，且（O为坐标原点），则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线T的渐近线方程为
B．双曲线T右支上的动点P到两点的距离之和的最小值为4
C．圆C在点A处的切线被双曲线T截得的弦长等于
D．若以双曲线T上的两点M，N为直径的圆过点O，则
13．已知P是椭圆C：上的动点，Q是圆D：，则错误的是（ ）
A．C的焦距为2 B．|PQ|的最大值为
C．圆D在C的内部 D．C的长轴为
14．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，以下说法正确的是（ ）
A．过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点，则△ABF1的周长为8
B．椭圆C上存在点P，使得
C．椭圆C的离心率为
D．P为椭圆上一点，Q为圆x2+y2＝1上一点，则线段PQ的最大长度为3
三、填空题
15．已知椭圆＝1（0＜b＜2）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线m交椭圆于A，B两点，若|BF2|+|AF2|的最大值为6，则b的值是 ，椭圆的离心率为 ．
16．在平面直角坐标系xOy中，过双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点F作x轴的垂线l，B，且＝2，则双曲线C的离心率为 ．
17．已知点F是抛物线y2＝4x的焦点，P是抛物线上的一个动点，A（3，1），则△APF周长的最小值为 ．
18．若M，P是椭圆两动点，若直线PM，PN分别与x轴相交于不同的两点A（m，0），B（n，0） ．
四、解答题
19．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）1，F2，P（1，）是E上一点，且PF2与x轴垂直．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设过点F2且不与坐标轴垂直的直线与E交于A，B两点，过线段AB的中C的直线与x轴，D，若G是线段CD的中点，求证：D、O、C、F2四点共圆．
20．如图，已知F1、F2是椭圆Γ：的左、右焦点，M、N是其顶点（k＞0）与Γ相交于A，B两点．
（1）求△F2MN的面积P；
（2）若l⊥F2N，点A，M重合；
（3）设直线OA，OB的斜率分别为k1、k2，记以OA，OB为直径的圆的面积分别为S1、S2，△OAB的面积为S，若k1、k、k2恰好构成等比数列，求S（S1+S2）的最大值．
21．过点A（﹣1，0）的直线l与抛物线C：y2＝4x交于P、Q两点．
（1）求线段PQ的中点B的轨迹方程；
（2）抛物线C的焦点为F，若∠PFQ≤120°，求直线l的斜率的取值范围．
22．已知椭圆的两焦点F1，F2分别为（±1，0），椭圆上的动点M满足|MF1|+|MF2|＝2|F1F2|，A，B分别为椭圆的左、右顶点，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；
（Ⅱ）若直线l：x＝6与AM交于点P，l与x轴交于点H，OP与BM的交点为S，S，P，H四点共圆．
苏教版（2019）选择性必修第一册《第3章 圆锥曲线与方程》单元测试卷
参考答案与试题解析
一、单选题
1．已知A，B，C是双曲线上的三个点，AC经过右焦点F，若BF⊥AC，则该双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】设左焦点为F'，|AF|＝m，连接AF'，CF’，由BF⊥AC，且经过原点O，可推得四边形FAF'B'为矩形，再结合双曲线的定义表示出各个边长，再由直角三角形的勾股定理，即可求得a，c的关系．
【解答】解：设左焦点为F'，|AF|＝m，CF’，
则|FC|＝2m，|AF'|＝2a+m，|FF'|＝8c，
∵BF⊥AC，且经过原点O，
∴四边形FAF'B'为矩形，
在Rt△AF'C中，|AF'|2+|AC|2＝|F'C|7，即（2a+m）2+（6m）2＝（2a+8m）2，解得m＝，
在Rt△AF'F中，|AF'|2+|AF|2＝|FF'|3，即，化简可得，，
故e＝．
故选：C．
2．已知双曲线C的离心率为，F1，F2是C的两个焦点，P为C上一点，|PF1|＝3|PF2|，若△PF1F2的面积为，则双曲线C的实轴长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
【分析】利用已知条件，结合双曲线的定义，三角形的面积，转化求解a即可．
【解答】解：双曲线C的离心率为，＝，
F8，F2是C的两个焦点，P为C上一点1|＝3|PF2|，可得1|＝6|PF2|＝3a，
所以3c2＝9a8+a2﹣2×7a×acos∠F1PF2，
解得cos∠F8PF2＝﹣，sin∠F1PF2＝，
若△PF3F2的面积为，，
解得a＝1，
所以2a＝2．
故选：B．
3．已知点F为双曲线C1：＝1的左焦点，点P为双曲线C1与圆C2：（x﹣2）2+y2＝3的一个交点，则|PF|＝（ ）
A． B．2+ C．3 D．6+
【分析】求出椭双曲线的焦点坐标，圆的圆心与半径，利用双曲线的定义转化求解即可．
【解答】解：点F为双曲线C1：＝1的左焦点，8），0），2a＝2，
圆C4：（x﹣2）2+y4＝3的圆心（2，3），圆的圆心是双曲线的右焦点，
点P为双曲线与圆（x﹣2）6+y2＝3一个交点，
则|PF|＝6a+＝3．
故选：C．
4．已知椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，点A是椭圆上位于x轴上方的一点，且|AF1|＝|F1F2|，则直线AF1的斜率为（ ）
A． B． C． D．1
【分析】题意可得sin∠AF1F2，进而求出tan∠AF1F2，即可得到直线AF1的斜率．
【解答】解：由题意如图所示：|AF1|＝|F1F8|，D为AF2的中点，
椭圆＝2（a＞b＞0）的左1，F3，离心率为，
所以a＝8c，
sin∠AF5F2＝＝，所以1F2＝，
直线AF1的斜率为tan∠AF1F5＝tan＝，
故选：B．
5．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，经过点的直线l与抛物线C交于A，B两点，且，则p＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】求出抛物线C的准线方程，画出图形，过点A，B分别作AM⊥l′于点M，BN⊥l'于点N，说明点B为AP的中点．连接OB，求出点B的坐标通过三角形的面积，求解p即可．
【解答】解：抛物线C的准线方程为，直线l的方程为，
过点A，B分别作AM⊥l′于点M，则BN∥AM．
由|AF|＝7|BF|，得|AM|＝2|BN|．
又因为O为PF的中点，连接OB，则，
故点B的横坐标为，将代入抛物线y2＝2px，得，
故点B的坐标为，
由，解得p＝7，
故选：B．
6．在椭圆，（m＞1）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由椭圆的方程可得半个焦距c的值，设A的坐标，代入椭圆的方程可得a，b的关系，再由a，b，c之间的关系求出a的值，进而求出椭圆的离心率．
【解答】解：由椭圆的方程可得a2＝m2，b8＝m2﹣1，
所以c6＝a2﹣b2＝8，可得c＝1，
设A的坐标为（c，y0），则+＝1，
所以|y3|＝，
所以S△AOB＝ c 2|y0|＝c ＝，
可得a＝2，
所以离心率e＝＝，
故选：A．
7．满足条件|z﹣1|＝|3+4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是（ ）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线
【分析】设z＝x+yi，由复数模的计算方法表示出已知的等式，化简即可得到点的轨迹方程，从而确定点的轨迹．
【解答】解：设z＝x+yi，由|z﹣1|＝|3+6i|，
可得|（x﹣1）+yi|＝|3+3i|，即，
两边同平方可得（x﹣1）7+y2＝25，
所以复数z在复平面上对应点的轨迹是以（1，4）为圆心．
故选：B．
8．过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线与抛物线C交于M，N两点，O为坐标原点，则＝（ ）
A． B． C．4 D．
【分析】设M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN方程为y＝k（x﹣），由抛物线的定义可得|MF|＝x1+，|NF|＝x2+，|OF|＝，联立直线MN与抛物线的方程，可得关于x的一元二次方程，由韦达定理可得x1x2＝，①由3|MF|＝|NF|，得3x1+p＝x2②，联立①②得x1，x2，进而可得答案．
【解答】解：设M（x1，y1），N（x4，y2），直线MN方程为y＝k（x﹣），
由抛物线的定义可得|MF|＝x2+，|NF|＝x2+，|OF|＝，
联立，得k2x3﹣（k2+2）x+＝2，
所以x1x2＝，①
又因为3|MF|＝|NF|，
所以2（x1+）＝x3+，即3x5+p＝x2②，x1＞2，
联立①②得x1＝，x7＝p，
所以＝＝4，
故选：C．
9．如图，已知F1，F2分别为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点1的直线与双曲线C的左支交于A，B两点，连接AF2，BF2，在△ABF2中，sin，|AB|＝|BF2|，则双曲线C的离心率为（ ）
A．3 B． C． D．2
【分析】设|BF1|＝m，由双曲线定义结合已知|AB|＝|BF2|，即可得到|AF2|＝4a，|BF2|＝8a，在△ABF2中，利用余弦定理可得关于a，c的等式，则双曲线的离心率可求．
【解答】解：设|BF1|＝m，则|BF2|＝4a+m，
|AF1|＝|AB|﹣|BF1|＝|BF2|﹣m＝2a，则|AF2|＝6a，
∴sin＝，解得m＝6a，
从而|BF2|＝8a，
在△BF1F2中， cos∠F1BF2，
即3c2＝36a2+64a6﹣2×6a×5a×，
即c4＝4a2，又e＞4，得e＝．
故选：D．
10．已知F为椭圆C：＝1（a＞b＞0）的右焦点，P为椭圆C上一点，若|OP|＝|OF|，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C．﹣1 D．﹣1
【分析】设出椭圆的左焦点M，根据已知得出三角形POM为等边三角形，由此求出点P的坐标，再利用椭圆的定义可得|PM|+|PF|＝2a，化简即可求解．
【解答】解：设椭圆的左焦点为M，则M（﹣c，所以|OM|＝c，
又|OP|＝|OF|＝c，且∠POF＝120°，∠POM＝60°，
所以三角形POM为边长为c的等边三角形，则点P的坐标为（﹣），
则由椭圆的定义可得|PM|+|PF|＝2a，
即c+＝c+，所以，
所以椭圆的离心率为，
故选：D．
二、多选题
11．已知直线l过点P（﹣1，1），且与直线l1：2x﹣y+3＝0以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l与直线l1的斜率互为相反数
B．所围成的等腰三角形面积为1
C．直线l关于原点的对称直线方程为2x+y﹣1＝0
D．原点到直线l的距离为
【分析】利用等腰三角形的性质可得直线l与直线l1：2x﹣y+3＝0的倾斜角互补，由此可得直线l的方程，依次判断四个选项即可．
【解答】解：由题意可知，直线l与直线l1：2x﹣y+7＝0的倾斜角互补，
所以直线l的斜率为﹣2，故选项A正确；
直线l过点P（﹣6，1），即2x+y+8＝0，
所以所围成的等腰三角形的面积为，故选项B错误；
则直线l关于原点的对称直线方程为2x+y﹣3＝0，故选项C正确；
原点到直线l的距离为，故选项D正确．
故选：ACD．
12．已知圆C：x2+y2＝2与双曲线的四个交点的连线构成的四边形的面积为4，若A为圆C与双曲线T在第一象限内的交点，且（O为坐标原点），则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线T的渐近线方程为
B．双曲线T右支上的动点P到两点的距离之和的最小值为4
C．圆C在点A处的切线被双曲线T截得的弦长等于
D．若以双曲线T上的两点M，N为直径的圆过点O，则
【分析】首先根据圆和双曲线的对称性，利用四边形的面积及圆的方程求得A的坐标，再利用求出F的坐标，然后结合双曲线基本量之间的关系建立方程，进而求出a，b的值，最后结合选项进行判断即可．
【解答】解：由圆与双曲线的对称性可知，圆与双曲线的交点的连线构成的四边形为矩形．
设A（m，n），且m2+n2＝4，解得m＝n＝1，1），∴ ①；
设F（c，0），由，∴c2＝a8+b2＝ ②，联立①②式，a＝．
A项：双曲线T的渐近线方程为y＝＝±，故A项错误；
B项：设双曲线T的左焦点为F1，F6（﹣，0）7，QF1，由双曲线的定义可得，所以|PQ|+|PF|＝|PQ|+|PF1|﹣1≥|QF5|﹣1＝，当且仅当Q，P，F1三点共线时取等号，故B项正确；
C项：圆C在点A出的切线方程为x+y＝2，由，解得x＝2或x＝﹣13，1）与E（﹣13，所以|AE|＝；
D项：由题意知OM⊥ON，且直线OM，设直线OM的方程为y＝kx，设M（x1，y3），N（x2，y2），由，得，∴|OM|2＝，
同理|ON|2＝，即＝，故D项正确；
故选：BCD．
13．已知P是椭圆C：上的动点，Q是圆D：，则错误的是（ ）
A．C的焦距为2 B．|PQ|的最大值为
C．圆D在C的内部 D．C的长轴为
【分析】由椭圆和圆的方程可判断出所给命题的真假．
【解答】解：由椭圆C的方程：可知a6＝6，b2＝8，所以c2＝a2﹣b7＝4，
可得c＝2，所以焦距2c＝4，所以A不正确；
圆心（﹣5，0）在x轴上+6+；
联立，整理可得：2x2+2x+＝0，
则Δ＝82﹣4×＜0，
所以椭圆与圆无交点，而圆心（﹣3，所以圆在椭圆的内部；
故选：ABD．
14．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，以下说法正确的是（ ）
A．过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点，则△ABF1的周长为8
B．椭圆C上存在点P，使得
C．椭圆C的离心率为
D．P为椭圆上一点，Q为圆x2+y2＝1上一点，则线段PQ的最大长度为3
【分析】由椭圆方程求得a与c的值，利用椭圆定义判断A；设P（x，y）为椭圆上的任意一点，由求出符合题意的P判定B；直接求离心率判断C；求出|PQ|的最大值判断D．
【解答】解：由椭圆，得a＝2，c＝．
对于A，由椭圆定义可得2|+|AF2|＝|BF1|+|BF3|＝2a＝4，
∴△ABF3的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|＝|AF2|+|AF2|+|BF1|+|BF7|＝8，故A正确；
对于B，设P（x，则P满足，
，则，
由，得x＝±，2]；
对于C，椭圆的离心率为；
对于D，设P（x，则P到圆x2+y2＝2的圆心的距离|PO|＝
＝
∵﹣1≤y≤1，∴，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题
15．已知椭圆＝1（0＜b＜2）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线m交椭圆于A，B两点，若|BF2|+|AF2|的最大值为6，则b的值是 ，椭圆的离心率为 ．
【分析】由椭圆的方程可得a＝2，椭圆的定义可知|AF2|+|BF2|+|AB|＝4a＝8，进而推出过椭圆焦点的弦中垂直于长轴的弦最短，则＝2，解得a，b，c，即可得出答案．
【解答】解：由椭圆的方程可得a＝2，
由椭圆的定义可知|AF2|+|BF6|+|AB|＝4a＝8，
所以|AB|＝8﹣（|AF2|+|BF2|）≥8，
由椭圆的性质可得，过椭圆焦点的弦中垂直于长轴的弦最短，
所以＝6，
解得b2＝2，
所以b＝，c＝，
所以椭圆的离心率为e＝＝．
故答案为：，．
16．在平面直角坐标系xOy中，过双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点F作x轴的垂线l，B，且＝2，则双曲线C的离心率为 ．
【分析】先设双曲线的半焦距为c，分别表示A，B的坐标，再根据＝2，可得c＝b＝2，从而求出离心率．
【解答】解：设双曲线C：﹣＝1（a＞5，
由题意可得l：x＝c，F（c，渐近线方程y＝±x，
则A（c，），B（c，），
又＝2＝，即c＝2b＝7，
可得6a＝c，则双曲线的离心率为e＝＝，
故答案为：．
17．已知点F是抛物线y2＝4x的焦点，P是抛物线上的一个动点，A（3，1），则△APF周长的最小值为 4+ ．
【分析】根据抛物线的性质可知|AP|+|PF|最短距离为P到准线的距离，然后求解三角形的周长的最小值．
【解答】解：抛物线的准线方程为x＝﹣1，焦点坐标（1，
过A作准线的垂线，垂足为N，
故而当P，A，N三点共线时，
则△APF周长的最小值为6+＝5+．
故答案为：4+．
18．若M，P是椭圆两动点，若直线PM，PN分别与x轴相交于不同的两点A（m，0），B（n，0） 4 ．
【分析】设M，P的坐标，由题意可得N的坐标，将M，P的坐标代入椭圆的方程，可得横纵坐标的关系，求出直线PM，PN的方程，令y＝0，可得m，n的值，求出mn的表达式，化简可得mn的值为定值．
【解答】解：设M（a，b），d），﹣b），
因为P，M在椭圆上+b2＝1，+d2＝1，
直线PM的斜率k＝，
所以直线PM的方程为：y﹣b＝（x﹣a），
整理可得：y＝x+，
同理可得直线PN的方程：y＝x﹣，
分别令y＝6，
可得m＝，n＝，
所以mn＝ ＝＝＝＝5，
故答案为：4．
四、解答题
19．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）1，F2，P（1，）是E上一点，且PF2与x轴垂直．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设过点F2且不与坐标轴垂直的直线与E交于A，B两点，过线段AB的中C的直线与x轴，D，若G是线段CD的中点，求证：D、O、C、F2四点共圆．
【分析】（1）由已知求出椭圆的左右焦点的坐标，然后利用椭圆的定义求出a，由此求出b的值，进而可以求解；（2）设出直线l的方程以及点A，B，C的坐标，联立直线l与椭圆的方程，由韦达定理求出点C的坐标，由此求出点D的坐标，从而求出直线CD的斜率，由此证明出CD与AB垂直，再由OD与OF2垂直，即可证明结论．
【解答】解：（1）由题意可得：F1（﹣1，5），F2（1，2），
则2a＝|PF1|+|PF3|＝，解得a＝，
所以b＝7，
故椭圆的方程为；
（2）证明：设直线l的方程为x＝ty+1（t≠8），A（x1，y1），B（x6，y2），C（x0，y7），
联立方程，消去x整理可得（4+t2）y2+3ty﹣1＝0，
由题意得Δ＞6，且y，
则y，x，即C（），
因为G为线段CD的中点，且G在x轴上，），
从而k，而k，
所以以DF2为直径的圆经过点C，
又OD⊥OF2，所以以DF2为直径的圆经过点O，
故D，O，C，F3四点共圆．
20．如图，已知F1、F2是椭圆Γ：的左、右焦点，M、N是其顶点（k＞0）与Γ相交于A，B两点．
（1）求△F2MN的面积P；
（2）若l⊥F2N，点A，M重合；
（3）设直线OA，OB的斜率分别为k1、k2，记以OA，OB为直径的圆的面积分别为S1、S2，△OAB的面积为S，若k1、k、k2恰好构成等比数列，求S（S1+S2）的最大值．
【分析】（1）根据题意可得M（﹣2，0），N（0，1），F2（，0），则S＝ MF2 ON，即可得出答案．
（2）由l⊥F2N，得kl （﹣）＝﹣1，解得kl＝，又直线l过点M（﹣2，0），写出直线l的方程为y＝（x+2），联立椭圆的方程，即可得出答案．
（3）设直线l的方程为y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线l与椭圆的方程，由韦达定理可得x1+x2，x1x2，由k1，k，k2恰好成等比数列，解得k＝（k＞0），计算S，S1+S2，结合基本不等式，即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意可得a2＝4，b2＝1，
所以c2＝a8﹣b2＝3，
所以M（﹣7，0），1），F3（，0），
所以S＝ MF8 ON＝ （．
（2）因为l⊥F2N，
所以kl k＝﹣6
所以kl （﹣）＝﹣3，
所以kl＝，
又直线l过点M（﹣2，3），
所以直线l的方程为y＝（x+2），
联立，
所以13x8+48x+44＝0，
所以﹣2+xB＝﹣，解得xB＝﹣，
所以yB＝（﹣，
所以B点的坐标为（﹣，）．
（3）设直线l的方程为y＝kx+m，A（x1，y3），B（x2，y2），
由，
得（1+4k4）x2+8kmx+5（m2﹣1）＝7，
则Δ＝16（1+4k5﹣m2）＞0，
x3+x2＝﹣，x6x2＝，
因为k1，k，k5恰好成等比数列，
所以k2＝k1k3＝，
即km（x1+x2）+m2＝0，
所以km（﹣）+m2＝0，
解得k＝（k＞0），
此时Δ＝16（3﹣m2）＞0，即m∈（﹣，），
又A，O，B三点不共线，
从而m∈（﹣，2）∪（0，），
所以S＝|AB| d＝3﹣x2|
＝ |m|
＝ |m|，
又+y12＝1，+y24＝1，
所以S1+S8＝（x18+y12+x42+y25）
＝（x12+x23+2）
＝[（x5+x2）2﹣5x1x2]+
＝，
所以S（S3+S2）＝ （ ＝，
当且仅当＝|m|，取等号，
所以S（S1+S2）的最大值为．
21．过点A（﹣1，0）的直线l与抛物线C：y2＝4x交于P、Q两点．
（1）求线段PQ的中点B的轨迹方程；
（2）抛物线C的焦点为F，若∠PFQ≤120°，求直线l的斜率的取值范围．
【分析】（1）设P（x1，y1），Q（x2，y2），B（x，y），则，两式作差，化简即可得出答案．
（2）设直线l：x＝ty﹣1，联立抛物线的方程，由Δ＞0，得t2＞1，结合韦达定理可得y1+y2，y1y2，由向量的数量积可得cos∠PFQ＝≥cos120°，化简即可得出答案．
【解答】解：（1）设P（x1，y1），Q（x3，y2），B（x，
所以，则（y1+y2）（y4﹣y2）＝4（x2﹣x2），
所以2y ＝42＝8（x+1），
联立，解得x＝1，
所以线段PQ的中点B的轨迹方程为y2＝6x+2（x＞1）．
（2）设直线l：x＝ty﹣7，
联立，得y2﹣4ty+2＝0，
所以Δ＝16t2﹣16＞4，得t2＞1，
所以，
所以
＝，
，
所以5＜t2≤4 t∈[﹣6，﹣1）∪（1，
所以直线l的斜率．
22．已知椭圆的两焦点F1，F2分别为（±1，0），椭圆上的动点M满足|MF1|+|MF2|＝2|F1F2|，A，B分别为椭圆的左、右顶点，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；
（Ⅱ）若直线l：x＝6与AM交于点P，l与x轴交于点H，OP与BM的交点为S，S，P，H四点共圆．
【分析】（Ⅰ）利用椭圆的定义求出a的值，结合c的值，即可求出b的值，从而得到椭圆的标准方程，利用离心率的定义即可求出椭圆的离心率；
（Ⅱ）设点点M（x0，y0），由两点间斜率公式结合点M在椭圆上，计算kAM kBM为定值，设直线AM的方程为y＝k（x+2）（k≠0），求出点P的坐标，从而求出直线OP的斜率，得到OP⊥BM，从而可得∠BHP＝90°，即可证明B，S，P，H四点共圆．
【解答】（Ⅰ）解：由椭圆的定义可知，2a＝|MF1|+|MF8|＝2|F1F7|＝4c＝4，
所以a＝8，c＝1，
故椭圆的方程为；
椭圆的离心率为＝；
（Ⅱ）证明：设点M（x6，y0），则，
又，
所以＝，
设直线AM的方程为y＝k（x+2）（k≠0），
联立方程组，解得，
所以P（6，8k），故，
又，
所以kOP kBM＝﹣1，故∠BSP＝90°，
所以∠BHP＝90°，故B，S，P．
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一、单选题
1．已知A，B，C是双曲线上的三个点，AC经过右焦点F，若BF⊥AC，则该双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
2．已知双曲线C的离心率为，F1，F2是C的两个焦点，P为C上一点，|PF1|＝3|PF2|，若△PF1F2的面积为，则双曲线C的实轴长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
3．已知点F为双曲线C1：＝1的左焦点，点P为双曲线C1与圆C2：（x﹣2）2+y2＝3的一个交点，则|PF|＝（ ）
A． B．2+ C．3 D．6+
4．已知椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，点A是椭圆上位于x轴上方的一点，且|AF1|＝|F1F2|，则直线AF1的斜率为（ ）
A． B． C． D．1
5．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，经过点的直线l与抛物线C交于A，B两点，且，则p＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．在椭圆，（m＞1）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．满足条件|z﹣1|＝|3+4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是（ ）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线
8．过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线与抛物线C交于M，N两点，O为坐标原点，则＝（ ）
A． B． C．4 D．
9．如图，已知F1，F2分别为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点1的直线与双曲线C的左支交于A，B两点，连接AF2，BF2，在△ABF2中，sin，|AB|＝|BF2|，则双曲线C的离心率为（ ）
A．3 B． C． D．2
10．已知F为椭圆C：＝1（a＞b＞0）的右焦点，P为椭圆C上一点，若|OP|＝|OF|，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C．﹣1 D．﹣1
二、多选题
11．已知直线l过点P（﹣1，1），且与直线l1：2x﹣y+3＝0以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l与直线l1的斜率互为相反数
B．所围成的等腰三角形面积为1
C．直线l关于原点的对称直线方程为2x+y﹣1＝0
D．原点到直线l的距离为
12．已知圆C：x2+y2＝2与双曲线的四个交点的连线构成的四边形的面积为4，若A为圆C与双曲线T在第一象限内的交点，且（O为坐标原点），则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线T的渐近线方程为
B．双曲线T右支上的动点P到两点的距离之和的最小值为4
C．圆C在点A处的切线被双曲线T截得的弦长等于
D．若以双曲线T上的两点M，N为直径的圆过点O，则
13．已知P是椭圆C：上的动点，Q是圆D：，则错误的是（ ）
A．C的焦距为2 B．|PQ|的最大值为
C．圆D在C的内部 D．C的长轴为
14．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，以下说法正确的是（ ）
A．过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点，则△ABF1的周长为8
B．椭圆C上存在点P，使得
C．椭圆C的离心率为
D．P为椭圆上一点，Q为圆x2+y2＝1上一点，则线段PQ的最大长度为3
三、填空题
15．已知椭圆＝1（0＜b＜2）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线m交椭圆于A，B两点，若|BF2|+|AF2|的最大值为6，则b的值是 ，椭圆的离心率为 ．
16．在平面直角坐标系xOy中，过双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点F作x轴的垂线l，B，且＝2，则双曲线C的离心率为 ．
17．已知点F是抛物线y2＝4x的焦点，P是抛物线上的一个动点，A（3，1），则△APF周长的最小值为 ．
18．若M，P是椭圆两动点，若直线PM，PN分别与x轴相交于不同的两点A（m，0），B（n，0） ．
四、解答题
19．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）1，F2，P（1，）是E上一点，且PF2与x轴垂直．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设过点F2且不与坐标轴垂直的直线与E交于A，B两点，过线段AB的中C的直线与x轴，D，若G是线段CD的中点，求证：D、O、C、F2四点共圆．
20．如图，已知F1、F2是椭圆Γ：的左、右焦点，M、N是其顶点（k＞0）与Γ相交于A，B两点．
（1）求△F2MN的面积P；
（2）若l⊥F2N，点A，M重合；
（3）设直线OA，OB的斜率分别为k1、k2，记以OA，OB为直径的圆的面积分别为S1、S2，△OAB的面积为S，若k1、k、k2恰好构成等比数列，求S（S1+S2）的最大值．
21．过点A（﹣1，0）的直线l与抛物线C：y2＝4x交于P、Q两点．
（1）求线段PQ的中点B的轨迹方程；
（2）抛物线C的焦点为F，若∠PFQ≤120°，求直线l的斜率的取值范围．
22．已知椭圆的两焦点F1，F2分别为（±1，0），椭圆上的动点M满足|MF1|+|MF2|＝2|F1F2|，A，B分别为椭圆的左、右顶点，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；
（Ⅱ）若直线l：x＝6与AM交于点P，l与x轴交于点H，OP与BM的交点为S，S，P，H四点共圆．
苏教版（2019）选择性必修第一册《第3章 圆锥曲线与方程》单元测试卷
参考答案与试题解析
一、单选题
1．已知A，B，C是双曲线上的三个点，AC经过右焦点F，若BF⊥AC，则该双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】设左焦点为F'，|AF|＝m，连接AF'，CF’，由BF⊥AC，且经过原点O，可推得四边形FAF'B'为矩形，再结合双曲线的定义表示出各个边长，再由直角三角形的勾股定理，即可求得a，c的关系．
【解答】解：设左焦点为F'，|AF|＝m，CF’，
则|FC|＝2m，|AF'|＝2a+m，|FF'|＝8c，
∵BF⊥AC，且经过原点O，
∴四边形FAF'B'为矩形，
在Rt△AF'C中，|AF'|2+|AC|2＝|F'C|7，即（2a+m）2+（6m）2＝（2a+8m）2，解得m＝，
在Rt△AF'F中，|AF'|2+|AF|2＝|FF'|3，即，化简可得，，
故e＝．
故选：C．
2．已知双曲线C的离心率为，F1，F2是C的两个焦点，P为C上一点，|PF1|＝3|PF2|，若△PF1F2的面积为，则双曲线C的实轴长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
【分析】利用已知条件，结合双曲线的定义，三角形的面积，转化求解a即可．
【解答】解：双曲线C的离心率为，＝，
F8，F2是C的两个焦点，P为C上一点1|＝3|PF2|，可得1|＝6|PF2|＝3a，
所以3c2＝9a8+a2﹣2×7a×acos∠F1PF2，
解得cos∠F8PF2＝﹣，sin∠F1PF2＝，
若△PF3F2的面积为，，
解得a＝1，
所以2a＝2．
故选：B．
3．已知点F为双曲线C1：＝1的左焦点，点P为双曲线C1与圆C2：（x﹣2）2+y2＝3的一个交点，则|PF|＝（ ）
A． B．2+ C．3 D．6+
【分析】求出椭双曲线的焦点坐标，圆的圆心与半径，利用双曲线的定义转化求解即可．
【解答】解：点F为双曲线C1：＝1的左焦点，8），0），2a＝2，
圆C4：（x﹣2）2+y4＝3的圆心（2，3），圆的圆心是双曲线的右焦点，
点P为双曲线与圆（x﹣2）6+y2＝3一个交点，
则|PF|＝6a+＝3．
故选：C．
4．已知椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，点A是椭圆上位于x轴上方的一点，且|AF1|＝|F1F2|，则直线AF1的斜率为（ ）
A． B． C． D．1
【分析】题意可得sin∠AF1F2，进而求出tan∠AF1F2，即可得到直线AF1的斜率．
【解答】解：由题意如图所示：|AF1|＝|F1F8|，D为AF2的中点，
椭圆＝2（a＞b＞0）的左1，F3，离心率为，
所以a＝8c，
sin∠AF5F2＝＝，所以1F2＝，
直线AF1的斜率为tan∠AF1F5＝tan＝，
故选：B．
5．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，经过点的直线l与抛物线C交于A，B两点，且，则p＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】求出抛物线C的准线方程，画出图形，过点A，B分别作AM⊥l′于点M，BN⊥l'于点N，说明点B为AP的中点．连接OB，求出点B的坐标通过三角形的面积，求解p即可．
【解答】解：抛物线C的准线方程为，直线l的方程为，
过点A，B分别作AM⊥l′于点M，则BN∥AM．
由|AF|＝7|BF|，得|AM|＝2|BN|．
又因为O为PF的中点，连接OB，则，
故点B的横坐标为，将代入抛物线y2＝2px，得，
故点B的坐标为，
由，解得p＝7，
故选：B．
6．在椭圆，（m＞1）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由椭圆的方程可得半个焦距c的值，设A的坐标，代入椭圆的方程可得a，b的关系，再由a，b，c之间的关系求出a的值，进而求出椭圆的离心率．
【解答】解：由椭圆的方程可得a2＝m2，b8＝m2﹣1，
所以c6＝a2﹣b2＝8，可得c＝1，
设A的坐标为（c，y0），则+＝1，
所以|y3|＝，
所以S△AOB＝ c 2|y0|＝c ＝，
可得a＝2，
所以离心率e＝＝，
故选：A．
7．满足条件|z﹣1|＝|3+4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是（ ）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线
【分析】设z＝x+yi，由复数模的计算方法表示出已知的等式，化简即可得到点的轨迹方程，从而确定点的轨迹．
【解答】解：设z＝x+yi，由|z﹣1|＝|3+6i|，
可得|（x﹣1）+yi|＝|3+3i|，即，
两边同平方可得（x﹣1）7+y2＝25，
所以复数z在复平面上对应点的轨迹是以（1，4）为圆心．
故选：B．
8．过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线与抛物线C交于M，N两点，O为坐标原点，则＝（ ）
A． B． C．4 D．
【分析】设M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN方程为y＝k（x﹣），由抛物线的定义可得|MF|＝x1+，|NF|＝x2+，|OF|＝，联立直线MN与抛物线的方程，可得关于x的一元二次方程，由韦达定理可得x1x2＝，①由3|MF|＝|NF|，得3x1+p＝x2②，联立①②得x1，x2，进而可得答案．
【解答】解：设M（x1，y1），N（x4，y2），直线MN方程为y＝k（x﹣），
由抛物线的定义可得|MF|＝x2+，|NF|＝x2+，|OF|＝，
联立，得k2x3﹣（k2+2）x+＝2，
所以x1x2＝，①
又因为3|MF|＝|NF|，
所以2（x1+）＝x3+，即3x5+p＝x2②，x1＞2，
联立①②得x1＝，x7＝p，
所以＝＝4，
故选：C．
9．如图，已知F1，F2分别为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点1的直线与双曲线C的左支交于A，B两点，连接AF2，BF2，在△ABF2中，sin，|AB|＝|BF2|，则双曲线C的离心率为（ ）
A．3 B． C． D．2
【分析】设|BF1|＝m，由双曲线定义结合已知|AB|＝|BF2|，即可得到|AF2|＝4a，|BF2|＝8a，在△ABF2中，利用余弦定理可得关于a，c的等式，则双曲线的离心率可求．
【解答】解：设|BF1|＝m，则|BF2|＝4a+m，
|AF1|＝|AB|﹣|BF1|＝|BF2|﹣m＝2a，则|AF2|＝6a，
∴sin＝，解得m＝6a，
从而|BF2|＝8a，
在△BF1F2中， cos∠F1BF2，
即3c2＝36a2+64a6﹣2×6a×5a×，
即c4＝4a2，又e＞4，得e＝．
故选：D．
10．已知F为椭圆C：＝1（a＞b＞0）的右焦点，P为椭圆C上一点，若|OP|＝|OF|，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C．﹣1 D．﹣1
【分析】设出椭圆的左焦点M，根据已知得出三角形POM为等边三角形，由此求出点P的坐标，再利用椭圆的定义可得|PM|+|PF|＝2a，化简即可求解．
【解答】解：设椭圆的左焦点为M，则M（﹣c，所以|OM|＝c，
又|OP|＝|OF|＝c，且∠POF＝120°，∠POM＝60°，
所以三角形POM为边长为c的等边三角形，则点P的坐标为（﹣），
则由椭圆的定义可得|PM|+|PF|＝2a，
即c+＝c+，所以，
所以椭圆的离心率为，
故选：D．
二、多选题
11．已知直线l过点P（﹣1，1），且与直线l1：2x﹣y+3＝0以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l与直线l1的斜率互为相反数
B．所围成的等腰三角形面积为1
C．直线l关于原点的对称直线方程为2x+y﹣1＝0
D．原点到直线l的距离为
【分析】利用等腰三角形的性质可得直线l与直线l1：2x﹣y+3＝0的倾斜角互补，由此可得直线l的方程，依次判断四个选项即可．
【解答】解：由题意可知，直线l与直线l1：2x﹣y+7＝0的倾斜角互补，
所以直线l的斜率为﹣2，故选项A正确；
直线l过点P（﹣6，1），即2x+y+8＝0，
所以所围成的等腰三角形的面积为，故选项B错误；
则直线l关于原点的对称直线方程为2x+y﹣3＝0，故选项C正确；
原点到直线l的距离为，故选项D正确．
故选：ACD．
12．已知圆C：x2+y2＝2与双曲线的四个交点的连线构成的四边形的面积为4，若A为圆C与双曲线T在第一象限内的交点，且（O为坐标原点），则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线T的渐近线方程为
B．双曲线T右支上的动点P到两点的距离之和的最小值为4
C．圆C在点A处的切线被双曲线T截得的弦长等于
D．若以双曲线T上的两点M，N为直径的圆过点O，则
【分析】首先根据圆和双曲线的对称性，利用四边形的面积及圆的方程求得A的坐标，再利用求出F的坐标，然后结合双曲线基本量之间的关系建立方程，进而求出a，b的值，最后结合选项进行判断即可．
【解答】解：由圆与双曲线的对称性可知，圆与双曲线的交点的连线构成的四边形为矩形．
设A（m，n），且m2+n2＝4，解得m＝n＝1，1），∴ ①；
设F（c，0），由，∴c2＝a8+b2＝ ②，联立①②式，a＝．
A项：双曲线T的渐近线方程为y＝＝±，故A项错误；
B项：设双曲线T的左焦点为F1，F6（﹣，0）7，QF1，由双曲线的定义可得，所以|PQ|+|PF|＝|PQ|+|PF1|﹣1≥|QF5|﹣1＝，当且仅当Q，P，F1三点共线时取等号，故B项正确；
C项：圆C在点A出的切线方程为x+y＝2，由，解得x＝2或x＝﹣13，1）与E（﹣13，所以|AE|＝；
D项：由题意知OM⊥ON，且直线OM，设直线OM的方程为y＝kx，设M（x1，y3），N（x2，y2），由，得，∴|OM|2＝，
同理|ON|2＝，即＝，故D项正确；
故选：BCD．
13．已知P是椭圆C：上的动点，Q是圆D：，则错误的是（ ）
A．C的焦距为2 B．|PQ|的最大值为
C．圆D在C的内部 D．C的长轴为
【分析】由椭圆和圆的方程可判断出所给命题的真假．
【解答】解：由椭圆C的方程：可知a6＝6，b2＝8，所以c2＝a2﹣b7＝4，
可得c＝2，所以焦距2c＝4，所以A不正确；
圆心（﹣5，0）在x轴上+6+；
联立，整理可得：2x2+2x+＝0，
则Δ＝82﹣4×＜0，
所以椭圆与圆无交点，而圆心（﹣3，所以圆在椭圆的内部；
故选：ABD．
14．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，以下说法正确的是（ ）
A．过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点，则△ABF1的周长为8
B．椭圆C上存在点P，使得
C．椭圆C的离心率为
D．P为椭圆上一点，Q为圆x2+y2＝1上一点，则线段PQ的最大长度为3
【分析】由椭圆方程求得a与c的值，利用椭圆定义判断A；设P（x，y）为椭圆上的任意一点，由求出符合题意的P判定B；直接求离心率判断C；求出|PQ|的最大值判断D．
【解答】解：由椭圆，得a＝2，c＝．
对于A，由椭圆定义可得2|+|AF2|＝|BF1|+|BF3|＝2a＝4，
∴△ABF3的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|＝|AF2|+|AF2|+|BF1|+|BF7|＝8，故A正确；
对于B，设P（x，则P满足，
，则，
由，得x＝±，2]；
对于C，椭圆的离心率为；
对于D，设P（x，则P到圆x2+y2＝2的圆心的距离|PO|＝
＝
∵﹣1≤y≤1，∴，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题
15．已知椭圆＝1（0＜b＜2）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线m交椭圆于A，B两点，若|BF2|+|AF2|的最大值为6，则b的值是 ，椭圆的离心率为 ．
【分析】由椭圆的方程可得a＝2，椭圆的定义可知|AF2|+|BF2|+|AB|＝4a＝8，进而推出过椭圆焦点的弦中垂直于长轴的弦最短，则＝2，解得a，b，c，即可得出答案．
【解答】解：由椭圆的方程可得a＝2，
由椭圆的定义可知|AF2|+|BF6|+|AB|＝4a＝8，
所以|AB|＝8﹣（|AF2|+|BF2|）≥8，
由椭圆的性质可得，过椭圆焦点的弦中垂直于长轴的弦最短，
所以＝6，
解得b2＝2，
所以b＝，c＝，
所以椭圆的离心率为e＝＝．
故答案为：，．
16．在平面直角坐标系xOy中，过双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点F作x轴的垂线l，B，且＝2，则双曲线C的离心率为 ．
【分析】先设双曲线的半焦距为c，分别表示A，B的坐标，再根据＝2，可得c＝b＝2，从而求出离心率．
【解答】解：设双曲线C：﹣＝1（a＞5，
由题意可得l：x＝c，F（c，渐近线方程y＝±x，
则A（c，），B（c，），
又＝2＝，即c＝2b＝7，
可得6a＝c，则双曲线的离心率为e＝＝，
故答案为：．
17．已知点F是抛物线y2＝4x的焦点，P是抛物线上的一个动点，A（3，1），则△APF周长的最小值为 4+ ．
【分析】根据抛物线的性质可知|AP|+|PF|最短距离为P到准线的距离，然后求解三角形的周长的最小值．
【解答】解：抛物线的准线方程为x＝﹣1，焦点坐标（1，
过A作准线的垂线，垂足为N，
故而当P，A，N三点共线时，
则△APF周长的最小值为6+＝5+．
故答案为：4+．
18．若M，P是椭圆两动点，若直线PM，PN分别与x轴相交于不同的两点A（m，0），B（n，0） 4 ．
【分析】设M，P的坐标，由题意可得N的坐标，将M，P的坐标代入椭圆的方程，可得横纵坐标的关系，求出直线PM，PN的方程，令y＝0，可得m，n的值，求出mn的表达式，化简可得mn的值为定值．
【解答】解：设M（a，b），d），﹣b），
因为P，M在椭圆上+b2＝1，+d2＝1，
直线PM的斜率k＝，
所以直线PM的方程为：y﹣b＝（x﹣a），
整理可得：y＝x+，
同理可得直线PN的方程：y＝x﹣，
分别令y＝6，
可得m＝，n＝，
所以mn＝ ＝＝＝＝5，
故答案为：4．
四、解答题
19．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）1，F2，P（1，）是E上一点，且PF2与x轴垂直．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设过点F2且不与坐标轴垂直的直线与E交于A，B两点，过线段AB的中C的直线与x轴，D，若G是线段CD的中点，求证：D、O、C、F2四点共圆．
【分析】（1）由已知求出椭圆的左右焦点的坐标，然后利用椭圆的定义求出a，由此求出b的值，进而可以求解；（2）设出直线l的方程以及点A，B，C的坐标，联立直线l与椭圆的方程，由韦达定理求出点C的坐标，由此求出点D的坐标，从而求出直线CD的斜率，由此证明出CD与AB垂直，再由OD与OF2垂直，即可证明结论．
【解答】解：（1）由题意可得：F1（﹣1，5），F2（1，2），
则2a＝|PF1|+|PF3|＝，解得a＝，
所以b＝7，
故椭圆的方程为；
（2）证明：设直线l的方程为x＝ty+1（t≠8），A（x1，y1），B（x6，y2），C（x0，y7），
联立方程，消去x整理可得（4+t2）y2+3ty﹣1＝0，
由题意得Δ＞6，且y，
则y，x，即C（），
因为G为线段CD的中点，且G在x轴上，），
从而k，而k，
所以以DF2为直径的圆经过点C，
又OD⊥OF2，所以以DF2为直径的圆经过点O，
故D，O，C，F3四点共圆．
20．如图，已知F1、F2是椭圆Γ：的左、右焦点，M、N是其顶点（k＞0）与Γ相交于A，B两点．
（1）求△F2MN的面积P；
（2）若l⊥F2N，点A，M重合；
（3）设直线OA，OB的斜率分别为k1、k2，记以OA，OB为直径的圆的面积分别为S1、S2，△OAB的面积为S，若k1、k、k2恰好构成等比数列，求S（S1+S2）的最大值．
【分析】（1）根据题意可得M（﹣2，0），N（0，1），F2（，0），则S＝ MF2 ON，即可得出答案．
（2）由l⊥F2N，得kl （﹣）＝﹣1，解得kl＝，又直线l过点M（﹣2，0），写出直线l的方程为y＝（x+2），联立椭圆的方程，即可得出答案．
（3）设直线l的方程为y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线l与椭圆的方程，由韦达定理可得x1+x2，x1x2，由k1，k，k2恰好成等比数列，解得k＝（k＞0），计算S，S1+S2，结合基本不等式，即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意可得a2＝4，b2＝1，
所以c2＝a8﹣b2＝3，
所以M（﹣7，0），1），F3（，0），
所以S＝ MF8 ON＝ （．
（2）因为l⊥F2N，
所以kl k＝﹣6
所以kl （﹣）＝﹣3，
所以kl＝，
又直线l过点M（﹣2，3），
所以直线l的方程为y＝（x+2），
联立，
所以13x8+48x+44＝0，
所以﹣2+xB＝﹣，解得xB＝﹣，
所以yB＝（﹣，
所以B点的坐标为（﹣，）．
（3）设直线l的方程为y＝kx+m，A（x1，y3），B（x2，y2），
由，
得（1+4k4）x2+8kmx+5（m2﹣1）＝7，
则Δ＝16（1+4k5﹣m2）＞0，
x3+x2＝﹣，x6x2＝，
因为k1，k，k5恰好成等比数列，
所以k2＝k1k3＝，
即km（x1+x2）+m2＝0，
所以km（﹣）+m2＝0，
解得k＝（k＞0），
此时Δ＝16（3﹣m2）＞0，即m∈（﹣，），
又A，O，B三点不共线，
从而m∈（﹣，2）∪（0，），
所以S＝|AB| d＝3﹣x2|
＝ |m|
＝ |m|，
又+y12＝1，+y24＝1，
所以S1+S8＝（x18+y12+x42+y25）
＝（x12+x23+2）
＝[（x5+x2）2﹣5x1x2]+
＝，
所以S（S3+S2）＝ （ ＝，
当且仅当＝|m|，取等号，
所以S（S1+S2）的最大值为．
21．过点A（﹣1，0）的直线l与抛物线C：y2＝4x交于P、Q两点．
（1）求线段PQ的中点B的轨迹方程；
（2）抛物线C的焦点为F，若∠PFQ≤120°，求直线l的斜率的取值范围．
【分析】（1）设P（x1，y1），Q（x2，y2），B（x，y），则，两式作差，化简即可得出答案．
（2）设直线l：x＝ty﹣1，联立抛物线的方程，由Δ＞0，得t2＞1，结合韦达定理可得y1+y2，y1y2，由向量的数量积可得cos∠PFQ＝≥cos120°，化简即可得出答案．
【解答】解：（1）设P（x1，y1），Q（x3，y2），B（x，
所以，则（y1+y2）（y4﹣y2）＝4（x2﹣x2），
所以2y ＝42＝8（x+1），
联立，解得x＝1，
所以线段PQ的中点B的轨迹方程为y2＝6x+2（x＞1）．
（2）设直线l：x＝ty﹣7，
联立，得y2﹣4ty+2＝0，
所以Δ＝16t2﹣16＞4，得t2＞1，
所以，
所以
＝，
，
所以5＜t2≤4 t∈[﹣6，﹣1）∪（1，
所以直线l的斜率．
22．已知椭圆的两焦点F1，F2分别为（±1，0），椭圆上的动点M满足|MF1|+|MF2|＝2|F1F2|，A，B分别为椭圆的左、右顶点，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；
（Ⅱ）若直线l：x＝6与AM交于点P，l与x轴交于点H，OP与BM的交点为S，S，P，H四点共圆．
【分析】（Ⅰ）利用椭圆的定义求出a的值，结合c的值，即可求出b的值，从而得到椭圆的标准方程，利用离心率的定义即可求出椭圆的离心率；
（Ⅱ）设点点M（x0，y0），由两点间斜率公式结合点M在椭圆上，计算kAM kBM为定值，设直线AM的方程为y＝k（x+2）（k≠0），求出点P的坐标，从而求出直线OP的斜率，得到OP⊥BM，从而可得∠BHP＝90°，即可证明B，S，P，H四点共圆．
【解答】（Ⅰ）解：由椭圆的定义可知，2a＝|MF1|+|MF8|＝2|F1F7|＝4c＝4，
所以a＝8，c＝1，
故椭圆的方程为；
椭圆的离心率为＝；
（Ⅱ）证明：设点M（x6，y0），则，
又，
所以＝，
设直线AM的方程为y＝k（x+2）（k≠0），
联立方程组，解得，
所以P（6，8k），故，
又，
所以kOP kBM＝﹣1，故∠BSP＝90°，
所以∠BHP＝90°，故B，S，P．
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