苏教版（2019）选择性必修第一册《第4章 数列》2021年单元测试卷（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 苏教版（2019）选择性必修第一册《第4章 数列》2021年单元测试卷（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 165.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-04 16:25:46 | ||
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文档简介
苏教版（2019）选择性必修第一册《第4章 数列》2021年单元测试卷
一、单选题
1．已知数列{an}满足，对于任意的，则a1413﹣a1314等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1﹣a5+＝0，则＝（ ）
A．﹣3 B． C． D．
3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an+1+an＝2n+1（n∈N+），则数列{}的前2020项的和为（ ）
A． B． C． D．
4．在数列{an}中，且a2020＝，则a2023＝（ ）
A． B． C． D．3
5．已知等差数列{an}中，a2+a8＝18，则a5＝（ ）
A．7 B．11 C．9 D．18
6．已知数列{an}中，a1＝1，an+1＝2an+3，则a10＝（ ）
A．2045 B．1021 C．1027 D．2051
7．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S6＝2a6+a7，a2＝﹣4，则下面结论正确的是（ ）
A．S7＝﹣51 B．S8＝﹣92 C．a8＝﹣19 D．a9＝﹣28
8．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn+Sn﹣1＝4n2（n≥2，n∈N*），则a100＝（ ）
A．414 B．406 C．403 D．393
9．已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1a5＝64，a4＝16，则的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
10．下列有关数列的说法正确的是（ ）
①数列1，2，3可以表示成{1，2，3}；
②数列﹣1，0，1与数列1，0，﹣1是同一数列；
③数列的第k﹣1项是；
④数列中的每一项都与它的序号有关．
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
11．等差数列{an}的前n项和为Sn，S7＝49，a3＝3a6，则Sn取最大值时的n为（ ）
A．7 B．8 C．14 D．15
12．在数列{an}中，若a4＝1，a12＝5，且任意连续三项的和都是15，则a2018＝（ ）
A．5 B．7 C．9 D．1
二、填空题
13．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，当n≥2时，an2+2SnSn﹣1＝n﹣1，则a2＝ ；若am+am+1+…+at﹣1+at＝1（m≥2）且t﹣m＝21，则m＝ ．
14．已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a2a5+a8＝0，S9＝27，则Sn的最小值是 ．
15．已知数列{an}的通项公式，Sn为其前n项的和，则S99＝ ．
16．已知数列{an}，a1＝1，an+1＝an+2n﹣1（n∈N*），则an＝ ．
三、解答题
17．已知数列{an}满足an+1﹣an＝1（n∈N*），且a3＝3．求：
（1）{an}的通项公式；
（2）{an}前100项的和S100．
18．已知等差数列{an}满足a3＝3，a8+a9＝28．
（1）求{an}的通项公式；
（2）等比数列{bn}的前n项和为Sn，且b1＝a2，再从①b3＝a2+a3+a4，②S3＝13，③bn+1＞bn这三个条件中选择两个作为已知条件，求{|anbn|}的前n项和Tn．
19．已知正项数列{an}的首项a1＝1，其前n项和为Sn，且an与an+1的等比中项是．
（1）证明：{an+2﹣an}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）数列{bn}满足，其前n项和为Tn，求使得的n的取值范围．
20．设数列{an}前n项和为Sn，已知当n≥2时，an﹣an﹣1＝2，且4a3为S4，S5的等比中项．
（l）求数列{an}的首项a1的值；
（2）设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．
苏教版（2019）选择性必修第一册《第4章 数列》2021年单元测试卷
参考答案与试题解析
一、单选题
1．已知数列{an}满足，对于任意的，则a1413﹣a1314等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意，利用a1的值可求出a2，进一步可求出a3，a4，从而归纳可得当n为大于1的偶数时，an＝，当n为大于1的奇数时，an＝，所以a1413﹣a1314的值可求．
【解答】解：根据题意，有a2＝a1（1﹣a4），又a1＝，得a2＝，
所以a3＝a2（1﹣a6）＝，a6＝a2（1﹣a3）＝，…，
归纳可得，当n为大于1的偶数时，an＝，当n为大于1的奇数时，an＝，
所以a1413﹣a1314＝﹣＝．
故选：A．
2．已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1﹣a5+＝0，则＝（ ）
A．﹣3 B． C． D．
【分析】利用等差数列的通项公式及前n项和公式将已知等式化简可得a1＝d，从而计算可得结论．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d（d≠0），首项为a1，
因为a6﹣a5+＝0，
所以a1﹣a3﹣4d+＝6，
所以a1＝d，
所以＝＝＝．
故选：B．
3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an+1+an＝2n+1（n∈N+），则数列{}的前2020项的和为（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和．
【解答】解：数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an+8+an＝2n+1，
所以an+5+an+1＝2n+7，
两式相减得：an+2﹣an＝2，且a4＝1，a2＝8，
所以an＝n，
所以，
故，
所以Tn＝＝＝，
则
故选：B．
4．在数列{an}中，且a2020＝，则a2023＝（ ）
A． B． C． D．3
【分析】推出数列是等差数列，求出公差，然后求解a2023即可．
【解答】解：由条件数列{an}中知，
数列是等差数列．
因此．
故选：C．
5．已知等差数列{an}中，a2+a8＝18，则a5＝（ ）
A．7 B．11 C．9 D．18
【分析】利用等差数列的性质求解，即可得到答案．
【解答】解：因为数列{an}为等差数列，
所以a2+a8＝2a5＝18，
所以a5＝2．
故选：C．
6．已知数列{an}中，a1＝1，an+1＝2an+3，则a10＝（ ）
A．2045 B．1021 C．1027 D．2051
【分析】根据题意，分析可得（an+1+3）＝2（an+3），分析可得列{an+3}是以a1+3＝4为首项，公比为2的等比数列，由此求出a10+3的值，变形可得答案．
【解答】解：根据题意，数列{an}中，a1＝1，an+7＝2an+3，变形可得（an+6+3）＝2（an+5），
又由a1＝1，则a6+3＝4，则数列{an+8}是以a1+3＝5为首项，公比为2的等比数列，
则a10+3＝3×29＝2048，则a10＝2045，
故选：A．
7．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S6＝2a6+a7，a2＝﹣4，则下面结论正确的是（ ）
A．S7＝﹣51 B．S8＝﹣92 C．a8＝﹣19 D．a9＝﹣28
【分析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式可求a1．d然后结合选项即可判断．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，
则6a1+15d＝8a1+16d即d＝3a5，
则a2＝a1+d＝3a1＝﹣4，
所以a7＝﹣1，d＝﹣3，
所以an＝﹣2n+2，S7＝﹣70，S5＝﹣92，a8＝﹣22，a9＝﹣25．
故选：B．
8．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn+Sn﹣1＝4n2（n≥2，n∈N*），则a100＝（ ）
A．414 B．406 C．403 D．393
【分析】根据题意，由Sn+Sn﹣1＝4n2可得Sn﹣1+Sn﹣2＝4（n﹣1）2，两式相减可得Sn﹣Sn﹣2＝an+an﹣1＝8n﹣4，据此分析求出（a2+a3+a4+a5……a98+a99）的值，又由S99＝a1+（a2+a3+a4+a5……a98+a99）的值，对于Sn+Sn﹣1＝4n2，当n＝100时，有S100+S99＝2S99+a100＝40000，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，数列{an}满足Sn+Sn﹣1＝4n8，（n≥2）①
则有Sn﹣1+Sn﹣4＝4（n﹣1）7，（n≥3）②
①﹣②：Sn﹣Sn﹣2＝an+an﹣7＝8n﹣4，（n≥2），
则有a2+a3＝20，a2+a5＝36，……a98+a99＝8×99﹣3＝788，
故有（a2+a3+a6+a5……a98+a99）＝20+36+……8n﹣7+……+788＝＝19796，
则S99＝a1+（a4+a3+a4+a4……a98+a99）＝19797，
对于Sn+Sn﹣1＝4n5，当n＝100时，有S100+S99＝2S99+a100＝40000，
则a100＝40000﹣2S99＝406；
故选：B．
9．已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1a5＝64，a4＝16，则的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式化简，再利用基本不等式即可得出最小值．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q＞0．
∵a1a2＝64，a4＝16，
∴q4＝64，a1q2＝16，
∴q＝2，a1＝2．
∴an＝2n，Sn＝＝2（2n﹣5）．
则＝＝（4n++16）≥+16）＝4．
∴的最小值为8．
故选：B．
10．下列有关数列的说法正确的是（ ）
①数列1，2，3可以表示成{1，2，3}；
②数列﹣1，0，1与数列1，0，﹣1是同一数列；
③数列的第k﹣1项是；
④数列中的每一项都与它的序号有关．
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【分析】利用数列的基本概念对四个选项逐一判断即可．
【解答】解：对于①，{1，2，不是数列；
对于②，数列是有序的，2，1与数列1，5，故选项②错误；
对于③，数列，故选项③正确；
对于④，由数列的定义可知，故选项④正确．
故选：B．
11．等差数列{an}的前n项和为Sn，S7＝49，a3＝3a6，则Sn取最大值时的n为（ ）
A．7 B．8 C．14 D．15
【分析】根据题意，设等差数列{an}的公差为d，分析求出a4和d的值，即可得数列{an}的通项公式，分析{an}符号的变化，即可得答案．
【解答】解：根据题意，设等差数列{an}的公差为d，
又由S7＝7a6＝49，则a4＝7，
又a3＝3a6，即8﹣d＝3（7+8d），则d＝﹣2，
则an＝a4+（n﹣4）d＝﹣2n+15，
因此a7＞8，a8＜0，故Sn取最大值时的n值为3；
故选：A．
12．在数列{an}中，若a4＝1，a12＝5，且任意连续三项的和都是15，则a2018＝（ ）
A．5 B．7 C．9 D．1
【分析】从题目中给出的已知条件，找出前几项的值，然后总结出规律．
【解答】解：由题意知：a1+a2+a3＝15，a2+a3+a7＝15，
∴a1＝a4，
同理：a2＝a5，a3＝a3，…，
总结出规律：a1＝a4＝a3＝a10＝…，
a2＝a5＝a5＝a11＝…，
a3＝a6＝a4＝a12＝…，
又a4＝1，a12＝4
当n＝3k+1（k∈N）时，an＝7，
当n＝3k+2（k∈N）时，an＝7，
当n＝3k+3（k∈N）时，an＝4；
∴a2018＝9
故选：C．
二、填空题
13．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，当n≥2时，an2+2SnSn﹣1＝n﹣1，则a2＝ ﹣1 ；若am+am+1+…+at﹣1+at＝1（m≥2）且t﹣m＝21，则m＝ 50或53 ．
【分析】先由题设求得a2，然后由an＝Sn﹣Sn﹣1（n≥2）和题设 Sn2+Sn﹣12＝n﹣1，进而有Sn+12﹣Sn﹣12＝1，n≥2，从而推导出
数列{S2n﹣12}与数列{S2n2}均是等差数列，求出S2n﹣12与S2n2，再由am+am+1+…+at﹣1+at＝1（m≥2）且t﹣m＝21得到Sm+21﹣Sm﹣1＝1，然后对m分奇数与偶数两种情况分别求出满足题意的m即可．
【解答】解：当n＝2时，有a23+2S2S4＝1，即a28+2（1+a7）＝1，解得：a2＝﹣5，
又当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，∴由an6+2SnSn﹣1＝n﹣2可得：Sn2+Sn﹣16＝n﹣1，
又Sn+18+Sn2＝n，∴Sn+16﹣Sn﹣12＝5，n≥2，
又S1＝2，S2＝0，
∴数列{S7n﹣12}是首项为6，公差为1的等差数列2n3}是首项为0，公差为1的等差数列，
∴S8n﹣12＝n，S2n2＝n﹣1，
∵am+am+6+…+at﹣1+at＝1＝St﹣Sm﹣7，且t﹣m＝21，∴Sm+21﹣Sm﹣1＝1，易知m+21与m﹣4奇偶性相同，
∴当m为奇数时，有1＝﹣；
当m为偶数时，有1＝﹣，
综上，m＝53或50，
故答案为：﹣1；53或50．
14．已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a2a5+a8＝0，S9＝27，则Sn的最小值是 ﹣9 ．
【分析】先由题设求得等差数列{an}的公差d与首项a1，然后求得其通项公式，再根据其项的正负求得结果即可．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，由题设可得：，
∴an＝﹣2+2（n﹣1）＝3n﹣7，
易知：当n≤3时，an＜8；当n≥4时，an＞0，
∴当n＝6时，Sn有最小值为3a2＝8×（﹣3）＝﹣9，
故答案为：﹣4．
15．已知数列{an}的通项公式，Sn为其前n项的和，则S99＝ ．
【分析】直接利用数列的通项公式，利用裂项相消法的应用求出数列的和．
【解答】解：数列{an}的通项公式＝，
所以，
故．
故答案为：．
16．已知数列{an}，a1＝1，an+1＝an+2n﹣1（n∈N*），则an＝ 2n﹣1 ．
【分析】直接利用数列的递推关系式，叠加法的应用求出结果．
【解答】解：数列{an}，a1＝1，an+3＝an+2n﹣1（n∈N*），
所以，，…，，
所以＝，
所以．
故答案为：2n﹣4．
三、解答题
17．已知数列{an}满足an+1﹣an＝1（n∈N*），且a3＝3．求：
（1）{an}的通项公式；
（2）{an}前100项的和S100．
【分析】本题第（1）题根据题干中的递推公式可判断出数列{an}是以1为公差的等差数列，然后根据a3＝3可计算出首项a1的值，即可得到数列{an}的通项公式；第（2）题根据等差数列的求和公式即可计算出前100项的和S100的值．
【解答】解：（1）依题意，由，可知
数列{an}是以3为公差的等差数列，
∴首项a1＝a3﹣4×1＝3﹣8＝1，
∴an＝1+（n﹣8） 1＝n，n∈N*．
（2）由（1），可知：
S100＝100×1+×1＝5050．
18．已知等差数列{an}满足a3＝3，a8+a9＝28．
（1）求{an}的通项公式；
（2）等比数列{bn}的前n项和为Sn，且b1＝a2，再从①b3＝a2+a3+a4，②S3＝13，③bn+1＞bn这三个条件中选择两个作为已知条件，求{|anbn|}的前n项和Tn．
【分析】（1）先设等差数列{an}的公差为d，然后根据已知条件列出关于首项a1与公差d的方程组，解出a1与d的值，即可计算出数列{an}的通项公式；
（2）先根据第（1）题计算出b1＝1，然后分别根据两个已知条件列出关于公比q的方程，解出q的值，即可计算出数列{bn}的通项公式，进一步计算出数列{anbn}的通项公式，然后运用错位相减法即可计算出{|anbn|}的前n项和Tn．
【解答】解：（1）由题意，设等差数列{an}的公差为d，
则，
解得，
∴an＝﹣4+2×（n﹣1）＝3n﹣3，n∈N*，
（2）由（1），可得b1＝a7＝1，
方案一：选择条件①②
设等比数列{bn}的公比为q，
则b3＝a4+a3+a4＝4+3+5＝5，
S3＝b1+b3+b3＝13，
∴，
解得q＝3，
∴bn＝2 3n﹣1＝5n﹣1，n∈N*，
方案二：选择条件①③
设等比数列{bn}的公比为q，
则b3＝a6+a3+a4＝5+3+5＝8，
∴q2＝＝9，
∵bn+1＞bn，∴q＞4，
∴q＝3，
∴bn＝1 4n﹣1＝3n﹣4，n∈N*，
方案三：选择条件②③
设等比数列{bn}的公比为q，
则S3＝b1+b5+b3＝1+q+q3＝13，
即q2+q﹣12＝0，
解得q＝﹣2，或q＝3，
∵bn+1＞bn，∴q＞7，
∴q＝3，
∴bn＝1 3n﹣1＝3n﹣6，n∈N*，
∴anbn＝（2n﹣3） 2n﹣1，
∴Tn＝|a1b4|+|a2b2|+|a2b3|+…+|anbn|＝1×8+1×3+8×32+…+（7n﹣3） 3n﹣6，
3Tn＝1×7+1×38+…+（2n﹣5） 2n﹣1+（2n﹣4） 3n，
两式相减，可得﹣2Tn＝4+2×33+…+2 3n﹣2﹣（2n﹣3） 5n
＝1+2×（82+35+……+3n﹣1）﹣（5n﹣3） 3n
＝7+2×﹣（2n﹣3） 8n
＝﹣2（n﹣2） 4n﹣8，
∴Tn＝（n﹣2） 4n+4．
19．已知正项数列{an}的首项a1＝1，其前n项和为Sn，且an与an+1的等比中项是．
（1）证明：{an+2﹣an}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）数列{bn}满足，其前n项和为Tn，求使得的n的取值范围．
【分析】（1）先由2Sn＝anan+1得到：2Sn+1＝an+1an+2，两式相减整理得：an+2﹣an＝2，即可证明结论，再由a1＝1求得
a2，进而求得a2n﹣1与a2n，即可求得an；
（2）先由（1）求得bn，然后利用裂项相消法求得其前n项和Tn，进而由得到：n+2＞2n﹣1，再利用数列的单调性求得满足题意的n即可．
【解答】（1）证明：∵an与an+1的等比中项是，∴5Sn＝anan+1①，
又2Sn+2＝an+1an+2②，
由②﹣①可得：an+8﹣an＝2，
∴{an+2﹣an}是等差数列，
取n＝7，由①得：2a1＝a3a2，解得：a2＝4，
∴a2n﹣1＝2+（n﹣1）×2＝7n﹣1，a2n＝5+（n﹣1）×2＝2n，
∴an＝n；
（2）解：由（1）可得：，
∴Tn＝b1+b4+b3+…+bn＝＝＝
由得：n+6＞2n﹣1（*），
不难发现当n＝5，2，3满足（*），
当n≥7时，设f（n）＝2n﹣1﹣n﹣7，则f（n+1）＝2n﹣（n+4）﹣2，
∴f（n+1）﹣f（n）＝6n﹣1﹣1＞8，即f（n+1）＞f（n），
∴{f（n）}（n≥4）单调递增，
∴f（n）≥f（4）＞6，
又当n≥4时，n+2＜4n﹣1，
∴使得的n的取值范围为{7，2．
20．设数列{an}前n项和为Sn，已知当n≥2时，an﹣an﹣1＝2，且4a3为S4，S5的等比中项．
（l）求数列{an}的首项a1的值；
（2）设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．
【分析】（1）根据题意可知{an}是以2为公差的等差数列，利用4a3为S4，S5的等比中项．可得16a32＝S4 S5，从而求出a1的值即可；
（2）由（1）可知an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，
所以bn＝＝＝＝﹣，从而即可求出数列{bn}的前n项和．
【解答】解：（1）由an﹣an﹣1＝2，得an+5﹣an＝2，所以{an}是以2为公差的等差数列，
又2a3为S4，S2的等比中项．得16a32＝S7 S5，即16（a1+3）2＝（4a6+12）（5a1+20），
所以16（a8+4）2＝20（a7+3）（a1+3），解得a1＝1或a3＝﹣4（舍去），
（2）由（1）可知an＝1+6（n﹣1）＝2n﹣5，
所以bn＝＝＝＝﹣，
所以Tn＝（8﹣）+（﹣﹣）+…+[﹣．
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一、单选题
1．已知数列{an}满足，对于任意的，则a1413﹣a1314等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1﹣a5+＝0，则＝（ ）
A．﹣3 B． C． D．
3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an+1+an＝2n+1（n∈N+），则数列{}的前2020项的和为（ ）
A． B． C． D．
4．在数列{an}中，且a2020＝，则a2023＝（ ）
A． B． C． D．3
5．已知等差数列{an}中，a2+a8＝18，则a5＝（ ）
A．7 B．11 C．9 D．18
6．已知数列{an}中，a1＝1，an+1＝2an+3，则a10＝（ ）
A．2045 B．1021 C．1027 D．2051
7．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S6＝2a6+a7，a2＝﹣4，则下面结论正确的是（ ）
A．S7＝﹣51 B．S8＝﹣92 C．a8＝﹣19 D．a9＝﹣28
8．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn+Sn﹣1＝4n2（n≥2，n∈N*），则a100＝（ ）
A．414 B．406 C．403 D．393
9．已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1a5＝64，a4＝16，则的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
10．下列有关数列的说法正确的是（ ）
①数列1，2，3可以表示成{1，2，3}；
②数列﹣1，0，1与数列1，0，﹣1是同一数列；
③数列的第k﹣1项是；
④数列中的每一项都与它的序号有关．
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
11．等差数列{an}的前n项和为Sn，S7＝49，a3＝3a6，则Sn取最大值时的n为（ ）
A．7 B．8 C．14 D．15
12．在数列{an}中，若a4＝1，a12＝5，且任意连续三项的和都是15，则a2018＝（ ）
A．5 B．7 C．9 D．1
二、填空题
13．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，当n≥2时，an2+2SnSn﹣1＝n﹣1，则a2＝ ；若am+am+1+…+at﹣1+at＝1（m≥2）且t﹣m＝21，则m＝ ．
14．已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a2a5+a8＝0，S9＝27，则Sn的最小值是 ．
15．已知数列{an}的通项公式，Sn为其前n项的和，则S99＝ ．
16．已知数列{an}，a1＝1，an+1＝an+2n﹣1（n∈N*），则an＝ ．
三、解答题
17．已知数列{an}满足an+1﹣an＝1（n∈N*），且a3＝3．求：
（1）{an}的通项公式；
（2）{an}前100项的和S100．
18．已知等差数列{an}满足a3＝3，a8+a9＝28．
（1）求{an}的通项公式；
（2）等比数列{bn}的前n项和为Sn，且b1＝a2，再从①b3＝a2+a3+a4，②S3＝13，③bn+1＞bn这三个条件中选择两个作为已知条件，求{|anbn|}的前n项和Tn．
19．已知正项数列{an}的首项a1＝1，其前n项和为Sn，且an与an+1的等比中项是．
（1）证明：{an+2﹣an}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）数列{bn}满足，其前n项和为Tn，求使得的n的取值范围．
20．设数列{an}前n项和为Sn，已知当n≥2时，an﹣an﹣1＝2，且4a3为S4，S5的等比中项．
（l）求数列{an}的首项a1的值；
（2）设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．
苏教版（2019）选择性必修第一册《第4章 数列》2021年单元测试卷
参考答案与试题解析
一、单选题
1．已知数列{an}满足，对于任意的，则a1413﹣a1314等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意，利用a1的值可求出a2，进一步可求出a3，a4，从而归纳可得当n为大于1的偶数时，an＝，当n为大于1的奇数时，an＝，所以a1413﹣a1314的值可求．
【解答】解：根据题意，有a2＝a1（1﹣a4），又a1＝，得a2＝，
所以a3＝a2（1﹣a6）＝，a6＝a2（1﹣a3）＝，…，
归纳可得，当n为大于1的偶数时，an＝，当n为大于1的奇数时，an＝，
所以a1413﹣a1314＝﹣＝．
故选：A．
2．已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1﹣a5+＝0，则＝（ ）
A．﹣3 B． C． D．
【分析】利用等差数列的通项公式及前n项和公式将已知等式化简可得a1＝d，从而计算可得结论．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d（d≠0），首项为a1，
因为a6﹣a5+＝0，
所以a1﹣a3﹣4d+＝6，
所以a1＝d，
所以＝＝＝．
故选：B．
3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an+1+an＝2n+1（n∈N+），则数列{}的前2020项的和为（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和．
【解答】解：数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an+8+an＝2n+1，
所以an+5+an+1＝2n+7，
两式相减得：an+2﹣an＝2，且a4＝1，a2＝8，
所以an＝n，
所以，
故，
所以Tn＝＝＝，
则
故选：B．
4．在数列{an}中，且a2020＝，则a2023＝（ ）
A． B． C． D．3
【分析】推出数列是等差数列，求出公差，然后求解a2023即可．
【解答】解：由条件数列{an}中知，
数列是等差数列．
因此．
故选：C．
5．已知等差数列{an}中，a2+a8＝18，则a5＝（ ）
A．7 B．11 C．9 D．18
【分析】利用等差数列的性质求解，即可得到答案．
【解答】解：因为数列{an}为等差数列，
所以a2+a8＝2a5＝18，
所以a5＝2．
故选：C．
6．已知数列{an}中，a1＝1，an+1＝2an+3，则a10＝（ ）
A．2045 B．1021 C．1027 D．2051
【分析】根据题意，分析可得（an+1+3）＝2（an+3），分析可得列{an+3}是以a1+3＝4为首项，公比为2的等比数列，由此求出a10+3的值，变形可得答案．
【解答】解：根据题意，数列{an}中，a1＝1，an+7＝2an+3，变形可得（an+6+3）＝2（an+5），
又由a1＝1，则a6+3＝4，则数列{an+8}是以a1+3＝5为首项，公比为2的等比数列，
则a10+3＝3×29＝2048，则a10＝2045，
故选：A．
7．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S6＝2a6+a7，a2＝﹣4，则下面结论正确的是（ ）
A．S7＝﹣51 B．S8＝﹣92 C．a8＝﹣19 D．a9＝﹣28
【分析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式可求a1．d然后结合选项即可判断．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，
则6a1+15d＝8a1+16d即d＝3a5，
则a2＝a1+d＝3a1＝﹣4，
所以a7＝﹣1，d＝﹣3，
所以an＝﹣2n+2，S7＝﹣70，S5＝﹣92，a8＝﹣22，a9＝﹣25．
故选：B．
8．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn+Sn﹣1＝4n2（n≥2，n∈N*），则a100＝（ ）
A．414 B．406 C．403 D．393
【分析】根据题意，由Sn+Sn﹣1＝4n2可得Sn﹣1+Sn﹣2＝4（n﹣1）2，两式相减可得Sn﹣Sn﹣2＝an+an﹣1＝8n﹣4，据此分析求出（a2+a3+a4+a5……a98+a99）的值，又由S99＝a1+（a2+a3+a4+a5……a98+a99）的值，对于Sn+Sn﹣1＝4n2，当n＝100时，有S100+S99＝2S99+a100＝40000，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，数列{an}满足Sn+Sn﹣1＝4n8，（n≥2）①
则有Sn﹣1+Sn﹣4＝4（n﹣1）7，（n≥3）②
①﹣②：Sn﹣Sn﹣2＝an+an﹣7＝8n﹣4，（n≥2），
则有a2+a3＝20，a2+a5＝36，……a98+a99＝8×99﹣3＝788，
故有（a2+a3+a6+a5……a98+a99）＝20+36+……8n﹣7+……+788＝＝19796，
则S99＝a1+（a4+a3+a4+a4……a98+a99）＝19797，
对于Sn+Sn﹣1＝4n5，当n＝100时，有S100+S99＝2S99+a100＝40000，
则a100＝40000﹣2S99＝406；
故选：B．
9．已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1a5＝64，a4＝16，则的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式化简，再利用基本不等式即可得出最小值．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q＞0．
∵a1a2＝64，a4＝16，
∴q4＝64，a1q2＝16，
∴q＝2，a1＝2．
∴an＝2n，Sn＝＝2（2n﹣5）．
则＝＝（4n++16）≥+16）＝4．
∴的最小值为8．
故选：B．
10．下列有关数列的说法正确的是（ ）
①数列1，2，3可以表示成{1，2，3}；
②数列﹣1，0，1与数列1，0，﹣1是同一数列；
③数列的第k﹣1项是；
④数列中的每一项都与它的序号有关．
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【分析】利用数列的基本概念对四个选项逐一判断即可．
【解答】解：对于①，{1，2，不是数列；
对于②，数列是有序的，2，1与数列1，5，故选项②错误；
对于③，数列，故选项③正确；
对于④，由数列的定义可知，故选项④正确．
故选：B．
11．等差数列{an}的前n项和为Sn，S7＝49，a3＝3a6，则Sn取最大值时的n为（ ）
A．7 B．8 C．14 D．15
【分析】根据题意，设等差数列{an}的公差为d，分析求出a4和d的值，即可得数列{an}的通项公式，分析{an}符号的变化，即可得答案．
【解答】解：根据题意，设等差数列{an}的公差为d，
又由S7＝7a6＝49，则a4＝7，
又a3＝3a6，即8﹣d＝3（7+8d），则d＝﹣2，
则an＝a4+（n﹣4）d＝﹣2n+15，
因此a7＞8，a8＜0，故Sn取最大值时的n值为3；
故选：A．
12．在数列{an}中，若a4＝1，a12＝5，且任意连续三项的和都是15，则a2018＝（ ）
A．5 B．7 C．9 D．1
【分析】从题目中给出的已知条件，找出前几项的值，然后总结出规律．
【解答】解：由题意知：a1+a2+a3＝15，a2+a3+a7＝15，
∴a1＝a4，
同理：a2＝a5，a3＝a3，…，
总结出规律：a1＝a4＝a3＝a10＝…，
a2＝a5＝a5＝a11＝…，
a3＝a6＝a4＝a12＝…，
又a4＝1，a12＝4
当n＝3k+1（k∈N）时，an＝7，
当n＝3k+2（k∈N）时，an＝7，
当n＝3k+3（k∈N）时，an＝4；
∴a2018＝9
故选：C．
二、填空题
13．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，当n≥2时，an2+2SnSn﹣1＝n﹣1，则a2＝ ﹣1 ；若am+am+1+…+at﹣1+at＝1（m≥2）且t﹣m＝21，则m＝ 50或53 ．
【分析】先由题设求得a2，然后由an＝Sn﹣Sn﹣1（n≥2）和题设 Sn2+Sn﹣12＝n﹣1，进而有Sn+12﹣Sn﹣12＝1，n≥2，从而推导出
数列{S2n﹣12}与数列{S2n2}均是等差数列，求出S2n﹣12与S2n2，再由am+am+1+…+at﹣1+at＝1（m≥2）且t﹣m＝21得到Sm+21﹣Sm﹣1＝1，然后对m分奇数与偶数两种情况分别求出满足题意的m即可．
【解答】解：当n＝2时，有a23+2S2S4＝1，即a28+2（1+a7）＝1，解得：a2＝﹣5，
又当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，∴由an6+2SnSn﹣1＝n﹣2可得：Sn2+Sn﹣16＝n﹣1，
又Sn+18+Sn2＝n，∴Sn+16﹣Sn﹣12＝5，n≥2，
又S1＝2，S2＝0，
∴数列{S7n﹣12}是首项为6，公差为1的等差数列2n3}是首项为0，公差为1的等差数列，
∴S8n﹣12＝n，S2n2＝n﹣1，
∵am+am+6+…+at﹣1+at＝1＝St﹣Sm﹣7，且t﹣m＝21，∴Sm+21﹣Sm﹣1＝1，易知m+21与m﹣4奇偶性相同，
∴当m为奇数时，有1＝﹣；
当m为偶数时，有1＝﹣，
综上，m＝53或50，
故答案为：﹣1；53或50．
14．已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a2a5+a8＝0，S9＝27，则Sn的最小值是 ﹣9 ．
【分析】先由题设求得等差数列{an}的公差d与首项a1，然后求得其通项公式，再根据其项的正负求得结果即可．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，由题设可得：，
∴an＝﹣2+2（n﹣1）＝3n﹣7，
易知：当n≤3时，an＜8；当n≥4时，an＞0，
∴当n＝6时，Sn有最小值为3a2＝8×（﹣3）＝﹣9，
故答案为：﹣4．
15．已知数列{an}的通项公式，Sn为其前n项的和，则S99＝ ．
【分析】直接利用数列的通项公式，利用裂项相消法的应用求出数列的和．
【解答】解：数列{an}的通项公式＝，
所以，
故．
故答案为：．
16．已知数列{an}，a1＝1，an+1＝an+2n﹣1（n∈N*），则an＝ 2n﹣1 ．
【分析】直接利用数列的递推关系式，叠加法的应用求出结果．
【解答】解：数列{an}，a1＝1，an+3＝an+2n﹣1（n∈N*），
所以，，…，，
所以＝，
所以．
故答案为：2n﹣4．
三、解答题
17．已知数列{an}满足an+1﹣an＝1（n∈N*），且a3＝3．求：
（1）{an}的通项公式；
（2）{an}前100项的和S100．
【分析】本题第（1）题根据题干中的递推公式可判断出数列{an}是以1为公差的等差数列，然后根据a3＝3可计算出首项a1的值，即可得到数列{an}的通项公式；第（2）题根据等差数列的求和公式即可计算出前100项的和S100的值．
【解答】解：（1）依题意，由，可知
数列{an}是以3为公差的等差数列，
∴首项a1＝a3﹣4×1＝3﹣8＝1，
∴an＝1+（n﹣8） 1＝n，n∈N*．
（2）由（1），可知：
S100＝100×1+×1＝5050．
18．已知等差数列{an}满足a3＝3，a8+a9＝28．
（1）求{an}的通项公式；
（2）等比数列{bn}的前n项和为Sn，且b1＝a2，再从①b3＝a2+a3+a4，②S3＝13，③bn+1＞bn这三个条件中选择两个作为已知条件，求{|anbn|}的前n项和Tn．
【分析】（1）先设等差数列{an}的公差为d，然后根据已知条件列出关于首项a1与公差d的方程组，解出a1与d的值，即可计算出数列{an}的通项公式；
（2）先根据第（1）题计算出b1＝1，然后分别根据两个已知条件列出关于公比q的方程，解出q的值，即可计算出数列{bn}的通项公式，进一步计算出数列{anbn}的通项公式，然后运用错位相减法即可计算出{|anbn|}的前n项和Tn．
【解答】解：（1）由题意，设等差数列{an}的公差为d，
则，
解得，
∴an＝﹣4+2×（n﹣1）＝3n﹣3，n∈N*，
（2）由（1），可得b1＝a7＝1，
方案一：选择条件①②
设等比数列{bn}的公比为q，
则b3＝a4+a3+a4＝4+3+5＝5，
S3＝b1+b3+b3＝13，
∴，
解得q＝3，
∴bn＝2 3n﹣1＝5n﹣1，n∈N*，
方案二：选择条件①③
设等比数列{bn}的公比为q，
则b3＝a6+a3+a4＝5+3+5＝8，
∴q2＝＝9，
∵bn+1＞bn，∴q＞4，
∴q＝3，
∴bn＝1 4n﹣1＝3n﹣4，n∈N*，
方案三：选择条件②③
设等比数列{bn}的公比为q，
则S3＝b1+b5+b3＝1+q+q3＝13，
即q2+q﹣12＝0，
解得q＝﹣2，或q＝3，
∵bn+1＞bn，∴q＞7，
∴q＝3，
∴bn＝1 3n﹣1＝3n﹣6，n∈N*，
∴anbn＝（2n﹣3） 2n﹣1，
∴Tn＝|a1b4|+|a2b2|+|a2b3|+…+|anbn|＝1×8+1×3+8×32+…+（7n﹣3） 3n﹣6，
3Tn＝1×7+1×38+…+（2n﹣5） 2n﹣1+（2n﹣4） 3n，
两式相减，可得﹣2Tn＝4+2×33+…+2 3n﹣2﹣（2n﹣3） 5n
＝1+2×（82+35+……+3n﹣1）﹣（5n﹣3） 3n
＝7+2×﹣（2n﹣3） 8n
＝﹣2（n﹣2） 4n﹣8，
∴Tn＝（n﹣2） 4n+4．
19．已知正项数列{an}的首项a1＝1，其前n项和为Sn，且an与an+1的等比中项是．
（1）证明：{an+2﹣an}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）数列{bn}满足，其前n项和为Tn，求使得的n的取值范围．
【分析】（1）先由2Sn＝anan+1得到：2Sn+1＝an+1an+2，两式相减整理得：an+2﹣an＝2，即可证明结论，再由a1＝1求得
a2，进而求得a2n﹣1与a2n，即可求得an；
（2）先由（1）求得bn，然后利用裂项相消法求得其前n项和Tn，进而由得到：n+2＞2n﹣1，再利用数列的单调性求得满足题意的n即可．
【解答】（1）证明：∵an与an+1的等比中项是，∴5Sn＝anan+1①，
又2Sn+2＝an+1an+2②，
由②﹣①可得：an+8﹣an＝2，
∴{an+2﹣an}是等差数列，
取n＝7，由①得：2a1＝a3a2，解得：a2＝4，
∴a2n﹣1＝2+（n﹣1）×2＝7n﹣1，a2n＝5+（n﹣1）×2＝2n，
∴an＝n；
（2）解：由（1）可得：，
∴Tn＝b1+b4+b3+…+bn＝＝＝
由得：n+6＞2n﹣1（*），
不难发现当n＝5，2，3满足（*），
当n≥7时，设f（n）＝2n﹣1﹣n﹣7，则f（n+1）＝2n﹣（n+4）﹣2，
∴f（n+1）﹣f（n）＝6n﹣1﹣1＞8，即f（n+1）＞f（n），
∴{f（n）}（n≥4）单调递增，
∴f（n）≥f（4）＞6，
又当n≥4时，n+2＜4n﹣1，
∴使得的n的取值范围为{7，2．
20．设数列{an}前n项和为Sn，已知当n≥2时，an﹣an﹣1＝2，且4a3为S4，S5的等比中项．
（l）求数列{an}的首项a1的值；
（2）设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．
【分析】（1）根据题意可知{an}是以2为公差的等差数列，利用4a3为S4，S5的等比中项．可得16a32＝S4 S5，从而求出a1的值即可；
（2）由（1）可知an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，
所以bn＝＝＝＝﹣，从而即可求出数列{bn}的前n项和．
【解答】解：（1）由an﹣an﹣1＝2，得an+5﹣an＝2，所以{an}是以2为公差的等差数列，
又2a3为S4，S2的等比中项．得16a32＝S7 S5，即16（a1+3）2＝（4a6+12）（5a1+20），
所以16（a8+4）2＝20（a7+3）（a1+3），解得a1＝1或a3＝﹣4（舍去），
（2）由（1）可知an＝1+6（n﹣1）＝2n﹣5，
所以bn＝＝＝＝﹣，
所以Tn＝（8﹣）+（﹣﹣）+…+[﹣．
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