黑龙江省大庆市第四十四中学2021-2022学年九年级（五四学制）上学期期末考试数学试题（Word版含解析）

大庆市第44中学2021-2022学年（上）
初（四）期末 数学考试题
考生注意：1、考试时间120分钟； 2、全卷共28题，总分120分；
将全部的题都写在答题卡上面。
一、单选题(共30分)
1． 数π、、、、3.1416、中，无理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2． 如果|a+2|+（b—1）2=0 那么代数式（a+b）2022的值是（ ）
A．1 B．—1 C．±1 D．2021
3． 随着我国金融科技不断发展，网络消费、网上购物已成为人们生活不可或缺的一部分，今年“双十一”天猫成交额高达2684亿元．将数据“2684亿”用科学记数法表示（ ）
A． B． C． D．
4． 实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，若，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
5． 如下条形图、扇形图分别是甲、乙两户居民家庭全年支出费用的统计图．根据统计图，对两户“教育”支出占全年总支出的百分比所作出的判断中，正确的是（ ）
A．甲比乙多 B．乙比甲多 C．甲、乙一样多 D．无法确定哪一户多
6． 如图所示，两个几何体各由4个相同的小正方体搭成，比较两个几何体的三视图，可以得到的正确结论是（ ）
A．主视图不同
B．左视图不同
C．俯视图不同
D．主视图、左视图和俯视图都不相同
7． 反比例函数中，值满足方程，且当时，随的增大而减小，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
8． 如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，
向左转后又沿直线前进10米到达点C，再向左转
后沿直线前进10米到达点D……照这样走下去，小明第
一次回到出发点A时所走的路程为（ ）
A．100米 B．80米
C．60米 D．40米
9． 若不等式（3a－2）x＋2＜3的解集是x＜2，那么a必须满足( )
A．a＝ B．a＞ C．a＜ D．a＝－
10．二次函数（、、是常数，且）的自变量与函数值的部分对应值如下表：
… 0 1 2 …
… 2 2 …
且当时，对应的函数值．有以下结论：①；②；③关于的方程的负实数根在和0之间；④和在该二次函数的图象上，则当实数时，．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
二、填空题(共24分)
11． 在函数中，自变量x的取值范围是______．
12． 分解因式：a2b-18ab+81b＝_____．
13．圆柱的底面半径和高都扩大到2倍,它的体积扩大到原来的_____倍．
14． 两位同学玩“石头、剪子、布”游戏，随机出手一次，两人手势相同的概率是___．
15． 如图，以为圆心、为半径作扇形，线段恰好与以为直径的半圆弧相交，交点为弧的中点，若，则阴影部分图形的面积是______（结果保留）．
16． 如图，在△ABC中，，将△ABC绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为______．
17． 如图(1)是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图(2)，图(2)中共有5个三角形:再分别连接图(2)的中间小三角形三边的中点，得到图(3).按上面的方法继续下去，第20个图形中共有________个三角形.
17题图 18题图
18． 如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝15，P，Q分别是AB，AD边上的动点，PQ＝16，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为_______．
三、解答题(共66分)
19．(本题4分)计算：2tan60°＋（）-1－＋（π-4）0
20．(本题5分)先化简，再求值：其中a=3．
21．(本题4分)解方程：。
22．(本题6分)如图，某天我国一艘海监船巡航到港口正西方的处时，发现在的北偏东60°方向，相距150海里的处有一可疑船只正沿方向行驶，点在港口的北偏东30°方向上，海监船向港口发出指令，执法船立即从港口沿方向驶出，在处成功拦截可疑船只，此时点与点的距离为海里．
（1）求点到直线的距离．
（2）执法船从到航行了多少海里
23．(本题6分)八月底，八年级（1）班学生小颖对全班同学这一个多月来去石油大学图书馆的次数做了调查统计，将结果分为A、B、C、D、E五类，其中A表示“0次”、B类表示“1次”、C类表示“2次”、D类表示“3次”、E类表示“4次及以上”．并制成了如下不完整的条形统计和扇形统计图（如图所示）．
请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）填空：________；
（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中D类的扇形所占圆心角的度数；
（3）从全班去过该图书馆的同学中随机抽取1人，求恰好抽中去过“4次及以上”的同学的概率．
24．(本题8分)甲、乙两组工人同时加工某种零件，甲组在工作中有一段时间停产更新设备，更新设备后，甲组的工作效率是原来的2倍．乙组工作2小时后，由于部分工人离开，工作效率有所降低．两组各自加工零件的数量y（件）与时间x（小时）之间的函数图象如图所示．
（1）直接写出线段DE的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）求甲乙两组何时加工的零件数相同；
（3）若甲、乙两组加工的零件合在一起装箱，每320件装成一箱，零件装箱的时间忽略不计，直接写出经过多长时间恰好装满2箱．
25.(本题7分)如图，正方形中， ，点在边上，且，将沿翻折至，延长交边于点，连接、．
（1）求证：
（2）求的面积．
26．(本题8分)如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点的坐标为，点的坐标为．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）结合图象，直接写出不等式的解集；
（3）点为轴上一个动点，若 ，试求点的坐标．
27．(本题9分)如图,AB是☉O的直径,延长BA至点P,过点P作☉O的切线PC,切点为C,过点B向PC的延长线作垂线BE,交该延长线于点E,BE交☉O于点D,已知PA=1,PC=OC．
(1)求BE的长;
(2)连接DO,延长DO交☉O于F,连接PF,
①求DE的长;
②求证:PF是☉O的切线.
28．(本题9分)如图，已知抛物线的图象与x轴交于A（2，0）和
B（-8，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，在抛物线的对称轴上找一点P，使得的周长最小，请求出点F的坐标和点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点Q（0，m），使得△BFQ为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q的坐标；如果没有，请说明理由．
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参考答案
1．B
【分析】
先把化简得到结果2,在根据无理数是无限不循环小数，分析哪些是无理数即可.
【详解】
=2，是有理数，故这一组数中，无理数有π，共2个.
故答案为B.
【点睛】
本题考查了无理数的概念，无理数是无限不循环小数，注意带根号的数需要先化简再确定是否是无理数.
2．A
【分析】
根据绝对值及偶次幂的非负性进行求解a、b的值，然后代入求解即可．
【详解】
解：∵，
∴，
解得：，
∴；
故选A．
【点睛】
本题主要考查有理数的乘方及绝对值与偶次幂的非负性，熟练掌握有理数的乘方及绝对值与偶次幂的非负性是解题的关键．
3．B
【分析】
根据科学记数法的表示方法写出即可.
【详解】
解：2684亿=268400000000=.
故选：B.
【点睛】
此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．C
【分析】
根据，确定原点的位置，根据实数与数轴即可解答．
【详解】
解：∵，
∴原点在c，b的中间，
如图，
由图可得：a+b<0，b+c=0，a+c<0，ac＜0，
故选项C正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查了实数与数轴，解决本题的关键是确定原点的位置．
5．B
【分析】
根据条形统计图求得教育支出的具体数，进而求得甲居民家庭教育支出所占百分比，结合扇形统计图进行比较即可
【详解】
，
根据扇形统计图可知乙居民家庭教育支出所占百分比为，
乙比甲多，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
6．C
【分析】
根据几何体的三视图特征进行判断即可．
【详解】
解：观察两个几何体的三视图，
则知：主视图相同，左视图相同，俯视图不同，
故选项A、B、D错误，选项C正确，
故选：C．
【点睛】
本题考查几何体的三视图，理解三视图的意义是解答的关键．
7．A
【分析】
根据函数当x>0时，y随x的增大而增大可以判断k的符号，然后解方程求得k的值即可．
【详解】
解：
解方程得k=3或k= 1
当时，随的增大而减小，
k＞0
∴k=3
故答案为：A．
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质及解一元二次方程的知识，比较简单，属于基础题．
8．B
【分析】
根据题意，小明走过的路程是正多边形，先用360°除以45°求出边数，然后再乘以10米即可．
【详解】
解：∵小明每次都是沿直线前进10米后再向左转，
∴他走过的图形是正多边形，边数n=360°÷45°=8，
∴小明第一次回到出发点A时所走的路程=8×10=80米．
故选：B．
【点睛】
本题考查了正多边形外角问题的实际应用，根据题意判断小明走过的图形是正多边形是解题的关键．
9．A
【解析】
试题分析：先解出不等式，即可得到结果.
由（3a－2）x＋2＜3得（3a－2）x＜1，
而不等式（3a－2）x＋2＜3的解集是x＜2，
则，解得a＝，
故选A.
考点：本题考查的是解一元一次不等式
点评：解答本题的关键是熟练掌握化系数为1时，若未知数的系数为负，不等号的方向要改变.
10．B
【分析】
①将点（0，2）与点（1，2）代入解析式可得到a、b互为相反数，c=2，即可判断；
②将x=-1与x=2代入解析式得到m和n的表达式，再结合当时，对应的函数值，即可表示出m+n的取值范围；
③根据点（1，2）与当时，对应的函数值可知方程的正实数根在1和2之间，结合抛物线的对称性即可求出方程的负实数根的取值范围；
④分类讨论，当在抛物线的右侧时，的横坐标恒大于等于对称轴对应的x的值时必有，求出对应的t即可；当与在抛物线的异侧时，根据抛物线的性质当的横坐标到对称轴的距离小于到对称轴的距离时满足，求出对应的t即可.
【详解】
①将点（0，2）与点（1，2）代入解析式得：，则a、b互为相反数，∴，故①错误；
②∵a、b互为相反数，
∴将x=-1与x=2代入解析式得：，
则：，
∵当时，对应的函数值，
∴得：，即：，
∴.
故②正确；
③∵函数过点（1，2）且当时，对应的函数值，
∴方程的正实数根在1和 之间，
∵抛物线过点（0，2）与点（1，2），
∴结合抛物线的对称性可得抛物线的对称轴为直线，
∴结合抛物线的对称性可得关于的方程的负实数根在和0之间.
故③正确；
④∵函数过点（1，2）且当时，对应的函数值，
∴可以判断抛物线开口向下，
∵在抛物线的右侧时，恒在抛物线的右侧，此时恒成立，
∴的横坐标大于等于对称轴对应的x，即，解得时；
∵当与在抛物线的异侧时，根据抛物线的性质当的横坐标到对称轴的距离小于到对称轴的距离时满足，即当时，满足，
∴当时，解得，即与在抛物线的异侧时满足，，
∴综上当时，.
故④错误.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查二次函数的相关性质，解题的关键是能通过图表所给的点以及题目的信息来判断抛物线的开口方向以及对称轴，结合二次函数的图象的性质来解决对应的问题.
11．
【分析】
根据分母不为零和二次根式的非负性计算即可；
【详解】
根据题意可得：且，
∴；
故答案是：．
【点睛】
本题主要考查了函数自变量取值范围，准确计算是解题的关键．
12．b(a-9) 2．
【分析】
先提取公因式，再用完全平方公式分解即可．
【详解】
解：a2b-18ab+81b，
= b(a2-18a+81)
= b(a-9) 2．
故答案为：
【点睛】
本题考查了因式分解，解题关键是明确因式分解的顺序：先提取公因式，再用公式，并能熟练运用相关知识分解；注意：因式分解要彻底．
13．8
【分析】
圆柱的体积=底面积×高，设圆柱的底面半径为r，高为h，则扩大后的半径为2r，高为2h，分别求出变化前后的体积，即可求出体积扩大的倍数．
【详解】
设圆柱的底面半径为r，高为h，则扩大后的半径为2r，高为2h，
扩大前体积为：πr2h，
扩大后体积为：π（2r）2×2h=8πr2h，
体积扩大：8πr2h÷πr2h=8倍，
答：把一个圆柱的底面半径和高都扩大2倍，圆柱的体积就扩大8倍．
故答案为：8.
【点睛】
此题主要考查的是圆柱的体积计算方法．
14．
【分析】
用列表法即可解决．
【详解】
列表如下：
石头 剪子 布
石头 石头，石头 石头，剪子 石头，布
剪子 剪子，石头 剪子，剪子 剪子，布
布 布，石头 布，剪子 布，布
事件总的可能结果数为9，手势相同的有3种，则两人手势相同的概率是．
故答案为：
【点睛】
本题考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，根据概率计算公式，关键是由图或表中得到事件所有可能的结果数及事件发生的结果数．
15．
【分析】
连接DO，根据题意，可知∠DAO＝45°，∠DOA＝90°，再根据图形可知阴影部分的面积是扇形CAB的面积减去扇形BOD与△AOD的面积之和再加扇形AOD的面积减△AOD的面积，然后代入数据计算即可．
【详解】
解：连接DO，
∵线段AC交以AB为直径的半圆弧的中点D，AB＝2，
∴∠DAO＝45°，∠DOA＝90°，DO＝AO＝1，
∴阴影部分的面积是：（ -）＋（-）＝，
故答案为：．
【点睛】
本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确扇形面积的计算公式，利用数形结合的思想解答．
16．
【分析】
根据旋转可得，由已知条件，根据等边对等角可得，，根据三角形的外角性质可得，根据三角形内角和可得，根据即可求得的度数
【详解】
将绕点按逆时针方向旋转得到．
，
故答案为：
【点睛】
本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
17．77.
【分析】
由第一个图中1个三角形，第二个图中5个三角形，第三个图中9个三角形，每次递增4个，则不难得出其第n个图形中有（4n-3）个三角形，将n=20代入求解即可.
【详解】
由于每次三角形递增4个，第一个图形中共有1个，所以第n个图形中有 个三角形．当n=20时，有4×20-3=77个三角形
故填：77
【点睛】
本题考查探索与表达规律——图形变化类. 能够通过观察找出三角形的个数与序数之间的关系是解决此题的关键.
18．
【分析】
过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图，先利用勾股定理计算出BD＝25，则利用面积法可计算出AH＝12，再证明点O在AH上时，OH最短，此时HM有最大值，最大值为4，然后根据垂径定理可判断MN的最大值．
【详解】
解：过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
在Rt△ABD中，BD＝＝＝25，
∵×AH×BD＝×AD×AB，
∴AH＝＝12，
∵⊙O的直径为16，
∴⊙O的半径为8，
∴点O在AH上时，OH最短，
∵HM＝，
∴此时HM有最大值，OH＝AH﹣OA＝4，
则最大值为＝4，
∵OH⊥MN，
∴MN＝2MH，
∴MN的最大值为2×4＝8．
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，勾股定理，垂径定理，求得最小时，最大是解题的关键．
19．4
【分析】
先逐项化简，再合并同类二次根式和同类项即可．
【详解】
解：原式=
=4．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了实数的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值，负整数指数幂、零指数幂的意义，以及二次根式的性质是解答本题的关键．
20．－16
【分析】
先计算乘方、然后计算乘除、再计算加减运算，即可得到答案．
【详解】
解：原式＝
＝2＋（－18）
＝－16．
【点睛】
本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行解题．
21．（1），2；（2）x=-1
【分析】
（1）先计算括号里面的，再因式分解，然后将除法转化为乘法，约分即可．
（2）去掉分母，将分式方程转化为整式方程，求出解后再检验．
【详解】
解：（1）
=
=
=，
将a=3代入，
原式=2；
（2）
去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
系数化为1得：x=-1．
经检验：x=-1是原方程的解．
【点睛】
本题考查了分式的化简求值和解分式方程，解题的关键是掌握运算法则和解法．
22．（1）点到直线的距离是75海里；（2）执法船从到航行了海里．
【分析】
（1）过点作于点，根据含30°角的直角三角形性质，得到，据此解题；
（2）在中，利用勾股定理解得，在中，利用正切的定义解题即可．
【详解】
解：（1）过点作于点，如图．
由题意得：，，
，
，
答：点到直线的距离是75海里．
（2）在中，
，，
，
，
在中，，
，
，
答：执法船从到航行了海里．
【点睛】
本题考查解直角三角形，涉及含30°角的直角三角形、勾股定理、正切等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
23．（1）20；（2）图见解析；72°；（3）
【分析】
（1）先利用B类人数和它所占的百分比计算出调查的总人数，然后计算出D类人数所占的百分比即可得到a的值；
（2）先计算出C类人数，再补全条形统计图，然后用D类人数所占百分比乘以360°得到扇形统计图中D类的扇形所占圆心角的度数；
（3）利用E类人数除以总人数得到恰好抽中去过“4次及以上”的同学的概率．
【详解】
解：（1）调查的总人数为12÷24%＝50（人），
所以a%＝＝20%，即a＝20；
故答案为20；
（2）C类人数为50 8 12 10 4＝16（人），
条形统计图为：
扇形统计图中D类的扇形所占圆心角的度数为360°×20%＝72°；
（3）恰好抽中去过“4次及以上”的同学的概率＝．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
24．（1）y＝40x+20（2≤x≤9）；（2）5.5小时；（3）8小时
【分析】
（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）求出C点坐标，利用待定系数法求线段BC的函数关系式，根据线段DE，BC的函数解析式即可求解；
（3）假设经过x小时恰好装满2箱，甲组6.5小时加工的零件为300件,此时乙组加工的零件为40×6.5+20＝280，两组生产的不够两箱，甲组一共加工了6.5小时，要想装满两箱，乙应加工320×2﹣300＝340，进而列方程40x+20＝340求解即可．
【详解】
解：（1）由图象得：D（2，100），E（9，380），
设线段DE的解析式为：y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴y＝40x+20（2≤x≤9）；
（2）∵甲组的工作效率是原来的2倍，
∴C点纵坐标是：60÷2×2×（6.5﹣2.5）+60＝300，
∴C（6.5，300），
设线段BC的解析式为：，
∴，
解得：，
∴y＝60x﹣90（2.5≤x≤6.5），
由题意得：40x+20＝60x﹣90，
解得：x＝5.5，
答：甲乙两组5.5小时，加工的零件数相同；
（3）设经过x小时恰好装满二箱，
由图象得：甲组6.5小时加工的零件为300件，
乙组6.5小时加工的零件为40×6.5+20＝280（件），
∴此时不够装满2箱．
恰好装满2箱乙应加工320×2﹣300＝340（件），
40x+20＝340，
解得：x＝8，
答：经过8小时恰好装满2箱．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，正确获取图象信息，根据题意得出函数关系式以及数形结合是解题的关键．
25．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
【分析】
（1）由轴对称可以得出AF=AD，∠D=∠AFE=90°，得出∠AFG=90°，根据正方形的性质可以得出AF=AB，根据HL就可以判断△ABG≌△AFG．
（2）由条件可以求出ED的值，设FG=x，则BG=FG=x，CG=6-x，EG=x+2，由勾股定理可以求出x的值，从而可以求出BG和CG的值，得出结论．
（3）过点F作FN⊥CG于点N，可以得出∠FNG=∠DCG=90°，通过证明△GFN∽△GEC，得出，可以求出FN的值，最后利用三角形的面积公式可以求出其面积．
【详解】
（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∵将对折得到，
∴，，
∴
又∵，
∴
（2）证明： ∵，，
∴，，
∴，
设，
则， ，，
在直角三角形中，由勾股定理得，，
解得，
∴， ，
∴．
（3）过点作于点，
则，
又∵∠FGN=∠EGC，
∴，
∴，
∴，
∴FN＝，
∴S△CGF=CG FN＝××3＝．
【点睛】
此题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用及三角形面积公式的运用．解题关键在于注意全等三角形和相似三角形的对应顶点在对应的位置．
26．（1），；（2）或；（3）点的坐标为或
【分析】
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据可知反比例函数图象在一次函数图象上面，结合图象求解即可；
（3）设直线与轴的交点为，设点的坐标为，连接，，得到，再根据计算即可；
【详解】
解：（1） 把代入，得，
反比例函数解析式为，
把代入得，则，
把，代入得，解得，
一次函数解析式为；
（2）由图象可知，不等式的解集为或；
（3）设直线与轴的交点为，设点的坐标为，连接，，
则点的坐标为，
，
，
，
，
，
，，
点的坐标为或．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数与一次函数的图象综合，求反比例函数与一次函数的解析式，准确计算是解题的关键．
27．（1）BE=；（2）①DE=；②详见解析.
【分析】
（1）在直角△OPC中，利用勾股定理即可得到圆的半径长，然后利用相似三角形的性质求得BE的长；
（2）①证明△OBD是等边三角形，即可求得DE的长；
②首先证明△OPC≌△OPF，根据切线的判定定理即可证得．
【详解】
解:(1)设☉O的半径是r,则OP=PA+r=1+r,OC=r,PC=r.∵PC是圆的切线,∴∠PCO=90°,
∴在Rt△PCO中,PC2+OC2=OP2,
即(r)2+r2=(1+r)2,
解得:r=1或r=-(舍去负值).
在Rt△OPC中,cos∠POC==,
∴∠POC=60°,
∵∠PCO=90°,BE⊥PE,
∴BE∥OC,
∴△OPC∽△BPE,∠OBD=∠POC=60°,
∴==,
∴BE=OC=;
(2)①在△OBD中,OB=OD,∠OBD=60°,
∴△OBD是等边三角形,∴BD=OB=1,∠BOD=60°.
∴DE=BE-BD=-1=;
②证明:∵∠POF=∠BOD=60°,∠POC=60°,
∴∠POF=POC,
∵在△OPC和△OPF中,
∴△OPC≌△OPF(SAS),
∴∠OFP=∠OCP=90°,
∴PF是☉O的切线.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、切线的判定、三角函数的综合应用，利用勾股定理求得圆的半径是关键．
28．（1），（2），；（3）存在为或或或．
【分析】
（1）根据待定系数法解求出函数的解析式即可；
（2）设，将△BCF的面积用的式子表示出来，根据二次函数的性质解出点的坐标，再根据“将军饮马”模型确定点的坐标即可；
（3）分为①为底边；②为腰：（Ⅰ）：当当时，（Ⅱ）：当时，两种情况讨论，利用参数构建方程即可得解．
【详解】
解：（1）将A（2，0）、B（-8，0）代入解析式：
，解得，
；
（2）令，解得，
设，代入、两点，
解得，
设，
作垂直于轴交于如图1，
则，
，
是定值，
当取得最大值时，取得最大值，
，
当时，取得最大值，取得最大值，
，
作关于对称轴对称得到，
，
当、、共线时，有最小值，此时有最小值，
设，代入、，
解得，
又，
，
综上，；
（3）存在，理由如下：
①为底边，如图2
此时在的中垂线上，又在轴上，所以的中垂线与轴交点即为所求，
连接，，作垂直于轴，
，
设，则，，，
，即，
解得，
时满足题意；
②为腰如图2，
（Ⅰ）：当时，
设，则，
，
解得，
当时，为，
当时，为，
两点均满足题意，
（Ⅱ）：当时：
由图发现：，
在中垂线上，
，
满足题意，
由关于点对称得，
轴，
，
但此时、、三点共线，不合题意，
综上为或或或．
【点睛】
本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，线段和最值问题，等腰三角形的判定与性质；熟练地掌握二次函数的性质，会构建二次函数模型求最值，用参数构建方程，不重不漏的进行分类讨论是解决本题的关键；本题是常见中考压轴题，思维跨度较长，难度较大．
答案第11页，共22页
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