2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.1等比数列的概念 课件(共27张PPT)

(共27张PPT)
情景引入
拉面馆的师傅将一根很粗的面条，拉伸，捏合，再拉伸，再捏合，如此反复多次，就拉成了许多根细面条。试问经过7次拉伸后，你能写出每次拉伸后面条根数构成的数列吗？
数列 1， 2，4，8，16，32，64
情景引入
4.3.1 等比数列的概念
学习目标
1.理解等比数列及等比中项的概念.
2.掌握等比数列的通项公式，并能运用通项公式解决相关问题.
3.了解等比数列与函数的关系．
4.核心素养：数学抽象、数学运算.
温故知新
等差数列定义：
一般地，如果一数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.
新知探究
类比等差数列的研究思路和方法，观察下列几个问题中的数列，它们有什么规律？
1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列:
①
100，
③
2.《庄子·天下篇》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是
新知探究
3.在营养和生存空间没有限制的情况下,某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代,那么一个这种细菌从第1次分裂开始,各次分裂产生的后代个数依次是
2,4,8,16,32,64,… ⑤
④
新知探究
（1） 9,92,93,...,910;
（2） 100,1002,1003,...,10010;
（3）5,52,...,510
（4）
（5）2,4,8,16,32,64,…
思考1：类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律，这些数列有什么共同特征？
表明,这几个数列有这样的取值规律:从第2项起,每一项与它前一项的比都等于同一个常数.
思考2：类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出等比数列的概念吗？
这几个问题中的数列：
新知生成
等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数就叫做等比数列的公比， 公比通常用字母 q 表示.
思考3：用数学符号语言（递推公式）怎样表示等比数列的定义呢？
或
1、等比数列的每一项都不为0，即an≠0。
2、公比q≠0
思考4：等比数列的公比可以为0吗？它的任意一项可以为0吗？
课堂互动
(3) 5，-5，5，-5，5，…
观察并判断下列数列是否是等比数列,若是，说出公比.
(4) 1，0，1，0，…
(7) a，a，a，a，…
(1) 2, 4, 16, 64, …
质疑升华：
(5) -2，-2，-2，-2，…
(6) 0，0，0，0，…
不是
是，
是，q=-1
不是
是，q=1
不是
1.q>0时，等比数列各项的符号有何特点？q<0时呢？
q>0时，等比数列各项符号和首项a1保持一致；
q<0时，等比数列各项符号正负间隔，
奇数项和偶数项分别同号。
2.常数列是等差数列吗？是等比数列吗？
3.是否存在既是等差数列又是等比数列的数列？
非零常数列既是等差数列又是等比数列.
常数列是等差数列，公差为0；
非零常数列是等比数列，公比为1.
观察如下的两个数,中间插入一个什么数后，三个数就会成为一个等比数列.
（1） 2, , 8
（2） -1, ,-9
（3）-12, ,-3
±4
±3
练习
类比等差中项的定义，你能说出等比中项的定义吗？
±6
如果在a与b中间插入一个数G，使a, G，b成等比数列，
那么称这个数G为a与b的等比中项.此时
等比中项：
练习1(1)-4与-9的等比中项是______
(2)2，x，8，-16成等比数列，则x=______
6或-6
-4
新知生成
新知生成
探究一
类比等差数列通项公式的推导过程，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？
不完全归纳法
累乘法
累加法
设等差数列{ a n },首项为 ，公差为d
设等比数列{ a n},首项为 ，公比为 q
等差数列通项公式的证明
等比数列通项公式的证明
类比
等比数列通项公式
新知生成
新知生成
探究二 类似于等差数列与一次函数的关系，等比数列可以与哪
类函数建立相似的关系？
等比数列{an}的第n项 是指数型函数 当 时的函数值，即
1）在直角坐标系中，画出通项公式为 的数列的图像和函数 的图像，你发现了什么？
●
●
●
●
探究二 类似于等差数列与一次函数的关系，等比数列可以与哪
类函数建立相似的关系？
当q＞0且q≠1时，等比数列 的第 项 是函数 当 时的函数值，
即 ．
结论：公比q ＞0且q≠1时，等比数列的图像是对应指数型函数图像上一系列离散的点.
思考5：在右图中描出公比q ＞0且q≠1的等比数列 的图像，此图像有什么特点？
●
●
●
●
●
x
(下图是其指数型函数图像的一种情况）
解:
例1．
应用新知
解法2:
例1．
变式：其他条件不变，求 .
小结：
1） 根据已知条件建立 关于 的方程组，求出等比数列的基本量 ，
再进一步解决问题.这时最基本也是最常规的一种方法.
2)充分利用各项之间的关系，灵活运用等比数列的各项性质直接求出
或 ，再解决问题.这种运算带有一定的技巧性，能够简化运算.
练习2
在等比数列 中，公比为 .请用 表示 下列各式关系.
1) , ,故 .
2) .
例2.
证明：由等比数列的通项公式可知
两式相除得
因此
在等比数列 中，公比为 .
3）已知此数列中的第m项为 ，则 .试证明这个结论.
小结：由上可知，等比数列的任意一项可以用数列中的某一项与 来表示.
公比q
数列{an}共有5项,前三项成等比数列,后三项成等差数列,第3项等于80,第2项与第4项的和等于136,第1项与第5项的和等于132.
练习3
设前三项的等比为 ,后三项的公差为 .
1)请用 表示出这个数列.
2)试求出 .
3)写出这个数列中的各项.
3)由(2)知这个数列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，-48.
例3. 数列{an}共有5项,前三项成等比数列,后三项成等差数列,第3项等于80,第2项与第4项的和等于136,第1项与第5项的和等于132.求出这个数列.
解：设前三项的等比为 ,后三项的公差为 .则数列各项为
所以这个数列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，-48.
感悟：通过拆分，把复杂问题处理分步，从而使问题简单化！
1.知识方面：
课堂小结
2.思想方法：
①等比数列的概念.
②等比中项的定义.
③等比数列的通项公式及其推导.
④等比数列与指数型函数的关系.
特殊到一般
类比
方程思想
函数思想
“我珍视类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然的奥秘，在几何学中它应该是最不容忽视的。” ——开普勒
德国天文学家、数学家
（1571-1630）
　　　
　　 　　
当堂训练（课本31页练习2，3题）
课后作业
1.教材课后剩余练习
2.课时作业