华东师大版数学九年级上册 23.3.2 相似三角形的判定课件(共47张PPT)

(共47张PPT)
相似三角形的判定
A
B
C
D
E
F
1. 对应角_____, 对应边的————的两个
三角形, 叫做相似三角形
相等
比相等
2.相似三角形的———————,各对应边的————
对应角相等
比相等
如果△ ABC∽ △DEF, 那么
∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F
回顾
１、两个全等三角形一定相似吗？为什么？
２、两个直角三角形一定相似吗？为什么？
两个等腰直角三角形呢？
３、两个等腰三角形一定相似吗？为什么？
两个等边三角形呢？
相似比是多少？
300
450
回顾
知识回顾
1、相似多边形的性质和判定
2、什么叫相似比
3、最简单的相似多边形是什么图形
新课导入
A
B
C
A1
B1
C1
∠A =∠A1，
∠B =∠B1，
∠C =∠C1，
如果
则△ABC 与△A1B1C1 相似，
记作△ABC ∽ △A1B1C1。
要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上。
注意
相似比
相似的表示方法
符号：∽ 读作：相似于
A
B
C
A1
B1
C1
如何证明两个三角形相似呢？
如图，任意画两条直线l1、l2,再画三条与l1、l2相交的平行线l3、l4 、l5.分别度量l3、l4 、l5 在l1上截得的两条线段AB,BC和在l2上截得的两条线段DE,EF的长度， 　　　 相等吗？
A
B
C
D
E
F
l1
l2
l3
l4
l5
任意平移l5，再度量AB,BC，DE,EF的长度.
相等吗？
探　究
事实上，当L3//L4//L5时，都可以得到
，还可以得到:
平行线分线段成比例定理：
A
B
C
D
E
F
l1
l2
l3
l4
l5
三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等.
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等.
A
B
C
D
E
l1
l2
l3
l4
l5
A
B
C
D
E
l1
l2
l3
l4
l5
L1
L2
L3
L4
L5
L1
L2
L3
L4
L5
A
B
C
E
D
A
B
C
D
E
∵ DE∥BC
AD
AE
AC
AB
=
∵
∵ DE∥BC
AD
AE
AC
AB
=
∵
数学符号语言
数学符号语言
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等
A
B
C
D
E
——
——
练习一:
1、判断题:
如图:DE∥BC, 下列各式是否正确
D:
——
——
＝
AD
AE
AB
AC
( )
C:
——
——
＝
AD
AC
AE
AB
( )
B:
——
——
＝
AD
BD
AE
CE
( )
A:
AD
AB
＝
AE
AC
( )
A
B
C
E
D
2、填空题:
如图:DE∥BC,
已知:
2
＝
——
AE
AC
—
5
＝
——
AD
AB
求:
——
2
—
5
A
B
C
D
E
已知：DE//BC, AB=15,AC=9,
BD=4 . 求：AE=
例题2
解:
∵ DE∥BC
AB AC
BD CE
∴
——
——
＝
（推论）
15 9
4 CE
——
——
＝
即
＝
12
5
—
∴
CE
12
2
5
5
∴
AE= AC+CE=9+ =11—
—
练习二:
A
B
D
C
E
EC
BC
DC
——
——
＝
A
B
C
D
E
(A组)
(B组)
1、如图: 已知 DE∥BC,
AB = 14, AC = 18 ，
AE = 10，
求：AD的长。
2、如图: 已知AB⊥BD，
ED⊥BD，垂足分别为
B、D。
求证：
AC
CB = 4，
BE
AB
=
A
A
B
C
D
E
C
达标检测题:
1、如图: 已知 DE∥BC,
AB = 5, AC = 7 ，
AD= 2，
求：AE的长。
B
D
E
(A组)
(B组)
2、已知 ∠A =∠E=60°
求：BD的长。
——
—
2
3
如图,在△ABC 中,DE//BC,
DE分别交AB,AC 于点D,E,
△ADE与△ABC有什么关系
思
考
？
直觉告诉我们, △ADE与△ABC相似,我们通过相似的定义证明这个结论.
先证明两个三角形的对应角相等.
在△ADE与△ABC中, ∠A=∠A,
∵DE//BC,
∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C.
再证明两个三角形的对应边的比相等.
过E作EF//AB,EF交BC于F点.
在平行四边形BFED中,DE=BF,DB=EF.
即:△ADE与△ABC中,
∠A=∠A,∠ADE=∠B, ∠AED=∠C.
∴△ADE∽△ABC
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
知识要点
相似三角形判定的预备定理
A
B
C
D
E
即：
在△ABC中，
如果DE∥BC，
那么△ADE∽△ABC
A型
你还能画出其他图形吗？
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。
D
E
A
C
B
延伸
即：
如果DE∥BC，
那么△ADE∽△ABC
你能证明吗？
X型
M
N
A
B
C
D
E
相似具有传递性
△ADE∽△ABC
M
N
如果再作 MN∥DE ，共有多少对相似三角形？
△AMN∽△ADE
△AMN∽△ABC
共有三对相似三角形。
请写出它们的对应边的比例式
理解
已知：如图，AB∥EF ∥CD，
3
图中共有____对相似三角形。
△EOF∽△COD
AB∥EF
△AOB∽ △FOE
AB∥CD
EF∥CD
△AOB ∽△DOC
理解
如图，△ABC 中，DE∥BC，GF∥AB，DE、ＧＦ交于点Ｏ，则图中与△ABC相似的三角形共有多少个 请你写出来.
解： 与△ABC相似的三角形有3个:　　
△AＤＥ　
△ＧＦＣ　
△ＧＯＥ
A
B
C
D
E
F
G
O
运用4
如图在平行四边形ABCD中，E为AD上一点，连结CE并延长交BA的延长线于点F，
请找出相似的三角形并表示出来。
如图,已知DE ∥ BC,AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm,
∠BAC=450,∠ACB=400.
(1)求∠AED和∠ADE的大小;(2)求DE的长.
（2）
A
D
B
E
C
解: (1)
DE ∥ BC
△ADE∽△ABC
∠AED=∠C=400.
△ADE∽△ABC
运用
在△ADE中, ∠ADE=1800-400-450=950.
如图，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC，
（1）请找出图中所有的相似三角形；
（2）如果AD=1，DB=3，那么DG：BC=_____。
A
B
C
D
E
F
G
H
I
△ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC
1：4
运用
1、如图,在 ABCD中，E是边BC上的一点，且BE:EC=3:2，连接AE、BD交于点F，则BE:AD=_____，BF:FD=_____。
2、如图，在△ABC中，∠C的平分线交AB于D，过点D作DE∥BC交AC于E，若AD:DB=3:2，则EC:BC=______。
A
B
C
D
E
F
A
B
C
E
D
3:5
3:5
3:5
4.如图：在△ABC中，点M是BC上任一点， MD∥AC，ME∥AB，
∴△BDM∽△BAC
A
B
C
M
D
E
解：∵MD∥AC，
∴ = = ，
BD
BA
2
5
BM
BC
∴ =
CE
CA
CM
CB
=
3
5
MC
BC
又∵ ME∥AB，
∴△CEM∽△CAB
2份
5份
3份
3
5
=
类似于判定三角形全等的方法，我们还能不能通过三边来判断两个三角形相似呢？
思考
是否有△ABC∽△A’B’C’？
A
B
C
C’
B’
A’
三边对应成 比例
已知:如图△ABC和△ 中,
求证:△ABC∽△A`B`C`
证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A′B′,
A`
B`
C`
A
B
C
D
E
过点D作DE∥BC交AC于点E.
又
∴ △ADE∽△ABC , ∴
∵
∴ .
因此 .
∴△ ∽△ABC
∴△ADE≌△
要证明△ABC∽△A’B’C’，可以先作一个与△ABC全等的三角形，证明它△A’B’C’与相似．这里所作的三角形是证明的中介，它把△ABC△A’B’C’联系起来．
回顾
A
B
C
C’
B’
A’
△ABC∽△A’B’C’
如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.
简单地说:三边对应的比相等,两三角形相似.
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。简称：三边对应成比例，两三角形相似。
知识要点
三角形相似判定定理之一
△ABC∽△A1B1C1.
即：
如果
那么
A1
B1
C1
A
B
C
求证：∠BAD=∠CAE。
A
D
C
E
B
∴ΔABC∽ΔADE
∴∠BAC=∠DAE
∴∠BAC－∠DAC =∠DAE－∠DAC
即∠BAD=∠CAE
小练习
已知：
解：∵
　　类似于判定三角形全等的方法，我们能通过两边和夹角来判断两个三角形相似呢？
　　实际上，我们有利用两边和夹角判定两个三角形相似的方法．
如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角相似.
思
考
？
对于△ABC和△A’B’C’, 如果 ,
∠B=∠B’,这两个三角形一定相似吗 试着画画看.
例1:根据下列条件，判断△ABC与△A’B’C’是否相似，并说明理由．
(1)∠A=1200,AB=7cm,AC=14cm.
∠A’=1200,A’B’=3cm,A’C’=6cm.
(2)AB=4 cm,BC=6cm,AC=8cm,
A’B’=12cm,B’C’=18cm,A’C’=21cm.
△ABC与△A’B’C‘的三组对应边的比不等，它们不相似．
∽
要使两三角形相似，不改变的AC长，A’C’的长应改为多少？
练习
1.根据下列条件,判断△ABC与△A’B’C’是否相似,并说明理由:
(1)∠A=400,AB=8,AC=15, ∠A’=400,A’B’=16,A’C’=30;
(2)AB=10cm,BC=8cm,AC=16cm,
A’B’=16cm,B’C’=12.8cm,A’C’=25.6cm.
2.图中的两个三角形是否相似
运用3
答案是2:1
理解
4:2=5:x=6:y
4:x=5:2=6:y
4:x=5:y=6:2
要作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边的长分别为4、5、6,另一个三角形框架的一边长为2,怎样选料可使这两个三角形相似
4
5
6
2
平行于三角形一边的直线与其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似;
两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.
相似三角形的判定方法
小结
三边对应成比例,两三角形相似.
谢 谢