名校
考
理科数学·答案
选
题意图本题考查存在
题的否
析存在量词改为全
改
命题意图本题考查复数的运算
案
命题意图本题考查集合的表示与运算
解析集
素为1,4,7,10
素
3,19,…,都是被6除余1的数
解析根据题意,扇形弧长为
以圆锥的底面半径为
圆锥形容器中水面的半径为rmm,则,=,所以
所收集的雨水的体积为
案
题意图本
如图中阴影部分所示
区域为
0,2),C(4,4),当直线
直线与圆的
析因为C2:(x-1)
或3x+4
0,因为C1的圆
圆有
线3x+4y-20
的公共点个数为3
案
命题意图本题考查空
体的结构特征
析因
8.答案B
题意图本题考查等差数列和等比数列的性
解得
又因为
题意图本题
函数的
题意
24,因为
Z.又因
以满足条件的t的区间有0
案
题意图本题考查抛物线的性质
解
线
方程为y=x
抛物线方程联立可知直线
与抛物线C相切,设
方程为y
联立方程
k
得pk
P
案
命题意图本题考查函数与不等式的综
解杉
2lg4y-log2x)等价
2lg2x,则f(x)为增
为减函数,所以g(
B,C也不满
满足条件
关系的判断
为∠DAA
底面ABCD内的射影O落在直线
平面A1AC,所
②正确;因
根据勾股定
C⊥B1B,因
平
为四棱
的
所以
填空题:本题共4小题,每小题5分
(k∈Z)形式的数均
意图本题考查三角函数的性质
解
为奇函数
m为奇函数,且当x∈(0
案
题意图本题考查双曲线的性
解
为
点共线时,取等号,此时
26A的中点坐标为(22
代入渐近线方程得
曲线C的实轴长为
案
题意图本题考查三角恒等变换以及平
解析因为sinθ
所以
OA的平行线,分别交OA
点E,F,四边形OECF为菱形,计算得CE=OE
案
命题意图本题考查导数的几何意义及函数的零
为
b,所以
得
x)1+()=x,(x)的零点对应方程f
的实根
数的单调
数f(x)是
的增函数,任取方程f(f(x)
(xn)零点为
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
考
两边
ADO
所
根据正弦定理得m∠0C=∠1cD
ADC
分
意图本题考查递推数列以及数列求
分)
为首项,2为公比的等比数
(4分
数
所以b+2”=3
(9分
2(1-2”)_3
2分
9.命题意图本题考查空间位置关系的推理与证明,空间向量的应用
解析
如图,设
点为G,连接
分)
因为B
所以平面ADE∥平面
(2分
平面几
为AE=D
所以AE2+CE2=AC2
因为
分
所以CE⊥BF
ADE,所以平面A
点为O,连
以O为坐
E,OC,OA所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标河南省十所名校2022届高三上学期12月质量检测
理科数学
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知命题p：＞3，log3x0≤1，则为
A．＞3，log3x0＞1 B．＜3，log3x0＞1
C．＞3，log3x≤1 D．＞3，log3x＞1
2．已知复数z满足（4＋3i）（z＋i）＝25，则｜z｜＝
A． B．4 C． D．32
3．已知集合A＝{x｜x＝3n＋1，n∈N}，B＝{x｜x＝2n＋1，n∈N}，则下列集合为A∩B的子集的是
A．{1，7，13，19} B．{1，5，7，11，13}
C．{1，3，5，9，11} D．{1，3，5，7，9，11}
4．某同学用一个半径为mm，圆心角为的扇形铁片卷成了一个简易的圆锥形状的容器（接缝处忽略不计），口朝上放在院子中间接雨水来测量降雨量（容器不漏），24 h所收集的雨水的高度达到容器高度的一半，然后将这些雨水倒入底面半径为100 mm的圆柱形量杯中，则量杯中水面高度为
A．37．5 mm B．25 mm C．15 mm D．12．5 mm
5．若x，y满足不等式组则z＝2x＋y的最大值为
A．6 B．8 C．12 D．16
6．圆C1：（x－5）2＋（y－5）2＝16与曲线C2：（x－1）（3x＋4y－20）＝0的公共点的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
7．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形，异面直线AB1与A1C1所成的角的余弦值为，则该三棱柱的高为
A．1 B． C．2 D．4
8．已知函数f（x）＝x2＋px－q（p，q∈N*）有两个不同的零点a，b，若a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则q－p＝
A．36 B．28 C．9 D．－1
9．已知人的血压在不断地变化，心脏每收缩和舒张一次构成一个心动周期，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压．已知某人某次测量自己的血压得到收缩压为126 mmHg，舒张压为78 mmHg，心动周期约为0．75 s，假设他的血压p（mmHg）关于时间t（s）近似满足函数式p（t）＝（＞0），当t∈[0，0．75]时，此人的血压在[90，114]mmHg之间的时长约为
A．0．125 s B．0．25 s C．0．375 s D．0．5 s
10．已知抛物线C：x2＝2py（0＜p＜6）的焦点为F，P为C上一点，点A（3，0），B（1，－2），设∠ABP取最小值和最大值时对应的点分别为P1，P2，且·＝0，则p＝
A．4 B．3 C．2 D．1
11．下列各组x，y的值满足x2－y2＜2（2log4y－log2x）的是
A．x＝e3，y＝3e B．x＝，y＝
C．x＝，y＝ D．x＝3e，y＝
12．在四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，AA1＝1，cos∠DAA1＝cos∠BAA1＝，则下列结论中正确的个数为
①A1C⊥DB；②A1C＝；③A1C⊥平面B1BDD1；④四棱柱ABCD—A1B1C1D1的体积为．
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数为偶函数，且当x∈（0，）时，f（x）＞0，则n的值可能为__________．
14．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1（－c，0），F2（c，0），点A（0，c），且线段F2A的中点在C的渐近线上，当点P在C的右支上运动时，｜PF1｜＋｜PA｜的最小值为6，则双曲线C的实轴长为__________．
15．已知点A，B是⊙O上的两个点，∠AOB＝（0＜＜），点C为劣弧的中点，若，＝＋，则x＋y＝__________．
16．已知函数f（x）＝ax3＋bx的图象在点（1，1）处的切线方程为2x－y－1＝0，则函数h（x）＝[f（x）] 3＋f（x）－2x的零点个数为__________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）
如图所示，在圆内接四边形ABCD中，M为对角线AC的中点，BC＝3，BM＝，AD＝，cos∠ABC＝．
（Ⅰ）求AB；
（Ⅱ）求sin∠ACD．
18．（12分）
已知数列{}的前项和＝－．
（Ⅰ）求{}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}满足＝，＝＋，求{}的前项和．
19．（12分）
如图所示，在四棱锥A—BCDE中，CD∥EB，CD＝2DE＝2BE＝2BC＝2，△ADE为等边三角形，AC＝2，F为棱AC的中点．
（Ⅰ）证明：CE⊥BF；
（Ⅱ）求平面ADE与平面BDF所成的锐二面角的
余弦值．
20．（12分）
某地准备在山谷中建一座桥梁，桥梁及山谷的竖直截面图如图所示，谷底为点O，为铅垂线（在桥梁AB上）．以O为原点建立直角坐标系，左侧山体曲线AO的方程为（－70≤x≤0），右侧山体曲线BO的方程为（0≤x≤30），其中x，y的单位均为m．现在谷底两侧建造平行于的桥墩CD和EF，其中C在线段上，E在线段上，且＝ 15 m，CD＝2EF．
（Ⅰ）求CE的长；
（Ⅱ）为了增加桥梁的结构强度，要在桥梁上的C，E之间找一点P，修建两个支撑斜柱DP和FP，当∠DPF最大时，求CP的长．（结果精确到0．1 m，参考数据：≈9．06）
21．（12分）
已知椭圆C：（a＞1）的离心率为，F1，F2是C的左、右焦点，P是C
上在第一象限内的一点，F1关于直线PF2对称的点为M，F2关于直线PF1对称的点为N．
（Ⅰ）证明：｜MN｜≤4；
（Ⅱ）设A，B分别为C的右顶点和上顶点，直线y＝kx（k＞0）与椭圆C相交于E，F两点，求四边形AEBF面积的取值范围．
22．（12分）
已知函数f（x）＝aln x＋x－1（a∈R）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若函数y＝f（ex）－ax＋1与y＝ea（ln x＋a）的图象有两个不同的公共点，求a的取值范围．
