2.2圆的一般方程 课件-2021-2022学年高一上学期数学北师大版必修2 (共23张PPT)
文档属性
| 名称 | 2.2圆的一般方程 课件-2021-2022学年高一上学期数学北师大版必修2 (共23张PPT) |  | |
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 655.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-05 17:06:58 | ||
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文档简介
(共23张PPT)
§2.2 圆的一般方程
2.圆的标准方程:
特点：
直接可以看出圆心坐标为
半径为
温故知新
1.圆的定义:
平面内到定点的距离等于定长
的点的轨迹叫做圆．
其中定点叫做圆心，定长叫做圆的半径．
由于a, b, r均为常数
结论：任何一个圆的方程都可以写成下面形式：
自主探究
把圆的标准方程
展开，得
思考1：下列方程各表示什么图形？
自主探究
2.方程
一定表示圆的方程吗？
(1)当D2＋E2－4F>0时，
(2)当D2＋E2－4F＝0时，
(3)当D2＋E2－4F＜0时，
此方程无实数解,不表示任何图形．
此方程表示一个点 ；
圆的一般方程：
x2 ＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
(D2+E2-4F>0)
②没有xy这样的二次项．
(2)特点：
①x2与y2系数相同，并且不等于0；
(3)圆的一般方程与标准方程的关系：
②标准方程易于看出圆心与半径．
①
思考：
而对于更一般的二元二次方程：
A x2 +Bxy＋Cy 2＋Dx＋Ey＋F＝0
表示圆满足什么关系呢？
（1） x2 和 y2 的系数相同且不为 0 ，即A=C≠0；
（2）没有 xy 这样的二次项，即B=0 .
（3） D2 + E2 - 4AF > 0.
表示圆
二元二次方程
答案：B
例题1. 已知圆
的圆心坐标为(2,-3),半径为2,则 分别
是（ ）
圆的一般方程概念的应用
1、 圆x2+y2-4x-4y+4=0的圆心坐标和半径分别为( )
A.(2,-2),2 B.(2,2),4
C.(-2,2),2 D.(2,2),2
课堂演练
D
例题2.若方程
表示圆心在第二象限的圆,则实数 的取值
范围是________________．
练习、方程x2＋y2－4x＋4m＝0表示一个圆，则m的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，2)
C．(－∞，1/2] D．(－∞，1]
由圆的一般方程可知(－4)2－16m＞0，∴m＜1.
例题3： 求过三点O(0，0)，A(1，1) ,B(4，2)的
圆方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.
解：设所求圆的一般方程为：
因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上，则
所求圆的方程为:
方法1：
待定系数法
题型二:求圆的一般方程
因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上,则
方法2：
解：设所求圆的标准方程为：
所求圆的方程为：
待定系数法
例题3： 求过三点O(0，0)，A(1，1) ,B(4，2)的
圆方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.
课堂演练
题型三 与圆有关的轨迹问题
【典例4】已知定点A(4，0)，P点是圆x2+y2=4上一动点，Q点是AP的中点，求Q点的轨迹方程.
【解题指南】设出Q，P点坐标，用Q点坐标表示P点坐标，然后将P点坐标代入圆的方程即可.
【解析】设Q点坐标为(x，y)，P点坐标为(x′，y′)，
则 即x′=2x-4，y′=2y，
又点P在圆x2+y2=4上，
所以x′2+y′2=4，将x′=2x-4，y′=2y代入得：
(2x-4)2+(2y)2=4，即(x-2)2+y2=1，
故所求点Q的轨迹方程为(x-2)2+y2=1.
4.已知点P(x，y)，A(1，0)，B(-1，1)，
且|PA|= |PB|.
(1)求点P的轨迹方程.
(2)点P的轨迹是否为圆？若是，求出圆心坐标及半径；
若不是，请说明理由.
课堂演练
【解析】(1)由题意得
两边同时平方，化简得x2+y2+6x-4y+3=0，
即点P的轨迹方程为x2+y2+6x-4y+3=0.
(2)方法一：由(1)得(x+3)2+(y-2)2=10，故点P的轨迹是圆，其圆心坐标为(-3，2)，半径为 .
方法二：由(1)得D=6，E=-4，F=3，
所以D2+E2-4F=36+16-12=40>0，
故点P的轨迹是圆.
又- =-3，- =2，
所以圆心坐标为(-3，2)，半径
【方法总结】求轨迹方程的三种常用方法
(1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明.
(2)定义法：动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程.
(3)代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1用x，y表示，再将Q点的坐标代入到已知圆的方程中得P点的轨迹方程.
小结：求圆的方程
几何方法
求圆心坐标 （两条直线的交点）（常用弦的中垂线）
求 半径 （圆心到圆上一点的距离）
写出圆的标准方程
待定系数法
列关于a，b，r（或D，E，F）的方程组
解出a，b，r（或D，E，F），写出标准方程（或一般方程）
1. 本节课主要学习了圆的一般方程,其表达式为
2. 圆的一般方程与圆的标准方程的联系
一般方程
标准方程(圆心,半径)
本课小结
3.已知圆的一般方程会求圆的圆心坐标和半径。
§2.2 圆的一般方程
2.圆的标准方程:
特点：
直接可以看出圆心坐标为
半径为
温故知新
1.圆的定义:
平面内到定点的距离等于定长
的点的轨迹叫做圆．
其中定点叫做圆心，定长叫做圆的半径．
由于a, b, r均为常数
结论：任何一个圆的方程都可以写成下面形式：
自主探究
把圆的标准方程
展开，得
思考1：下列方程各表示什么图形？
自主探究
2.方程
一定表示圆的方程吗？
(1)当D2＋E2－4F>0时，
(2)当D2＋E2－4F＝0时，
(3)当D2＋E2－4F＜0时，
此方程无实数解,不表示任何图形．
此方程表示一个点 ；
圆的一般方程：
x2 ＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
(D2+E2-4F>0)
②没有xy这样的二次项．
(2)特点：
①x2与y2系数相同，并且不等于0；
(3)圆的一般方程与标准方程的关系：
②标准方程易于看出圆心与半径．
①
思考：
而对于更一般的二元二次方程：
A x2 +Bxy＋Cy 2＋Dx＋Ey＋F＝0
表示圆满足什么关系呢？
（1） x2 和 y2 的系数相同且不为 0 ，即A=C≠0；
（2）没有 xy 这样的二次项，即B=0 .
（3） D2 + E2 - 4AF > 0.
表示圆
二元二次方程
答案：B
例题1. 已知圆
的圆心坐标为(2,-3),半径为2,则 分别
是（ ）
圆的一般方程概念的应用
1、 圆x2+y2-4x-4y+4=0的圆心坐标和半径分别为( )
A.(2,-2),2 B.(2,2),4
C.(-2,2),2 D.(2,2),2
课堂演练
D
例题2.若方程
表示圆心在第二象限的圆,则实数 的取值
范围是________________．
练习、方程x2＋y2－4x＋4m＝0表示一个圆，则m的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，2)
C．(－∞，1/2] D．(－∞，1]
由圆的一般方程可知(－4)2－16m＞0，∴m＜1.
例题3： 求过三点O(0，0)，A(1，1) ,B(4，2)的
圆方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.
解：设所求圆的一般方程为：
因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上，则
所求圆的方程为:
方法1：
待定系数法
题型二:求圆的一般方程
因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上,则
方法2：
解：设所求圆的标准方程为：
所求圆的方程为：
待定系数法
例题3： 求过三点O(0，0)，A(1，1) ,B(4，2)的
圆方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.
课堂演练
题型三 与圆有关的轨迹问题
【典例4】已知定点A(4，0)，P点是圆x2+y2=4上一动点，Q点是AP的中点，求Q点的轨迹方程.
【解题指南】设出Q，P点坐标，用Q点坐标表示P点坐标，然后将P点坐标代入圆的方程即可.
【解析】设Q点坐标为(x，y)，P点坐标为(x′，y′)，
则 即x′=2x-4，y′=2y，
又点P在圆x2+y2=4上，
所以x′2+y′2=4，将x′=2x-4，y′=2y代入得：
(2x-4)2+(2y)2=4，即(x-2)2+y2=1，
故所求点Q的轨迹方程为(x-2)2+y2=1.
4.已知点P(x，y)，A(1，0)，B(-1，1)，
且|PA|= |PB|.
(1)求点P的轨迹方程.
(2)点P的轨迹是否为圆？若是，求出圆心坐标及半径；
若不是，请说明理由.
课堂演练
【解析】(1)由题意得
两边同时平方，化简得x2+y2+6x-4y+3=0，
即点P的轨迹方程为x2+y2+6x-4y+3=0.
(2)方法一：由(1)得(x+3)2+(y-2)2=10，故点P的轨迹是圆，其圆心坐标为(-3，2)，半径为 .
方法二：由(1)得D=6，E=-4，F=3，
所以D2+E2-4F=36+16-12=40>0，
故点P的轨迹是圆.
又- =-3，- =2，
所以圆心坐标为(-3，2)，半径
【方法总结】求轨迹方程的三种常用方法
(1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明.
(2)定义法：动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程.
(3)代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1用x，y表示，再将Q点的坐标代入到已知圆的方程中得P点的轨迹方程.
小结：求圆的方程
几何方法
求圆心坐标 （两条直线的交点）（常用弦的中垂线）
求 半径 （圆心到圆上一点的距离）
写出圆的标准方程
待定系数法
列关于a，b，r（或D，E，F）的方程组
解出a，b，r（或D，E，F），写出标准方程（或一般方程）
1. 本节课主要学习了圆的一般方程,其表达式为
2. 圆的一般方程与圆的标准方程的联系
一般方程
标准方程(圆心,半径)
本课小结
3.已知圆的一般方程会求圆的圆心坐标和半径。