2021-2022学年苏科版数学八年级下册9.4.2菱形课件（38张）

(共38张PPT)
9.4.2 菱形
第9章 中心对称图形——平行四边形
新知一 菱形的定义及其性质
1. 定义　
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
合作探究
2. 特殊性质如下表
图形 文字语言(性质) 符号语言
菱形的四条边都相等 ∵四边形ABCD 是菱形，
∴ AB=BC=CD=AD
菱形的两条对角线互相垂直 ∵四边形ABCD 是菱形，
∴ BD ⊥ AC
菱形既是轴对称图形，有两条对称轴，又是中心对称图形
(1)菱形的性质可以用来证明线段相等，角相等，直线平行、垂直以及进行相关的计算；
(2)菱形的性质与勾股定理联系，可得对角线长与边长之间的关系，即边长的平方等于两条对角线长一半的平方和；
(3)如果菱形的一个内角为60°，那么菱形的两条边与较短的对角线构成的三角形为等边三角形；
(4)菱形的面积= 底× 高= 两条对角线长乘积的一半(填空题、选择题直接运用).
特别提醒：
1. 菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等.二者必须同时具备，缺一不可.
2. 菱形的定义既是菱形的基本性质，也是菱形的基本判定方法.
3. 菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质，如对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分.
3. 矩形和菱形的区别
(1)矩形和菱形都是建立在平行四边形的基础上，矩形是附加一直角，而菱形是附加一组邻边相等；
(2)矩形的两条对角线把矩形分割成四个面积相等的等腰三角形，而菱形的两条对角线把菱形分割成四个全等的直角三角形；
(3)矩形的对称轴是两条过两组对边中点的直线，而菱形的对称轴是两条对角线所在的直线.
例 1
[ 2021·泰安] 已知：如图9.4.2-1，在菱形ABCD 中，E、F分别是BC、CD 上的点.
(1)如图①，若CE ＝ CF，求证：AE ＝ AF；
证明：∵四边形ABCD 为菱形，
∴∠ B ＝∠ D，AB ＝ BC ＝ CD ＝ DA(菱形的对角相等，四条边相等)．又∵ CE ＝ CF，∴ BE ＝ DF．
在△ ABE 和△ ADF 中，
AB=AD，
∠ B= ∠ D，
BE=DF，
∴△ ABE ≌△ ADF．∴ AE ＝ AF．
(2)如图②，若∠ B ＝∠ EAF ＝ 60°，∠ BAE ＝ 20°，求∠ CEF的度数．
解：如图9.4.2-2 所示，连接AC．
∵四边形ABCD 为菱形，∠ B ＝ 60°，
∴ AB ＝ BC ＝ CD ＝ DA，∠ D ＝∠ B ＝ 60°．
∴△ ABC 与△ CDA 为等边三角形．
∴ AB ＝ AC，∠ B ＝∠ ACF ＝
∠ BAC ＝ 60°．
∵∠ EAF ＝ 60°，∴∠ BAE ＝∠ CAF．
在△ ABE 和△ ACF 中，
∠ BAE= ∠ CAF，
AB=AC，
∠ B= ∠ ACF，
∴△ ABE ≌△ ACF．∴ AE ＝ AF．∵∠ EAF ＝ 60°，∴△ EAF 为等边三角形．∴∠ AEF ＝ 60°．
∵∠ AEC ＝∠ B+ ∠ BAE ＝∠ AEF+ ∠ CEF，
∴ 60° +20°＝ 60° + ∠ CEF．∴∠ CEF ＝ 20°．
在菱形中如果出现“30 °“”60 °“”120 °“”一边等于最短对角线”这些词语时，往往都指向等边三角形，我们需用等边三角形的知识来解决.
新知二 菱形的判定
1. 判定　
图形 文字语言(判定) 符号语言
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形(定义法) ∵ AB=BC(或AB=AD 或AD=CD 或BC=CD)
∴ ABCD 是菱形
四边相等的四边形是菱形(判定1) ∵ AB=BC=AD=CD，
∴四边形ABCD 是菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形(判定2) ∵ AC ⊥ BD.
∴ ABCD 是菱形
2. 易错警示　判定菱形时，一定要明确前提是从“四边形”出发的，还是从“平行四边形”出发的：(1)若从“四边形”出发，则还需四条边相等；(2)若从“平行四边形”出发，则还需一组邻边相等或对角线互相垂直.
特别提醒：
1.菱形的判定定理和性质定理是互逆定理.
2.判定菱形的常见思路
四
边
形
可依据题目特点选取不同的方法.
四条边都相等→菱形对角线互相垂直且平分→菱形
平行四边形
对角线互相垂直→菱形
有一组邻边相等→菱形
例2
已知：如图9.4.2-3，在△ ABC 中，CD 平分∠ ACB 交AB 于点D，DE ∥ AC 交BC 于点E，DF ∥ BC 交AC 于点F. 四边形DECF 是菱形吗？为什么？
解：四边形DECF 是菱形. 理由如下：
∵ DE ∥ FC，DF ∥ EC，
∴四边形DECF 为平行四边形.∵ AC ∥ DE，∴∠ 2= ∠ 3.
∵ CD 平分∠ ACB，∴∠ 1= ∠ 2. ∴∠ 1= ∠ 3.
∴ DE=EC.
∴平行四边形DECF 为菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).
解法提醒:
菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的一种判定方法.
在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时，首先判定这个四边形是平行四边形，再证一组邻边相等.
平行
四边形
一组邻边相等
菱形
例 3
如图9.4.2-4，在平行四边形ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O，过点O 作直线EF ⊥ BD，分别交AD、BC 于点E 和点F，连接BE、DF. 求证：四边形BEDF 是菱形.
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴ OB=OD，AD ∥ BC.
∴∠ EDO= ∠ FBO，∠ OED= ∠ OFB.
∴△ OED ≌△ OFB. ∴ DE=BF.
又∵ DE ∥ BF，∴四边形BEDF 是平行四边形.
∵ EF ⊥ BD，
∴平行四边形BEDF 是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).
解法点拨：
证明一个四边形是菱形的方法：
若已知要证的四边形的对角线互相垂直，则要考虑证明这个四边形是平行四边形，用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”进行证明.
平行
四边形
对角线互
相垂直
菱形
例4
如图9.4.2-5，在Rt △ ACB 中，∠ ACB=90°，
∠ BAC=60°，DE 垂直平分BC，垂足为D，交AB 于点E，点F 在DE 的延长线上，且AF=CE. 求证：四边形ACEF 是菱形.
证明：∵ DE 垂直平分BC，∴ BE=CE.
∵∠ ACB=90° , ∠ BAC=60° ,
∴∠ BCE= ∠ B=30° . ∴∠ ACE=60° .
∴△ ACE 为等边三角形. ∴ AE=CE=AC.
∵∠ AEF= ∠ BED=90° - ∠ B=60°，AF=CE=AE，
∴△ AEF 为等边三角形.
∴ AE=AF=EF. ∴ AC=CE=EF=AF.
∴四边形ACEF 是菱形(四条边相等的四边形是菱形).
方法点拨：
有较多线段相等的条件时，我们可考虑通过证明四条边相等来证明这个四边形是菱形.注意：本例也可以先证四边形ACEF是平行四边形，再证一组邻边相等，只不过步骤复杂一点，读者不妨试一试.
如图，若要使 ABCD成为菱形，则需要添加的条件是(　　)
A．AB＝CD
B．AD＝AC
C．AB＝BC
D．AC＝BD
1
C
巩固新知
【2020·武威】如图所示的木制活动衣帽架由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节A，E间的距离．若A，E间的距离调节到60 cm，菱形的边长AB＝20 cm，则∠DAB的度数是(　　)
A．90°
B．100°
C．120°
D．150°
C
2
如图，菱形ABCD的周长是4 cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线AC的长是(　　)
A．1 cm
B．2 cm
C．3 cm
D．4 cm
3
A
【2021·河南】关于菱形的性质，以下说法不正确的是(　　)
A．四条边相等 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形
4
B
如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为(　　)
A．72
B．24
C．48
D．96
5
C
6
D
7
B
【2021·广安】如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在边AB，AD的延长线上，且BE＝DF.连接CE，CF.
求证：CE＝CF.
8
如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF.
9
求证：(1)△ABF≌△DAE；
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AD∥BC.∴∠BPA＝∠DAE.
∵∠ABC＝∠AED，∴∠BAF＝∠ADE.
∵∠ABF＝∠BPF，∴∠ABF＝∠DAE.
∴△ABF≌△DAE(ASA)．
(2)DE＝BF＋EF.
证明：∵△ABF≌△DAE，
∴BF＝AE，AF＝DE.
∴AF＝AE＋EF＝BF＋EF.∴DE＝BF＋EF.
菱形
菱形
边的性质
性质
角的性质
对角线的性质
定义
判定
边的关系
对称性
对角线关系
归纳新知
再见