2021-2022学年苏科版数学八年级下册9.4.3正方形课件（30张）

(共30张PPT)
9.4.3 正方形
第9章 中心对称图形——平行四边形
新知一 正方形的定义及其性质
1. 正方形的定义　
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
合作探究
2. 正方形的性质如下表
图形 文字语言(性质) 符号语言
边 对边平行，四条边都相等 ∵四边形ABCD 是正方形，
∴ AB ∥ CD，AD ∥ BC，
AB=BC=CD=AD
角 四个角都是直角 ∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ A= ∠ B= ∠ C= ∠ D=90°
图形 文字语言(性质) 符号语言
对角线 对角线互相垂直平分且相等 ∵四边形ABCD 是正方形，∴ AC ⊥ BD，AC=BD，OA=OC=OB=OD
对称性 既是轴对称图形，又是中心对称图形
3. 特别提醒　正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.
特别提醒：
1.矩形、菱形、正方形都是特殊的平行
四边形，它们之间的关系如图9.4.3-1
所示.
2. 正方形的特殊性质：
(1)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形；
(2)周长相等的四边形中，正方形的面积最大；
(3)面积为边长的平方或对角线平方的一半.
例 1
如图9.4.3-2，正方形ABCD 的边长为1 cm，AC 是对角线，AE 平分∠ BAC，EF ⊥ AC，垂足为F．求BE 的长．
解：∵四边形ABCD是边长为1cm的正方形，AC是对角线，
∴ AB ⊥ BC，AB ＝ BC ＝ 1 cm，∠ ACB ＝ 45°．
∵ EF ⊥ AC，∴△ EFC是等腰直角三角形．
∴ FE ＝ CF．
∵ AE 平分∠ BAC，EF ⊥ AC，∴ BE ＝ FE ＝ CF．
在Rt △ ABC 中，∠ ABC ＝ 90°，

新知二 正方形的判定及特殊四边形间的关系
1. 正方形的判定如下表
图形 文字语言(判定) 符号语言
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形(定义法) ∵ AB=BC(或AB=AD 或AD=CD 或BC=CD)，
∠ A=90°(或∠ B=90°或∠ C=90 °或∠D=90 °)，
∴ ABCD 是正方形
图形 文字语言(判定) 符号语言
有一组邻边相等的矩形是正方形(判定1) ∵ AB=BC(或AB=AD 或AD=CD或BC=CD)，
∴矩形ABCD 是正方形
有一个角是直角的菱形是正方形(判定2) ∵∠ A=90°(或∠ B=90°或∠ C=90°或∠ D=90°)，
∴菱形ABCD 是正方形
常见的判定思路：
(1)从四边形出发：①先证明四边形是平行四边形；②再证明平行四边形是正方形；
(2)从平行四边形出发：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；
(3)从矩形出发：有一组邻边相等的矩形是正方形；
(4)从菱形出发：有一个角是直角的菱形是正方形.
2. 特殊四边形间的关系
四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形间的转化关系如下所示.
例2
如图9.4.3-3，在Rt △ ABC 与Rt △ ABD 中，∠ABC=∠BAD=90°，AC=BD，AC、BD 相交于点G， 过点A 作AE ∥ DB 交CB 的延长线于点E， 过点B 作BF ∥ CA 交DA 的延长线于点F，AE、BF 相交于点H．
(1)证明：△ ABD ≌△ BAC；
证明：在Rt △ BAC 与Rt △ ABD 中，
∠ ABC ＝∠ BAD ＝ 90°，
AB=BA，
AC=BD，
∴ Rt △ BAC ≌ Rt △ ABD．
(2)证明：四边形AHBG 是菱形；
证明：∵ AH ∥ GB，BH ∥ GA，
∴四边形AHBG 是平行四边形．
∵△ ABC ≌△ BAD，
∴∠ BAC ＝∠ ABD．∴ GA ＝ GB．
∴平行四边形AHBG 是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形)．
(3)若AB ＝ BC，证明四边形AHBG 是正方形．
证明：∵ AB ＝ BC，∠ ABC ＝ 90°，
∴△ ABC 是等腰直角三角形．∴∠ BAG ＝ 45°．
∴∠ ABG ＝∠ BAG ＝ 45°．
∴∠AGB＝90°．
∴菱形AHBG是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形)．
思路点拨：
(1)根据“HL”即可证明结论；
(2)先证明四边形AHBG是平行四边形，再由(1)中的全等易得GA ＝ GB， 从而证明平行四边形AHBG 是菱形；
(3)根据“△ABC是等腰直角三角形”，得出∠BAG＝ 45°，再由(2)可知“∠ABG＝∠BAG＝45°”，根据三角形的内角和定理易得∠AGB＝90°，最后根据判定2即可证明结论．
ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：____________________，使得 ABCD为正方形．
1
AC＝BD(答案不唯一)
巩固新知
【2021·无锡】下列说法中，正确的是(　　)
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的矩形是正方形
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
C
2
如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是(0，0)，(0，6)，点C在第一象限，则点C的坐标是(　　)
A．(6，3)
B．(3，6)
C．(0，6)
D．(6，6)
3
D
4
C
如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE＝CF，则图中与∠AEB相等的角的个数是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
5
C
下列命题是真命题的是(　　)
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．四边相等的平行四边形是正方形
6
C
【2021·玉林】如图，一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形：
a．两组对边分别相等　b．一组对边平行且相等　c．一组邻边相等　d．一个角是直角
顺次添加的条件：①a→c→d；②b→d→c；③a→b→c，则正确的是(　　)
A．仅① B．仅③
C．①② D．②③
7
C
【2021·恩施州】如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB上且BE＝1，F为对角线AC上一动点，则△BFE周长的最小值为(　　)
A．5
B．6
C．7
D．8
8
B
如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.
(1)求证：△BED≌△CFD；
9
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵D是BC的中点，∴BD＝CD.
∴△BED≌△CFD.
(2)若∠A＝90°，求证：四边形DFAE是正方形．
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°.
又∵∠A＝90°，∴四边形DFAE为矩形．
由(1)知，△BED≌△CFD，
∴DE＝DF.
∴四边形DFAE是正方形．
正方形
正
方
形
性质
判定
特殊的平行四边形
特殊的矩形
特殊的菱形
边、角、对角线、对称性
一组邻边相等
且一个角是直角
一组邻边相等
一个角是直角
归纳新知
再见