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18.2.2菱形（2）教案
课题 18.2.2菱形（2） 单元 第18单元 学科 数学 年级 八年级（下）
学习目标 1.学会并运用菱形的定义和两个判定定理进行有关的推理论证和计算. 2.了解菱形的现实应用和常用判别条件.
重点 菱形的定义和判定定理的运用.
难点 探究菱形的判定条件并合理利用它进行论证和计算.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题 1.菱形有哪些性质 其中哪些是平行四边形所没有的 学生思考、交流. 在学生讨论的基础上,教师以表格的形式予以梳理.图形边角对角线平行四边形对边平行且相等对角相等互相平分菱形四条边都相等,对边平行对角相等垂直且互相平分,并且每一条对角线平分一组对角2.用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉子,做成一个可转动的十字架,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形(如下图). 提问:任意转动木条,这个四边形总有什么特征 你能证明你发现的结论吗 继续转动木条,观察什么时候橡皮筋围成的四边形变成菱形. 学生结合实验发现,橡皮筋围成的四边形始终是平行四边形,当两根木条互相垂直时,这个平行四边形是菱形. 1.对角线互相垂直的平行四边形是菱形提问:对角线互相垂直的平行四边形是菱形,你能证明这个命题的正确性吗 学生思考:这个命题的条件是什么 结论是什么 先画出图形,写出已知和求证. 已知:,如图，在 ABCD中,对角线AC⊥BD于点O. 求证: ABCD是菱形. 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OB=OD, ∵AC⊥BD, ∴AB=AD, ∴ ABCD是菱形. 通过探究和进一步证明可以归纳得到菱形的一个判定定理: 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.2.四条边相等的四边形是菱形 学生讨论,交流. 命题“菱形的四条边都相等”的条件是:四边形是菱形,结论是:四条边都相等.它的逆命题是:四条边都相等的四边形是菱形.该逆命题是真命题. 理由如下: 已知:如图,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA. 求证:四边形ABCD是菱形. 证明:∵AB=BC=CD=DA, ∴四边形ABCD的两组对边分别相等. ∴四边形ABCD是平行四边形 ∵AB=AD, ∴四边形ABCD是菱形(菱形的定义).菱形的一个判定定理: 四条边相等的四边形是菱形. 思考自议了解菱形的现实应用和常用判别条件. 学会并运用菱形的定义和两个判定定理进行有关的推理论证和计算.
讲授新课 提炼概念菱形的判定方法: (1)菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形. (2)菱形的判定定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形. (3)菱形的判定定理:四条边相等的四边形是菱形.三、典例精讲 例1.如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AB=5,AO=4,BO=3. 求证: ABCD是菱形. 证明:∵AB=5,AO=4,BO=3, ∴AB2=AO2+BO2. ∴△OAB是直角三角形,AC⊥BD. ∴ ABCD是菱形. 菱形的定义和判定定理的运用. 探究菱形的判定条件并合理利用它进行论证和计算.
课堂检测 四、巩固训练 1.下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）A.AC⊥BD,AC与BD互相平分B.AB=BC=CD=DAC.AB=BC,AD=CD,且AC⊥BDD.AB=CD,AD=BC,AC⊥BDC2.如图请添加一个条 件 使 ABCD 是菱形. AB=AD或AC⊥BD3.如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F.试问四边形AEDF是菱形吗？说明你的理由。四边形AEDF是菱形理由：∵DE ∥AC DF∥AB ∴四边形AEDF是平行四边形 ∵ DE ∥AC ∴∠2= ∠3 ∵ AD是△ABC的角平分线 ∴ ∠1= ∠2 ∴AE=DE ∴ □ AEDF是菱形4.如图，在平行四边形ABCD中，点E, F分别是AD, BC上的点，且DE=BF, AC⊥EE求证:四边形AECF是菱形.解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵DE=BF，∴AD-DE=BC-BF，∴AE=FC，∴AE//FC， ∴四边形AECF为平行四边形，∵AC⊥EE∴四边形AECF为菱形．
课堂小结 学生归纳小结菱形的判定方法: (1)菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形. (2)菱形的判定定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形. (3)菱形的判定定理:四条边相等的四边形是菱形.
A
B
C
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F
1
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3
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人教版 八年级下
18.2.2菱形（2）
新知导入
情境引入
菱形的性质：
1.菱形的四条边都相等，对边平行.
2.菱形的对角都相等.
3.菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角.
回顾旧识：菱形的定义是什么？性质有哪些？
菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
合作学习
思考：从菱形性质逆向思考，边、对角线需要满足什么条件时，平行四边形（或四边形）才会是菱形呢？
新知探究1：
菱形判定方法1：菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
平行四边形
符号语言：
∵四边形ABCD是平行四边形
又∵AB=AD
∴ ABCD是菱形。
A
B
C
D
注意：菱形定义得到判定1，可以放心直接使用
逻辑推理：（ ）+（1组邻边等） （菱形）
观察与思考：
1.如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD，
则四边形ABCD是不是菱形？ 。
2.如图 ABCD的对角线AC⊥BD ，则 ABCD是不是菱形？为什么？ 。
新知探究2：
不是
是
已知：在 ABCD 中,对角线AC⊥BD
求证： ABCD是菱形。
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC
又∵BD⊥AC
∴ ABCD是菱形。
∴AB=BC
菱形判定方法2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
O
（中垂线的性质）
推论:对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
符号语言：∵ABCD是平行四边形，又∵AC⊥BD
∴ ABCD是菱形
逻辑推理：（ ）+（对角线互垂） （菱形）
逻辑推理：（四边形）+（对角线互相平分）+
（对角线互垂） （菱形）
（简单、常用、重要）
已知：四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA 求证：四边形ABCD是菱形。
菱形判定方法3：四条边相等的四边形是菱形。
∵AB=BC=CD=DA ∴四边形ABCD是菱形。
符号语言：
A
B
C
D
新知探究3：
证明：
∴四边形ABCD是平行四边形。
∵AB=CD,AD=BC,
又∵AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形。
逻辑推理：（四边形）+（四边相等） （菱形）
（简单、常用、重要）
提炼概念
菱形的判定方法：
判定（1）( )+( )
判定（2）( )+( )
判定（3）(四边形)+( )
推论：(四边形)+( )
+（ ）
1组邻边等
对角线互垂
4条边等
对角线互相平分
对角线互相垂直
菱形
菱形
菱形
菱形
典例精讲
例2:如图 ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AO=4，BO=3
求证:四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
O
证明:∵AB=5,AO=4,BO=3,
∴AB2=AO2+BO2.
∴△OAB是直角三角形,AC⊥BD.
∴ ABCD是菱形.
课堂练习
1.下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）
A.AC⊥BD,AC与BD互相平分
B.AB=BC=CD=DA
C.AB=BC,AD=CD,且AC⊥BD
D.AB=CD,AD=BC,AC⊥BD
C
2.如图请添加一个条件 使
ABCD 是菱形.
AB=AD
或AC⊥BD
3.如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F.试问四边形AEDF是菱形吗？说明你的理由。
A
B
C
D
E
F
1
2
3
四边形AEDF是菱形
理由：∵DE ∥AC DF∥AB
∴四边形AEDF是平行四边形
∵ DE ∥AC
∴∠2= ∠3
∵ AD是△ABC的角平分线
∴ ∠1= ∠2
∴AE=DE
∴ □ AEDF是菱形
4.如图，在平行四边形ABCD中，点E, F分别是AD, BC上的点，且DE=BF, AC⊥EE求证:四边形AECF是菱形.
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵DE=BF，
∴AD-DE=BC-BF，
∴AE=FC，
∴AE//FC，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵AC⊥EE
∴四边形AECF为菱形．
课堂总结
四条边都相等
菱形
一组邻边相等
对角线互相垂直
对角线互相平分
一组对边平行且相等
二组对边平行或相等
四边形
平行四边形
作业布置
教材课后配套作业题。
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18.2.2菱形（2）学案
课题 18.2.2菱形（2） 单元 第18单元 学科 数学 年级 八年级下册
学习目标 1.学会并运用菱形的定义和两个判定定理进行有关的推理论证和计算. 2.了解菱形的现实应用和常用判别条件.
重点 菱形的定义和判定定理的运用.
难点 探究菱形的判定条件并合理利用它进行论证和计算.
教学过程
导入新课 【引入思考】 1.菱形有哪些性质 其中哪些是平行四边形所没有的 2.用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉子,做成一个可转动的十字架,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形(如下图). 提问:任意转动木条,这个四边形总有什么特征 你能证明你发现的结论吗 继续转动木条,观察什么时候橡皮筋围成的四边形变成菱形.菱形的判定方法: (1)菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形. (2)菱形的判定定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形. (3)菱形的判定定理:四条边相等的四边形是菱形.想一想该如何证明？
新知讲解 提炼概念菱形的判定方法: (1)菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形. (2)菱形的判定定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形. (3)菱形的判定定理:四条边相等的四边形是菱形.典例精讲 例1.如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AB=5,AO=4,BO=3. 求证: ABCD是菱形.
课堂练习 巩固训练1.下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）A.AC⊥BD,AC与BD互相平分B.AB=BC=CD=DAC.AB=BC,AD=CD,且AC⊥BDD.AB=CD,AD=BC,AC⊥BD2.如图请添加一个条件 使 ABCD 是菱形. 3.如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F.试问四边形AEDF是菱形吗？说明你的理由。四边形AEDF是菱形4.如图，在平行四边形ABCD中，点E, F分别是AD, BC上的点，且DE=BF, AC⊥EE求证:四边形AECF是菱形. 答案引入思考.1.对角线互相垂直的平行四边形是菱形提问:对角线互相垂直的平行四边形是菱形,你能证明这个命题的正确性吗 学生思考:这个命题的条件是什么 结论是什么 先画出图形,写出已知和求证. 已知:,如图，在 ABCD中,对角线AC⊥BD于点O. 求证: ABCD是菱形. 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OB=OD, ∵AC⊥BD, ∴AB=AD, ∴ ABCD是菱形. 通过探究和进一步证明可以归纳得到菱形的一个判定定理: 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.2.四条边相等的四边形是菱形 学生讨论,交流. 命题“菱形的四条边都相等”的条件是:四边形是菱形,结论是:四条边都相等.它的逆命题是:四条边都相等的四边形是菱形.该逆命题是真命题. 理由如下: 已知:如图,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA. 求证:四边形ABCD是菱形. 证明:∵AB=BC=CD=DA, ∴四边形ABCD的两组对边分别相等. ∴四边形ABCD是平行四边形 ∵AB=AD, ∴四边形ABCD是菱形(菱形的定义).菱形的一个判定定理: 四条边相等的四边形是菱形.提炼概念典例精讲例 证明:∵AB=5,AO=4,BO=3, ∴AB2=AO2+BO2. ∴△OAB是直角三角形,AC⊥BD. ∴ ABCD是菱形.巩固训练1.C2.AB=AD或AC⊥BD3.理由：∵DE ∥AC DF∥AB ∴四边形AEDF是平行四边形 ∵ DE ∥AC ∴∠2= ∠3 ∵ AD是△ABC的角平分线 ∴ ∠1= ∠2 ∴AE=DE ∴ □ AEDF是菱形4.解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵DE=BF，∴AD-DE=BC-BF，∴AE=FC，∴AE//FC， ∴四边形AECF为平行四边形，∵AC⊥EE∴四边形AECF为菱形．
课堂小结 小 学生归纳小结菱形的判定方法: (1)菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形. (2)菱形的判定定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形. (3)菱形的判定定理:四条边相等的四边形是菱形.
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