2021-2022学年鲁教版（五四制）九年级数学下册5.3垂径定理期末综合复习训练（Word版含答案）

2021-2022学年鲁教版九年级数学下册《5-3垂径定理》期末综合复习训练（附答案）
1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝3，BP＝7，∠APC＝30°，则CD的长为（　　）
A． B．2 C．4 D．8
2．如图，弦AB的长为16，圆的半径为10，则圆心O到弦AB的距离为（　　）
A．10 B．8 C．6 D．4
3．如图，∠ABC＝30°，边BA上有一点D，DB＝6，以点D为圆心，以DB长为半径作弧交BC于点E，则BE的长是（　　）
A． B．6 C． D．12
4．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝8，OP⊥AB，垂足为点P，则OP的长为（　　）
A．3 B．2.5 C．4 D．3.5
5．如图，⊙O的半径为4，将劣弧沿弦AB翻折，恰好经过圆心O，点C为优弧AB上的一个动点，则△ABC面积的最大值是（　　）
A． B． C． D．
6．如图CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，OE＝12，AB＝10，那么直径CD的长为（　　）
A．12.5 B．13 C．25 D．26
7．如图，⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），圆心P的横坐标为﹣4．则⊙P的半径为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．往水平放置的半径为13cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度AB＝24cm，则水的最大深度是 　 　cm．
9．如图，AB，BC分别是⊙O的两条弦，AO⊥BC，垂足为D，若⊙O的半径为5，BC＝8，则AB的长度是 　 　．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，⊙O与x轴、y轴的正半轴交于A．D两点，B、C是⊙O上的动点，∠BAC＝60°，AE⊥BC于E，BF⊥AC于F，AE、BF交于点H，连接DH，则DH的最小值是 　 　．
11．如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为圆O上一动点，CF⊥AE于F，当点E在圆O的运动过程中，线段FG的长度的最小值为 　 　．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与y轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为 　 　．
13．如图，在平面直角坐标系中，半径为3的⊙O与y轴的负半轴交于点A，点B是⊙O上移动点，点C为弦AB的中点，直线与x轴、y轴分别相交于点D、E，则△CDE面积的最小值为　 　．
14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，若CD＝8cm，MB＝2cm，则直径AB的长为 　 　cm．
15．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE＝3，OB＝5，则AE的长度是 　 　，CD的长度是 　 　．
16．如图，已知直径为5的⊙O过点O（0，0），A（4，0），与y轴的正半轴交于点B，OE为直径，点M为弧OBE上一动点（不与点O、E重合）连接MA，作NA⊥MA交ME的延长线于点N，则△AMN的面积最大值是　 　．
17．已知⊙O的直径是50cm，⊙O的两条平行弦AB＝40cm，CD＝48cm，求弦AB与CD之间的距离为　 　．
18．为了贯彻习近平总书记“促进乡村全面振兴、实现农业农村现代化”的指示，某农机组织推广建立横截面为弓形的一种全新的全封闭式塑料薄膜蔬菜大棚，如图所示，已知棚高AD＝2m，底部BC＝m，大棚的长度BE＝30m，如果不考虑塑料薄膜接头重合及埋在土里的部分，那么搭建一个这样的蔬菜大棚需要用塑料薄膜的面积是　 　m2．
19．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且AE＝CD＝6，则⊙O的半径为　 　．
20．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为16m，拱高（的中点C到弦AB的距离）CD为4m．
（1）求圆弧形拱桥所在圆的半径；
（2）有一艘宽为10m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面2m，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥，并说明理由．
21．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，CD⊥AB，垂足为P，若AP＝8，BP＝2．求CD的长．
22．某地有一座圆弧形拱桥，所在圆的圆心为点O，桥下水面宽度AB为7.2m，过点O作OC⊥AB于点D，交圆弧于点C，CD＝2.4m（如图）．现有一艘宽3m、船舱顶部高出水面AB2m的货船要经过这座拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？
参考答案
1．解：过O点作OH⊥CD于H，连接OD，如图，
∵AP＝3，BP＝7，
∴AB＝10，
∴OA＝OD＝5，OP＝2，
∵OH⊥CD，
∴CH＝DH，
在Rt△OPH中，∵∠OPH＝∠APC＝30°，
∴OH＝OP＝1，
在Rt△ODH中，DH＝＝2，
∴CD＝2DH＝4．
故选：C．
2．解：过O点作OH⊥AB于H，连接OA，如图，则AH＝BH＝AB＝8，
在Rt△OAH中，OH＝＝＝6，
即圆心O到弦AB的距离为6．
故选：C．
3．解：过点D作DF⊥BC于F，则BE＝2BF，∠BFD＝90°，
在Rt△BFD中，∠ABC＝30°，BD＝6，
∴DF＝BD＝3，
∴BF＝DF＝3，
∴BE＝2BF＝6，
故选：C．
4．解：连接AO，
∵AB＝8，OP⊥AB，
∴AP＝AB＝4，∠OPA＝90°，
∵AO＝5，
∴OP＝＝＝3，
故选：A．
5．解：如图，过点C作CT⊥AB于点T，过点O作OH⊥AB于点H，交⊙O于点K，连接AO，AK．
由题意AB垂直平分线段OK，
∴AO＝AK，
∵OA＝OK，
∴OA＝OK＝AK，
∴∠OAK＝∠AOK＝60°．
∴AH＝OA sin60°＝4×＝2，
∵OH⊥AB，
∴AH＝BH，
∴AB＝2AH＝4，
∵OC+OH≥CT，
∴CT≤4+2＝6，
∴CT的最大值为6，
∴△ABC的面积的最大值为××6＝12，
故选：A．
6．解：连接OA，
∵AB⊥CD，CD过圆心O，AB＝10，
∴AE＝BE＝5，∠AEO＝90°，
由勾股定理得：OA＝＝＝13，
即CO＝DO＝OA＝13，
∴CD＝13+13＝26，
故选：D．
7．解：过点P作PD⊥MN，连接PM，如图所示：
∵⊙P与y轴交于M（0，﹣4），N（0，﹣10）两点，
∴OM＝4，ON＝10，
∴MN＝6，
∵PD⊥MN，
∴DM＝DN＝MN＝3，
∴OD＝7，
∵点P的横坐标为﹣4，即PD＝4，
∴PM＝＝＝5，
即⊙P的半径为5，
故选：C．
8．解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB＝24cm，
∴BD＝AB＝12（cm），
∵OB＝OC＝13cm，
在Rt△OBD中，OD＝＝＝5（cm），
∴CD＝OC﹣OD＝13﹣5＝8（cm），
即水的最大深度为8cm，
故答案为：8．
9．解：连接OB，如图所示：
∵AO⊥BC，BC＝8，
∴BD＝BC＝4，OB＝5，∠ODB＝90°，
∵⊙O的半径为5，
∴OB＝5，
∴OD＝＝＝3，
∴AD＝OA+OD＝5+3＝8，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：AB＝＝＝4，
故答案为：4．
10．解：连接AD，OB，过点O作OT⊥AB于点T．
∵OT⊥AB，OA＝OB，
∴BT＝AT，∠AOT＝∠BOT，
∵BF⊥AC，∠BAC＝60°，
∴∠BFA＝90°，
∴∠ABF＝30°，
∴AB＝2AF，
∴AT＝AF，
∵∠AOB＝2∠ACB，
∴∠AOT＝∠ACB，
∵AE⊥BC，
∴∠FAH+∠ACB＝90°，
∵∠OAT+∠AOT＝90°，
∴∠OAT＝∠FAH，
∵∠OTA＝∠HFA＝90°，
∴△OTA≌△HFA（ASA），
∴AO＝AH＝2，
∵OA＝OD＝2，∠AOD＝90°，
∴AD＝OA＝2，
∵DH≥AD﹣AH＝2﹣2，
∴DH的最小值为2﹣2，
故答案为：2﹣2．
11．解：作GM⊥AC于M，连接AG．
∵GO⊥AB，
∴OA＝OB，
在Rt△AGO中，AG＝2，OG＝1，
∴AG＝2OG，OA＝＝＝，
∴∠GAO＝30°，AB＝2AO＝2，
∴∠AGO＝60°，
∵GC＝GA，
∴∠GCA＝∠GAC，
∵∠AGO＝∠GCA+∠GAC，
∴∠GCA＝∠GAC＝30°，
∴AC＝2OA＝2，MG＝CG＝1，
∵∠AFC＝90°，
∴点F在以AC为直径的⊙M上，
当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值＝FM﹣GM＝﹣1．
故答案为：﹣1．
12．解：连接OC，如图，
∵点C为弦AB的中点，
∴OC⊥AB，
∴∠ACO＝90°，
∴点C在以OA为直径的圆上，
以OA为直径作⊙P，过P点作PH⊥DE于H，交⊙P于F，
当x＝0时，y＝x﹣3＝﹣3，则E（0，﹣3），
当y＝0时，x﹣3＝0，
解得x＝4，则D（4，0）
∴OD＝4，
∴DE＝＝5，
∵A（2，0），
∴P（0，1），
∴OP＝1，
∴PE＝OE+OP＝4，
∵∠PEH＝∠OED，∠PHE＝∠EOD＝90°，
∴△PEH∽△DEO，
∴PH：OD＝PE：DE，
解得PH＝，
∴FH＝PH﹣1＝，
∴S△NED＝×5×＝5.5，
∵当点C与点F重合时，△CDE的面积最小，
∴△CDE面积的最小值为5.5．
故答案为：5.5．
13．解：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．
∵AC＝CB，AM＝OM，
∴MC＝OB＝，
∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．
∵直线y＝﹣x﹣5与x轴、y轴分别交于点D、E，
∴D（﹣12，0），E（0，﹣5），
∴OD＝12，OE＝5，
∴DE＝＝＝13，
∵∠MDN＝∠ODE，∠MND＝∠DOE，
∴△MNE∽△DOE，
∴＝，
∴＝，
∴MN＝，
当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小，△C′DE的面积最小值＝×13×（﹣）＝，
故答案为：．
14．解：连接OC，设⊙O的半径是rcm，则OB＝OC＝rcm，
∵AB⊥CD，AB过圆心O，CD＝8cm，
∴CM＝DM＝4cm，∠OMC＝90°，
由勾股定理得：OC2＝OM2+CM2，
r2＝42+（r﹣2）2，
解得：r＝5，
即⊙O的半径是5cm，
∴直径AB的长是10cm，
故答案为：10．
15．解：连接OC，
∵OB＝5，
∴OA＝OC＝OB＝5，
∵OE⊥AC，
∴∠OEA＝90°，
由勾股定理得：AE＝＝＝4，
∵OE⊥AC，OE过圆心O，
∴AE＝CE＝4，
即AC＝8，
设OF＝x，则AF＝5+x，
∵AB⊥CD，
∴∠AFC＝90°，
由勾股定理得：CF2＝OC2﹣OF2＝AC2﹣AF2，
即52﹣x2＝82﹣（5+x）2，
解得：x＝1.4，
∴OF＝1.4
即CF＝＝＝4.8，
∵AB⊥CD，AB过圆心O，
∴DF＝CF＝4.8，
∴CD＝CF+DF＝9.6，
故答案为：4，9.6．
16．解：如图，连接AE，
∵A（4，0），
∴OA＝4，
∵OE是⊙O1的直径，OE＝5，
∵OE是⊙O1的直径，
∴∠OAE＝90°，
在Rt△OAE中，根据勾股定理得，AE＝＝＝3，
∵NA⊥MA，
∴∠NAM＝∠OAE＝90°，
∵∠AOE＝∠AMN，
∴△OAE∽△MAN，
∴＝，
∴AN＝＝AM，要AN最长，
则有AM最长，而AM是⊙O1的弦，
∴AM最大是直径为5，
∴AN最大＝AM＝×5＝，
此时△AMN的面积的最大值为×5×＝，
故答案为．
17．解：如图，①当AB与CD在直径的一侧时，
在Rt△AOF中，
∵OA＝25cm，AF＝20cm，
∴OF＝15cm．
同理OE＝7cm，
∴平行线AB与CD的距离为15﹣7＝8cm；
②当AB与CD不在直径的同一侧时，则其距离为15+7＝22cm．
综上所述，弦AB与CD之间的距离为8cm或22cm．
故答案为：8cm或22cm．
18．解：设所在的圆的圆心为O，连接AB、OB、OC、OA，如图所示：
∵AD是棚高，
∴CD＝BD＝BC＝2（m），AD⊥BC，＝，
∴O、D、A三点共线，∠AOB＝∠AOC，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB＝＝＝4（m），
∴AB＝2AD，
∴∠ABC＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∴∠AOB＝∠AOC＝60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴OB＝OA＝AB＝4m，OD＝OA﹣AD＝4﹣2＝2（m），∠COB＝60°+60°＝120°，
∴蔬菜大棚需要用塑料薄膜的面积＝×30+2（﹣×2×4）＝π+π﹣8＝（π﹣8）（m2），
故答案为：（π﹣8）．
19．解：∵CD⊥AB，
∴CE＝DE＝CD，
∵AE＝CD＝6，
∴CE＝DE＝3，
∵OD＝OB＝OA，OE＝AE﹣OA，
在Rt△ODE中，由勾股定理可得：OD2＝DE2+（AE﹣OA）2，
即：OD2＝32+（6﹣OD）2，
解得：OD＝，
∴⊙O的半径为：，
故答案为：．
20．解：（1）如图，连接ON，OB．
∵OC⊥AB，
∴D为AB中点，
∵AB＝16m，
∴BD＝AB＝8m．
又∵CD＝4m，
设OB＝OC＝ON＝r，则OD＝（r﹣4）m．
在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+82，
解得r＝10，
∴圆的半径为10m．
（2）此货船能顺利通过这座拱桥．
理由：∵CD＝4m，船舱顶部为长方形并高出水面2m，
∴CE＝4﹣2＝2（m），
∴OE＝r﹣CE＝10﹣2＝8（m），
在Rt△OEN中，EN2＝ON2﹣OE2＝102﹣82＝36，
∴EN＝6（m）．
∴MN＝2EN＝2×6＝12＞10．
∴此货船能顺利通过这座拱桥．
21．解：连接OC，
PA＝8，PB＝2，
∴AB＝10，
∴OB＝OC＝AB＝5，
∴OP＝OB﹣BP＝5﹣2＝3，
∵CD⊥AB，
∴CD＝2PC，
在Rt△OPC中，
∵OC＝5，OP＝3，
∴PC＝＝＝4，
∴CD＝2PC＝8．
22．解：如图，连接ON，OB．
∵OC⊥AB，
∴D为AB中点，
∵AB＝7.2m，
∴BD＝AB＝3.6m．
又∵CD＝2.4m，
设OB＝OC＝ON＝rm，则OD＝（r﹣2.4）m．
在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣2.4）2+3.62，
解得r＝3.9．
∵CD＝2.4m，船舱顶部为正方形并高出水面AB2m，
∴CE＝2.4﹣2＝0.4m，
∴OE＝r﹣CE＝3.9﹣0.4＝3.5m，
在Rt△OEN中，EN2＝ON2﹣OE2＝3.92﹣3.52＝2.96（m2），
∴EN＝2.96（m）．
∴MN＝2EN＝2×≈3.44m＞3m．
∴此货船能顺利通过这座拱桥