2021-2022学年北师大版九年级数学上册第4章图形的相似 期末综合复习培优训练（Word版含解析）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《第4章图形的相似》
期末综合复习培优训练（附答案）
1．如图，在△ABC中，点P在边AB上，则在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP AB；④AB CP＝AP CB，不能判定△APC与△ACB相似的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
2．如图，在△ABC中，点D在AB边上，若BC＝3，BD＝2，且∠BCD＝∠A，则线段AD的长为（　　）
A．2 B． C．3 D．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列结论中错误的是（　　）
A．∠ACD＝∠B B．CD2＝AD BD
C．AC BC＝AB CD D．BC2＝AD AB
4．如图，在 ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为（　　）
A．16 B．17 C．24 D．25
5．如图，在一斜边长30cm的直角三角形木板（即Rt△ACB）中截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（　　）
A．200cm2 B．170cm2 C．150cm2 D．100cm2
6．如图：在△ABC中，点D为BC边上的一点，且AD＝AB＝5，AD⊥AB于点A，过点D作DE⊥AD，DE交AC于点E，若DE＝2，则△ADC的面积为（　　）
A． B．4 C． D．
7．在平面直角坐标系中，等边△AOB如图放置，点A的坐标为（1，0），每一次将△AOB绕着点O逆时针方向旋转60°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△A1OB1，第二次旋转后得到△A2OB2，…，以此类推，则点A2021的坐标为（　　）
A．（﹣22020，﹣×22020） B．（22021，﹣×22021）
C．（22020，﹣×22020） D．（﹣22021，﹣×22021）
8．在△ABC中，D为AB边上一点，且∠BCD＝∠A，已知BC＝2，AB＝3，则AD＝　 　．
9．如图，在△ABC中，AB＝15，AC＝18，D为AB上一点，且AD＝AB，在AC边上取一点E，便以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则AE等于　 　．
10．如图，线段AB＝9，AC⊥AB于点A，BD⊥AB于点B，AC＝2，BD＝4，点P为线段AB上一动点，且以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似，则AP的长为　 　．
11．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，点E在边CB上，CE＝2EB，点D在边AB上，CD⊥AE，垂足为F，则AD的长为　 　．
12．如图，在平面直角坐标系中，有一个Rt△OAB，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，直角边OB在y轴正半轴上，点A在第一象限，且OA＝1，将Rt△OBA绕原点O逆时针旋转30°，同时把各边长扩大为原来的2倍（即OA1＝2OA），得到Rt△OA1B1，同理，将Rt△OA1B1绕原点O逆时针旋转30°，同时把各边长扩大为原来的2倍，得到Rt△OA2B2，…，依此规律，得到Rt△OA2021B2021，则点B2021的纵坐标为　 　．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E．
（1）求证：△AED∽△ADC；
（2）若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，点E在AD边上，且AE＝8，EF⊥BE交CD于F．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）求EF的长．
15．如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝6，CE＝3．
（1）求CD的长；
（2）求证：△CDE∽△BDC．
16．如图：在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，∠EDF＝∠B．求证：BD CD＝BE CF．
17．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E在AD上（不与点A，D重合），EF⊥BE交CD于点F．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）连接BF，设AE的长为x，DF的长为y，求y与x之间的函数表达式，并求函数y的最大值．
18．如图，在正方形ABCD中，点E在AD上，EF⊥BE交CD于点F．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）连接BF，若△ABE∽△EBF，试确定点E的位置并说明理由．
19．如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G．
（1）求证：△BDG∽△DEG；
（2）若EG BG＝4，求BE的长．
20．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F、求证：BP2＝PE PF．
21．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交CA于F．求证：AC CF＝BC DF．
22．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求：
（1）当t＝3时，这时，P，Q两点之间的距离是多少．
（2）当t为多少时，PQ的长度等于4？
（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与ABC相似？
23．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A，B的坐标分别为（4，0），（4，3），动点M，N分别从O，B同时出发．以每秒1个单位的速度运动．其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点M作MP⊥OA，交AC于P，连接NP，已知动点运动了x秒．
（1）P点的坐标为（　 　，　 　）（用含x的代数式表示）；
（2）试求△NPC面积S的表达式，并求出面积S的最大值及相应的x值；
（3）设四边形OMPC的面积为S1，四边形ABNP的面积为S2，请你就x的取值范围讨论S1与S2的大小关系并说明理由；
（4）当x为何值时，△NPC是一个等腰三角形？
24．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A，B的坐标分别为（4，0），（4，3），动点M，N分别从O，B同时出发．以每秒1个单位的速度运动．其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BN向终点C运动．过点M作MP⊥OA，交AC于P，连接NP，设M、N运动的时间为t秒（0＜t＜4）．
（1）P点的坐标为（　 　，　 　），PC＝　 　（用含x的代数式表示）；
（2）求当t为何值时，以C、P、N为顶点的三角形与△ABC相似；
（3）在平面内是否存在一个点E，使以C、P、N、E为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出t的值，若不存在，说明理由．
25．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（4，0）、（4，3），动点M、N分别从点O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连接MP，当两动点运动了t秒时．
（1）P点的坐标为　 　（用含t的代数式表示）；
（2）记△MPA的面积为S，求S与t的函数关系式（0＜t＜4）；
（3）当t＝　 　秒时，S有最大值，最大值是　 　；
（4）若点Q在y轴上，当S有最大值且△QAN为等腰三角形时，求直线AQ的解析式．
26．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标为（6，0），（6，8）．动点M、N分别从O、B同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连接MP，已知动点运动了t秒．
（1）求直线AC的解析式．
（2）用含t的代数式表示P的坐标　 　（直接写出答案）
（3）是否存在点P使得？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）是否存在t的值，使以P、A、M为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请求t的值；若不存在，请说明理由．
27．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（4，0）、（4，3），动点M、N分别从点O、B同时出发，以每小时1个单位的速度运动，其中点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点N作NP⊥BC交AC于点P，连接MP．
（1）直接写出OA的长度；
（2）试说明△CPN∽△CAB的理由；
（3）试探究在两点的运动过程中，△MPA的面积是否存在着最大值？若不存在，请说明理由；若存在，则求出此时运动了多少小时，并求出△MPA面积的最大值．
参考答案
1．解：①、当∠ACP＝∠B，
∵∠A＝∠A，
∴△APC∽△ACB，
∴①不符合题意；
②、当∠APC＝∠ACB，
∵∠A＝∠A，
∴△APC∽△ACB，
∴②不符合题意；
③、当AC2＝AP AB，
即AC：AB＝AP：AC，
∵∠A＝∠A
∴△APC∽△ACB，
∴③不符合题意；
④、∵当AB CP＝AP CB，即PC：BC＝AP：AB，
而∠PAC＝∠CAB，
∴不能判断△APC和△ACB相似，
∴④符合题意；
故选：D．
2．解：∵∠BCD＝∠A，∠B＝∠B，
∴△BCD∽△BAC，
∴＝，
∵BC＝3，BD＝2，
∴＝，
∴BA＝，
∴AD＝BA﹣BD＝﹣2＝．
故选：B．
3．解：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠B，A正确，不符合题意；
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴CD2＝AD BD，B正确，不符合题意；
由三角形的面积公式得， AC BC＝AB CD，
∴AC BC＝AB CD，C正确，不符合题意；
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴BC2＝BD AB，D错误，符合题意；
故选：D．
4．解：∵在 ABCD中，CD＝AB＝10，BC＝AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，
∴AB∥DC，∠BAF＝∠DAF，
∴∠BAF＝∠F，
∴∠DAF＝∠F，
∴DF＝AD＝15，
同理BE＝AB＝10，
∴CF＝DF﹣CD＝15﹣10＝5；
∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝10，BG＝8，
在Rt△ABG中，AG＝＝＝6，
∴AE＝2AG＝12，
∴△ABE的周长等于10+10+12＝32，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CF，
∴△CEF∽△BEA，相似比为5：10＝1：2，
∴△CEF的周长为16．
故选：A．
5．解：设AF＝x，则AC＝3x，
∵四边形CDEF为正方形，
∴EF＝CF＝2x，EF∥BC，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝＝，
∴BC＝6x，
在Rt△ABC中，AB＝＝3x，
∴3x＝30，解得x＝2，
∴AC＝6，BC＝12，
∴剩余部分的面积＝×6×12﹣（4）2＝100（cm2）．
故选：D．
6．解：作CF⊥AD交AD的延长线于点F，
∵AD＝AB＝5，AD⊥AB，
∴∠B＝∠ADB＝45°，
∵∠ADB＝∠CDF，CF⊥AD，
∴∠CDF＝45°，∠CFD＝90°，
∴∠DCF＝∠CDF＝45°，
∴CF＝DF，
∵AD⊥DE，AF⊥FC，
∴DE∥FC，
∴△ADE∽△AFC，
∴，
∵AD＝5，DE＝2，DF＝CF，
∴，
∴，
解得，CF＝，
∴△ADC的面积是：＝＝，
故选：D．
7．解：由已知可得：
第一次旋转后，A1在第一象限，OA1＝2，
第二次旋转后，A2在第二象限，OA2＝22，
第三次旋转后，A3在x轴负半轴，OA3＝23，
第四次旋转后，A4在第三象限，OA4＝24，
第五次旋转后，A5在第四象限，OA5＝25，
第六次旋转后，A6在x轴正半轴，OA6＝26，
.....．
如此循环，每旋转6次，A的对应点又回到x轴正半轴，而2021＝6×336+5，
∴A2021在第四象限，且OA2021＝22021，示意图如下：
OH＝OA2021＝22020，A2021H＝OH＝×22020，
∴A2021（22020，﹣×22020），
故选：C．
8．解：∵∠BCD＝∠A，∠B＝∠B，
∴△DCB∽△CAB，
∴，
∴＝，
∴BD＝，
∴AD＝AB﹣BD＝，
故答案为：．
9．解：∵△ABC∽△ADE或△ABC∽△AED，
∴＝或＝，
∵AD＝AB，AB＝15，
∴AD＝10，
∵AC＝18，
∴＝或＝，
解得：AE＝12或．
故答案为：12或．
10．解：设AP＝x．
∵以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似，
①当时，，解得x＝3．
②当时，，解得x＝1或8，
∴当以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似时，AP的长为1或3或8，
故答案为1或3或8．
11．解：过D作DH⊥AC于H，
∵在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，
∴AC＝BC＝15，
∴∠CAD＝45°，
∴AH＝DH，
∴CH＝15﹣DH，
∵CF⊥AE，
∴∠DHA＝∠DFA＝90°，
∴∠HAF＝∠HDF，
∴△ACE∽△DHC，
∴＝，
∵CE＝2EB，
∴CE＝10，
∴＝，
∴DH＝9，
∴AD＝9，
故答案为：9．
12．解：在Rt△AOB中，∠AOB＝30°，OA＝1，
∴OB＝OA cos∠AOB＝，
由题意得，OB1＝2OB＝×2，
OB2＝2OB1＝×22，
……
OBn＝2OB1＝×2n＝×2n﹣1，
∵2021÷12＝168……5，
∴点B2021的纵坐标为：﹣×22020×cos30°＝﹣×22020×＝﹣3×22019，
故答案为：﹣3×22019．
13．（1）证明：∵AB＝AC，AD为BC边上的中线，
∴∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC，
∵AD⊥BC，DE⊥AB，
∴∠AED＝∠ADC＝90°，
∴△AED∽△ADC．
（2）解：∵AD为BC边上的中线，
∴BD＝DC＝BC＝5，
∵在Rt△ADB中∴AD＝＝12，
由（1）得△AED∽△ADC，
∴＝，
∴＝，
∴DE＝．
14．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠A＝90°，
∵EF⊥BE，
∴∠FEB＝90°，
∴∠DEF+∠AEB＝90°，∠DEF+∠DFE＝90°，
∴∠DFE＝∠AEB，
∴△ABE∽△DEF．
（2）在Rt△AEB中，BE＝＝10，
∵AD＝12，AE＝8，
∴DE＝4，
∵△ABE∽△DEF，
∴＝
∴＝，
∴EF＝．
15．（1）解：∵∠ACB＝90°AB＝6，BC＝6，
∴AC＝＝12；
∴AE＝AC﹣CE＝9，
∵AB∥CD，
∴△CDE∽△ABE；
∴，
∴CD＝＝＝2，
（2）证明：∵∠ACB＝90°，CE＝3，BC＝6，
∴BE＝＝3，
∵AB∥CD，
∴△CDE∽△ABE，
∴，
∴DE＝，
∴BD＝4，
∵，，
∴，
∵∠D＝∠D，
∴△CDE∽△BDC．
16．证明：∵△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
∵∠B+∠BDE+∠DEB＝180°，∠BDE+∠EDF+∠FDC＝180°，∠EDF＝∠B，
∴∠FDC＝∠DEB，
∴△BDE∽△CFD，
∴＝，
即BD CD＝BE CF．
17．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴∠ABE+∠AEB＝90°，
∵EF⊥BC，
∴∠AEB+∠DEF＝90°，
∴∠ABE＝∠DEF，
又∵∠A＝∠D，
∴△ABE∽△DEF；
（2）∵△ABE∽△DEF，
∴，
∴，
∴y＝﹣（x﹣2）2+1，
∴当x＝2时，y有最大值为1．
18．（1）证明∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠D＝90°．
∴∠AEB+∠ABE＝90°．
∵EF⊥BE，
∴∠AEB+∠DEF＝90°．
∴∠ABE＝∠DEF．
在△ABE和△DEF中，∠ABE＝∠DEF，∠A＝∠D，
∴△ABE∽△DEF；
（2）解：点E为AD的中点时，△ABE∽△EBF，理由如下：
∵△ABE∽△DEF，
∴．
∵△ABE∽△EBF，
∴．
∴．
∴DE＝AE．
∴点E为AD的中点．
19．（1）证明：∵将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，
∴△BCE≌△DCF，
∴∠FDC＝∠EBC，
∵BE平分∠DBC，
∴∠DBE＝∠EBC，
∴∠FDC＝∠EBD，
∵∠DGE＝∠DGE，
∴△BDG∽△DEG．
（2）解：∵△BCE≌△DCF，
∴∠F＝∠BEC，∠EBC＝∠FDC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCB＝90°，∠DBC＝∠BDC＝45°，
∵BE平分∠DBC，
∴∠DBE＝∠EBC＝22.5°＝∠FDC，
∴∠BEC＝67.5°＝∠DEG，
∴∠DGE＝180°﹣22.5°﹣67.5°＝90°，
即BG⊥DF，
∵∠BDF＝45°+22.5°＝67.5°，∠F＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠BDF＝∠F，
∴BD＝BF，
∴DF＝2DG，
∵△BDG∽△DEG，BG×EG＝4，
∴＝，
∴BG×EG＝DG×DG＝4，
∴DG2＝4，
∴DG＝2，
∴BE＝DF＝2DG＝4．
20．证明：连接PC，
∵AB＝AC，AD是中线，
∴AD是△ABC的对称轴．
∴PC＝PB，∠PCE＝∠ABP．
∵CF∥AB，∴∠PFC＝∠ABP（两直线平行，内错角相等），
∴∠PCE＝∠PFC．
又∵∠CPE＝∠EPC，
∴△EPC∽△CPF．
∴（相似三角形的对应边成比例）．
∴PC2＝PE PF．
∵PC＝BP
∴BP2＝PE PF．
21．证明：
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠DAC+∠B＝∠B+∠DCB＝90°，
∴∠DAC＝∠DCB，且∠ACD＝∠CDB，
∴△ADC∽△CDB，
∴＝，
∵E为BC中点，
∴DE＝CE，
∴∠EDC＝∠DCE＝∠DAC，
∴∠FDC＝∠FAD，且∠F＝∠F，
∴△FDC∽△FAD，
∴＝，
∴＝，
∴AC CF＝BC DF．
22．解：由运动知，AP＝4tcm，CQ＝2tcm，
∵AC＝20cm，
∴CP＝（20﹣4t）cm，
∵点P在AC上运动，
∴4t≤20，
∴t≤5，
∵点Q在BC运动，
∴2t≤15，
∴t≤7.5，
∴0≤t≤5，
（1）当t＝3时，CP＝8cm，CQ＝6cm，
在Rt△PCQ中，根据勾股定理得，PQ＝＝10（cm）；
（2）在Rt△PCQ中，根据勾股定理得，PQ2＝CP2+CQ2，
∵PQ＝4，
∴（4）2＝（20﹣4t）2+（2t）2，
解得，t＝2或t＝6（舍去），
即当t为2时，PQ的长度等于4；
（3）∵以点C，P，Q为顶点的三角形与ABC相似，且∠C＝∠C＝90°，
∴①△CPQ∽△CAB，
∴，
∴，
∴t＝3，
②△CPQ∽△CBA，
∴，
∴，
∴t＝，
即当t为3或时，以点C，P，Q为顶点的三角形与ABC相似．
23．解：（1）由题意可知，C（0，3），M（x，0），N（4﹣x，3），
∴点P坐标为（2分）
（2）设△NPC的面积为S，
在△NPC中，NC＝4﹣x，NC边上的高为，其中，0≤x≤4，
∴S＝（4﹣x）×＝﹣（x﹣2）2+，
∴S的最大值为，此时x＝2（3分）
（3）由图形知，S1＝
S2＝S△ABC﹣S△PCN＝；
当0＜x＜2时，S1＜S2；当x＝2时，S1＝S2；当2＜x＜4时，S1＞S2；（3分）
（4）延长MP交CB于Q，则有PQ⊥BC．
①若NP＝CP，∵PQ⊥BC，∴NQ＝CQ＝x．∴3x＝4，∴x＝．
②若CP＝CN，则，CN＝4﹣x，PQ＝x，CP＝x，4﹣x＝x∴x＝．
③若CN＝NP，则CN＝4﹣x．∵PQ＝x，NQ＝4﹣2x，在Rt△PNQ中，PN2＝NQ2+PQ2
∴（4﹣x）2＝（4﹣2x）2+（x）2，∴x＝．
综上所述，x＝，或x＝，或x＝．（3分）
24．解：（1）∵四边形OABC为矩形，点A，B的坐标分别为（4，0），（4，3），
∴C（0，3），∴直线AC解析式为y＝﹣x+3，
∵点M从点O向点A以每秒1个单位的速度运动，
∴OM＝t，当x＝t时，y＝﹣t+3，
∴P（t，﹣t+3），
∵C（0，3），
∴CP＝＝t，
故答案为：t，﹣t+3，t，
（2）∵A（4，0），B（4，3），
∴OA＝BC＝4，OB＝3，
∴AC＝5，
由运动知，BN＝t，
∴CN＝4﹣t，
由（1）知，CP＝t，
∵∠ACB＝∠PCN，以C、P、N为顶点的三角形与△ABC相似，
∴①当时，
∴，
∴t＝2，
②当时，
∴，
∴t＝，
∴t为2或时，以C、P、N为顶点的三角形与△ABC相似．
（3）由（1）知，CP＝t，P（t，﹣t+3），
由（2）知，CN＝4﹣t，
∴N（4﹣t，3），
∴PN＝＝，
∵以C、P、N、E为顶点的四边形是菱形，
∴①当CP＝CN时，
∴t＝4﹣t，
∴t＝，
②当 CP＝PN时，t＝，
∴t＝4（舍）或t＝
③当CN＝PN时，4﹣t＝，
∴t＝0（舍）或t＝，
以C、P、N、E为顶点的四边形是菱形时，t的值为或或秒．
25．解：（1）∵PN∥AB，
∴＝，
∴＝．
∴PN＝（4﹣t），
3﹣（4﹣t）＝t，
∴P（4﹣t，）；
（2）S＝﹣t2+t（0＜t＜4）；
（3）由（2）知：S＝﹣t2+t＝﹣（t﹣2）2+，
因此当t＝2时，Smax＝；
（4）由（3）知，当S有最大值时，t＝2，此时N在BC的中点处，如图，
设Q（0，y），
∵△AOQ是直角三角形，
∴AQ2＝16+y2，QN2＝4+（3﹣y）2，AN2＝13，
∵△QAN为等腰三角形，
①若AQ＝AN，此时方程无解，
②若AQ＝QN，解得y＝，
③若QN＝AN，解得y1＝0，y2＝6，
∴Q1（0，），Q2（0，0），Q3（0，6），
当Q为（0，），直线AQ的解析式为y＝，
当Q为（0，0）时，A（4，0）、Q（0，0）均在x轴上，
直线AQ的解析式为y＝0（或直线为x轴），
当Q为（0，6）时，Q、N、A在同一直线上，△ANQ不存在，舍去，
故直线AQ的解析式为y＝或y＝0．
26．解：（1）∵四边形OABC为矩形，点A、B的坐标为（6，0），（6，8），
∴C点坐标为（0，8），
设AC的解析式为y＝kx+b，
将A（6，0），C（0，8）代入y＝kx+b得：，
解得：，
则直线AC的解析式为y＝﹣x+8；
（2）∵CN＝6﹣t，
∴yP＝﹣（6﹣t）+8＝t，
则P点坐标为（6﹣t，t）；
故答案为：（6﹣t，t）
（3）存在．
∵AM＝AO﹣OM＝6﹣t，
∴S△AMP＝×（6﹣t）×t＝﹣t2+4t，
∴y＝S四边形OMPC＝S△AOC﹣S△AMP＝×6×8﹣（﹣t2+4t）＝t2﹣4t+24＝（t﹣3）2+18，
当y＝时，有（t﹣3）2+18＝，
解得：t＝或t＝，
则满足题意P的坐标为（，2）或（，6）；
（4）存在．
在△ACB中，PN∥AB，
则＝，
即＝，
解得AP＝t，
又∵AM＝6﹣t，
则有：①△AMP∽△AOC时，＝，即＝，解得t＝3秒；
②△APM∽△AOC时，＝，即＝，解得t＝秒，
综上所述，当t＝3秒或t＝秒时，以P、A、M为顶点的三角形与△AOC相似．
27．解：（1）根据点A的坐标可直接得出OA＝4；
答：（1）OA的长度为4．
（2）∵四边形OABC为矩形，
∴AB⊥BC，
又∵NP⊥BC，
∴AB∥NP，
∴△CPN∽△CAB；
（3）设两点的运动时间为x小时，
∵AB＝OC＝3，OA＝BC＝4，
则CN＝AM＝4﹣x，
∵△CPN∽△CAB，＝，
∴PN＝，可求的P点的坐标为（4﹣x，x），
∴S△MPA＝（4﹣x） x＝﹣（x﹣2）2+，
∴当x＝2时，△MPA面积的最大值＝．
答：△MPA面积的存在最大值，最大值为，此时两点运动了2小时．