江苏省南京九中2013届高三上学期文科数学第9周周练

南京九中高三上学期文科数学第9周周练
班级____________姓名_______________得分______________
一、 填空题．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1．集合，，若，则实数的值为 ．
2．已知角的终边经过点，且，则的值为 ．
3．经过点，且与直线垂直的直线方程是 ．
4．若复数（为虚数单位），且为纯虚数，则实数的
值为 ．
5．已知实数满足约束条件 则的最大值为 ．
6．某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的
一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为 ．
7．设等差数列的公差，，若是与
的等比中项，则的值为 ．
8．根据如图所示的算法流程，可知输出的结果为 ．
9．下图是一次考试结果的频率分布直方图，若规定60分以上
（含60）为考试合格，则这次考试的合格率为 ．
10．设是单位向量，且，则的值为 ．
11．如图，已知正三棱柱的底面边长为2，高位5，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为 ．
12．若不等式对恒成立，
则实数的取值范围是 ．
13．五位同学围成一圈依次循环报数，规定，第一位同学首次
报出的数为2，第二位同学首次报出的数为3，之后每位
同学所报出的数都是前两位同学所报出数的乘积的个位数字，
则第2010个被报出的数为 ．
14．设是由满足下列性质的函数构成的集合：
在定义域内存在，使得成立．已知下列函数：
①；②；③；④，其中属于集
合的函数是 （写出所有满足要求的函数的序号）．
二、解答题（本大题共6小题，共90分。前三题18分每题，后两题21分每题。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本题满分14分，第1小题5分，第2小题9分）
已知，，．
⑴若∥，求的值；
⑵若，求的值．
16．如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，，，
为上一点，且平面．
⑴求证：；
⑵如果点为线段的中点，求证：∥平面．
17． 如图，矩形是机器人踢足球的场地，，，机器人先从的中点进入场地到点处，，．场地内有一小球从点运动，机器人从点出发去截小球，现机器人和小球同时出发，它们均作匀速直线运动，并且小球运动的速度是机器人行走速度的2倍．若忽略机器人原地旋转所需的时间，则机器人最快可在何处截住小球？
18． 已知函数在点处的切线方程为．
⑴求函数的解析式；
⑵若对于区间上任意两个自变量的值都有，求实数的最小值；
⑶若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．
19．设函数，数列满足．
⑴求数列的通项公式；
⑵设，若对恒成立，求实数的取值范围；
⑶是否存在以为首项，公比为的数列，，使得数列中每一项都是数列中不同的项，若存在，求出所有满足条件的数列的通项公式；若不存在，说明理由．
南京九中第9周 周练答案
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1． 2．10 3． 4． 5．8 6． 7．3
8．7 9．72％ 10． 11．13 12． 13．4 14．②④
二、解答题（本大题共6小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本题满分14分，第1小题5分，第2小题9分）
解：⑴因为∥，所以．………………… ………………………3分
则．…………………………………………………………………………5分
⑵因为，所以，……………………………………7分
即．…………………………………………………………………………9分
因为，所以，则．…………………………11分
…………………………………………………14分
16．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
证明：⑴因为平面，平面，所以．……………2分
因为，且，平面，
所以平面．……………………………………………………………………4分
因为平面，所以．………………………………………………6分
⑵取中点，连结．
因为平面，平面，所以．
因为，所以为的中点．………………………………………………8分
所以为△的中位线．所以∥，且=．……………10分
因为四边形为平行四边形，所以∥，且．
故∥，且．
因为为中点，所以∥，且．
所以四边形为平行四边形，所以∥．………………………………12分
因为平面，平面，所以∥平面．………………14分
17．（本题满分14分）
解：设该机器人最快可在点处截住小球 ，点在线段上．
设．根据题意，得 ．
则．………………………………………………1分
连接，在△中，，，
所以， ．………………………………………………2分
于是．在△中，由余弦定理，
得．
所以．………………8分
解得．………………………………………………………………12分
所以，或（不合题意，舍去）．………13分
答：该机器人最快可在线段上离点70处截住小球．…………………………14分
18．（本题满分16分，第1小题 4分，第2小题4分，第3小题8分）
解：⑴．…………………………………………………………2分
根据题意，得即解得……………………3分
所以．………………………………………………………………4分
⑵令，即．得．
1
2
+
+
增
极大值
减
极小值
增
2
因为，，
所以当时，，．………………………………6分
则对于区间上任意两个自变量的值，都有
，所以．
所以的最小值为4．……………………………………………………………………8分
⑶因为点不在曲线上，所以可设切点为．
则．
因为，所以切线的斜率为．………………………………9分
则=，………………………………………………………………11分
即．
因为过点可作曲线的三条切线，
所以方程有三个不同的实数解．
所以函数有三个不同的零点．
则．令，则或．
0
2
+
+
增
极大值
减
极小值
增
则 ，即，解得．…………………………………16分
19．（本题满分16分，第1小题 4分，第2小题6分，第3小题6分）
解：⑴因为，
所以．…………………………………………………………………………2分
因为，所以数列是以1为首项，公差为的等差数列．
所以．…………………………………………………………………………4分
⑵①当时，
．…………………………………………………………………………6分
②当时，
．…………………………………………8分
所以
要使对恒成立，
只要使．
只要使，
故实数的取值范围为．……………………………………………………10分
⑶由，知数列中每一项都不可能是偶数．
①如存在以为首项，公比为2或4的数列，，
此时中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以为首项，公比为偶数的数列．……………………………………………………………………………………12分
②当时，显然不存在这样的数列．
当时，若存在以为首项，公比为3的数列，．
则，，，．
所以满足条件的数列的通项公式为．……………………………………16分