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北师版八年级下册数学1.1.1 全等三角形与等腰三角形的性质教学设计
课题 1.1.1 全等三角形与等腰三角形的性质 单元 第一单元 学科 数学 年级 八
学习目标 1.能够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理.2.经历“探索一发现一猜想一证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展,发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力.3.启发引导学生体会探索结论和证明结论,及合情推理与演绎的相互依赖和相互补充的辩证关系.
重点 探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法.
难点 明确推理证明的基本要求,如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 教师提问：【思考】在“平行线的证明”这一章中，我们学了哪8条基本事实？教师出示答案：①两点确定一条直线；②两点之间线段最短；③同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④同位角相等，两直线平行；⑤过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；⑥两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；⑦两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；⑧三边分别相等的两个三角形全等.【思考】证明命题的步骤是什么？证明一个命题的一般步骤:(1)弄清题设和结论； (2)根据题意画出相应的图形；(3)根据题设和结论写出已知和求证； (4)分析证明思路,写出证明过程. 学生思考回答问题。 对以前所学知识进行复习巩固,为本节课的学习作准备。
讲授新课 我们已经探索过“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这个结论，你能用有关的基本事实和已经学习过的定理证明它吗？已知：如图，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF.求证：△ABC≌△DEF.证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°∴∠C=180°－(∠A+∠B)，∠F=180°－(∠D+∠E).∵∠A=∠D，∠B=∠E（已知），∴∠C=∠F（等量代换）.∵BC=EF（已知），∴△ABC≌△DEF（ASA）.总结归纳定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.根据全等三角形的定义，我们可以得到： 全等三角形的对应边相等，对应角相等.观察下图的三角形是什么三角形？我们知道，有两条边相等的三角形是等腰三角形，那么，除了有两边相等外，等腰三角形还有哪些性质呢？1.等腰三角形的两个底角相等.你能证明这个性质吗？证明：等腰三角形的两底角相等.已知： 如图，在△ABC 中，AB= AC.求证：∠B= ∠C .分析：我们曾经利用折叠的方法说明了这两个底角相等. 实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等三角形. 这启发我们，可以作一条辅助线，把原三角形分成两个全等的三角形，从而证明这两个底角相等.方法一：证明：取BC的中点D ，连接AD，∵ AB=AC， BD=CD ， AD=AD,∴ △ABD≌△ACD （SSS）.∴ ∠B= ∠C （全等三角形的对应角相等） . 你还有其他证明方法吗？方法二：证明：作顶角∠A的平分线，交BC于D ，∵ AB=AC， ∠ BAD= ∠ CAD ， AD=AD,∴ △ABD≌△ACD （SAS）.∴ ∠B= ∠C （全等三角形的对应角相等） . 方法三：证明：过点A作底边BC上的高，交BC于D ，在Rt△ABD和Rt△ACD中，∵ AB=AC， AD=AD,∴△ABD≌△ACD （HL）.∴ ∠B= ∠C （全等三角形的对应角相等） . 总结归纳定理：等腰三角形的两个底角相等.这一定理可简述为：“等边对等角”.在证明等腰三角形性质的方法中，不论是作顶角的平分线，还是作底边的中线，或者是底边的高线，都能通过两三角形的全等得出：所作辅助线既是顶角平分线，又是底边中线、高线.你能总结出这个性质吗？等腰三角形的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.简称：三线合一.(1)∵AB=AC，AD⊥BC ∴BD=CD，∠BAD=∠CAD (三线合一)(2)∵AB=AC，BD=CD ∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD(三线合一)(3)∵AB=AC， ∠BAD=∠CAD ∴AD⊥BC，BD=CD (三线合一) 学生根据所学知识证明问题。学生总结归纳。学生回答全等三角形的定义井得出全等三角形的性质在老师的引导下对等腰三角形的性质进行证明。然后小组交流。并真听老师的讲解.学生认真观察并思考。然后小组讨论、班内交流.然后对所发现的：三线合一的性质进行证明.交流后仔细听老师讲评。 利用己学的基本事实和定理来验证AAS的正确性，并知道可用AAS定理判定两个三角形全等。让学生经历这些定理的活动验证和证明过程,具体操作中,可以让学生先独自折纸观察,探索并写出等腰三角形的性质,然后再以小组进行交流,互相弥补不足.利用多种方法证明问题，培养学生的发散思维。对等腰三角形的性质定理的推论进行证明.
课堂练习 1.如图，AB，CD相交于点O，OD=OB，∠A=∠C，给出下列结论:①△AOD≌△COB;②AD=CB;③AB=CD.其中正确的个数为( D )A.0 B.1 C.2 D.32.如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD=CE.若∠ABC=30°，则∠D的度数为( B )A.85° B.75° C.65° D.30°3.等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是( D )A.55°,55° B.70°,40°或70°,55°C.70°,40° D.55°,55°或70°,40°4.如图，在△ABC中，点D是边BC上的一点，若AB=AD=DC，∠BAD=44°，则∠C的大小为___34°_____. 5.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，则下列结论不正确的是( A )。A. AB=2BD B. AD⊥BCC. AD平分∠BAC D. ∠B=∠C6.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E，AD与BE相交于点F.(1)求证：∠CBE=∠BAD.(2)若CE=FE，求证：AF=2BD.证明:(1)∵AB=AC，AD是BC边上的中线,∴AD⊥BC，∠CAD=∠BAD，∴∠C+∠CAD=90°.∵BE⊥AC，∴∠C+∠CBE=90°,∴∠CBE=∠CAD，∴∠CBE=∠BAD.(2)由(1)可知，∠CBE=∠FAE，∠BEC=∠AEF=90°,∵CE=FE，∴△BCE≌△AFE，∴AF=BC.∵AD为BC边上的中线，∴BC=2BD，∴AF=2BD.7.【2020·聊城】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝65°，点D是BC边上任意一点，过点D作DF∥AB交AC于点E，则∠FEC的度数是( B )A．120° B．130° C．145° D．150°8.【2020·苏州】如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′.若点B′恰好落在BC边上，且AB′＝CB′，则∠C′的度数为( C )A．18° B．20° C．24° D．28° 学生做练习，做完后小组讨论问题。 巩固本节课所学内容。
课堂小结 本节课你学到了什么？（1）等腰三角形的性质：等边对等角.（2）等腰三角形性质的推论：三线合一，即等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.（3）转化思想的应用：等腰三角形的性质是证明角相等、边相等的重要方法 在教师的引导下总结归纳。
板书 课题：1.1.1 全等三角形与等腰三角形的性质一、全等三角形的性质二、等边对等角三、三线合一
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1.1.1 全等三角形与等腰三角形的性质
北师版 八年级下册
新知导入
【思考】在“平行线的证明”这一章中，我们学了哪8条基本事实？
①两点确定一条直线；
②两点之间线段最短；
③同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
④同位角相等，两直线平行；
⑤过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
⑥两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；
⑦两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；
⑧三边分别相等的两个三角形全等.
新知导入
【思考】证明命题的步骤是什么？
证明一个命题的一般步骤:
(1)弄清题设和结论；
(2)根据题意画出相应的图形；
(3)根据题设和结论写出已知和求证；
(4)分析证明思路,写出证明过程.
新知讲解
我们已经探索过“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这个结论，你能用有关的基本事实和已经学习过的定理证明它吗？
已知：如图，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF.
求证：△ABC≌△DEF.
A
B
C
D
E
F
新知讲解
证明：
∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°
∴∠C=180°－(∠A+∠B)，
∠F=180°－(∠D+∠E).
∵∠A=∠D，∠B=∠E（已知），
∴∠C=∠F（等量代换）.
∵BC=EF（已知），
∴△ABC≌△DEF（ASA）.
A
B
C
D
E
F
新知讲解
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.
总结归纳
根据全等三角形的定义，我们可以得到：
新知讲解
观察下图的三角形是什么三角形？
我们知道，有两条边相等的三角形是等腰三角形，那么，除了有两边相等外，等腰三角形还有哪些性质呢？
1.等腰三角形的两个底角相等.
你能证明这个性质吗？
新知讲解
证明：等腰三角形的两底角相等.
已知： 如图，在△ABC 中，AB= AC.
求证：∠B= ∠C .
A
B
C
分析：我们曾经利用折叠的方法说明了这两个底角相等. 实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等三角形. 这启发我们，可以作一条辅助线，把原三角形分成两个全等的三角形，从而证明这两个底角相等.
新知讲解
证明：等腰三角形的两底角相等.
已知： 如图，在△ABC 中，AB= AC.
求证：∠B= ∠C .
A
B
C
证明：取BC的中点D ，连接AD，
∵ AB=AC， BD=CD ， AD=AD,
∴ △ABD≌△ACD （SSS）.
∴ ∠B= ∠C （全等三角形的对应角相等） .
D
你还有其他证明方法吗？
新知讲解
证明：等腰三角形的两底角相等.
已知： 如图，在△ABC 中，AB= AC.
求证：∠B= ∠C .
A
B
C
D
证明：作顶角∠A的平分线，交BC于D ，
∵ AB=AC， ∠ BAD= ∠ CAD ， AD=AD,
∴ △ABD≌△ACD （SAS）.
∴ ∠B= ∠C （全等三角形的对应角相等） .
新知讲解
证明：等腰三角形的两底角相等.
已知： 如图，在△ABC 中，AB= AC.
求证：∠B= ∠C .
A
B
C
D
证明：过点A作底边BC上的高，交BC于D ，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
∵ AB=AC， AD=AD,
∴△ABD≌△ACD （HL）.
∴ ∠B= ∠C （全等三角形的对应角相等） .
新知讲解
在证明等腰三角形性质的方法中，不论是作顶角的平分线，还是作底边的中线，或者是底边的高线，都能通过两三角形的全等得出：所作辅助线既是顶角平分线，又是底边中线、高线.
总结归纳
定理：等腰三角形的两个底角相等.
这一定理可简述为：“等边对等角”.
你能总结出这个性质吗？
新知讲解
等腰三角形的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.
(1)∵AB=AC，AD⊥BC
∴ (三线合一)
(2)∵AB=AC，BD=CD
∴_____________________________(三线合一)
(3)∵AB=AC， ∠BAD=∠CAD
∴____________________ (三线合一)
BD=CD，∠BAD=∠CAD
AD⊥BC，∠BAD=∠CAD
AD⊥BC，BD=CD
简称：三线合一.
A
B
C
D
课堂练习
1.如图，AB，CD相交于点O，OD=OB，∠A=∠C，给出下列结论:
①△AOD≌△COB;
②AD=CB;
③AB=CD.
其中正确的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
D
课堂练习
2.如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD=CE.若∠ABC=30°，则∠D的度数为( )
A.85°
B.75°
C.65°
D.30°
B
课堂练习
3.等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是( )
A.55°,55°
B.70°,40°或70°,55°
C.70°,40°
D.55°,55°或70°,40°
D
课堂练习
4.如图，在△ABC中，点D是边BC上的一点，若AB=AD=DC，∠BAD=44°，则∠C的大小为________.
34°
课堂练习
5.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，则下列结论不正确的是( )。
A. AB=2BD
B. AD⊥BC
C. AD平分∠BAC
D. ∠B=∠C
A
拓展提高
6.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E，AD与BE相交于点F.
(1)求证：∠CBE=∠BAD.
(2)若CE=FE，求证：AF=2BD.
证明:(1)∵AB=AC，AD是BC边上的中线,
∴AD⊥BC，∠CAD=∠BAD，∴∠C+∠CAD=90°.
∵BE⊥AC，∴∠C+∠CBE=90°,
∴∠CBE=∠CAD，∴∠CBE=∠BAD.
拓展提高
6.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E，AD与BE相交于点F.
(1)求证：∠CBE=∠BAD.
(2)若CE=FE，求证：AF=2BD.
(2)由(1)可知，∠CBE=∠FAE，∠BEC=∠AEF=90°,
∵CE=FE，∴△BCE≌△AFE，∴AF=BC.
∵AD为BC边上的中线，∴BC=2BD，
∴AF=2BD.
中考链接
7.【2020·聊城】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝65°，点D是BC边上任意一点，过点D作DF∥AB交AC于点E，则∠FEC的度数是
( )
A．120°
B．130°
C．145°
D．150°
B
中考链接
8.【2020·苏州】如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′.若点B′恰好落在BC边上，且AB′＝CB′，则∠C′的度数为( )
A．18°
B．20°
C．24°
D．28°
C
课堂总结
本节课你学到了什么？
（1）等腰三角形的性质：等边对等角.
（2）等腰三角形性质的推论：三线合一，即等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.
（3）转化思想的应用：等腰三角形的性质是证明角相等、边相等的重要方法.
板书设计
课题：1.1.1 全等三角形与等腰三角形的性质
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一、全等三角形的性质
二、等边对等角
三、三线合一
作业布置
课本 P4 练习题
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